3.4 Drill — Fourier-rekke-sjangeren

Sjangerdrill på hele D-komplekset: symmetri → utvidelse → koeffisienter → skisse → konvergens/tallrekke, i A-besvarelsesform.

85 min

12 oppgaver

DrillFourier-rekke-sjangeren

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Fourier-rekker

Dette er drillkapitlet for hele Fourier-rekke-sjangeren. Ingen ny teori — bare oppskriften, ett gjennomregnet eksamenscase med margnotater om hva som gir uttelling, og tolv oppgaver på eksamensnivå som roterer gjennom alle variantene.

Fourier-blokken står på 13 av 13 gjennomgåtte sett, og rekkevarianten er den vanligste av de to. Sjangeren har fem faste ansikter, og du møter alle fem her:

- ren reell rekke på $[-L,L]$ med symmetriutnyttelse;
- halvintervall-utvidelse, odde eller like, med skisse;
- konvergensverdier, inkludert midling i sprang;
- kompleks form og broen til $a_n$ , $b_n$ ;
- tallrekkesum ved innsetting.

Sjangerbokstaven er D — boka bruker bokstavene $A$ til $S$ som korte navn på de nitten oppgavetypene på settene, og D er Fourier-rekker.

Formelark-merking. Reduksjonsformlene og de trigonometriske identitetene står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Alt annet i denne sjangeren — koeffisientintegralene, symmetriregelen, utvidelsesreglene, midlingen, broformlene — må kunnes eller utledes aktivt. Det er derfor drillen handler om metodevalg og føring, ikke om å pugge.

Tidsbruk: 85 minutter, og det er lesetid. Skriver du oppgavene av for hånd, som du bør, blir det snarere to timer. Kapitlet er delt i fire bolker med pausepunkter mellom; det er helt greit å ta én bolk per kveld. Oppgavene er stilt på eksamensnivå, så en enkelt oppgave tar 8–15 minutter når du gjør den skikkelig.

Karakterrealisme. Klarer du oppskriftens sju steg på en ny funksjon uten å slå opp, ligger du godt an. C er en god og vanlig karakter, og den nås av den som får de mekaniske delpunktene til å sitte. Forskjellen opp mot A i denne sjangeren er tre ting: at symmetrien blir begrunnet, at midlingen blir behandlet, og at delpunkt (c) med tallrekka faktisk blir fullført.

Forkunnskaper: kap. 3.1, kap. 3.2 og kap. 3.3. Dette kapitlet innfører ingenting nytt.

Sist du var her — de fem formlene hele drillen hviler på, ferdig oppfrisket:

$a_0 = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f\,dx, \qquad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$

$\text{odde }f: \ a_n=0,\ b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx \qquad\qquad \text{like }f: \ b_n=0,\ a_n = \frac{2}{L}\int_0^L f\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx$

$\text{i et sprang gir rekka } \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$

$c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f e^{-in\pi x/L}\,dx, \qquad a_n = 2\operatorname{Re}(c_n), \qquad b_n = -2\operatorname{Im}(c_n)$

Og fra det utdelte formelarket, med $\displaystyle a = \frac{n\pi}{L}$ :

$\int x\cos ax\,dx = \frac{x\sin ax}{a}+\frac{\cos ax}{a^2}, \qquad \int x\sin ax\,dx = -\frac{x\cos ax}{a}+\frac{\sin ax}{a^2}.$

Løsningsoppskriften — sju steg (~10 min)

Denne rekkefølgen løser hver eneste oppgave i sjangeren. Lær den utenat; den er billigere å huske enn noen enkeltformel.

1. Finn halvperioden $L$ og skriv den ned. Er funksjonen gitt på $[-L,L]$ , leser du $L$ rett av. Er den gitt på $[0,L]$ , er $L$ fortsatt halvperioden — men da må du først velge utvidelse (steg 2). Perioden er alltid $2L$ , og argumentet i rekka er alltid $\displaystyle \frac{n\pi x}{L}$ .

2. Avgjør paritet, eller velg utvidelse. Er funksjonen gitt på hele $[-L,L]$ : sett inn $-x$ og se om du får $f$ eller $-f$ . Er den gitt på $[0,L]$ : oppgaven sier hvilken utvidelse du skal bruke, eller randbetingelsene gjør det. Skriv én setning som begrunner valget — den gir uttelling i seg selv.

