0.1 Slik testes TMA4135 — de fire søylene og formelarket

Eksamensformen

Skriftlig skoleeksamen, 4 timer, kl. 09:00–13:00. Bokstavkarakter A–F. Hjelpemiddelkode C. Settet har 6–10 oppgaver, og fra 2018 er de poengvektet med sum 100. Alt besvares med utregning og begrunnelse på papir; settene i dette emnet har aldri hatt en avkryssingsdel. (Boksen om svarskjema på trykkinformasjonsarket er skjemametadata og har aldri vært i bruk.)

Den faste instruksen står på hvert eneste sett: alle svar skal begrunnes, med nok mellomregning til at tenkemåten klart framgår. Et riktig sluttsvar uten utregning gir ikke full uttelling. Dette er ikke en formalitet — det er den enkeltopplysningen som påvirker føringen din mest, og boka trener den fra første kapittel.

Kort formathistorikk

Formelark-strategien — bokas bærende premiss

Hjelpemiddelkode C er grunnen til at denne boka ser ut som den gjør. Koden betyr at du møter opp med tre ting: en bestemt enkel kalkulator, ett gult, stemplet A5-ark med dine egne håndskrevne notater, og — det viktigste — et formelark som deles ut sammen med oppgavesettet. Formelarket inneholder transformtabellene og en full side med numerikkformler.

Konsekvensen er enkel og bestemmer alt: eksamen tester ikke om du husker formler. Den tester om du velger riktig metode og fører den. Derfor ber denne boka deg aldri om å pugge en tabellrad. Drillen handler om tre ting:

1. se hvilken oppgavetype du har foran deg,
2. vite hvilken rad eller tabell på arket som løser den, og sette inn riktig $a$, $\omega$ eller $n$,
3. føre den utledningen arket ikke gir deg.

For å holde de to fra hverandre bruker boka to faste fraser, i alle kapitler:

«står på det utdelte formelarket — tren oppslaget» gjelder blant annet:

- Laplace-tabellen: $\cos\omega t$, $\sin\omega t$, $\cosh\omega t$, $\sinh\omega t$, $t^n \leftrightarrow n!/s^{n+1}$, $e^{at} \leftrightarrow 1/(s-a)$, andreforskyvning $f(t-a)u(t-a) \leftrightarrow e^{-as}F(s)$, og $\delta(t-a) \leftrightarrow e^{-as}$.
- Fourier-transform-tabellen: Gauss-paret $e^{-ax^2}$, $e^{-a|x|}$, $1/(x^2+a^2)$ og boksfunksjonen.
- Trigonometriske identiteter, og reduksjonsformlene for $\int x^n\cos ax\,dx$ og $\int x^n\sin ax\,dx$.
- Hele numerikk-siden: Newtons metode (både skalar og system med Jacobi-matrisen $J_F$), Lagrange-interpolasjon med feilleddet $\varepsilon_n(x)=\prod_k (x-x_k)\,f^{(n+1)}(\xi)/(n+1)!$, Chebyshev-punktene, Newtons dividerte differanser, trapes- og Simpson-formelen med feilledd, Jacobi- og Gauss–Seidel-iterasjon, Euler, forbedret Euler, klassisk Runge–Kutta av orden 4, bakover-Euler, differansekvotientene og Crank–Nicolson. Fra 2022 også ordensbetingelsene for Runge–Kutta-metoder opp til orden 4.

«må kunnes eller utledes aktivt» gjelder blant annet: å transformere en differensiallikning og løse for den transformerte $Y(s)$; derivasjonsregelen $\mathcal{L}\{y'\}=sY-y(0)$; delbrøkoppspalting og kvadratkomplettering; regelen om å finne $f$ først og forskyve sist; konvolusjonsteoremet; koeffisientintegralene i Fourier-rekka og symmetriargumentet; halvintervall-utvidelse og midling i sprang; kompleks Fourier-rekke; definisjonen av den diskrete Fourier-transformen; alle tre tilfellene for separasjonskonstanten; d'Alemberts formel; verifikasjon av at en funksjon løser en partiell differensiallikning; presisjonsgrad ved å teste formelen på $x^n$; overgangen fra $[a,b]$ til $[-1,1]$; begge vilkårene i fikspunktteoremet og a-priori-estimatet; entydighetsargumentet via mellomverdisetningen; å telle skritt i halveringsmetoden; å lese en Butcher-tabell og verifisere ordenen rad for rad; feilestimat og steglengdeformel i et innfelt par; utledningen av stabilitetsfunksjonen $R(z)$; Taylor-utledningen av avkuttingsfeilen; oppsettet av det eksplisitte differanseskjemaet og stabilitetskravet $r\le\tfrac12$; falsk-rand-eliminering og kodefeil-lokalisering.

