9.1 Formelark-verksted — bygg ditt A5-ark og tren oppslaget

Har du bare lest deler av boka, kan du likevel bruke kapitlet. Bygg arket for de delene du har gjort, og la resten stå åpen — et halvfullt A5-ark er langt bedre enn ingen.

Sist du var her

Tre formler bærer mest vekt i alt som følger, og ingen av dem står på det utdelte formelarket:

$$\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y - s\,y(0) - y'(0)$$

Derivasjonsregelen — motoren i hver eneste Laplace-oppgave, fra kap. 2.1.

$$a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$$

Koeffisientintegralene fra kap. 3.1, med halvperioden $L$.

$$r = \frac{c^2\,\Delta t}{h^2} \le \tfrac12$$

Stabilitetskravet for det eksplisitte skjemaet fra kap. 8.2. Merk at det utdelte formelarket kaller tidssteget $k$; boka bruker $\Delta t$ fordi $k$ er separasjonskonstanten i Del 5.

Hvorfor et eget ark, når du allerede får ett?

Tenk på det utdelte formelarket som et oppslagsverk du deler med alle andre i salen. Det er godt, men det er skrevet for et pensum, ikke for deg. Det inneholder tabeller og ferdige formler. Det inneholder ikke framgangsmåter, ikke teoremnavn, og ikke de tre–fire formlene emnet ellers bruker aller mest.

Ditt eget A5-ark er komplementet. Alt som allerede står på det utdelte arket, er bortkastet plass på ditt. Alt boka har markert «må kunnes eller utledes aktivt», er kandidat.

Bildet er verdt et minutt. En kokk som får utdelt en varedeklarasjon med alle ingrediensene, trenger ikke skrive av innholdsfortegnelsen. Hun trenger oppskriften — rekkefølgen, temperaturen, og hva som går galt hvis hun bytter om på to steg. Det er nøyaktig forskjellen mellom det utdelte formelarket og ditt eget.

En merknad om ambisjonsnivå. Målet er ikke et perfekt ark. C er en god og vanlig karakter, og den får du med et ark som dekker de fire søylene og et par oppskrifter. Arket skal gjøre deg raskere, ikke gi deg dårlig samvittighet.

Bolk 1 (~25 min): hva som står hvor, og hvordan du bygger arket.

Løsningsoppskrift: bygg A5-arket i seks skritt

1. Skriv av innholdsfortegnelsen til det utdelte arket, i stikkord. Ikke formlene — bare hva som finnes der og omtrent hvor. Dette er ikke innholdet på arket ditt; det er kartet du bruker for å vite hva du kan la være å skrive.
2. Gå gjennom boka del for del og noter alt som er merket «må kunnes eller utledes aktivt». Symbol- og formellisten sist i hvert kapittel har merkingen på hver eneste formel. Det gir en råliste på 60–80 linjer.
3. Stryk alt du kan gjenskape på under tjue sekunder. Kan du kvadratkomplettering i søvne, tar den ikke plass.
4. Stryk alt som er ren notasjon. «$U_i^n$ betyr verdien i gitterpunkt $i$ på tidsnivå $n$» hjelper deg ikke under tidspress.
5. Sorter det som er igjen etter frekvens, ikke etter hvor vanskelig det er. Laplace og Fourier står i 13 av 13 sett. Sjanger S — lineæralgebra-numerikk, altså faktorisering og iterative løsere for likningssystemer — står i 2 av 13, og bare i de eldste. Frekvensen bestemmer plassen.
6. Skriv arket for hånd, én gang, sent i lesingen. Selve skrivingen er halve læringen, og et ark du skrev i går, husker du hvor på.

Om formatet. Arket er A5, gult og stemplet, og du kan skrive på begge sider. Skriv smått, men ikke så smått at du ikke kan lese det under stress. Bruk overskrifter og luft — du skal finne ting, ikke lese arket.

Hva det utdelte arket faktisk inneholder

Under er innholdet gruppert slik du vil lete etter det. Alt dette står på det utdelte formelarket — tren oppslaget, ikke pugg det. Nøyaktig utforming har variert litt mellom årene; 2019-utgaven og framover har full numerikk-side, og fra 2022 også ordensbetingelsene for Runge–Kutta-metoder.

— naturlig pausepunkt —

Bolk 2 (~30 min): selve arket, prioritert.

