4.1 Fourier-transformen — tabell, derivasjons- og konvolusjonsregel

Fourier-transformen $f̂(\omega)$, tabellen på formelarket og reglene som gjør at man sjelden integrerer fra bunn: derivasjon og konvolusjon.

60 min

13 oppgaver

Fourier-transformentabellderivasjons-konvolusjonsregel

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Fourier-transformen står på 10 av 13 gjennomgåtte sett — 77 %. Den opptrer i to former: som ren utregning av en transform, og som verktøy for å løse en integrallikning. Begge deler dekkes her.

Oppgavetypen kalles sjanger E i denne boka. Boka bruker bokstavene $A$ til $S$ som korte navn på de nitten oppgavetypene som går igjen på settene; E er Fourier-transform-utregning. Sjanger F, som bruker transformen på en partiell differensiallikning, er tema i kap. 4.2, og sjanger R, den diskrete transformen, i kap. 4.3.

Prioriteten er høy — like under de fire søylene, men høyt nok til at kapitlet må sitte.

Det avgjørende her er ikke å integrere, men å slå opp riktig og bruke reglene. Fire transformpar står ferdig på det utdelte formelarket, og tre regler — linearitet, derivasjon og konvolusjon — gjør at nesten alle oppgaver kan løses uten et eneste integral fra bunn.

Formelark-merking. Transformtabellen står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Det gjelder Gauss-paret, $e^{-a|x|}$ , $1/(x^2+a^2)$ og boksfunksjonen. Derimot må kunnes: derivasjonsregelen, konvolusjonsteoremet med sin $\sqrt{2\pi}$ -faktor, og hele manøvren i en integrallikning — gjenkjenn konvolusjonen, transformer til et produkt, løs for $\hat{f}$ , og transformer tilbake.

Én ting til om konvensjonen. Det finnes flere måter å normere Fourier-transformen på. Denne boka bruker den samme som det utdelte arket, med $1/\sqrt{2\pi}$ begge veier. Hold den konsekvent gjennom hele besvarelsen; blander du konvensjoner, får du feil faktorer, og det ser ut som regnefeil selv om metoden er riktig.

Tidsbruk: 60 minutter lesetid, fire løkker med pausepunkt etter løkke 2.

Forkunnskaper: kap. 3.3 — den komplekse Fourier-rekka, koeffisienten

c_n

og konjugert symmetri. Og kap. 1.1 for Eulers formel og regning med komplekse tall.

Fra tidligere matematikkemner forutsettes: uegentlig integral over hele tallinja, delvis integrasjon, og at du kan integrere $e^{kx}$ . Gauss-integralet $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ brukes noen ganger; det er verdt å kjenne, men det står også på arket.

Sist du var her — den ene formelen fra kap. 3.3 som alt bygger på:

$c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-in\pi x/L}\,dx.$

Legg merke til strukturen: gang funksjonen med en kompleks eksponential med minus i eksponenten, og integrer. Fourier-transformen er nøyaktig det samme, med integralet over hele $\mathbb{R}$ og en kontinuerlig frekvens i stedet for et heltall.

Kapitlet er forutsetning for kap. 4.2 og kap. 4.3.

Når signalet ikke gjentar seg

En Fourier-rekke krever at funksjonen er periodisk. Men et lydsignal fra en dør som smeller, et jordskjelvutslag eller en temperaturpuls som brer seg langs en stav gjentar seg ikke — de skjer én gang og dør ut.

Tenk deg likevel at du lar perioden vokse. Med $L=10$ ligger frekvensene i rekka tett; med $L=100$ ligger de tettere; med $L\to\infty$ smelter de sammen til et kontinuum. Summen over $n$ blir et integral over en kontinuerlig variabel $\omega$ , og koeffisientfølgen $c_n$ blir en funksjon $\hat{f}(\omega)$ .

Det er hele ideen. Fourier-transformen er Fourier-rekka for funksjoner som ikke gjentar seg, og den gjør nøyaktig det samme: den svarer på spørsmålet «hvor mye av hver frekvens ligger i dette signalet?»

For eksamen er nytten helt konkret. Transformen gjør derivasjon til multiplikasjon — $f'$ blir til $i\omega\hat{f}$ — og den gjør konvolusjon til produkt. Begge deler forvandler vanskelige problemer til enkle. En partiell differensiallikning i to variable blir til en ordinær differensiallikning i én (kap. 4.2), og en integrallikning blir til en helt vanlig likning du kan løse med algebra.

