3.2 Halvintervall-utvidelser, konvergens og midling

Intervallet en oppgave gir funksjonen på når den ikke gir deg noe å jobbe med på den negative siden.

Tallet $L$ blir halvperioden i den ferdige rekka, så den periodiske utvidelsen får periode $2L$. Er $f$ gitt på $[0,1]$, blir perioden 2; er den gitt på $[0,\pi]$, blir perioden $2\pi$.

$$f_{\text{like}}(x) = \begin{cases} f(x), & 0 \le x \le L \\ f(-x), & -L \le x < 0\end{cases}$$

og gjenta med periode $2L$. Resultatet er en like funksjon, så rekka blir en ren cosinusrekke.

Kjennetegn på figuren: kurven er speilsymmetrisk om $y$-aksen, og den har typisk en knekk (ikke sprang) i $x=0$.

$$f_{\text{odde}}(x) = \begin{cases} f(x), & 0 < x \le L \\ -f(-x), & -L \le x < 0\end{cases}$$

og gjenta med periode $2L$. Resultatet er en odde funksjon, så rekka blir en ren sinusrekke.

Kjennetegn på figuren: kurven er punktsymmetrisk om origo, og den får et sprang i $x=0$ med mindre $f(0)=0$.

$$\tilde f(x) = f(x - 2Lk) \quad\text{der } k \text{ er valgt slik at } x-2Lk \text{ ligger i grunnintervallet}.$$

Det er $\tilde f$, ikke $f$, Fourier-rekka faktisk beskriver. Alle spørsmål om konvergens handler om $\tilde f$ — og det er derfor du må tegne den før du svarer.

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{n\pi x}{L}, \qquad a_0 = \frac1L\int_0^L f\,dx, \quad a_n = \frac{2}{L}\int_0^L f\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

Legg merke til at alle integralene går fra 0 til $L$ — du trenger aldri se på den negative siden. Utvidelsen er en tankekonstruksjon som lar deg bruke apparatet; regningen skjer der funksjonen faktisk er gitt.

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

Rekka er automatisk null i $x=0$ og i $x=L$, uansett koeffisienter. Det er nettopp derfor den passer til en streng som er festet i begge ender.

$$f(x_0^+) = \lim_{h\to 0,\; h>0} f(x_0+h).$$

For firkantbølgen som er $-1$ til venstre og $1$ til høyre for null, er $f(0^+) = 1$.

$$f(x_0^-) = \lim_{h\to 0,\; h>0} f(x_0-h).$$

For samme firkantbølge er $f(0^-) = -1$. Merk at ingen av de to grensene trenger å være lik $f(x_0)$ — funksjonen kan til og med være udefinert i punktet.

$$f(x_0^+) \ne f(x_0^-).$$

Dette er den eneste typen diskontinuitet du møter i dette emnet. En pol (som i $1/x$) er ikke et sprang, og Fourier-teorien under gjelder ikke der.

$$f(x_0^+) - f(x_0^-).$$

For firkantbølgen er springhøyden $1-(-1) = 2$. Tallet brukes både til å beskrive Gibbs-oversvinget og til å anslå hvor sakte koeffisientene faller.

$$\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}.$$

Dette er verdien Fourier-rekka konvergerer mot i et sprang — uansett hva $f(x_0)$ måtte være definert som. For firkantbølgen i $x=0$ er midlingsverdien $\tfrac12(1+(-1)) = 0$, og rekka gir 0 der, selv om funksjonen aldri tar verdien 0.

Å skrive funksjonsverdien i stedet for midlingsverdien er den hyppigste enkeltfeilen i hele Fourier-blokken.

Kravene som må være oppfylt for at konvergensteoremet skal gjelde: funksjonen skal være periodisk og stykkevis glatt, altså ha endelig mange sprang per periode, endelige ensidige grenser i hvert av dem, og en derivert som også er stykkevis kontinuerlig.

Alle funksjonene i dette emnet — polynomer, firkantpulser, sagtenner, stykkevis lineære laster — oppfyller betingelsene. Det du skal kunne, er å si at de gjør det når du bruker teoremet.

$$\frac{f(L^-)+f(-L^+)}{2}.$$

For en odde utvidelse blir dette $\tfrac12\left(f(L^-) - f(L^-)\right) = 0$ når $f(L)\ne0$ — sinusrekka er jo null i $x=L$ uansett. For en like utvidelse blir det $f(L)$, siden nivåene møtes.

At delsummene $S_N$ skyter over målet like ved et sprang, og at oversvinget ikke blir mindre når $N$ vokser — det klemmes bare nærmere inn mot sprangpunktet.

Fenomenet er ikke en regnefeil og ikke et tegn på at noe er galt. Det er en egenskap ved punktvis konvergens: i hvert fast punkt går delsummen mot riktig verdi, men det punktet der delsummen er verst, flytter seg innover etter hvert som $N$ vokser.

$$\text{oversving} \longrightarrow 8{,}95\ \%\ \text{av springhøyden}.$$

For firkantbølgen med springhøyde 2 betyr det at delsummene topper seg rundt $1{,}179$ i stedet for 1. Tallet er det samme for alle sprang i alle funksjoner — det er en universell konstant knyttet til fenomenet, ikke til den enkelte funksjonen.

De tre nyttigste valgene:

$$x=0: \quad \cos\frac{n\pi\cdot 0}{L} = 1, \quad \sin\frac{n\pi\cdot 0}{L} = 0.$$
$$x=L: \quad \cos n\pi = (-1)^n, \quad \sin n\pi = 0.$$
$$x=\frac{L}{2}: \quad \cos\frac{n\pi}{2},\ \sin\frac{n\pi}{2} \text{ veksler mellom } 0, \pm1.$$

Betingelsen som må sjekkes: den periodiske utvidelsen må være kontinuerlig i punktet du velger. Er den ikke det, gir rekka midlingsverdien, og du må bruke den i stedet for funksjonsverdien — noe som ofte er like nyttig, men som må sies.

Et punkt der funksjonen er kontinuerlig, men den deriverte hopper — kurven har et hjørne. Trekantbølgen har knekk i alle heltall; $|x|$ har knekk i null.

Knekk er ikke sprang. I et knekkpunkt gir Fourier-rekka funksjonsverdien, akkurat som i et hvilket som helst annet kontinuitetspunkt, og det er ingen midling å gjøre. Forvekslingen av knekk og sprang er en vanlig kilde til feil svar på delpunkt (c).

At rekka konvergerer i hvert enkelt punkt for seg: for hver fast $x$ går delsummen $S_N(x)$ mot en grenseverdi når $N\to\infty$.

Dette er svakere enn å si at kurven $S_N$ som helhet nærmer seg kurven til $f$. Gibbs-fenomenet er nettopp forskjellen mellom de to: i hvert fast punkt konvergerer delsummen fint, men det verste avviket forsvinner ikke — det flytter seg.