Merkingen dukker opp tre steder i hvert kapittel: i teksten der formelen introduseres, i fasiten til eksemplene («fra tabellen på formelarket: …»), og i symbol- og formellisten til slutt. Arbeidet med ditt eget A5-ark er et eget verksted i kap. 9.1.

De fire søylene og temafrekvensene

Tallene under er telt fra 13 gjennomgåtte eksamenssett fra og med høsten 2015 til og med kontinuasjonseksamen 2024. «10 av 13 sett» betyr at temaet var oppe som minst ett delpunkt i ti av dem. Se kildenoten nederst i kapitlet for hva grunnlaget nøyaktig består av.

Sjangerkortet — hele oppgavekatalogen på én side

Dette er kortet du skal kunne skumme på tjue sekunder når du åpner settet. Kolonnen «Første grep» er det du skriver ned med én gang, før du tenker mer.

Delt oppgavesett med Matematikk 4N

Fra og med 2018 skrives eksamen felles for TMA4130 Matematikk 4N og TMA4135 Matematikk 4D. Nesten alle oppgavene er identiske for begge. Bare én oppgave per sett har egne varianter, og de er merket i settet.

Varianten som er merket for ditt emne, har et tydelig mønster: den ber deg enten verifisere at en oppgitt funksjon løser en partiell differensiallikning (regn ut de andrederiverte og vis at de passer), eller den har et gradient- eller retningsderivert-innslag. Boka dekker alle fellestemaene fullt ut, og bruker kap. 5.4 på nettopp disse to.

Du skal med andre ord ikke bli forvirret av å se «4N» i et gammelt sett du øver på — innholdet er ditt, med unntak av den ene merkede varianten.

Nytt, og nesten borte

Tre oppgavetyper er nye i settene fra 2022 og framover: innfelte Runge–Kutta-par med steglengdekontroll (3 av 13 sett), diskret Fourier-transform (2 av 13 sett) og Gauss–Legendre-kvadratur (1 av 13 sett). Belegget er tynt fordi de rett og slett ikke fantes før, og de er konsentrert i kontinuasjonssettene. Boka behandler dem likevel som primærmål: når noe har vært på flere av de siste settene, er det ikke lenger en kuriositet. Kapitlene 4.3, 6.2 og 7.3 sier fra om det tynne belegget der stoffet står.

Tre oppgavetyper er nesten borte: LU-faktorisering med Doolittles metode (1 av 13), Jacobi- og Gauss–Seidel-iterasjon (2 av 13) og sekantmetoden (1 av 13). Alle tre er sett bare i de eldste settene i grunnlaget. Boka holder dem på kjenne-nivå, i quiz og i kap. 9.1 — ikke som egne kapitler. Trøsten er at alle tre står på det utdelte formelarket, så du kan lese formelen der hvis en av dem dukker opp.

De fem reglene som styrer rettingen

Reglene under er lest ut av instruksen som står trykt på hvert oppgavesett, og av hvordan løsningsforslagene faktisk er ført. De gjelder alle oppgaver, i alle deler av boka.

1. Begrunn alt. Instruksen ber om nok mellomregning til at tenkemåten klart framgår. Riktig svar uten utregning gir ikke full uttelling.
2. Skriv metode- og teoremnavnet. «Etter andreforskyvningsteoremet …», «ved konvolusjonsteoremet …», «fikspunktteoremet gir …», «etter mellomverdisetningen …», «d'Alemberts formel gir …». Løsningsforslagene skriver dem ut, og det koster deg fem sekunder.
3. Flere veier er lov — si hvilken du går. Der en oppgave kan løses med delbrøk eller kvadratkomplettering, med reell eller kompleks delbrøk, med Lagrange eller Newtons dividerte differanser, blir begge godtatt. Løsningsforslagene viser gjerne begge og kommenterer hvilken som er raskest.
4. Delpunktene er koblet med vilje. «Bruk uttrykket fra b) i c)» er ikke et tips, det er designet. Ser du koblingen, sparer du både tid og poeng.
5. Feil forplanter seg uten å straffes to ganger. Får du en gal mellomverdi i a), men regner korrekt videre med den i b), gir b) fortsatt uttelling. Derfor: skriv aldri om et helt delpunkt fordi du oppdager en feil lenger oppe — noter feilen og regn videre.

Hva som skiller karakternivåene

Dette er kalibreringen boka bruker når den merker oppgaver som lette, middels eller vanskelige.