Kapitlet gjør fire ting: definerer transformen med arkets konvensjon, går gjennom de fire tabellparene, tar derivasjonsregelen, og avslutter med konvolusjon og en integrallikning på eksamensnivå.

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene er samtidig kortene i flashcard-bunken. Tidsanslaget på 60 minutter gjelder kjernestoffet.

Løkke 1 — Definisjonen og konvensjonen (~14 min)

Overgangen fra Fourier-rekke til Fourier-transform

L

Fourier-transformen

\hat{f}(\omega)

\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.

Den inverse Fourier-transformen

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.

Normeringskonvensjonen

2\pi

Vinkelfrekvensen

\omega

|\omega|

Tidsdomene og frekvensdomene

f(x)

Absolutt integrerbar funksjon

\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,dx < \infty.

Linearitet av transformen

\widehat{\alpha f+\beta g}(\omega) = \alpha\hat{f}(\omega)+\beta\hat{g}(\omega)

✏️Boksfunksjonen regnet ut fra bunn

La $f(x) = 1$ for $|x|<a$ og $f(x)=0$ ellers, der $a>0$ . Finn $\hat{f}(\omega)$ direkte fra definisjonen, og sammenlikn med raden på formelarket.

Sett opp integralet. Funksjonen er null utenfor

[-a,a]

, så

\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-a}^{a}e^{-i\omega x}\,dx.

Regn ut for $\omega\ne0$ .
$\int_{-a}^{a}e^{-i\omega x}\,dx = \left[\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}\right]_{-a}^{a} = \frac{e^{-i\omega a}-e^{i\omega a}}{-i\omega} = \frac{e^{i\omega a}-e^{-i\omega a}}{i\omega}.$
Etter Eulers formel er $e^{i\theta}-e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$ , så telleren er $2i\sin(\omega a)$ og
$\int_{-a}^{a}e^{-i\omega x}\,dx = \frac{2i\sin(\omega a)}{i\omega} = \frac{2\sin(\omega a)}{\omega}.$
Altså
$\hat{f}(\omega) = \frac{2\sin(\omega a)}{\sqrt{2\pi}\,\omega} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\frac{\sin(a\omega)}{\omega}.$

(Regnestykket $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2\pi}} = \sqrt{\frac{4}{2\pi}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$ er verdt å gjøre én gang og huske formen på.)

Tilfellet $\omega=0$ . Da er integranden konstant lik 1, og $\displaystyle \hat{f}(0) = \frac{2a}{\sqrt{2\pi}} = a\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ . Det stemmer med grensen av uttrykket over, siden $\displaystyle \frac{\sin(a\omega)}{\omega}\to a$ når $\omega\to0$ . Funksjonen har altså ingen singularitet i null, selv om formelen ser slik ut.

Sammenlikning med arket. Dette er nøyaktig raden
$\mathbf{1}_{|x|<a} \ \longleftrightarrow\ \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{\sin(a\omega)}{\omega},$
som står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. På eksamen skal du ikke gjøre denne regningen; du skal kjenne igjen boksen og lese av raden. Men å ha gjort den én gang er det som gjør at du husker hvor faktorene kommer fra.

Legg merke til én ting til. Boksen er skarpt avgrenset i $x$ , men transformen strekker seg ut over hele $\omega$ -aksen og dør bare ut som $1/\omega$ . Skarpe kanter koster bredt frekvensinnhold — samme prinsipp som at et sprang i en Fourier-rekke gir koeffisienter som faller som $1/n$ .

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — rent tabelloppslag.) Bruk Gauss-raden på formelarket,

$e^{-ax^2} \ \longleftrightarrow\ \frac{1}{\sqrt{2a}}\,e^{-\omega^2/(4a)},$

til å skrive opp transformen av:

a) $f(x) = e^{-3x^2}$
b) $f(x) = e^{-x^2/2}$
c) $f(x) = 5e^{-x^2}$

Løkke 2 — De fire tabellparene og de tre strukturreglene (~16 min)

Dette er kapitlets viktigste side. Fire par og tre regler dekker alt du blir bedt om å transformere på eksamen.

Gauss-paret

e^{-ax^2} \ \longleftrightarrow\ \frac{1}{\sqrt{2a}}\,e^{-\omega^2/(4a)}, \qquad a>0.

Paret

e^{-a|x|}

e^{-a|x|} \ \longleftrightarrow\ \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{a}{a^2+\omega^2}, \qquad a>0.

