6.2 Numerisk integrasjon — trapes, Simpson, presisjonsgrad og Gauss–Legendre

Trapes- og Simpson-regelen med feilledd, presisjonsgrad ved å teste $x^n$, og den nye Gauss–Legendre-kvadraturen med utdelt node-/vekt-tabell.

60 min

14 oppgaver

Numerisk integrasjontrapesSimpsonpresisjonsgradGauss–Legendre

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Numerisk integrasjon er sjanger J. Boka bruker bokstavene

A

til

S

som korte navn på de nitten oppgavetypene på settene; J er numerisk integrasjon med presisjonsgrad. Interpolasjon var

I

— og det er ingen tilfeldighet at de står ved siden av hverandre: en kvadraturformel er integralet av et interpolasjonspolynom.

Frekvens: 8 av 13 gjennomgåtte sett (62 %) — den hyppigste enkeltmetoden i hele numerikk-blokken. To delspørsmål går igjen:

1. Presisjonsgrad: «bestem presisjonsgraden til denne formelen» — du tester på $1, x, x^2,\dots$ til den feiler.
2. Velg $h$ eller $n$ fra feilleddet: «hvor mange delintervall trengs for at feilen skal bli under $0{,}01$ ?»

Formelark-merking.

- Står på det utdelte formelarket — tren oppslaget: trapesregelen med feilleddet $\displaystyle |\varepsilon|\le\frac{b-a}{12}h^{2}\max|f''|$ , Simpsons regel med feilleddet $\displaystyle |\varepsilon|\le\frac{b-a}{180}h^{4}\max|f^{(4)}|$ , og selve vektmønsteret $1,4,2,\dots,4,1$ . Ferdigheten er å plukke riktig linje og sette inn riktig $h$ , $b-a$ og derivertorden.
- Må kunnes eller utledes aktivt: presisjonsgrad-testen (formelarket har ingen liste over presisjonsgrader), transformasjonen $[a,b]\to[-1,1]$ i Gauss-kvadratur, og selve resonnementet som løser feilleddet for $h$ .

Tidsbruk: 60 minutter lesetid, fire løkker. Naturlig pausepunkt etter løkke 2.

Gauss–Legendre-kvadratur er ny i dette emnet, og arkivbelegget er tynt. Det sier vi rett ut.

Metoden opptrer i 1 av de 13 gjennomgåtte settene — kontinuasjonssettet fra 2024. Det er ett sett. Vi vet altså ikke om den er kommet for å bli eller var et engangsinnfall.

Argumentet for å ta den likevel: den er det nyeste innslaget i arkivet, node- og vekttabellen deles ut i selve oppgaven (så du skal ikke huske tall), og selve regnearbeidet er kort. Kommer den, er den billig å score på.

Argumentet for å nedprioritere: ett sett er et smalt grunnlag. Har du dårlig tid, kommer løkke 4 etter alt annet i dette kapitlet — og etter Del 2, Del 3, Del 5, Del 7 og Del 8.

Vår anbefaling: les løkke 4, gjør minst én oppgave. Det er femten minutter, og det er lite å holde styr på: én transformasjonsformel og én tabell.

Forkunnskaper: kap. 6.1 — interpolasjonspolynomet og interpolasjonsfeilen. Alle kvadraturformlene i dette kapitlet er integralet av et interpolasjonspolynom, og feilleddene arver formen sin derfra.

Du trenger også vanlig integralregning: eksakt integrasjon av polynomer, og at $\displaystyle \int_1^3 \frac{dx}{x}=\ln 3$ .

Kapitlet er forutsetning for differansemetodene i Del 8, der de samme Taylor-argumentene dukker opp igjen — der som avkuttingsfeil i stedet for kvadraturfeil.

Når det ikke finnes noen antiderivert

$\int_0^1 e^{-x^{2}}\,dx$ har ingen antiderivert som kan skrives med elementære funksjoner. Det har ikke $\displaystyle \int \frac{\sin x}{x}dx$ heller. Og i praksis er situasjonen ofte enda enklere: du har ikke en funksjon i det hele tatt, bare en måleserie, og du skal finne arealet under den.

