7.1 Euler, Heun og Runge–Kutta — ett skritt for hånd

De tre grunnleggende ODE-løserne og det som testes oftest: å ta ett skritt for hånd med riktig oppsett av stegene.

60 min

12 oppgaver

EulerHeunRunge–Kuttaett skritt for hånd

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Numeriske ODE-løsere er sjanger M. Boka bruker bokstavene

A

til

S

som korte navn på de nitten oppgavetypene på settene; M er Euler, Heun og Runge–Kutta.

Frekvens: 12 av 13 gjennomgåtte sett (92 %). Det gjør ODE-løserne til den nest hyppigste temagruppen i hele arkivet, etter Laplace og Fourier — og den mest forutsigbare delen av numerikk-blokken.

Formen er nesten alltid den samme: «gitt $y'=f(t,y)$ med $y(t_0)=y_0$ og $h=\dots$ , ta ett skritt med metoden.» Det er ren innsetting, og det er billige poeng — hvis oppstillingen er ryddig.

Det som skiller besvarelsene, er føringen. Et RK4-skritt har fire stigningstall som bygger på hverandre. Skriver du dem opp under hverandre med argumentene synlige, ser den som retter, at du gjør det riktige selv om ett tall er feil. Roter du dem sammen på én linje, forsvinner både oversikten og uttellingen.

Formelark-merking. Dette er kapitlet der arket gir deg aller mest:

- Står på det utdelte formelarket — tren oppslaget: Euler, forbedret Euler (Heun), klassisk RK4 og bakover-Euler, alle fire ferdig oppskrevet. Ferdigheten er å sette inn riktig $f$ , riktig $t_n$ , riktig $y_n$ og riktig $h$ — og å vite hvilket argument som hører til hvilket stigningstall.
- Må kunnes eller utledes aktivt: at bakover-Euler er implisitt og krever at du løser en likning for $y_{n+1}$ , at antall $f$ -evalueringer er metodens pris, og hva ordenen betyr for hvordan feilen faller når $h$ halveres.

Tidsbruk: 60 minutter lesetid, fire løkker. Naturlig pausepunkt etter løkke 2.

Forkunnskaper: kap. 6.4 — bakover-Euler krever at du løser en likning for den ukjente

y_{n+1}

, og er den ikke-lineær, er Newtons metode standardverktøyet.

Du trenger dessuten å kunne løse en enkel lineær førsteordens differensiallikning eksakt, siden vi hele veien sammenlikner med fasiten. For $y'+ay=b(t)$ er det integrerende faktor $e^{at}$ — men de eksakte løsningene er oppgitt der de trengs, så du kan lese kapitlet uten den ferdigheten.

Kapitlet er forutsetning for hele resten av Del 7: kap. 7.2 leser metodene ut av en Butcher-tabell, kap. 7.3 bruker to metoder samtidig, og kap. 7.4 undersøker når de er stabile.

Når du kjenner farten, men ikke veien

En differensiallikning $y'=f(t,y)$ forteller deg hvor bratt kurven er i ethvert punkt. Den forteller deg ikke hvor kurven ligger. Å løse likningen er å gå fra bratthet til bane.

For noen likninger går det an å gjøre eksakt. For de aller fleste går det ikke.

Den numeriske ideen er så enkel at den nesten virker for enkel: stå i et punkt, spør likningen hvor bratt det er, gå et lite skritt i den retningen, og spør på nytt.

$y_{n+1}=y_n+h\cdot(\text{et stigningstall}).$

Hverdagsbildet: du går i tett tåke med et kompass som bare virker der du står. Du leser av retningen, går ti meter, leser av på nytt. Går du korte skritt, følger du stien bra. Går du lange, kutter du svingene.

Hele forskjellen mellom metodene ligger i hvilket stigningstall du bruker.