Paret

1/(x^2+a^2)

\frac{1}{x^2+a^2} \ \longleftrightarrow\ \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\frac{e^{-a|\omega|}}{a}, \qquad a>0.

Boksfunksjonen og dens transform

\mathbf{1}_{|x|<a} \ \longleftrightarrow\ \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{\sin(a\omega)}{\omega}, \qquad a>0,

Forskyvningsregelen i

x

\widehat{f(x-b)}(\omega) = e^{-i b\omega}\,\hat{f}(\omega).

Skaleringsregelen

x

Regelen for multiplikasjon med

x

x

✏️To tabelloppslag med riktig $a$

Bruk formelarket til å finne transformen av

a) $f(x) = e^{-2|x|}$
b) $g(x) = \dfrac{1}{x^2+4}$

og forklar hvordan de to radene henger sammen.

a) Sammenlikn med raden

e^{-a|x|}\leftrightarrow\sqrt{\tfrac2\pi}\,\tfrac{a}{a^2+\omega^2}

. Her er

a=2

\hat{f}(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\frac{2}{4+\omega^2} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi\left(4+\omega^2\right)}.

Kontroll i $\omega=0$ : formelen gir $\sqrt{2/\pi}\cdot\tfrac12 \approx 0{,}3989$ . Direkte: $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2|x|}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot 2\cdot\frac12 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989$ . Stemmer.

b) Sammenlikn med raden $\displaystyle \frac{1}{x^2+a^2}\leftrightarrow\sqrt{\tfrac\pi2}\,\tfrac{e^{-a|\omega|}}{a}$ . Her er $a^2 = 4$ , altså $a=2$ :
$\hat{g}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{e^{-2|\omega|}}{2}.$

Kontroll i $\omega=0$ : formelen gir $\tfrac12\sqrt{\pi/2}\approx 0{,}6267$ . Direkte: $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\frac{dx}{x^2+4} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{\pi}{2} \approx 0{,}6267$ . Stemmer.

Hvordan radene henger sammen. Se på formene: den første tar en funksjon med knekk i $x$ til en funksjon som dør ut som $1/\omega^2$ ; den andre tar en funksjon som dør ut som $1/x^2$ til en funksjon med knekk i $\omega$ . Det er samme par lest i hver sin retning.

Grunnen er symmetrien i konvensjonen: transformen og den inverse transformen har samme faktor og bare motsatt fortegn i eksponenten. Derfor gjelder dualiteten at hvis $f\leftrightarrow\hat{f}$ , så er $\hat{f}(x)$ transformen av $f(-\omega)$ , opp til konstanter. Praktisk nytte: trenger du en transform som ikke står i tabellen, sjekk om den inverse står der.

Den vanligste feilen i denne oppgavetypen er å blande de to radene — å behandle $e^{-a|x|}$ som om den var $e^{-ax^2}$ . Se etter: står $x$ i absoluttverdi eller i andre potens? Det avgjør hvilken rad du skal på.

📝Oppgave 2

Bruk formelarket til å finne transformen av

a) boksfunksjonen som er 1 på $(-2,2)$ og 0 ellers,
b) $f(x) = e^{-|x|}$ ,
c) $f(x) = \dfrac{3}{x^2+1}$ .

📝Oppgave 3

Finn transformen av $f(x) = e^{-(x-3)^2}$ ved å kombinere Gauss-raden med forskyvningsregelen, og kontroller resultatet i $\omega=0$ .

— naturlig pausepunkt (~30 min brukt) —

Du har definisjonen, de fire tabellparene og tre strukturregler. Resten av kapitlet er de to reglene som gjør transformen til et regneverktøy: derivasjon og konvolusjon.

Løkke 3 — Derivasjonsregelen (~14 min)

Dette er den ene regelen som forklarer hvorfor Fourier-transformen løser differensiallikninger i det hele tatt.

📜Derivasjonsregelen

f

være deriverbar og absolutt integrerbar, med

f(x)\to0

når

|x|\to\infty

. Da er

$\widehat{f'}(\omega) = i\omega\,\hat{f}(\omega).$

Bevis. Bruk delvis integrasjon på definisjonsintegralet, med $u = e^{-i\omega x}$ og $dv = f'(x)dx$ :
$\widehat{f'}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f'(x)e^{-i\omega x}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\Big[f(x)e^{-i\omega x}\Big]_{-\infty}^{\infty} + i\omega\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx\right).$
Randleddet forsvinner fordi $f\to0$ og $\left|e^{-i\omega x}\right|=1$ . Det som står igjen, er $i\omega\hat{f}(\omega)$ . $\blacksquare$

Intuisjon: en ren svingning $e^{i\omega x}$ blir ganget med $i\omega$ når den deriveres. Transformen bryter funksjonen opp i slike svingninger, og da må derivasjon bli til multiplikasjon med $i\omega$ på hver av dem.

