7.5 Drill — numerisk ODE-sjangeren

Sjangerdrill på hele M/N/O-komplekset: ett skritt, orden fra Butcher, innfelt par + steglengde, og stabilitet — som A-besvarelse med sensor-margnotater.

85 min

12 oppgaver

Drillnumerisk ODE-sjangeren

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.PPrøver til del 7: Numeriske metoder for ODE

Dette er drillkapitlet for hele Del 7. Det samler sjangrene

M

N

O

— de tre bokstavkodene boka bruker for numeriske ODE-oppgaver:

- $M$ — ODE-løsere (Euler, Heun, RK4, bakover-Euler; ett skritt for hånd, og orden fra Butcher-tabell): 12 av 13 sett (92 %) for skrittdelen, 5 av 13 (38 %) for Butcher- og ordensdelen.
- $N$ — innfelt RK-par med steglengdekontroll: 3 av 13 sett (23 %), alle fra 2022 og senere.
- $O$ — stabilitetsfunksjonen $R(z)$ og stabilitetsintervall: 3 av 13 sett (23 %).

Til sammen er det 1–2 deloppgaver på hvert eneste sett. Numerikk-blokken bakerst har typisk tre–fire deloppgaver, og minst én av dem er nesten alltid herfra.

Hva dette kapitlet gjør, og ikke gjør. Det innfører ingen ny teori. Det gir deg én løsningsoppskrift per undertype, ett fullstendig gjennomregnet eksamenscase med margnotater om hva som gir uttelling, og tolv oppgaver på eksamensnivå som roterer gjennom alle variantene.

Hvis du bare har tid til ett kapittel i Del 7 før eksamen, ta dette — men bare hvis du allerede har lest kap. 7.1. Uten skrittmekanikken derfra er drillen bortkastet.

Formelark-merking, samlet for hele delen.

- Står på det utdelte formelarket — tren oppslaget: Euler, forbedret Euler, RK4, bakover-Euler, og ordensbetingelsene for $p=1$ til $4$ .
- Må kunnes eller utledes aktivt: at bakover-Euler krever likningsløsning; verifikasjonslogikken «rad for rad til én feiler»; feilestimatet og steglengdeformelen i innfelte par; og hele stabilitetsapparatet — $R(z)$ , intervallet, og egenverdibehandlingen for systemer.

Tidsbruk: 85 minutter. Kapitlet kan trygt deles over flere kvelder — én undertype per økt er en god inndeling. Naturlige pausepunkter er markert.

Forkunnskaper: hele Del 7 — kap. 7.1, kap. 7.2, kap. 7.3 og kap. 7.4.

Sist du var her — de fem formlene hele drillen hviler på, ferdig oppfrisket:

1. Runge–Kutta, generell form (fra Butcher-tabellen):

$k_i=f\left(t_n+c_ih,\ y_n+h\sum_j a_{ij}k_j\right),\qquad y_{n+1}=y_n+h\sum_i b_ik_i.$

2. Klassisk RK4 — merk kjedingen $k_1\to k_2\to k_3\to k_4$ :

$y_{n+1}=y_n+\frac h6\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right).$

3. Ordensbetingelsene til og med nivå 3 — merk at det er to på nivå 3:

$\sum_i b_i=1,\quad \sum_i b_ic_i=\tfrac12,\quad \sum_i b_ic_i^{2}=\tfrac13,\quad \sum_{i,j}b_ia_{ij}c_j=\tfrac16.$

4. Feilestimat og steglengde i et innfelt par — merk eksponenten:

$\hat\varepsilon=h\left|\sum_i\left(\hat b_i-b_i\right)k_i\right|,\qquad h_{\text{ny}}=P\,h\left(\frac{\text{Tol}}{\hat\varepsilon}\right)^{1/(p+1)}.$

5. Stabilitet — $R$ er faktoren per skritt på testlikningen $y'=\lambda y$ :

$y_{n+1}=R(z)y_n,\quad z=\lambda h,\qquad \left|R(z)\right|\le 1,\qquad h\le\frac{\left|z^{*}\right|}{\max_j\left|\lambda_j\right|}.$

Av disse fem står bare nummer 2 og 3 på det utdelte formelarket. De tre andre må du ha med deg selv.