- Euler bruker brattheten der du står. Enkelt, og det kutter svingene.
- Heun går et prøveskritt fram, ser hvor bratt det er der, og bruker gjennomsnittet. Dobbelt så mye arbeid, mye bedre svar.
- RK4 gjør fire slike prøver med ulik vekt. Fire ganger arbeidet, og en nøyaktighet som er i en helt annen klasse.
- Bakover-Euler bruker brattheten der du skal ende opp — noe du ikke vet ennå, og som derfor krever at du løser en likning. Prisen er høy; gevinsten kommer i kap. 7.4.

Vi regner alle fire på det samme problemet, slik at sammenlikningen blir ærlig.

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene er samtidig kortene i flashcard-bunken. Tidsanslaget på 60 minutter gjelder kjernestoffet.

Løkke 1 — Euler og oppsettet (~14 min)

Initialverdiproblemet

y'=f(t,y),\qquad y\left(t_0\right)=y_0.

Gitteret og steglengden

h

t_n=t_0+nh,\qquad n=0,1,2,\dots

Ett-skritts-metode

y_{n+1}

Eksplisitt Euler

y_{n+1}=y_n+h\,f\left(t_n,y_n\right).

Lokal avkuttingsfeil

\tau_{n+1}=y\left(t_{n+1}\right)-\left[y\left(t_n\right)+h\,\Phi\left(t_n,y\left(t_n\right),h\right)\right].

Global feil og konvergensorden

t_0

Metode	Lokal feil	Global orden $p$	Halvering av $h$ gir
Euler	$O\left(h^{2}\right)$	1	feil $/2$
Heun	$O\left(h^{3}\right)$	2	feil $/4$
RK4	$O\left(h^{5}\right)$	4	feil $/16$
Bakover-Euler	$O\left(h^{2}\right)$	1	feil $/2$

✏️Ett Euler-skritt, og hva som skjer når $h$ halveres

Gitt

y'=t-2y

med

y(0)=1

. Den eksakte løsningen er

$y(t)=\tfrac54 e^{-2t}+\tfrac{t}{2}-\tfrac14,$

som gir $y(0{,}2)\approx 0{,}6879001$ .

a) Ta ett Euler-skritt med $h=0{,}2$ .
b) Ta to Euler-skritt med $h=0{,}1$ .
c) Ta fire Euler-skritt med $h=0{,}05$ , og kommenter feilene.

a) Ett skritt med $h=0{,}2$ .

$f(0,1)=0-2\cdot 1=-2.$

$y_1=y_0+h\,f\left(t_0,y_0\right)=1+0{,}2\cdot(-2)=1-0{,}4=0{,}6.$

Feil: $\left|0{,}6-0{,}6879001\right|=0{,}0879001$ .

b) To skritt med $h=0{,}1$ .

$f(0,1)=-2\ \Longrightarrow\ y_1=1+0{,}1\cdot(-2)=0{,}8,$
$f(0{,}1;\ 0{,}8)=0{,}1-1{,}6=-1{,}5\ \Longrightarrow\ y_2=0{,}8+0{,}1\cdot(-1{,}5)=0{,}65.$

Feil: $\left|0{,}65-0{,}6879001\right|=0{,}0379001$ .

c) Fire skritt med $h=0{,}05$ .

$f(0;\ 1)=-2\ \Longrightarrow\ y_1=1-0{,}1=0{,}9,$
$f(0{,}05;\ 0{,}9)=0{,}05-1{,}8=-1{,}75\ \Longrightarrow\ y_2=0{,}9-0{,}0875=0{,}8125,$
$f(0{,}1;\ 0{,}8125)=0{,}1-1{,}625=-1{,}525\ \Longrightarrow\ y_3=0{,}8125-0{,}07625=0{,}73625,$
$f(0{,}15;\ 0{,}73625)=0{,}15-1{,}4725=-1{,}3225\ \Longrightarrow\ y_4=0{,}73625-0{,}0661250=0{,}670125.$

Feil: $\left|0{,}670125-0{,}6879001\right|=0{,}0177751$ .