3. Sett opp bare de integralene som ikke er null. Odde funksjon: bare $b_n$ . Like funksjon: bare $a_0$ og $a_n$ . Verken eller: alle tre, men se etter om funksjonen kan splittes i en odde og en like del.

4. Regn ut integralene. Er integranden polynom ganger $\cos$ eller $\sin$ : slå opp reduksjonsformelen på det utdelte formelarket og sett $\displaystyle a = \frac{n\pi}{L}$ . Er den en eksponentialfunksjon: gå over til kompleks form, der integranden blir én eksponential. Bruk $\sin n\pi = 0$ og $\cos n\pi = (-1)^n$ i grensene.

5. Skriv rekka, og si hvilke $n$ som overlever. Uttrykk som $1-(-1)^n$ er null for annethvert $n$ . Skriv om til $n=2m+1$ (odde) eller $n=2k$ (like) når bare den ene halvparten bidrar.

6. Skissér den periodiske utvidelsen hvis oppgaven ber om det: tegn $f$ på $[0,L]$ , speil, kopier minst tre perioder, og sett en prikk midt i hvert sprang.

7. Angi konvergensverdier og finn eventuell tallrekkesum. I et kontinuitetspunkt gir rekka $f(x)$ ; i et sprang gir den $\tfrac12\left(f(x^+)+f(x^-)\right)$ . Skal du summere en tallrekke, velg $x=0$ først, deretter $x=L$ , deretter $x=L/2$ — og sjekk kontinuiteten i punktet før du setter inn funksjonsverdien.

Kontroll før du leverer: sett inn ett bekvemt $x$ og se om rekka gir riktig verdi. Sjekk også at koeffisientene faller plausibelt: sprang gir $1/n$ , knekk gir $1/n^2$ .

✏️Gjennomregnet eksamenscase — hele sjangeren i én oppgave

En funksjon er gitt ved $f(x) = \pi - x$ for $0 < x < \pi$ .

a) Utvid $f$ til en odde funksjon $g$ med periode $2\pi$ , og skissér $g$ på $[-3\pi, 3\pi]$ . (5 poeng)
b) Finn Fourier-rekka til $g$ . (10 poeng)
c) Hva konvergerer rekka mot i $x=0$ , $x=\pi/2$ og $x=\pi$ ? (5 poeng)
d) Bruk et passende punkt til å vise at $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2m+1} = \frac{\pi}{4}$ . (5 poeng)

Oppgaven er 25 poeng og skal ta rundt 25 minutter. Løsningen under er ført som en toppbesvarelse, med margnotater om hva som gir uttelling.

a) Utvidelsen og skissen. (~5 min)

Halvperioden er $L=\pi$ , så perioden blir $2\pi$ . Den odde utvidelsen er
$g(x) = \begin{cases} \pi-x, & 0<x<\pi \\ -\left(\pi-(-x)\right) = -\pi-x, & -\pi<x<0,\end{cases}$
gjentatt med periode $2\pi$ .

Sjekk at den faktisk er odde: $g(-x) = -\pi-(-x) = -\pi+x = -(\pi-x) = -g(x)$ for $0<x<\pi$ . Stemmer.

Skissen er en sagtann som faller fra $\pi$ til $-\pi$ over hver periode, med sprang i $x = 0, \pm2\pi$ og springhøyde $2\pi$ . I $x=\pm\pi$ er den derimot kontinuerlig, med verdien 0. (Figuren under.)

Uttelling her: de fem poengene ligger i (i) at utvidelsen er skrevet ned som formel, (ii) at minst tre perioder er tegnet, og (iii) at sprangene er markert. En skisse av bare én periode gir sjelden mer enn halve uttellingen.

b) Rekka. (~10 min)

$g$ er odde, så $a_0 = 0$ og $a_n = 0$ for alle $n$ . Bare sinusleddene gjenstår, og vi kan bruke den halverte formelen:
$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi-x)\sin nx\,dx = 2\int_0^{\pi}\sin nx\,dx - \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin nx\,dx.$

Første integral:
$2\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2\left(1-(-1)^n\right)}{n}.$

Andre integral, fra reduksjonsformelen på det utdelte formelarket med $a=n$ :
$\int x\sin nx\,dx = -\frac{x\cos nx}{n}+\frac{\sin nx}{n^2}.$
I $x=\pi$ er $\sin n\pi=0$ , så bare første ledd bidrar: $\displaystyle -\frac{\pi(-1)^n}{n}$ . I $x=0$ er alt null. Ganget med $\displaystyle -\frac{2}{\pi}$ blir bidraget $\displaystyle +\frac{2(-1)^n}{n}$ .