Løsningsoppskriftene — én per undertype

Dette er kjernen i kapitlet. Hver oppgave i Del 7 er en av fire undertyper, og hver av dem har en fast oppskrift.

(a) Ett skritt for hånd — sjanger M

1. Skriv opp $f(t,y)$ , $t_n$ , $y_n$ og $h$ eksplisitt. Én linje. Det tar ti sekunder og gjør resten mekanisk.
2. Regn stigningstallene ETT AV GANGEN, hvert på egen linje, med argumentene synlige:
$k_2=f\left(\underbrace{t_n+\tfrac h2}_{\text{tid}},\ \underbrace{y_n+\tfrac h2 k_1}_{\text{verdi}}\right)=\dots$
3. Kontroller at alle $k_i$ er i samme størrelsesorden. Er ett vilt avvikende, er et argument satt inn feil.
4. Sett inn i sluttformelen, og skriv den vektede summen ut før du multipliserer med $h$ .
5. Kontroller retningen: er $f<0$ i startpunktet, skal $y_1<y_0$ .
6. Ved bakover-Euler: sett opp likningen, samle $y_{n+1}$ på venstre side, og løs. Er den ikke-lineær, si at Newton fra kap. 6.4 er verktøyet.

(b) Orden fra Butcher-tabell eller kode — sjanger M

1. Les av $\mathbf c$ , $A$ og $\mathbf b$ . Fra kode: tidsargumentet gir $c_i$ , $y$ -argumentet gir $a_{ij}$ , returlinja gir $b_i$ — husk å gange faktoren utenfor parentesen inn.
2. Kontroller tabellen: vektsum $=1$ , radsummer $=c_i$ , $A$ strengt nedre triangulær.
3. Gå nivå for nivå, og skriv ut hver sum med tallene synlige.
4. Sjekk ALLE betingelsene på hvert nivå — det er to på nivå 3 og fire på nivå 4.
5. Konkluder med nivået UNDER det første som feilet.

(c) Innfelt par og steglengde — sjanger N

1. Regn stigningstallene ÉN gang. Begge metodene deler dem.
2. Regn begge svarene med hver sin vektrad.
3. Feilestimatet: $\hat\varepsilon=\left|\hat y_1-y_1\right|$ , eller raskere via vektdifferansene.
4. Sammenlikn med Tol og si eksplisitt «aksepteres» eller «forkastes».
5. Ny steglengde med eksponent $\tfrac1{p+1}$ , der $p$ er ordenen til den propagerte løsningen.
6. Kontroller retningen: forkast $\Rightarrow$ $h_{\text{ny}}<h$ ; aksept $\Rightarrow$ $h_{\text{ny}}>h$ .

(d) Stabilitet — sjanger O

1. Sett $f=\lambda y$ inn i ALLE stigningstallene, og faktoriser ut $y_n$ .
2. Kontroller $R(z)$ mot $e^{z}$ — de skal stemme til og med $z^{p}$ .
3. Del $\left|R\right|\le 1$ i BEGGE ulikhetene, $R\le 1$ og $R\ge -1$ .
4. Oversett til $h$ : $h\le\left|z^{*}\right|/\left|\lambda\right|$ .
5. For systemer: finn egenverdiene (kontroller mot spor og determinant), og bruk den mest negative.
6. Skill stabilitet fra nøyaktighet hvis oppgaven ber om en vurdering.