Samlet:

$h$	Skritt	$y$ ved $t=0{,}2$	Feil	Forhold
$0{,}2$	1	$0{,}6$	$8{,}79\cdot 10^{-2}$	—
$0{,}1$	2	$0{,}65$	$3{,}79\cdot 10^{-2}$	$2{,}32$
$0{,}05$	4	$0{,}670125$	$1{,}78\cdot 10^{-2}$	$2{,}13$

Feilen halveres omtrent hver gang $h$ halveres. Forholdene

2{,}32

2{,}13

nærmer seg 2, som er nøyaktig det orden 1 betyr.
To ting å legge merke til.
For det første går forholdet mot 2 nedenfra, ikke fra 2 med en gang. Ordensresultatet er asymptotisk: det gjelder når

h

er liten nok til at det ledende feilleddet dominerer.
For det andre er alle tilnærmingene for små. Løsningen er konveks her, og Euler-tangentene ligger under kurven. Slike fortegnsargumenter er gratis kontroller — og de er ofte nok til å avsløre en regnefeil.

Tidsbruk på eksamen: ett Euler-skritt er ett minutt. Det er blant de billigste poengene på hele settet.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren innsetting.) Gitt $y'=t+y$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}1$ .

a) Regn ut $f\left(t_0,y_0\right)$ .
b) Ta ett Euler-skritt.
c) Ta ett skritt til.

📝Oppgave 2

Gitt $y'=y-t^{2}$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}2$ .

a) Ta to Euler-skritt.
b) Den eksakte løsningen er $y(t)=t^{2}+2t+2-e^{t}$ . Regn ut $y(0{,}4)$ og finn feilen.

Løkke 2 — Heun og RK4 (~18 min)

Eulers svakhet er at den bruker brattheten i startpunktet for hele skrittet. Både Heun og RK4 gjør noe med akkurat det.

Forbedret Euler (Heuns metode)

k_1=f\left(t_n,y_n\right),

Prediktor–korrektor-tolkningen

\tilde y=y_n+h k_1

Klassisk Runge–Kutta (RK4)

k_1=f\left(t_n,\ y_n\right),

Vektene i RK4

\frac16\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right).

Kostnad:

f

-evalueringer per skritt

h

Metode	Evalueringer	Orden	Nøyaktighet per evaluering
Euler	1	1	lav
Heun	2	2	middels
RK4	4	4	høy

✏️Euler, Heun og RK4 på samme skritt

Gitt $y'=t-2y$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}2$ . Eksakt: $y(0{,}2)\approx 0{,}6879001$ .

Ta ett skritt med hver av Euler, Heun og RK4, og sammenlikn.

Euler (fra eksempel 1):

$k=f(0;\ 1)=0-2=-2,\qquad y_1=1+0{,}2(-2)=0{,}6.$

Heun. To stigningstall:

$k_1=f(0;\ 1)=0-2\cdot 1=-2,$
$k_2=f\left(0+0{,}2,\ 1+0{,}2\cdot(-2)\right)=f(0{,}2;\ 0{,}6)=0{,}2-2\cdot 0{,}6=0{,}2-1{,}2=-1.$

$y_1=1+\frac{0{,}2}{2}\left(-2+(-1)\right)=1+0{,}1\cdot(-3)=1-0{,}3=0{,}7.$

RK4. Fire stigningstall — merk hvilket punkt hvert er regnet i:

$k_1=f(0;\ 1)=-2,$
$k_2=f\left(0{,}1;\ 1+0{,}1\cdot(-2)\right)=f(0{,}1;\ 0{,}8)=0{,}1-1{,}6=-1{,}5,$
$k_3=f\left(0{,}1;\ 1+0{,}1\cdot(-1{,}5)\right)=f(0{,}1;\ 0{,}85)=0{,}1-1{,}7=-1{,}6,$
$k_4=f\left(0{,}2;\ 1+0{,}2\cdot(-1{,}6)\right)=f(0{,}2;\ 0{,}68)=0{,}2-1{,}36=-1{,}16.$

$y_1=1+\frac{0{,}2}{6}\left(-2+2(-1{,}5)+2(-1{,}6)+(-1{,}16)\right).$

Summen i parentesen: $-2-3-3{,}2-1{,}16=-9{,}36$ .