Numerisk integrasjon (kvadratur) er svaret på begge deler. Ideen er enkel og går rett tilbake til kap. 6.1:

1. Legg et interpolasjonspolynom gjennom noen punkter på kurven.
2. Integrer polynomet i stedet — det kan du alltid gjøre eksakt.

Bruker du en rett linje gjennom to punkter, får du trapesregelen. Bruker du en parabel gjennom tre punkter, får du Simpsons regel. Det er hele hemmeligheten, og den forklarer også hvorfor feilleddene ser ut som de gjør: de er integralet av interpolasjonsfeilen.

Så kommer et vendepunkt. I trapes og Simpson bestemmer du selv bare $h$ — nodene ligger der de ligger. Men hva om du får velge nodene også? Da kan du med $N$ punkter treffe polynomer helt opp til grad $2N-1$ , i stedet for grad $N-1$ . Det er Gauss–Legendre-kvadratur, og det er den siste løkka i kapitlet.

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene er samtidig kortene i flashcard-bunken. Tidsanslaget på 60 minutter gjelder kjernestoffet.

Løkke 1 — Trapes og Simpson (~17 min)

Kvadraturformel

\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{m} w_i\,f(x_i).

Trapesregelen

f

Sammensatt trapesregel

[a,b]

Simpsons regel

f

Sammensatt Simpson og vektmønsteret

[a,b]

Hvorfor

n

må være et partall i Simpson

[a,b]

✏️Trapes og Simpson på samme integral

Regn ut $\displaystyle \displaystyle\int_1^3\frac{dx}{x}$ tilnærmet med $n=4$ delintervall, både med trapesregelen og med Simpsons regel. Sammenlikn med den eksakte verdien $\ln 3\approx 1{,}098612$ .

Steg 1 — nodene.

h=\dfrac{3-1}{4}=0{,}5

, og nodene er

$x_0=1,\quad x_1=1{,}5,\quad x_2=2,\quad x_3=2{,}5,\quad x_4=3.$

Funksjonsverdiene $f=1/x$ :

$i$	$x_i$	$f_i$
0	1	$1$
1	$1{,}5$	$2/3\approx 0{,}666667$
2	2	$1/2=0{,}5$
3	$2{,}5$	$2/5=0{,}4$
4	3	$1/3\approx 0{,}333333$

Steg 2 — trapesregelen. Mønsteret er

1,2,2,2,1

T_4=\frac{0{,}5}{2}\left(1+2\left(\tfrac23+\tfrac12+\tfrac25\right)+\tfrac13\right)=0{,}25\left(1+2\cdot\tfrac{47}{30}+\tfrac13\right).

=0{,}25\cdot\frac{67}{15}=\frac{67}{60}\approx 1{,}116667.

Feil:

|T_4-\ln 3|\approx 0{,}018054

.
Steg 3 — Simpsons regel. Mønsteret er

1,4,2,4,1

S_4=\frac{0{,}5}{3}\left(1+4\cdot\tfrac23+2\cdot\tfrac12+4\cdot\tfrac25+\tfrac13\right)=\frac16\left(1+\tfrac83+1+\tfrac85+\tfrac13\right).

Felles nevner 15: $\tfrac{15+40+15+24+5}{15}=\tfrac{99}{15}$ , så

$S_4=\frac16\cdot\frac{99}{15}=\frac{99}{90}=\frac{11}{10}=1{,}1.$

Feil: $|S_4-\ln 3|\approx 0{,}001388$ .

Steg 4 — sammenlikning. Med nøyaktig de samme fem funksjonsverdiene er Simpson tretten ganger mer nøyaktig enn trapes. Det eneste som skiller dem, er vektene.

Hvorfor? Trapes bruker rette linjer og er eksakt for polynomer av grad 1. Simpson bruker parabler og er eksakt helt opp til grad 3 (det viser vi i løkke 3). Funksjonen $1/x$ er krum, og krumningen er nettopp det trapes ikke fanger.

En observasjon verdt å ta med: trapesverdien er for stor. Det er ikke tilfeldig — $1/x$ er konveks, og trapes-linjene ligger da over kurven overalt. Slike fortegnsargumenter er gratis kontroller.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren avlesning.) Et integral over $[0,2]$ skal regnes med $n=4$ delintervall.

a) Hva er $h$ , og hvilke noder gir det?
b) Skriv opp vektmønsteret for trapesregelen.
c) Skriv opp vektmønsteret for Simpsons regel.