✏️Gjennomregnet eksamenscase — alle fire undertypene på ett problem

Gitt initialverdiproblemet

$y'=1-2y,\qquad y(0)=0,$

med eksakt løsning $y(t)=\tfrac12\left(1-e^{-2t}\right)$ .

a) Ta ett skritt med Euler, Heun og RK4 med $h=0{,}25$ , og sammenlikn feilene.
b) Ta ett bakover-Euler-skritt med samme $h$ .
c) Bruk det innfelte 2(3)-paret

$\begin{array}{c|ccc}0 & 0 & 0 & 0\\ \tfrac12 & \tfrac12 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 2 & 0\\ \hline & 0 & 1 & 0\\ \hline & \tfrac16 & \tfrac23 & \tfrac16\end{array}$

med Tol $=5\cdot 10^{-3}$ og $P=0{,}9$ . Aksepteres skrittet? Foreslå ny steglengde.

d) Finn den største steglengden som gir stabil løsning med eksplisitt Euler og med RK4 ( $\left|z^{*}\right|=2{,}785$ ).

Felles oppsett.

f(t,y)=1-2y

t_0=0

y_0=0

h=0{,}25

Eksakt: $y(0{,}25)=\tfrac12\left(1-e^{-0{,}5}\right)=\tfrac12\left(1-0{,}6065307\right)=0{,}1967347$ .

---

a) De tre eksplisitte metodene.

Euler.

$k=f(0;\ 0)=1-0=1,$
$y_1=0+0{,}25\cdot 1=0{,}25.$

Margnotat: to linjer, og begge poengene er tatt. Skriv $f$ -verdien for seg — en fasit som bare sier « $y_1=0{,}25$ » får mindre uttelling, siden instruksen krever nok mellomregning til at tenkemåten framgår.

Heun.

$k_1=f(0;\ 0)=1,$
$k_2=f\left(0{,}25;\ 0+0{,}25\cdot 1\right)=f(0{,}25;\ 0{,}25)=1-0{,}5=0{,}5.$

$y_1=0+\frac{0{,}25}{2}\left(1+0{,}5\right)=0{,}125\cdot 1{,}5=0{,}1875.$

Margnotat: argumentet i $k_2$ er Euler-prediksjonen $0{,}25$ , ikke $y_0=0$ . Dette er den dokumenterte hovedfeilen i sjangeren — skriv argumentet ut, så ser den som retter at du har gjort det riktig.

RK4.

$k_1=f(0;\ 0)=1,$
$k_2=f\left(0{,}125;\ 0+0{,}125\cdot 1\right)=f(0{,}125;\ 0{,}125)=1-0{,}25=0{,}75,$
$k_3=f\left(0{,}125;\ 0+0{,}125\cdot 0{,}75\right)=f(0{,}125;\ 0{,}09375)=1-0{,}1875=0{,}8125,$
$k_4=f\left(0{,}25;\ 0+0{,}25\cdot 0{,}8125\right)=f(0{,}25;\ 0{,}203125)=1-0{,}40625=0{,}59375.$

Margnotat: merk at $k_3$ bruker $k_2$ , ikke $k_1$ . De to tallene $0{,}75$ og $0{,}8125$ ligner, og det er nettopp derfor feilen er lett å gjøre og vanskelig å oppdage.

Vektet sum:

$k_1+2k_2+2k_3+k_4=1+1{,}5+1{,}625+0{,}59375=4{,}71875.$

$y_1=0+\frac{0{,}25}{6}\cdot 4{,}71875=0{,}0416667\cdot 4{,}71875=0{,}1966146.$

Margnotat: skriv den vektede summen ut som ett tall før du multipliserer. Det gir et kontrollpunkt, og det gjør at en regnefeil i ett $k_i$ ikke ødelegger hele resten av føringen.

Sammenlikningen.

Metode	$f$ -evalueringer	$y_1$	Feil
Euler	1	$0{,}25$	$5{,}33\cdot 10^{-2}$
Heun	2	$0{,}1875$	$9{,}23\cdot 10^{-3}$
RK4	4	$0{,}1966146$	$1{,}20\cdot 10^{-4}$
Eksakt	—	$0{,}1967347$	—

Margnotat: sammenlikningstabellen er et halvt poeng verdt og tar ett minutt. Ta den med når oppgaven ber om «sammenlikn».

---
b) Bakover-Euler. Formelen er implisitt:

y_1=y_0+h\,f\left(t_1,y_1\right)=0+0{,}25\left(1-2y_1\right).