$y_1=1+\frac{0{,}2}{6}\cdot(-9{,}36)=1-0{,}312=0{,}688.$

Sammenlikning.

Metode	Evalueringer	$y_1$	Feil
Euler	1	$0{,}6$	$8{,}79\cdot 10^{-2}$
Heun	2	$0{,}7$	$1{,}21\cdot 10^{-2}$
RK4	4	$0{,}688$	$9{,}99\cdot 10^{-5}$
Eksakt	—	$0{,}6879001$	—

Fire ganger arbeidet gir nesten tusen ganger mindre feil. Det er hele argumentet for RK4.
Legg merke til at Heun bommer på den andre siden av Euler. Euler ga

0{,}6

(for lavt), Heun ga

0{,}7

(for høyt). Det er vanlig, men ikke en regel — det avhenger av krumningen.
Kontroller du selv? Tre raske sjekker: (1) alle

k_i

skal være i samme størrelsesorden — er ett av dem vilt avvikende, er et argument satt inn feil; (2) vektene

\displaystyle \frac16(1+2+2+1)=1

✔; (3) svaret skal ligge mellom Euler og Heun her, siden RK4 er den mest nøyaktige.
Tidsbruk på eksamen: hele denne oppgaven er 6–8 minutter når oppstillingen sitter.

📝Oppgave 3

Gitt $y'=t+y$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}1$ .

a) Ta ett Heun-skritt.
b) Ta ett RK4-skritt.
c) Den eksakte verdien er $y(0{,}1)=2e^{0{,}1}-1{,}1\approx 1{,}1103418$ . Sammenlikn feilene med Eulers, som ga $1{,}1$ .

📝Oppgave 4

Gitt $y'=y-t^{2}$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}2$ .

a) Ta ett Heun-skritt.
b) Ta ett RK4-skritt.
c) Eksakt er $y(0{,}2)=0{,}04+0{,}4+2-e^{0{,}2}\approx 1{,}2185598$ . Rangér metodene.

— naturlig pausepunkt (~32 min brukt) —

Du kan de tre eksplisitte metodene. Resten av kapitlet er den implisitte varianten — som ser ubehagelig ut, men som er uunnværlig for en bestemt klasse problemer.

Løkke 3 — Bakover-Euler og stive problemer (~15 min)

Implisitt metode

y_{n+1}

Bakover-Euler

y_{n+1}=y_n+h\,f\left(t_{n+1},\ y_{n+1}\right).

Å løse for

y_{n+1}

f(t,y)=a(t)y+b(t)

Stive problemer

10^{-4}

✏️Bakover-Euler i lineært og ikke-lineært tilfelle

a) Gitt

y'=t-2y

med

y(0)=1

h=0{,}2

. Ta ett bakover-Euler-skritt og sammenlikn med de eksplisitte metodene.

b) Gitt $y'=-y^{2}$ med $y(0)=1$ og $h=0{,}5$ . Ta ett bakover-Euler-skritt. Eksakt: $y(0{,}5)=\tfrac{1}{1{,}5}\approx 0{,}6666667$ .

a) Lineært tilfelle. Likningen er

$y_1=y_0+h\,f\left(t_1,y_1\right)=1+0{,}2\left(0{,}2-2y_1\right).$

Gang ut og samle $y_1$ :

$y_1=1+0{,}04-0{,}4y_1\ \Longrightarrow\ y_1+0{,}4y_1=1{,}04\ \Longrightarrow\ 1{,}4\,y_1=1{,}04.$

$y_1=\frac{1{,}04}{1{,}4}=\frac{104}{140}=\frac{26}{35}\approx 0{,}7428571.$

Sammenlikning med de andre metodene:

Metode	$y_1$	Feil	Evalueringer
Eksplisitt Euler	$0{,}6$	$8{,}79\cdot 10^{-2}$	1
Bakover-Euler	$0{,}7428571$	$5{,}50\cdot 10^{-2}$	1 + en likning
Heun	$0{,}7$	$1{,}21\cdot 10^{-2}$	2
RK4	$0{,}688$	$9{,}99\cdot 10^{-5}$	4
Eksakt	$0{,}6879001$	—	—

Legg merke til at bakover-Euler bommer på motsatt side av eksplisitt Euler, og omtrent like mye. Det er typisk: den ene metoden undervurderer, den andre overvurderer, og begge har orden 1.
Er bakover-Euler da bortkastet her? For dette problemet, ja — det er ikke stivt, og de eksplisitte metodene er både enklere og bedre. Poenget med bakover-Euler er ikke nøyaktighet, men stabilitet, og den gevinsten ser du ikke før i kap. 7.4.
b) Ikke-lineært tilfelle. Likningen er

y_1=1+0{,}5\cdot\left(-y_1^{2}\right)=1-0{,}5\,y_1^{2}.

Nå står $y_1$ i annen potens — dette er ikke lenger en lineær likning. Ordne den:

0{,}5\,y_1^{2}+y_1-1=0\ \Longleftrightarrow\ y_1^{2}+2y_1-2=0.

Abc-formelen:

$y_1=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt3}{2}=-1\pm\sqrt3.$

Vi trenger den positive rota (løsningen starter i 1 og avtar mot null, den blir aldri negativ):

$y_1=\sqrt3-1\approx 0{,}7320508.$

Feil: $\left|0{,}7320508-0{,}6666667\right|\approx 0{,}0653841$ .

(Til sammenlikning gir eksplisitt Euler $y_1=1+0{,}5\cdot(-1)=0{,}5$ , med feil $0{,}1666667$ — mer enn dobbelt så mye.)

Merk hva som skjedde. Her lot likningen seg løse eksakt fordi den var en andregradslikning. I praksis er den sjelden det, og da må du bruke Newtons metode på

$G(z)=z-1+0{,}5z^{2}=0,\qquad G'(z)=1+z.$

Fra startverdien $z_0=0{,}5$ (Euler-prediksjonen) gir Newton

$z_1=0{,}5-\frac{0{,}5-1+0{,}125}{1{,}5}=0{,}5+\frac{0{,}375}{1{,}5}=0{,}75,$

$z_2=0{,}75-\frac{0{,}75-1+0{,}28125}{1{,}75}=0{,}75-\frac{0{,}03125}{1{,}75}\approx 0{,}7321429,$

altså fire korrekte siffer på to Newton-skritt. Det er den fulle prisen for ett implisitt skritt: én likningsløsning, som selv er en iterasjon.

Tidsbruk på eksamen: det lineære tilfellet er 3 minutter, det ikke-lineære 6–8.

📝Oppgave 5

Gitt $y'=-4y+t$ med $y(0)=2$ og $h=0{,}25$ .

a) Ta ett eksplisitt Euler-skritt.
b) Ta ett bakover-Euler-skritt.
c) Kommenter de to svarene.

Løkke 4 — Systemer og full eksamensoppgave (~13 min)

Alle metodene i kapitlet virker uendret på systemer av differensiallikninger — du bytter bare tall mot vektorer. Det er verdt fem minutter, fordi det er slik metodene faktisk brukes.

Systemer av differensiallikninger

\mathbf y'=\mathbf f\left(t,\mathbf y\right),\qquad \mathbf y\left(t_0\right)=\mathbf y_0,

Metodevalg: hvilken løser når?

h

Situasjonen	Velg	Fordi
Glatt problem, moderat krav	RK4	best nøyaktighet per evaluering
Rask overslagsregning for hånd	Heun	to evalueringer, orden 2
Bare ett skritt skal vises	Euler	én evaluering, én linje
Stivt problem	Bakover-Euler eller annen implisitt	eksplisitte metoder krever absurd liten $h$
Svingende system over lang tid	RK4 eller en energibevarende metode	Euler pumper energi inn i systemet