- Bestått-sjiktet henter poeng på de mekaniske delpunktene: transformer likningen og løs for den transformerte; sett opp koeffisientintegralet; sett $u=F(x)G(t)$ og få de to likningene; regn ett Euler-skritt; sett opp differanseskjemaet. Dette er poeng du kan hente uten å fullføre oppgaven — så begynn alltid, også på oppgaver du ikke tror du klarer.
- Midtsjiktet legger til: invers-transform både med delbrøk og med kvadratkomplettering; delvis integrasjon i Fourier-koeffisientene; alle tre tilfellene for separasjonskonstanten; presisjonsgrad ved å teste på $x^n$; a-priori-estimatet for antall iterasjoner.
- Toppsjiktet kjennetegnes av fem ting: begge fikspunktvilkårene, ikke bare det ene; ordensverifikasjon rad for rad i Butcher-tabellen; korrekt behandling av rand og stabilitet; andreforskyvningsteoremet brukt riktig, med $f$ funnet før forskyvningen; og at du ser og bruker koblingene mellom delpunktene.

Legg merke til at ingenting av dette handler om å huske mer. Det handler om å føre mer fullstendig.

Slik ser et typisk sett ut

Malen har ligget nesten uendret i årevis. Regn med åtte til ti poengvektede oppgaver, og denne rekkefølgen:

- Oppgave 1–2: Laplace-transform. Én ren differensiallikning med startverdier, og én med enten et integralledd eller et pådrag som slås på underveis.
- Oppgave 3: Fourier-rekke — utvid en funksjon til en odde eller like periodisk funksjon, skissér den, finn koeffisientene. I de nyeste settene kan denne plassen i stedet være en diskret Fourier-transform.
- Oppgave 4–5: separasjon av variable for varmelikningen, og enten Fourier-transform for en likning på hele tallinja eller bølgelikningen med d'Alembert eller verifikasjon.
- Oppgave 6–10: numerikk-blokken — interpolasjon, numerisk integrasjon med presisjonsgrad, en rotsøkings- eller fikspunktoppgave med konvergensvilkår, Runge–Kutta med Butcher-tabell eller innfelt par, og en differansemetode med et gitter eller et kort Python-utdrag der du skal finne feilen.

Dette er en prognose bygd på tretten sett, ikke et løfte. Men den er stabil nok til at du kan planlegge lesingen etter den.

Deltidsruten — tolv uker ved siden av forelesningene

Rundt 5,3 timer lesetid i uka i tolv uker dekker hele boka med prøver. Planen følger faglig avhengighet, ikke frekvens: du trenger Fourier-rekkene før du kan matche initialbetingelser i partielle differensiallikninger, og du trenger rotsøking før de numeriske løserne.

Hva tallene i denne boka bygger på

Alle frekvenstall og sjangerbeskrivelser i boka er lest ut av et arkiv med 56 unike filer: 29 oppgavesett og 27 løsningsforslag. Arkivet er talt opp filnavn for filnavn.

Nevneren er 13. Frekvensgrunnlaget er de tretten velkarakteriserte settene fra høsten 2015 til og med kontinuasjonseksamen 2024, som er gjennomgått oppgave for oppgave. Står det «9 av 13 sett» i boka, er det disse tretten. Arkivet rekker tilbake til 2003, men de eldre settene fra 2003–2014 er ikke talt med: de er ikke gjennomgått på samme måte, og pensum har flyttet seg over tjue år. De er likevel verdt å nevne, fordi de viser én ting tydelig — oppgavetradisjonen i dette emnet har ligget fast lenge.

Emnet har aldri hatt våreksamen. Arkivet består utelukkende av ordinære høsteksamener og kontinuasjonseksamener, så det finnes ingen vårsett du går glipp av.

Forbehold du bør kjenne til:

- Det finnes ingen sett fra 2021 i arkivet.
- Fire av filene — løsningsforslaget for høsten 2016, kontinuasjonssettet for 2016 med løsningsforslag, og løsningsforslaget for kontinuasjonseksamen 2017 — er skannede eller håndskrevne og lot seg ikke tekstutvinne. For disse settene bygger gjennomgangen på oppgavesettene alene.
- Fra 2018 er eksamen felles med TMA4130, og bare én oppgave per sett finnes i egne varianter for hvert emne.
- De nyeste oppgavetypene — diskret Fourier-transform, innfelt Runge–Kutta-par og Gauss–Legendre — er konsentrert i settene fra 2022 til 2024 og har derfor tynt belegg. Boka sier fra der det gjelder.

Om løsningsforslagene: alle 27 er faglærerskrevne og opphavsrettslig vernet. De er brukt som fasitkilde for å avgjøre hva som faktisk kreves i en besvarelse, og er aldri gjengitt. Der boka skriver «løsningsforslagene viser …» eller «kravet er …», er kravet lest ut av oppgaveinstruksen og av hvordan fasitene faktisk er ført. Alle oppgaver, eksempler og modellbesvarelser i denne boka er nyskrevne med egne tall og egen kontekst.