Til sammen:
$b_n = \frac{2\left(1-(-1)^n\right)}{n}+\frac{2(-1)^n}{n} = \frac{2-2(-1)^n+2(-1)^n}{n} = \frac{2}{n}.$

Alle $n$ bidrar, og koeffisientene er så enkle som de kan bli:
$g(x) = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n} = 2\left(\sin x + \frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+\cdots\right).$

Uttelling her: de ti poengene fordeler seg omtrent slik — 2 for begrunnet symmetri, 5 for korrekt utregnede integraler med tabelloppslaget markert, 3 for ferdig oppskrevet rekke. Skriv «fra formelarket» der du slår opp; det er en handling som skal synes.

c) Konvergensverdier. (~4 min)

- $x=0$ : her har $g$ et sprang. Høyregrensen er $g(0^+) = \pi$ , venstregrensen er $g(0^-) = -\pi$ . Etter konvergensteoremet gir rekka
$\frac{\pi+(-\pi)}{2} = 0.$
Ikke $\pi$ . Det stemmer også direkte: hvert ledd $\sin(n\cdot 0)$ er null.
- $x=\pi/2$ : her er $g$ kontinuerlig med verdien $\pi - \pi/2 = \pi/2$ . Rekka gir $\pi/2$ .
- $x=\pi$ : venstregrensen er $g(\pi^-) = 0$ . Fra høyre kommer neste periode, som starter der $g$ starter i $-\pi$ : $g(\pi^+) = g(-\pi^+) = -\pi-(-\pi) = 0$ . Utvidelsen er altså kontinuerlig i $x=\pi$ med verdien 0, og rekka gir 0 (som den må, siden $\sin n\pi = 0$ ).

Uttelling her: poengene ligger i begrunnelsen, ikke i tallet. For hvert punkt: si om utvidelsen er kontinuerlig, og hvis ikke, skriv begge ensidige grenser før du midler. Tre riktige tall uten begrunnelse gir typisk halv uttelling.

d) Tallrekkesummen. (~5 min)

Velg $x = \pi/2$ . Der er utvidelsen kontinuerlig, så rekka gir funksjonsverdien $\pi/2$ :
$\frac{\pi}{2} = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\left(n\pi/2\right)}{n}.$
Nå er $\displaystyle \sin\frac{n\pi}{2}$ lik 0 for like $n$ , og lik $(-1)^m$ for $n=2m+1$ . Bare de odde leddene overlever:
$\frac{\pi}{2} = 2\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2m+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2m+1} = \frac{\pi}{4},$
som var det vi skulle vise. $\blacksquare$

Kontroll: $1-\tfrac13+\tfrac15-\tfrac17+\tfrac19 = 0{,}8349$ , og $\pi/4 = 0{,}7854$ . Rekka alternerer rundt riktig verdi og konvergerer sakte. Stemmer.

Uttelling her: to ting kreves. Kontinuitetssjekken i punktet du velger (én setning), og at du løser for summen til slutt. Å stanse ved likningen er et halvt svar.

Denne summen har du sett før — den ble utledet fra en helt annen funksjon i kap. 3.2. Det er ikke tilfeldig: de fire standardsummene $\pi^2/6$ , $\pi^2/8$ , $\pi^2/12$ og $\pi/4$ dukker opp igjen og igjen, fra ulike funksjoner. Kjenner du dem igjen, vet du raskt om svaret ditt er plausibelt.

Tidsregnskap: 5 + 10 + 4 + 5 = 24 minutter, mot 25 deklarert. Det ekstra minuttet er kontrollregningen — legg den inn i budsjettet, den betaler seg.

— naturlig pausepunkt (~20 min brukt) —

Du har oppskriften og ett fullt gjennomregnet case. Resten av kapitlet er ren trening, delt i tre bolker. Ta gjerne én bolk per økt.