Kontrollrutine for ett skritt for hånd

k_i

✏️Eksamensnivå: fire metoder, ett problem

Gitt initialverdiproblemet

$y'=2t-y,\qquad y(0)=1,\qquad h=0{,}4.$

a) Vis at den eksakte løsningen er $y(t)=2t-2+3e^{-t}$ , og regn ut $y(0{,}4)$ .
b) Ta ett skritt med Euler og ett med Heun.
c) Ta ett skritt med RK4.
d) Ta ett skritt med bakover-Euler.
e) Sett opp en tabell og rangér metodene etter feil og etter kostnad.

a) Kontroll av den eksakte løsningen.

$y'(t)=2-3e^{-t},\qquad 2t-y=2t-\left(2t-2+3e^{-t}\right)=2-3e^{-t}.$

De to er like ✔, og $y(0)=0-2+3=1$ ✔.

$y(0{,}4)=0{,}8-2+3e^{-0{,}4}=-1{,}2+3\cdot 0{,}6703200=-1{,}2+2{,}0109601=0{,}8109601.$

b) Euler.

$k=f(0;\ 1)=0-1=-1,\qquad y_1=1+0{,}4\cdot(-1)=0{,}6.$

Feil: $0{,}2109601$ .

Heun.

$k_1=f(0;\ 1)=-1,$
$k_2=f\left(0{,}4;\ 1+0{,}4\cdot(-1)\right)=f(0{,}4;\ 0{,}6)=0{,}8-0{,}6=0{,}2.$

$y_1=1+\frac{0{,}4}{2}\left(-1+0{,}2\right)=1+0{,}2\cdot(-0{,}8)=1-0{,}16=0{,}84.$

Feil: $0{,}0290399$ .

c) RK4.

$k_1=f(0;\ 1)=-1,$
$k_2=f\left(0{,}2;\ 1+0{,}2\cdot(-1)\right)=f(0{,}2;\ 0{,}8)=0{,}4-0{,}8=-0{,}4,$
$k_3=f\left(0{,}2;\ 1+0{,}2\cdot(-0{,}4)\right)=f(0{,}2;\ 0{,}92)=0{,}4-0{,}92=-0{,}52,$
$k_4=f\left(0{,}4;\ 1+0{,}4\cdot(-0{,}52)\right)=f(0{,}4;\ 0{,}792)=0{,}8-0{,}792=0{,}008.$

Vektet sum: $-1+2(-0{,}4)+2(-0{,}52)+0{,}008=-1-0{,}8-1{,}04+0{,}008=-2{,}832$ .

$y_1=1+\frac{0{,}4}{6}\cdot(-2{,}832)=1-0{,}1888=0{,}8112.$

Feil: $\left|0{,}8112-0{,}8109601\right|=0{,}0002399$ .

d) Bakover-Euler.

$y_1=1+0{,}4\left(2\cdot 0{,}4-y_1\right)=1+0{,}32-0{,}4y_1.$

$1{,}4\,y_1=1{,}32\ \Longrightarrow\ y_1=\frac{1{,}32}{1{,}4}=\frac{66}{70}=\frac{33}{35}\approx 0{,}9428571.$

Feil: $0{,}1318970$ .

e) Samlet tabell.

Metode	$y_1$	Feil	$f$ -evalueringer	Orden
Euler	$0{,}6$	$2{,}11\cdot 10^{-1}$	1	1
Bakover-Euler	$0{,}9428571$	$1{,}32\cdot 10^{-1}$	1 + likning	1
Heun	$0{,}84$	$2{,}90\cdot 10^{-2}$	2	2
RK4	$0{,}8112$	$2{,}40\cdot 10^{-4}$	4	4
Eksakt	$0{,}8109601$	—	—	—