Regelen må kunnes — den står ikke på formelarket. Den er selve grunnen til at en partiell differensiallikning blir til en ordinær differensiallikning i kap. 4.2.

Andrederivert-regelen

\widehat{f''}(\omega) = i\omega\,\widehat{f'}(\omega) = (i\omega)^2\hat{f}(\omega) = -\omega^2\,\hat{f}(\omega).

✏️Gauss-raden utledet med derivasjonsregelen

Gauss-paret står på formelarket, men det er lærerikt å se hvor det kommer fra. Utled $\hat{f}$ for $f(x)=e^{-x^2}$ ved å bruke at $f$ tilfredsstiller differensiallikningen $f'(x) = -2x f(x)$ .

Steg 1 — transformer likningen. Venstre side, etter derivasjonsregelen:

\widehat{f'}(\omega) = i\omega\,\hat{f}(\omega).

Høyre side, etter regelen for multiplikasjon med $x$ :

\widehat{-2xf}(\omega) = -2\cdot i\,\frac{d\hat{f}}{d\omega} = -2i\,\hat{f}'(\omega).

Likningen $f' = -2xf$ blir dermed til
$i\omega\hat{f}(\omega) = -2i\,\hat{f}'(\omega).$

Steg 2 — løs ODE-en i $\omega$ . Del på $-2i$ :
$\hat{f}'(\omega) = -\frac{\omega}{2}\,\hat{f}(\omega).$
Dette er en separabel førsteordens likning med løsning
$\hat{f}(\omega) = C\,e^{-\omega^2/4}.$

Steg 3 — bestem konstanten. Sett $\omega=0$ i definisjonen:
$C = \hat{f}(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt\pi}{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt2},$
der vi brukte Gauss-integralet $\int e^{-x^2}dx = \sqrt\pi$ .

Resultat.
$\widehat{e^{-x^2}}(\omega) = \frac{1}{\sqrt2}\,e^{-\omega^2/4}.$
Det er nøyaktig Gauss-raden på arket med $a=1$ . Stemmer.

Hva du skal ta med deg. Ikke selve utledningen — den står på arket. Men mønsteret: en likning i $x$ -domenet ble til en likning i $\omega$ -domenet, og den var enklere. Nøyaktig det samme grepet, med to variable i stedet for én, er hele kap. 4.2.

Legg også merke til at Gauss-funksjonen er nesten sin egen transform. For $a=\tfrac12$ , altså $f(x)=e^{-x^2/2}$ , blir $\hat{f}(\omega) = e^{-\omega^2/2}$ — eksakt samme funksjon. Det er den symmetriske konvensjonen som gjør dette mulig.

📝Oppgave 4

Finn transformen av $f(x) = x\,e^{-x^2}$ på to måter:

a) med regelen for multiplikasjon med $x$ ,
b) ved å skrive $f$ som en konstant ganger den deriverte av noe kjent.

📝Oppgave 5

La $f$ ha transform $\hat{f}(\omega)$ . Skriv opp transformen av hvert av uttrykkene, uttrykt ved $\hat{f}$ :

a) $f''(x)$
b) $f(x-5)$
c) $f(2x)$
d) $f'(x) + 4f(x)$
e) $f(x-1) - f(x+1)$

Løkke 4 — Konvolusjon og integrallikninger (~16 min)

Nå kommer sjangerens andre halvdel: oppgaven der en ukjent funksjon står inne i et integral, og transformen løser det opp.

Konvolusjonen

(f*g)

(f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,g(x-t)\,dt.

Konvolusjonens regneregler

f*g = g*f, \qquad f*(g+h) = f*g+f*h, \qquad (f*g)*h = f*(g*h).

📜Konvolusjonsteoremet

For funksjoner der begge transformene finnes:

$\widehat{f*g}(\omega) = \sqrt{2\pi}\,\hat{f}(\omega)\,\hat{g}(\omega).$

Konvolusjon i det ene domenet er produkt i det andre.