Arket, side 1: Laplace, Fourier og partielle differensiallikninger

Under er den kuraterte lista. Den er ikke funnet på — hver linje er hentet fra en Symbol- og formelliste i boka der den er merket må kunnes eller utledes aktivt. Rekkefølgen er etter frekvens i de 13 gjennomgåtte settene.

Blokk 1 — Laplace (13 av 13 sett).

$$\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0), \quad \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y - s\,y(0) - y'(0), \quad \mathcal{L}\{y'''\} = s^3Y - s^2y(0) - s\,y'(0) - y''(0)$$

Derivasjonsregelen i tre orden. Det vanligste enkelttapet i sjangeren er et glemt $-s\,y(0)$-ledd.

$$s^2+ps+q = \left(s+\tfrac{p}{2}\right)^2 + \left(q-\tfrac{p^2}{4}\right), \qquad p^2-4q<0 \Longleftrightarrow \text{ingen reelle røtter}$$

Kvadratkomplettering, og diskriminanten som avgjør om du skal delbrøkoppspalte eller kvadratkomplettere.

$$A_k = \left.\frac{N(s)}{\prod_{j\ne k}(s-r_j)}\right|_{s=r_k}$$

Tildekkingsmetoden for enkle poler. Skriv også ansatsen ved dobbel pol og ved irredusibel andregradsfaktor, for det er der ansatsen skrives feil:
$$\frac{N(s)}{(s-r)^2} = \frac{A}{s-r}+\frac{B}{(s-r)^2}, \qquad \frac{N(s)}{(s-r)(s^2+ps+q)} = \frac{A}{s-r}+\frac{Bs+C}{s^2+ps+q}$$

$$(g*y)(t) = \int_0^t g(\tau)y(t-\tau)\,d\tau, \qquad \mathcal{L}\{g*y\} = G(s)Y(s)$$

Konvolusjonsteoremet. Skriv navnet ved siden av formelen — det skal bæres eksplisitt i besvarelsen.

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = f(t-a)\,u(t-a) \quad\text{— finn } f \text{ FØRST, forskyv SIST}$$

Selve andreforskyvningsteoremet står på det utdelte arket. Rekkefølgeregelen gjør ikke det, og den er en av de dokumenterte forskjellene mellom midtsjiktet og toppsjiktet.

$$f = f_1 + (f_2-f_1)u(t-a_1) + (f_3-f_2)u(t-a_2) + \dots$$

Trappeleddoppdelingen: koeffisientene er spranghøydene, ikke funksjonsverdiene.

$$a_0 = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f\,dx, \qquad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$$

Koeffisientintegralene. Legg særlig merke til nevneren $2L$ i konstantleddet.

$$f \text{ odde} \Rightarrow a_n = 0,\ b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx; \qquad f \text{ like} \Rightarrow b_n = 0,\ a_n = \frac{2}{L}\int_0^L f\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx$$

Symmetriregelen og halvintervall-formlene i én linje. De samme to formlene dekker både «utnytt symmetri» og «utvid $f$ på $[0,L]$ odde eller like».

$$\text{rekka}(x_0) = \frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}$$

Konvergensteoremet med midling i sprang. Å bruke funksjonsverdien i stedet er en av de vanligste tapte poengene i sjangeren.

$$c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}fe^{-in\pi x/L}\,dx, \qquad a_n = 2\operatorname{Re}(c_n), \qquad b_n = -2\operatorname{Im}(c_n), \qquad f \text{ reell} \iff c_{-n}=\overline{c_n}$$

Den komplekse rekka og broen tilbake. Minustegnet i $b_n$-formelen er verdt sin egen plass.

Blokk 3 — Fourier-transform og diskret Fourier-transform (10 av 13 og 2 av 13 sett).

$$\widehat{f'} = i\omega\hat f, \qquad \widehat{f''} = -\omega^2\hat f, \qquad \widehat{f*g} = \sqrt{2\pi}\,\hat f\hat g, \qquad \widehat{f(x-b)} = e^{-ib\omega}\hat f$$

De fire reglene. Selve tabellen deles ut; reglene gjør ikke det.

$$c_k = \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}f_j w^{-jk}, \quad f_j = \sum_{k=0}^{N-1}c_k w^{jk}, \quad w = e^{2\pi i/N}, \quad f \text{ reell} \iff c_{N-k}=\overline{c_k}, \quad \tilde f_j = f_{j+1} \Rightarrow \tilde c_k = w^k c_k$$