Gang ut og samle $y_1$ på venstre side:

$y_1=0{,}25-0{,}5y_1\ \Longrightarrow\ 1{,}5\,y_1=0{,}25\ \Longrightarrow\ y_1=\frac{0{,}25}{1{,}5}=\frac16\approx 0{,}1666667.$

Feil: $\left|0{,}1666667-0{,}1967347\right|=3{,}01\cdot 10^{-2}$ .

Margnotat: to ting gir uttelling her. Ett: at du sier at metoden er implisitt og at $y_1$ må løses ut. To: at du fører selve utregningen som en likning, ikke som en innsetting. En besvarelse som skriver $y_1=0+0{,}25(1-2\cdot 0)=0{,}25$ har behandlet metoden som eksplisitt og får null.

Merk at bakover-Euler bommer motsatt vei av eksplisitt Euler — $0{,}167$ mot $0{,}25$ , med eksakt $0{,}197$ mellom dem. Begge har orden 1.

---

c) Innfelt par.

Stigningstallene (regnes én gang, brukes to ganger):

$k_1=f(0;\ 0)=1,$

$k_2=f\left(0{,}125;\ 0+0{,}25\cdot\tfrac12\cdot 1\right)=f(0{,}125;\ 0{,}125)=1-0{,}25=0{,}75,$

$k_3=f\left(0{,}25;\ 0+0{,}25\left(-1\cdot 1+2\cdot 0{,}75\right)\right)=f\left(0{,}25;\ 0{,}25\cdot 0{,}5\right)=f(0{,}25;\ 0{,}125).$

$k_3=1-0{,}25=0{,}75.$

De to svarene.

$y_1=0+0{,}25\cdot k_2=0{,}25\cdot 0{,}75=0{,}1875\qquad\text{(orden 2)},$
$\hat y_1=0+0{,}25\left(\tfrac16\cdot 1+\tfrac23\cdot 0{,}75+\tfrac16\cdot 0{,}75\right)=0{,}25\left(0{,}1666667+0{,}5+0{,}125\right).$
$\hat y_1=0{,}25\cdot 0{,}7916667=0{,}1979167\qquad\text{(orden 3)}.$
Feilestimatet.

$\hat\varepsilon=\left|0{,}1979167-0{,}1875\right|=0{,}0104167.$

Kontroll med differanseformelen: $\hat b_i-b_i=\left(\tfrac16,-\tfrac13,\tfrac16\right)$ , altså

$\hat\varepsilon=\frac h6\left|k_1-2k_2+k_3\right|=\frac{0{,}25}{6}\left|1-1{,}5+0{,}75\right|=0{,}0416667\cdot 0{,}25=0{,}0104167\ ✔$

Margnotat: gjør denne kontrollen. Den er uavhengig av de to sluttsvarene, så den fanger regnefeil i begge.

Aksept eller forkast.

$\hat\varepsilon=0{,}0104167>5\cdot 10^{-3}=\text{Tol}\ \Longrightarrow\ \textbf{skrittet forkastes.}$

Ny steglengde. Den propagerte løsningen har orden $p=2$ , så eksponenten er $\tfrac13$ :

$h_{\text{ny}}=0{,}9\cdot 0{,}25\cdot\left(\frac{0{,}005}{0{,}0104167}\right)^{1/3}=0{,}225\cdot\left(0{,}48\right)^{1/3}.$

$0{,}48^{1/3}=e^{\ln 0{,}48/3}=e^{-0{,}7339692/3}=e^{-0{,}2446564}\approx 0{,}7829.$

$h_{\text{ny}}=0{,}225\cdot 0{,}7829\approx 0{,}1762.$

Svar: forkast, og gjør skrittet om fra $t=0$ med $h\approx 0{,}176$ .

Margnotat: si eksplisitt at skrittet gjøres om fra samme startpunkt, ikke at du går videre med en ny $h$ . Og kontroller retningen: $h_{\text{ny}}<h$ ved forkast ✔ — den kontrollen fanger den vanligste feilen, som er å snu brøken $\text{Tol}/\hat\varepsilon$ .