Bevis (skisse). Sett inn definisjonen og bytt om integrasjonsrekkefølgen:
$\widehat{f*g}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\!\!\int f(t)g(x-t)e^{-i\omega x}\,dt\,dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(t)\left(\int g(x-t)e^{-i\omega x}\,dx\right)dt.$
Det indre integralet er, etter forskyvningsregelen, lik $e^{-i\omega t}\sqrt{2\pi}\,\hat{g}(\omega)$ . Satt inn:
$\widehat{f*g}(\omega) = \hat{g}(\omega)\int f(t)e^{-i\omega t}\,dt = \hat{g}(\omega)\cdot\sqrt{2\pi}\,\hat{f}(\omega). \qquad \blacksquare$

Faktoren $\sqrt{2\pi}$ hører til denne konvensjonen og er ikke universell. Den må kunnes — teoremet står ikke på formelarket. Å glemme faktoren er den vanligste feilen i sjangeren, og den gir et svar som er riktig opp til en konstant, altså feil.

Navnet skal bæres i besvarelsen: «etter konvolusjonsteoremet er $\widehat{f*g} = \sqrt{2\pi}\,\hat f\,\hat g$ ».

Integrallikning av konvolusjonstype

\int_{-\infty}^{\infty}g(x-t)\,f(t)\,dt = h(x),

Symmetriregler for transformen

f

Amplitudespekteret

\lvert\hat{f}(\omega)\rvert

\omega

Avtaking for store

\omega

f

$f$ er …	$\hat{f}$ dør ut som …
stykkevis konstant med sprang (boks)	$1/\omega$
kontinuerlig med knekk ( $e^{-a\lvert x\rvert}$ )	$1/\omega^2$
glatt ( $e^{-ax^2}$ )	raskere enn enhver potens

✏️Eksamensnivå: en integrallikning løst med Fourier-transform

Løs integrallikningen

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2(x-t)^2}\,f(t)\,dt = e^{-x^2}, \qquad x\in\mathbb{R},

for den ukjente funksjonen

f

Før løsningen som en toppbesvarelse.

Steg 1 — kjenn igjen konvolusjonen. Argumentet i den kjente funksjonen er

x-t

, og integralet går over hele

\mathbb{R}

. Venstre side er altså

(g*f)(x)

med

g(x) = e^{-2x^2}.

Likningen er

g*f = h

med

h(x) = e^{-x^2}

Uttelling her: å skrive setningen «venstre side er konvolusjonen $g*f$ » er et eget poeng. Uten den ser resten av besvarelsen ubegrunnet ut.

Steg 2 — transformer begge sider. Etter konvolusjonsteoremet:
$\sqrt{2\pi}\,\hat{g}(\omega)\,\hat{f}(\omega) = \hat{h}(\omega).$

Fra Gauss-raden på det utdelte formelarket med $a=2$ og $a=1$ :
$\hat{g}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{4}}\,e^{-\omega^2/8} = \frac12 e^{-\omega^2/8}, \qquad \hat{h}(\omega) = \frac{1}{\sqrt2}\,e^{-\omega^2/4}.$

Steg 3 — løs for $\hat{f}$ .
$\hat{f}(\omega) = \frac{\hat{h}(\omega)}{\sqrt{2\pi}\,\hat{g}(\omega)} = \frac{\frac{1}{\sqrt2}e^{-\omega^2/4}}{\sqrt{2\pi}\cdot\frac12 e^{-\omega^2/8}} = \frac{2}{\sqrt2\sqrt{2\pi}}\,e^{-\omega^2/4+\omega^2/8} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\,e^{-\omega^2/8}.$

(Regnestykket på konstanten: $\displaystyle \frac{2}{\sqrt2\cdot\sqrt{2\pi}} = \frac{2}{\sqrt{4\pi}} = \frac{2}{2\sqrt\pi} = \frac{1}{\sqrt\pi}$ . Og eksponenten: $-\tfrac14+\tfrac18 = -\tfrac18$ .)

Steg 4 — transformer tilbake. Vi leter i tabellen etter en rad med $e^{-\omega^2/8}$ på høyresiden. Gauss-raden gir $e^{-\omega^2/(4a)}$ , så $4a = 8$ , altså $a=2$ :
$e^{-2x^2} \ \longleftrightarrow\ \frac{1}{\sqrt{4}}e^{-\omega^2/8} = \frac12 e^{-\omega^2/8}.$
Vår $\hat{f}$ er $\displaystyle \frac{1}{\sqrt\pi}e^{-\omega^2/8} = \frac{2}{\sqrt\pi}\cdot\frac12 e^{-\omega^2/8}$ . Etter lineariteten er derfor
$\boxed{f(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-2x^2}.}$