Hele den diskrete Fourier-transformen på én linje. Den står ikke noe sted på det utdelte arket.

$$u = F(x)G(t): \qquad \frac{F''}{F} = \frac{G'}{c^2G} = -k \ \Longrightarrow\ F''+kF = 0,\quad G'+c^2kG = 0$$

Separasjonen med bokas fortegnskonvensjon. For bølgeligningen blir $G$-likningen $G''+c^2kG=0$; for Laplace-likningen snur fortegnet i den andre likningen.

$$k>0:\ F = A\cos px + B\sin px \ \big|\ k = 0:\ F = Ax+B \ \big|\ k<0:\ F = A\cosh\mu x + B\sinh\mu x$$

De tre tilfellene. Alle tre skal skrives ut hver eneste gang; å hoppe over ett er den dokumenterte hovedfeilen i sjangeren.

$$F(0)=F(L)=0 \Rightarrow k_n = \left(\tfrac{n\pi}{L}\right)^2,\ F_n = \sin\tfrac{n\pi x}{L}$$
$$F'(0)=F'(L)=0 \Rightarrow k_0 = 0,\ F_0 = 1;\ k_n = \left(\tfrac{n\pi}{L}\right)^2,\ F_n = \cos\tfrac{n\pi x}{L}$$
$$F(0)=F'(L)=0 \Rightarrow k_n = \left(\tfrac{(2n-1)\pi}{2L}\right)^2,\ F_n = \sin\tfrac{(2n-1)\pi x}{2L}$$

De tre randtypene med egenverdier og egenfunksjoner. Det ekstra konstantleddet ved isolerte ender er lett å glemme.

$$w(x) = T_0 + \frac{T_1-T_0}{L}x, \qquad w(x) = \frac{\alpha}{2c^2}x(L-x), \qquad v = u-w$$

Stasjonære løsninger ved faste randtemperaturer og ved konstant kildeledd, og reduksjonen som gjør problemet homogent.

$$u(x,t) = \tfrac12\big(f(x+ct)+f(x-ct)\big) + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds$$

d'Alemberts formel. Navnet skal skrives ut. Fartene i argumentene er $x\pm ct$, ikke $x\pm t$.

Arket, side 2: numerikk

Blokk 5 — interpolasjon og integrasjon (7 av 13 og 8 av 13 sett).

$$f[x_i,\dots,x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}] - f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}$$

Rekursjonen for dividerte differanser. Selve Newton-formen står på arket; rekursjonen står der ikke alltid, og differanstabellen er lett å rote til under stress.

$$x(\xi) = \frac{(b-a)\xi+(a+b)}{2}, \qquad dx = \frac{b-a}{2}\,d\xi, \qquad \text{grad} = 2N-1$$

Transformasjonen til $[-1,1]$ for Gauss–Legendre. Node- og vekttabellen deles ut i selve oppgaven; jakobifaktoren $\tfrac{b-a}{2}$ gjør den ikke.

$$\text{presisjonsgrad: test formelen på } 1, x, x^2, \dots \text{ til den feiler}$$

Framgangsmåten, ikke en formel. Skriv den som en setning.

Blokk 6 — fikspunkt og rotsøking (6 av 13 og 4 av 13 sett).

$$\text{(i) } \lvert g'(x)\rvert \le L < 1 \text{ på } I \qquad \text{(ii) } g(I)\subseteq I$$

Begge fikspunktvilkårene, alltid som et par.

$$\lvert x_{k+1}-r\rvert \le \frac{L^{k+1}}{1-L}\lvert x_1-x_0\rvert$$

A-priori-estimatet. Eksponenten er $k+1$, og antall iterasjoner rundes oppover.

$$k \ge \log_2\frac{b-a}{2\,\text{tol}}$$

Biseksjonstellingen — også oppover.

$$f \text{ kontinuerlig},\ f(a)f(b)<0 \Rightarrow \exists r; \qquad f' \text{ har fast fortegn} \Rightarrow \text{høyst én rot}$$

Mellomverdisetningen og entydighetsargumentet. Navnene skal skrives ut.