Rangering etter feil: RK4, Heun, bakover-Euler, Euler.
Rangering etter kostnad: Euler (1), bakover-Euler (1 + en likning), Heun (2), RK4 (4).
Konklusjonen for et ikke-stivt problem som dette er entydig: RK4 gir nesten tusen ganger mindre feil enn Euler for fire ganger arbeidet. Det er en glimrende handel.
Merk hvor de to Euler-variantene ligger. De har samme orden, men bommer hver sin vei — Euler for lavt, bakover-Euler for høyt. Den eksakte verdien ligger mellom dem, og det er ingen tilfeldighet: gjennomsnittet av de to er

0{,}7714

, og en vektet variant av nettopp den ideen gir trapesmetoden — som du møter igjen som Crank–Nicolson i Del 8.
Tidsbruk på eksamen: a) 3 min, b) 5 min, c) 7 min, d) 3 min, e) 4 min — omtrent 22 minutter for en oppgave på 10 poeng, altså rett innenfor budsjettet.

📝Oppgave 6

Systemet

$u'=v,\qquad v'=-u,$

med $u(0)=1$ , $v(0)=0$ og $h=0{,}2$ , har den eksakte løsningen $u(t)=\cos t$ , $v(t)=-\sin t$ .

a) Ta ett Euler-skritt for begge komponentene.
b) Ta ett Heun-skritt.
c) Sammenlikn med $u(0{,}2)=\cos 0{,}2\approx 0{,}9800666$ og $v(0{,}2)=-\sin 0{,}2\approx -0{,}1986693$ .

📝Oppgave 7

Gitt $y'=-10y$ med $y(0)=1$ .

a) Ta ett eksplisitt Euler-skritt med $h=0{,}25$ , og deretter med $h=0{,}1$ .
b) Ta ett bakover-Euler-skritt med de samme to steglengdene.
c) Den eksakte løsningen er $y(t)=e^{-10t}$ . Kommenter hva som skjer, og hvilken $h$ eksplisitt Euler trenger for å oppføre seg fornuftig.

📝Oppgave 8

Vis at Heuns metode har orden 2 for en likning der $f$ bare avhenger av $t$ , altså $y'=f(t)$ .

a) Hva blir Heun-skrittet i dette tilfellet?
b) Hvilken kvadraturformel svarer det til?
c) Bruk feilleddet derfra til å bestemme den lokale avkuttingsfeilen.

Typiske feil

1. Å bruke $y_n$ i stedet for det oppdaterte argumentet i $k_2$ eller $k_3$ . Dette er den dokumenterte hovedfeilen i sjangeren. I Heun er argumentet

y_n+hk_1

; i RK4 bruker

k_3

verdien av

k_2

, ikke

k_1

. Bruker du

y_n

overalt, degenererer metoden til Euler.

2. Feil vekter i RK4. Det er $\displaystyle \frac16\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)$ — de to midtstigningstallene teller dobbelt. Kontroll: vektene skal summere til 1.

3. Å behandle bakover-Euler som eksplisitt. Formelen har $y_{n+1}$ på begge sider. Du må løse en likning; du kan ikke sette inn $y_n$ på høyresiden.

4. Feil $t$ -argument. I RK4 er $k_2$ og $k_3$ regnet i $\displaystyle t_n+\frac h2$ , ikke i $t_n+h$ . Å bruke feil $t$ gir riktig struktur og feil svar.

5. Å forveksle lokal og global orden. Lokal avkuttingsfeil $O\left(h^{p+1}\right)$ svarer til global orden $p$ . Euler har lokal feil $O\left(h^{2}\right)$ og global orden 1.

6. Å runde av for tidlig. Stigningstallene bygger på hverandre, så avrunding i $k_1$ forplanter seg til alle fire. Regn med minst sju siffer underveis.

7. Å bruke en eksplisitt metode på et stivt problem uten å kommentere det. Får du negative eller voksende verdier der løsningen skal dø ut, er det ikke en regnefeil — det er ustabilitet, og det skal du si.

8. Å blande $h$ i Del 7 med $h$ i Del 8. Her er $h$ steglengden i tid. I Del 8 er $h$ romsteget, og tidssteget skrives $\Delta t$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.