Kontroll ved innsetting. Sett $f$ tilbake i integralet:
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2(x-t)^2}\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}e^{-2t^2}\,dt = \frac{2}{\sqrt\pi}\int e^{-2\left[(x-t)^2+t^2\right]}dt.$
Fullfør kvadratet i eksponenten: $(x-t)^2+t^2 = 2t^2-2xt+x^2 = 2\left(t-\tfrac{x}{2}\right)^2+\tfrac{x^2}{2}$ . Da er
$= \frac{2}{\sqrt\pi}e^{-x^2}\int e^{-4u^2}\,du = \frac{2}{\sqrt\pi}e^{-x^2}\cdot\frac{\sqrt\pi}{2} = e^{-x^2}.$
Nøyaktig høyresiden. Stemmer.

Uttelling her: kontrollen er ikke påkrevd, men den er billig og den fanger faktorfeil. Rekker du den, ta den med.

De tre stedene folk mister poeng i denne sjangeren:

1. Glemt $\sqrt{2\pi}$ i konvolusjonsteoremet. Svaret blir riktig funksjon med feil konstant.
2. Feil $a$ i Gauss-raden. Er eksponenten $-2x^2$ , er $a=2$ — ikke $\tfrac12$ og ikke $4$ .
3. Stoppet ved $\hat{f}$ . Oppgaven spør etter $f$ , ikke etter transformen. Siste steg er å lese tabellen baklengs.

📝Oppgave 6

Løs integrallikningen

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-t)^2}f(t)\,dt = e^{-x^2/2}.

📝Oppgave 7

La $B(x)$ være boksfunksjonen som er 1 på $\left(-\tfrac12,\tfrac12\right)$ og 0 ellers.

a) Finn $\hat{B}(\omega)$ fra formelarket.
b) Bruk konvolusjonsteoremet til å finne transformen av $T = B*B$ .
c) Det kan vises at $T$ er «trekantfunksjonen» $T(x) = 1-|x|$ for $|x|<1$ og 0 ellers. Kontroller svaret i b) mot dette ved å regne ut $\hat{T}(0)$ på to måter.

📝Oppgave 8

En funksjon $f$ er reell og oppfyller $\hat{f}(\omega) = \dfrac{1}{1+\omega^2}$ .

a) Finn $f$ . (Bruk tabellen baklengs.)
b) Avgjør uten videre regning om $f$ er like eller odde, og begrunn.
c) Finn transformen av $f'$ og av $f(x)*f(x)$ .

📝Oppgave 9

En student skriver: «Siden $\widehat{f*g} = \hat{f}\hat{g}$ , blir svaret …». Forklar hva som er galt, og hva konsekvensen blir i praksis.

Typiske feil

Feil $\sqrt{2\pi}$ -faktor. Konvensjonene er forskjellige fra bok til bok. Denne boka og det utdelte arket bruker

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}

begge veier, og da skal konvolusjonsteoremet ha

\sqrt{2\pi}

. Blander du konvensjoner, blir svaret riktig funksjon med feil konstant.

Feil rad i tabellen. $e^{-ax^2}$ og $e^{-a|x|}$ ser like ut i farten, men gir helt ulike transformer. Se etter om $x$ står i andre potens eller i absoluttverdi før du slår opp.

Feil $a$ . Er funksjonen $e^{-2x^2}$ , er $a=2$ — og da er $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2a}} = \frac12$ og eksponenten $\displaystyle -\frac{\omega^2}{8}$ . Sett $a$ inn på alle stedene den opptrer, ikke bare det første.

Glemt minustegnet i $\widehat{f''} = -\omega^2\hat{f}$ . Kvadratet av $i\omega$ er $-\omega^2$ . Denne ene detaljen velter hele kap. 4.2 hvis den går galt.

Stoppet ved $\hat{f}$ . En integrallikning spør etter $f$ , ikke etter transformen. Siste steg er alltid å lese tabellen baklengs.

Ikke gjenkjent konvolusjonen. Skal konvolusjonsteoremet brukes, må argumentet være $x-t$ og integralet gå over hele $\mathbb{R}$ . Står det $x+t$ , eller går integralet fra 0 til $x$ , er det ikke en Fourier-konvolusjon.

Ingen kontroll. Sett $\omega=0$ : da skal $\hat{f}(0)$ være arealet under $f$ delt på $\sqrt{2\pi}$ . Femten sekunder, og den fanger nesten alle konstantfeil.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.