Blokk 7 — numeriske løsere (12 av 13 sett).

$$\sum_i b_i = 1, \qquad \sum_i b_ic_i = \tfrac12, \qquad \sum_i b_ic_i^2 = \tfrac13, \qquad \sum_{i,j}b_ia_{ij}c_j = \tfrac16$$

Ordensbetingelsene. Fra 2022 står de på det utdelte arket — men skriv likevel regelen: sjekk rad for rad, og stopp ved den første som feiler; ordenen er da én mindre. Og: $c_i = \sum_j a_{ij}$ er nødvendig, ikke tilstrekkelig.

$$\hat\varepsilon = h\left\lvert\sum_i(\hat b_i - b_i)k_i\right\rvert = \lvert\hat y_{n+1}-y_{n+1}\rvert, \qquad h_{\text{ny}} = P\,h\left(\frac{\text{Tol}}{\hat\varepsilon}\right)^{1/(p+1)}$$

Feilestimatet og steglengdeformelen for et innfelt par. Eksponenten $1/(p+1)$ med $p$ = ordenen til den propagerte løsningen er det som feiler oftest.

$$y_{n+1} = R(z)y_n,\ z = \lambda h,\ \lvert R(z)\rvert\le1; \quad R = 1+z \text{ (Euler)},\ 1+z+\tfrac{z^2}{2} \text{ (Heun)},\ \tfrac{1}{1-z} \text{ (bakover-Euler)}$$
$$h \le \frac{\lvert z^*\rvert}{\max_j\lvert\lambda_j\rvert}, \qquad z^* = -2 \text{ (Euler, Heun)},\ \approx -2{,}785 \text{ (RK4)}$$

Stabilitetsfunksjonen og steglengdegrensen. For et system er det den mest negative egenverdien som binder.

Blokk 8 — differansemetoder (11 av 13 sett).

$$r = \frac{c^2\Delta t}{h^2}, \qquad U_i^{n+1} = U_i^n + r\left(U_{i+1}^n-2U_i^n+U_{i-1}^n\right), \qquad r \le \tfrac12$$

Det eksplisitte skjemaet og stabilitetskravet. Selve differansekvotientene står på arket; oppsettet og grensen gjør ikke det.

$$U_{i-1} + \left(-2+h^2q_i\right)U_i + U_{i+1} = h^2g_i, \qquad u'(b)=0 \Rightarrow U_{N+1}=U_{N-1} \Rightarrow \frac{2U_{N-1}-2U_N}{h^2}+q_NU_N = g_N$$

Randverdiproblemet og falsk-node-elimineringen. Faktoren 2 i randraden er det som glemmes.

$$\tau \approx \frac{K\varepsilon}{h^q} + Ch^p \ \Longrightarrow\ h_{\text{opt}} = O\!\left(\varepsilon^{1/(p+q)}\right)$$

Balanseringen mellom avrundings- og avkuttingsfeil.

— naturlig pausepunkt —

Bolk 3 (~20 min): oppslagsdrillen og sjangeroversikten.

Oppslagsdrillen: fra oppgavetekst til riktig rad

Arket er halve jobben. Den andre halvparten er å komme fra en oppgavetekst til riktig rad på under et halvt minutt. Framgangsmåten er alltid den samme:

1. Les de første to linjene i oppgaven og bestem sjangeren. Boka bruker bokstavene A til S som kortnavn på de nitten oppgavetypene emnet faktisk stiller; hele katalogen står i tabellen lenger nede, og ble først presentert i kap. 0.1.
2. Skriv ned første grep før du regner noe. «Transformer og bruk derivasjonsregelen», «sett $u=F(x)G(t)$», «diskretiser med sentraldifferanser». Ett ord er nok.
3. Slå opp raden på det utdelte arket som sjangeren trenger, og skriv «fra tabellen på formelarket: …».
4. Hent resten fra hodet eller fra A5-arket, og skriv metodenavnet ut.

Tabellen under er drillen i konsentrert form. Kolonne to sier hvilken rad på det utdelte formelarket du går til; kolonne tre sier hva som må kunnes eller utledes aktivt.

Kald bank — tolv spørsmål uten hint

Oppgaven under er en kald bank: den har ingen hint, og fasiten er en momentliste, ikke en gjennomregning. Det er med vilje. På eksamen får du ingen hint, og hvis du trenger et for å komme i gang på et av disse tolv spørsmålene, vet du hvilket kapittel du skal tilbake til.

Bruk maks tolv minutter. Skriv svarene ned før du åpner fasiten.

Kortbank

Blokkene under er flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over dem ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet over. De samler oppskriftene og sjangrene i kortform, slik at du kan repetere dem løsrevet fra kapitlet.