📝Oppgave 2

Regn ut $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 \frac{dx}{1+x}$ tilnærmet med Simpsons regel og $n=2$ . Sammenlikn med den eksakte verdien $\ln 3$ .

Løkke 2 — Feilleddene og valg av $n$ (~15 min)

Nå kommer det du faktisk blir bedt om på eksamen: hvor mange delintervall trengs for at feilen skal komme under en gitt toleranse?

Feilleddet for trapesregelen

h

Fortegnet på trapesfeilen

f

Feilleddet for Simpsons regel

h

Konvergensorden

p

Regel	Orden	Halvering av $h$ gir
Trapes	2	feil $/4$
Simpson	4	feil $/16$

Å velge

n

fra feilleddet

M

✏️Hvor mange delintervall trengs?

Integralet $\displaystyle \displaystyle\int_1^3\frac{dx}{x}$ skal regnes med feil under $10^{-3}$ .

a) Hvor mange delintervall trengs med trapesregelen?
b) Hvor mange trengs med Simpsons regel?

Steg 1 — de deriverte. Med

f(x)=1/x

$f'=-\frac{1}{x^{2}},\quad f''=\frac{2}{x^{3}},\quad f'''=-\frac{6}{x^{4}},\quad f^{(4)}=\frac{24}{x^{5}}.$

Begge de aktuelle er avtakende i absoluttverdi på $[1,3]$ , så maksimum ligger i venstre endepunkt:

$M_2=\max_{[1,3]}\left|f''\right|=2,\qquad M_4=\max_{[1,3]}\left|f^{(4)}\right|=24.$

a) Trapes. Med $b-a=2$ :

$\frac{2}{12}h^{2}\cdot 2\le 10^{-3}\ \Longleftrightarrow\ \frac{h^{2}}{3}\le 10^{-3}\ \Longleftrightarrow\ h^{2}\le 3\cdot 10^{-3}.$

$h\le\sqrt{0{,}003}\approx 0{,}054772.$

$n=\frac{b-a}{h}\ge\frac{2}{0{,}054772}\approx 36{,}51\ \Longrightarrow\ \boxed{n=37}.$

Kontroll: med $n=37$ er $h=2/37\approx 0{,}054054$ og grensen blir $\displaystyle \frac{2}{12}(0{,}054054)^2\cdot 2\approx 9{,}74\cdot 10^{-4}<10^{-3}$ ✔. Med $n=36$ blir grensen $1{,}029\cdot 10^{-3}$ , altså over kravet — avrundingen oppover var nødvendig.

b) Simpson. Med $b-a=2$ :

$\frac{2}{180}h^{4}\cdot 24\le 10^{-3}\ \Longleftrightarrow\ \frac{48}{180}h^{4}\le 10^{-3}\ \Longleftrightarrow\ h^{4}\le\frac{180}{48}\cdot 10^{-3}=3{,}75\cdot 10^{-3}.$

$h\le\left(3{,}75\cdot 10^{-3}\right)^{1/4}\approx 0{,}247589.$

$n\ge\frac{2}{0{,}247589}\approx 8{,}08.$

Rund opp til nærmeste partall: $n=10$ .

Kontroll: $n=10$ gir $h=0{,}2$ og grensen $\displaystyle \frac{2}{180}(0{,}2)^4\cdot 24\approx 4{,}27\cdot 10^{-4}<10^{-3}$ ✔. Og $n=8$ ( $h=0{,}25$ ) gir $1{,}042\cdot 10^{-3}$ , altså over kravet — så $n=10$ er det minste brukbare partallet.

Svar: trapes trenger 37 delintervall, Simpson trenger 10.

Kommentaren som hører til. Simpson trenger under en tredjedel så mange funksjonsevalueringer for samme garanti. Det er hele argumentet for Simpson, og det er verdt én setning i besvarelsen.