Bolk 1 — Reell rekke på $[-L,L]$ (~22 min, oppgave 1–4)

Fire oppgaver på grunnvarianten: funksjonen er gitt på hele intervallet, og symmetrien avgjør hva du slipper å regne.

📝Oppgave 1

La $f(x) = 3$ for $-2<x<0$ og $f(x) = -3$ for $0<x<2$ , med periode 4.

a) Avgjør pariteten og si hvilke koeffisienter som er null.
b) Finn rekka.

📝Oppgave 2

La $f(x) = |x|$ på $[-2,2]$ , periode 4.

a) Finn rekka.
b) Sammenlikn fallhastigheten til koeffisientene med den i oppgave 1, og forklar forskjellen.

📝Oppgave 3

La $f(x) = x$ på $[-3,3]$ , periode 6.

a) Finn rekka.
b) Hva gir rekka i $x=3$ ? Begrunn på to måter: med konvergensteoremet, og direkte fra formelen.

📝Oppgave 4

Finn Fourier-rekka til

f(x)=|\sin x|

på

[-\pi,\pi]

, periode

2\pi

, og bruk den til å vise at

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{4m^2-1} = \frac12.$

Vær oppmerksom på at formelen for $a_n$ har en nevner som kan bli null.

— naturlig pausepunkt (~42 min brukt) —

Bolk 1 er unnagjort. Neste bolk er halvintervall-utvidelser og konvergens — den varianten som oftest står som delpunkt (a) og (b) på eksamen.

Bolk 2 — Halvintervall, skisse og konvergens (~22 min, oppgave 5–8)

📝Oppgave 5

En funksjon er gitt ved $f(x) = 3-x$ på $[0,3]$ .

a) Finn sinusrekka (odde utvidelse, periode 6).
b) Finn cosinusrekka (like utvidelse, periode 6).
c) Hvilken av de to konvergerer raskest, og hvorfor?

📝Oppgave 6

La $f(x) = \cos x$ på $[0,\pi/2]$ , utvidet odde med periode $\pi$ .

a) Finn sinusrekka.
b) Hva konvergerer rekka mot i $x=0$ og i $x=\pi/4$ ?

📝Oppgave 7

La $f(x) = x$ på $[0,2]$ , utvidet like med periode 4.

a) Finn cosinusrekka.
b) Skissér den periodiske utvidelsen i ord: hvor er knekkene, og hvor er eventuelle sprang?
c) Bruk $x=0$ til å bestemme $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^2}$ .

📝Oppgave 8

En periodisk funksjon med periode 4 er gitt ved

$f(x) = \begin{cases} 0, & -2<x<0 \\ x, & \;\;\,0<x<2.\end{cases}$

a) Finn Fourier-rekka. (Merk: funksjonen er verken like eller odde.)
b) Hva gir rekka i $x=0$ og i $x=2$ ?
c) Vis at rekka i $x=0$ gir samme tallrekkesum som oppgave 7c.

— naturlig pausepunkt (~64 min brukt) —

Siste bolk: kompleks form og de sammensatte oppgavene der flere delpunkt henger sammen.

Bolk 3 — Kompleks form og sammensatte oppgaver (~21 min, oppgave 9–12)

📝Oppgave 9

D, kompleks form

Finn den komplekse Fourier-rekka til $f(x)=e^{2x}$ på $[-\pi,\pi]$ , periode $2\pi$ , og utled $a_n$ og $b_n$ fra $c_n$ .

📝Oppgave 10

Finn Fourier-rekka til $f(x)=x^2$ på $[-1,1]$ , periode 2, og bruk den til å bestemme både $\displaystyle \sum_{n\ge1}\frac{1}{n^2}$ og $\displaystyle \sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ .

📝Oppgave 11

2\pi

-periodisk funksjon har komplekse Fourier-koeffisienter

$c_0 = 2, \qquad c_n = \frac{i(-1)^n}{n} \ \ (n \ne 0).$

a) Avgjør om funksjonen er reell, og om den er like eller odde.
b) Finn $a_n$ og $b_n$ .
c) Identifiser funksjonen ved å sammenlikne med kjente rekker fra kap. 3.1.
d) Hva gir rekka i $x=\pi$ ?