---

d) Stabilitet. Her er $f(t,y)=1-2y$ , altså $\lambda=-2$ (konstantleddet påvirker ikke stabiliteten — det er koeffisienten foran $y$ som teller).

Eksplisitt Euler: intervallet er $-2\le z\le 0$ med $z=\lambda h=-2h$ :

$-2h\ge -2\ \Longrightarrow\ h\le 1.$

RK4: intervallet er $-2{,}785\le z\le 0$ :

$-2h\ge -2{,}785\ \Longrightarrow\ h\le\frac{2{,}785}{2}\approx 1{,}393.$

Svar: Euler tåler $h\le 1$ , RK4 tåler $h\le 1{,}393$ .

Margnotat: legg merke til at stabiliteten ikke er noen begrensning her. Vi brukte $h=0{,}25$ , som er fire ganger under grensen for Euler. Problemet er ikke stivt ( $\left|\lambda\right|=2$ er lite), og steglengden bør derfor velges etter nøyaktighet. Det er verdt én setning: «stabilitetsgrensen $h\le 1$ er ikke bindende her; kravet på $h$ kommer fra nøyaktigheten, jf. feilestimatet i c).»

Samlet tidsbruk på eksamen: a) 8 min, b) 3 min, c) 8 min, d) 4 min — omtrent 23 minutter for en full tipoengsoppgave. Det ligger rett innenfor budsjettet.

— naturlig pausepunkt (~30 min brukt) —

Du har oppskriftene og ett gjennomregnet case. Resten av kapitlet er tolv oppgaver som roterer gjennom variantene. Ta dem gjerne fire og fire, over tre økter.

Oppgave 1–4 er ett skritt for hånd; 5–7 er Butcher og orden; 8–9 er innfelte par; 10–12 er stabilitet og sammensatte oppgaver.

Blokk 1 — Ett skritt for hånd (sjanger M)

📝Oppgave 1

Gitt $y'=3-y$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}5$ .

a) Ta ett Euler-skritt.
b) Ta ett Heun-skritt.
c) Ta ett bakover-Euler-skritt.
d) Eksakt er $y(0{,}5)=3-2e^{-0{,}5}\approx 1{,}7869387$ . Rangér metodene.

📝Oppgave 2

Gitt $y'=t\,y$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}2$ .

a) Ta ett Euler-skritt, og forklar hvorfor svaret ser rart ut.
b) Ta ett Heun-skritt.
c) Eksakt er $y(0{,}2)=e^{0{,}02}\approx 1{,}0202013$ . Kommenter.

📝Oppgave 3

Gitt $y'=t\,y$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}2$ .

a) Ta ett RK4-skritt. Skriv alle fire stigningstallene med argumenter.
b) Sammenlikn med Heun ( $1{,}02$ ) og eksakt ( $1{,}0202013$ ).

📝Oppgave 4

Gitt $y'=-y^{2}$ med $y(0)=2$ og $h=0{,}25$ .

a) Ta ett eksplisitt Euler-skritt.
b) Sett opp likningen for ett bakover-Euler-skritt og løs den eksakt.
c) Eksakt er $y(0{,}25)=\dfrac{2}{1+0{,}5}=\dfrac43$ . Sammenlikn.

— naturlig pausepunkt (~48 min brukt) —

Blokk 2 — Butcher-tabell og orden (sjanger M)

📝Oppgave 5

Bestem ordenen til metoden

$\begin{array}{c|ccc}0 & 0 & 0 & 0\\ \tfrac12 & \tfrac12 & 0 & 0\\ \tfrac34 & 0 & \tfrac34 & 0\\ \hline & \tfrac29 & \tfrac13 & \tfrac49\end{array}$

ved å sjekke betingelsene i tur og orden.

📝Oppgave 6

Les Butcher-tabellen ut av

def steg(f, t, y, h):
    k1 = f(t, y)
    k2 = f(t + h/3,   y + h*k1/3)
    k3 = f(t + 2*h/3, y + h*(-k1/3 + k2))
    return y + h*(k1 + 3*k3)/4

og bestem ordenen.