Merk også at anslagene er romslige. Vi så i eksempel 1 at $S_4$ allerede hadde feil $0{,}0014$ — ikke langt fra $10^{-3}$ med bare fire delintervall, mens garantien krevde ti. Garantien bruker $M_4=24$ , som gjelder ved $x=1$ ; ved $x=3$ er $|f^{(4)}|$ bare $24/243\approx 0{,}1$ .

📝Oppgave 3

\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx

skal regnes med trapesregelen og feil under

10^{-4}

a) Finn $\max|f''|$ på $[0,1]$ .
b) Bestem det minste antallet delintervall $n$ som garanterer kravet.
c) Hvor mange delintervall ville Simpsons regel trengt?

📝Oppgave 4

Du regner et integral med sammensatt trapesregel og får feilen $0{,}0080$ med $n=10$ .

a) Hva forventer du at feilen blir med $n=20$ ?
b) Hvor stor må $n$ omtrent være for at feilen skal komme under $10^{-4}$ ?
c) Samme spørsmål som b), men for en metode av orden 4.

— naturlig pausepunkt (~32 min brukt) —

Du kan regne begge formlene og velge $n$ fra feilleddet. De to siste løkkene er de som skiller: presisjonsgrad, som er det hyppigste teorispørsmålet i sjangeren, og Gauss–Legendre, som er det nyeste.

Løkke 3 — Presisjonsgrad (~14 min)

Dette er delspørsmålet som går igjen: «bestem presisjonsgraden». Det er en kort, mekanisk prosedyre — men det er svært lett å stoppe ett skritt for tidlig.

Presisjonsgrad

d

Formel	Presisjonsgrad
Trapes	1
Simpson	3
Midtpunkt	1
Gauss–Legendre med $N$ noder	$2N-1$

Testprosedyren for presisjonsgrad

[-1,1]

Symmetri gir gratis grader

x^{3}

Midtpunktsregelen

\int_a^b f(x)\,dx\approx (b-a)\,f\!\left(\frac{a+b}{2}\right).

✏️Presisjonsgraden til Simpsons regel

Bestem presisjonsgraden til Simpsons regel ved å teste den på $x^{n}$ .

Steg 1 — velg intervall. Vi bruker

[-1,1]

med nodene

-1

0

1

. Da er

h=1

, og formelen er

$S(f)=\frac{h}{3}\left(f(-1)+4f(0)+f(1)\right)=\frac13\left(f(-1)+4f(0)+f(1)\right).$

Steg 2 — test potens for potens.

$f(x)=1$ : $\displaystyle S=\frac13(1+4+1)=2$ . Eksakt: $\int_{-1}^{1}1\,dx=2$ . Likt ✔

$f(x)=x$ : $\displaystyle S=\frac13(-1+0+1)=0$ . Eksakt: $\int_{-1}^{1}x\,dx=0$ . Likt ✔

$f(x)=x^{2}$ : $\displaystyle S=\frac13(1+0+1)=\frac23$ . Eksakt: $\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{2}dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac23$ . Likt ✔

$f(x)=x^{3}$ : $\displaystyle S=\frac13(-1+0+1)=0$ . Eksakt: $\int_{-1}^{1}x^{3}dx=0$ . Likt ✔

$f(x)=x^{4}$ : $\displaystyle S=\frac13(1+0+1)=\frac23$ . Eksakt: $\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{4}dx=\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=\frac25$ .

$\frac23\ne\frac25.$

Ulikt ✘ — her feiler den.

Steg 3 — konkluder. Formelen er eksakt til og med grad 3 og feiler på grad 4.

$\boxed{\text{Presisjonsgraden til Simpsons regel er } 3.}$

To kommentarer.

Legg merke til at $x^{1}$ og $x^{3}$ gikk gjennom uten arbeid — begge sidene ble null, fordi både nodene og vektene er symmetriske om null og potensen er odde. Det er symmetrien som gir Simpson den ekstra graden.

Og legg merke til hvor lett det er å stoppe for tidlig. Hadde vi gitt oss etter $x^{2}$ , ville vi svart «grad 2» — som er galt. Hadde vi derimot telt feil til slutt og sagt «eksakt for $x^{3}$ , altså grad 4», ville det også vært galt. Begge disse feilene er dokumentert som gjengangere i sjangeren.