📝Oppgave 12

En funksjon er gitt ved $f(x) = 2-x$ for $0 \le x \le 2$ .

a) Utvid $f$ til en like funksjon med periode 4, og finn cosinusrekka. (10 poeng)
b) Angi hva rekka konvergerer mot i $x=0$ , $x=2$ og $x=3$ . (5 poeng)
c) Bruk et passende punkt til å bestemme $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^2}$ . (5 poeng)
d) Anslå, uten å regne, hvor raskt koeffisientene faller, og begrunn anslaget. (3 poeng)

Typiske feil

Å hoppe over paritetssjekken. Det tar tjue sekunder og sparer et helt integral. Skriv setningen — den gir uttelling i seg selv, og den forhindrer at du regner ut noe som er null.

Feil halvperiode. $L$ er halve perioden. Er funksjonen gitt på $[-3,3]$ , er $L=3$ og perioden 6. Er den gitt på $[0,\pi/2]$ med periode $\pi$ , er $L=\pi/2$ . Bommer du her, blir alle argumenter feil på én gang — og ingen kontroll i etterkant vil se riktig ut.

Feil $a$ i reduksjonsformelen. Argumentet er $\displaystyle \frac{n\pi x}{L}$ , altså $\displaystyle a = \frac{n\pi}{L}$ . For $L=2$ blir $\displaystyle a^2 = \frac{n^2\pi^2}{4}$ , og det er en faktor 4 som forsvinner lett.

Faktoren $2/L$ brukt der den ikke hører hjemme. Den doble faktoren kommer fra symmetri, ikke fra at funksjonen tilfeldigvis er null på halve intervallet. Er $f$ null på $[-L,0]$ uten å være odde eller like, er faktoren fortsatt $1/L$ .

Funksjonsverdi i stedet for midling. I et sprang gir rekka $\tfrac12\left(f(x^+)+f(x^-)\right)$ . Dette er den hyppigste enkeltfeilen i sjangeren, og den koster et helt delpunkt.

Knekk forvekslet med sprang. Et hjørne er ikke et hopp. I et knekkpunkt gir rekka funksjonsverdien, uten midling.

Å stoppe før tallrekkesummen er isolert. Delpunkt (c) er ikke besvart før summen står alene på én side av likhetstegnet.

Å glemme spesialtilfellet når en nevner kan bli null. Får du $a_n$ med $n^2-1$ eller liknende i nevneren, må $n=1$ regnes ut for seg (oppgave 4).

Å ikke kontrollere. Sett inn ett bekvemt $x$ , og sjekk fallhastigheten mot tommelfingerregelen. To minutter, og de fanger de fleste feil.

Oppskriftskort til A5-arket

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Kortene under er drillkapitlets kondensat: det du bør ha på ditt eget håndskrevne A5-ark, eller i hodet. De erstatter ikke kapitlene — de er huskelappen etter at du har forstått.

Oppskrift: Fourier-rekke i sju steg

L

Kort: symmetriregelen på ett blikk

f \text{ odde} \ \Rightarrow\ a_0 = a_n = 0, \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.

Kort: de to halvintervall-utvidelsene

f

Odde utvidelse	Like utvidelse
Speiling	gjennom origo	om $y$ -aksen
Rekke	ren sinus	ren cosinus
Null i $x=0,L$	automatisk	nei
Derivert null i $x=0$	nei	automatisk
Sprang i $x=0$	ja, hvis $f(0)\ne0$	aldri

Kort: reduksjonsformlene og riktig

a

\displaystyle a = \frac{n\pi}{L}

Kort: midling i sprang

\text{rekka}(x_0) = \frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}.

Kort: tallrekkesum ved innsetting

x=0

Kort: den komplekse rekka og broen

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\pi x/L}, \qquad c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}fe^{-in\pi x/L}\,dx.

Kort: fallhastighet som plausibilitetssjekk

1/n

Utvidelsen er …	Koeffisientene faller som
med sprang	$1/n$
kontinuerlig med knekk	$1/n^2$
kontinuerlig med kontinuerlig derivert	$1/n^3$ eller raskere

Kort: de fire standardsummene

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12},

Kort: kontrollrutinen før du leverer

L

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.