📝Oppgave 7

En metode har Butcher-tabellen

$\begin{array}{c|cc}0 & 0 & 0\\ \alpha & \alpha & 0\\ \hline & 1-\tfrac{1}{2\alpha} & \tfrac{1}{2\alpha}\end{array}$

for en parameter $\alpha>0$ .

a) Vis at metoden har orden 2 for enhver $\alpha>0$ .
b) Finn $R(z)$ og stabilitetsintervallet.
c) Hva blir metoden for $\alpha=1$ og for $\alpha=\tfrac12$ ?

Blokk 3 — Innfelte par og steglengde (sjanger N)

📝Oppgave 8

Bruk Heun–Euler-paret (

\mathbf b=(1,0)

av orden 1,

\hat{\mathbf b}=\left(\tfrac12,\tfrac12\right)

av orden 2, med

\mathbf c=(0,1)

a_{21}=1

) på

$y'=3-y,\qquad y(0)=1,\qquad h=0{,}5,$

med Tol $=10^{-1}$ og $P=0{,}9$ .

a) Regn feilestimatet.
b) Aksepteres skrittet?
c) Foreslå ny steglengde.

📝Oppgave 9

En integrator med et 3(4)-par kjører med Tol $=10^{-6}$ . Ved $h_0=0{,}1$ måles $\hat\varepsilon_0=2{,}5\cdot 10^{-5}$ .

a) Aksepteres skrittet, og hvilken eksponent gjelder?
b) Foreslå ny steglengde med $P=0{,}9$ .
c) Antar du i stedet at feilen oppfører seg som $Ch^{4}$ uten sikkerhetsfaktor: hvilken $h$ treffer toleransen nøyaktig?
d) Hvor mange skritt bruker de to forslagene på $[0,1]$ , og hvor mange forkastede skritt vil du forvente av hvert?

— naturlig pausepunkt (~68 min brukt) —

Blokk 4 — Stabilitet og sammensatte oppgaver (sjanger O)

📝Oppgave 10

Systemet

\mathbf y'=A\mathbf y

har

$A=\begin{pmatrix}-7 & 2\\ 2 & -4\end{pmatrix}.$

a) Finn egenverdiene, og kontroller dem.
b) Finn maks steglengde for eksplisitt Euler og for RK4 ( $\left|z^{*}\right|=2{,}785$ ).
c) Regn stivhetsforholdet og vurder om en implisitt metode er nødvendig.

📝Oppgave 11

M/O

Heuns metode brukes på $y'=1-2y$ , $y(0)=0$ , fram til $t=1$ . Eksakt: $y(1)=\tfrac12\left(1-e^{-2}\right)\approx 0{,}4323324$ .

Et konvergenseksperiment gir

$n$	$y_n$	Feil
4	$0{,}4237061$	$8{,}63\cdot 10^{-3}$
8	$0{,}4306111$	$1{,}72\cdot 10^{-3}$
16	$0{,}4319441$	$3{,}88\cdot 10^{-4}$
32	$0{,}4322400$	$9{,}24\cdot 10^{-5}$

a) Bestem den observerte ordenen.
b) Stemmer den med ordensbetingelsene?
c) Er stabiliteten en begrensning i noen av kjøringene?
d) Hvor mange skritt trengs omtrent for feil under

10^{-6}

📝Oppgave 12

M/N/O

Gitt

$y'=-4y+4,\qquad y(0)=0,\qquad h=0{,}4.$

Eksakt løsning: $y(t)=1-e^{-4t}$ , altså $y(0{,}4)=1-e^{-1{,}6}\approx 0{,}7981034$ .

a) Ta ett Heun-skritt.
b) Ta ett bakover-Euler-skritt.
c) Finn stabilitetsgrensen for Heun, og avgjør om $h=0{,}4$ er innenfor.
d) Bruk Heun–Euler-paret til å estimere feilen, og foreslå en steglengde som gir feil under $2\cdot 10^{-2}$ med $P=0{,}9$ .