Kontroll mot feilleddet. Simpson-feilen inneholder $f^{(4)}$ . For et tredjegradspolynom er $f^{(4)}\equiv 0$ , altså er feilen null — og for $x^{4}$ er $f^{(4)}=24\ne 0$ . Feilleddet og presisjonsgraden forteller nøyaktig det samme.

📝Oppgave 5

Bestem presisjonsgraden til trapesregelen ved å teste på $x^{n}$ over $[-1,1]$ med nodene $\pm 1$ .

📝Oppgave 6

En kvadraturformel på

[-1,1]

er gitt ved

$Q(f)=A\,f(-1)+B\,f(0)+A\,f(1).$

a) Bestem $A$ og $B$ slik at presisjonsgraden blir så høy som mulig.
b) Hvilken kjent formel er dette?
c) Hvorfor kan du ikke oppnå presisjonsgrad 4 med disse nodene?

Løkke 4 — Gauss–Legendre-kvadratur (~14 min)

Så langt har nodene ligget fast, jevnt fordelt. Men hvorfor det? Får du velge nodene fritt, dobler du antall frihetsgrader — og det gir dobbelt så høy presisjonsgrad for samme antall funksjonsevalueringer.

Gauss–Legendre-kvadratur

[-1,1]

Node- og vekttabellen

[-1,1]

$N$	Noder $\xi_i$	Vekter $w_i$	Presisjonsgrad
1	$0$	$2$	1
2	$\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\approx\pm 0{,}577350$	$1,\ 1$	3
3	$0$ ; $\pm\sqrt{\dfrac35}\approx\pm 0{,}774597$	$\dfrac89$ ; $\dfrac59,\ \dfrac59$	5

Transformasjonen

[a,b]\to[-1,1]

[-1,1]

Jacobifaktoren

\displaystyle \frac{b-a}{2}

\displaystyle dx=\frac{b-a}{2}d\xi

Gauss mot Simpson — når lønner det seg?

f

Simpson, 3 punkter	Gauss, 2 punkter	Gauss, 3 punkter
Funksjonsevalueringer	3	2	3
Presisjonsgrad	3	3	5
Noder	faste, jevne	irrasjonale	irrasjonale
Endepunktene brukt	ja	nei	nei

✏️Eksamensnivå: Gauss–Legendre mot Simpson

Integralet $\displaystyle \displaystyle I=\int_1^3\frac{dx}{x}$ har den eksakte verdien $\ln 3\approx 1{,}0986123$ .

a) Regn $I$ med Gauss–Legendre og 2 noder.
b) Regn $I$ med Gauss–Legendre og 3 noder.
c) Sammenlikn med Simpson fra eksempel 1, målt i antall funksjonsevalueringer.

Bruk node- og vekttabellen over.

Steg 1 — transformasjonen. Med

a=1

b=3

b-a=2

a+b=4

$x(\xi)=\frac{2\xi+4}{2}=\xi+2,\qquad \frac{b-a}{2}=1.$

Kontroll: $\xi=-1\Rightarrow x=1$ ✔, $\xi=1\Rightarrow x=3$ ✔. Jacobifaktoren er tilfeldigvis 1 her, siden intervallet er akkurat 2 langt — men vi skriver den likevel, for vane.

a) To noder. Fra tabellen: $\displaystyle \xi=\pm\frac{1}{\sqrt3}$ , begge med vekt 1.

$x_1=2-\frac{1}{\sqrt3}\approx 1{,}4226497,\qquad x_2=2+\frac{1}{\sqrt3}\approx 2{,}5773503.$

$f(x_1)=\frac{1}{1{,}4226497}\approx 0{,}7029137,\qquad f(x_2)=\frac{1}{2{,}5773503}\approx 0{,}3879954.$

$G_2=1\cdot\left(1\cdot 0{,}7029137+1\cdot 0{,}3879954\right)\approx 1{,}0909091.$

Eksakt verdi av $G_2$ . Her går det an å regne uten desimaler:

$\frac{1}{2-\frac{1}{\sqrt3}}+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{\left(2+\frac{1}{\sqrt3}\right)+\left(2-\frac{1}{\sqrt3}\right)}{4-\frac13}=\frac{4}{\frac{11}{3}}=\frac{12}{11}.$

$G_2=\frac{12}{11}\approx 1{,}0909091,\qquad |G_2-I|\approx 7{,}70\cdot 10^{-3}.$

b) Tre noder. Fra tabellen: $\xi=0$ med vekt $\displaystyle \frac89$ , og $\xi=\pm\sqrt{3/5}$ med vekt $\displaystyle \frac59$ hver.