Typiske feil — hele Del 7 samlet

Ett skritt for hånd (sjanger M)

1. Feil argument i $k_2$ eller $k_3$ . I Heun er argumentet $y_n+hk_1$ ; i RK4 bruker $k_3$ verdien av $k_2$ , ikke $k_1$ . Dette er den dokumenterte hovedfeilen i hele delen.

2. Feil $t$ -argument. I RK4 er $k_2$ og $k_3$ regnet i $t_n+\tfrac h2$ . Riktig struktur med feil tid gir feil svar.

3. Å behandle bakover-Euler som eksplisitt. Formelen har $y_{n+1}$ på begge sider, og likningen må løses.

Orden fra tabell eller kode (sjanger M)

4. Å stoppe før den første betingelsen faktisk feiler. Det er to betingelser på nivå 3 og fire på nivå 4. Går den første gjennom, er du ikke ferdig med nivået.

5. Å telle feil til slutt. Feiler en nivå-3-betingelse, er ordenen 2, ikke 3.

6. Å glemme faktoren utenfor parentesen i returlinja. h*(k1+4*k2+k3)/6 gir vektene $\tfrac16,\tfrac23,\tfrac16$ — ikke $1,4,1$ .

7. Å bruke radsum-betingelsen som argument for høy orden. Den er nødvendig, ikke tilstrekkelig.

Innfelte par (sjanger N)

8. Feil eksponent i steglengdeformelen. Den er $\tfrac{1}{p+1}$ , ikke $\tfrac1p$ .

9. Å snu brøken $\text{Tol}/\hat\varepsilon$ . Kontroll: forkast $\Rightarrow$ mindre $h$ ; aksept $\Rightarrow$ større $h$ .

10. Å regne stigningstallene to ganger. Hele poenget med paret er at de deles.

Stabilitet (sjanger O)

11. Å bruke feil egenverdi. Det er den mest negative som binder.

12. Å bare sjekke den ene siden av $\left|R\right|\le 1$ . Ulikheten må deles i $R\le 1$ og $R\ge -1$ .

13. Å blande $z$ og $h$ . Intervallet er i $z=\lambda h$ ; steglengdegrensen får du først etter å ha delt på $\left|\lambda\right|$ .

14. Å tro at høyere orden gir større stabilitetsområde. Euler og Heun har samme intervall $[-2,0]$ .

Gjennomgående

15. Å runde av for tidlig. Stigningstallene bygger på hverandre; regn med minst sju siffer.

16. Å blande $h$ i Del 7 med $h$ i Del 8. Her er $h$ steglengden i tid; i Del 8 er $h$ romsteget, og tidssteget skrives $\Delta t$ .

Formelkort for Del 7

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Kortene under er oppskriftene fra kapitlet i komprimert form, og de er samtidig kortene i flashcard-bunken. Tidsanslaget på 85 minutter gjelder oppskriftene, caset og oppgavene.

Oppskrift: ett skritt for hånd i seks steg

f(t,y)

Kort: de fire metodene og prisen deres

y_n+hk_1

Metode	Formel	Orden	Evalueringer
Euler	$y_n+hk_1$	1	1
Heun	$y_n+\tfrac h2\left(k_1+k_2\right)$	2	2
RK4	$y_n+\tfrac h6\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)$	4	4
Bakover-Euler	$y_n+hf\left(t_{n+1},y_{n+1}\right)$	1	1 + likning

Oppskrift: orden fra Butcher-tabell i fem steg

\mathbf c

Kort: ordensbetingelsene

p=1:\quad \sum_i b_i=1

Oppskrift: innfelt par i seks steg

\hat\varepsilon=\left|\hat y_1-y_1\right|=h\left|\sum_i\left(\hat b_i-b_i\right)k_i\right|

Oppskrift: stabilitet i seks steg

f=\lambda y

Kort: de viktigste stabilitetsfunksjonene

R(z)=1+z\quad\text{(Euler)},\qquad z^{*}=-2

Kort: kontrollrutinen før du leverer

k_i

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.