$x=2,\qquad x=2\mp\sqrt{0{,}6}\ \Longrightarrow\ 1{,}2254033 \text{ og } 2{,}7745967.$

$f(2)=0{,}5,\qquad f(1{,}2254033)\approx 0{,}8160578,\qquad f(2{,}7745967)\approx 0{,}3604127.$

$G_3=\frac89\cdot 0{,}5+\frac59\left(0{,}8160578+0{,}3604127\right)=0{,}4444444+\frac59\cdot 1{,}1764705.$

$G_3\approx 0{,}4444444+0{,}6535947=1{,}0980392.$

Eksakt: de to ytre leddene gir $\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{0{,}6}}+\frac{1}{2+\sqrt{0{,}6}}=\frac{4}{4-0{,}6}=\frac{4}{3{,}4}=\frac{20}{17}$ , så

$G_3=\frac{4}{9}+\frac59\cdot\frac{20}{17}=\frac{4}{9}+\frac{100}{153}=\frac{68+100}{153}=\frac{168}{153}=\frac{56}{51}.$

$G_3=\frac{56}{51}\approx 1{,}0980392,\qquad |G_3-I|\approx 5{,}73\cdot 10^{-4}.$

c) Sammenlikningen.

Metode	Funksjonsevalueringer	Verdi	Feil
Trapes, $n=4$	5	$67/60\approx 1{,}116667$	$1{,}81\cdot 10^{-2}$
Simpson, $n=4$	5	$11/10=1{,}1$	$1{,}39\cdot 10^{-3}$
Gauss, $N=2$	2	$12/11\approx 1{,}090909$	$7{,}70\cdot 10^{-3}$
Gauss, $N=3$	3	$56/51\approx 1{,}098039$	$5{,}73\cdot 10^{-4}$

Konklusjon. Gauss med tre punkter slår Simpson med fem punkter — både i nøyaktighet og i antall funksjonsevalueringer. Gauss med to punkter er dårligere enn Simpson med fem, men bruker under halvparten så mange evalueringer; per evaluering er den klart mest effektiv.
Når betyr dette noe? Når hver funksjonsevaluering er dyr — for eksempel når

f(x)

er resultatet av en simulering. Er

f

bare en formel, spiller det liten rolle.
Tidsbruk på eksamen: transformasjonen 2 min, a) 4 min, b) 6 min, c) 3 min. Til sammen omtrent 15 minutter.

📝Oppgave 7

Regn ut $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^{2}}\,dx$ med Gauss–Legendre og 2 noder. Den eksakte verdien er $0{,}7468241$ .

Sammenlikn med Simpsons regel med $n=2$ , som gir $0{,}7471804$ .

📝Oppgave 8

Vis at Gauss–Legendre med 2 noder har presisjonsgrad 3, ved å teste formelen

$\int_{-1}^{1}g(\xi)\,d\xi\approx g\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt3}\right)+g\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right)$

på $\xi^{n}$ for $n=0,1,2,3,4$ .

📝Oppgave 9

En kvadraturformel på

[-1,1]

er gitt ved

$Q(g)=w\left(g(-c)+g(c)\right),\qquad 0<c<1.$

a) Bestem $w$ og $c$ slik at presisjonsgraden blir så høy som mulig.
b) Hvilken formel er dette?
c) Vis at valget av $c$ er det eneste mulige med positiv $c$ .

📝Oppgave 10

Integralet $\displaystyle\int_0^2 x\,e^{x}\,dx$ har den eksakte verdien $e^{2}+1\approx 8{,}389056$ .

a) Regn ut tilnærmingen med Simpsons regel og $n=2$ .
b) Regn ut tilnærmingen med Gauss–Legendre og 2 noder.
c) Hvorfor er Simpson-feilen så mye større her enn i eksempel 1, selv om formelen er den samme?

Typiske feil

1. Å stoppe $x^{n}$ -testingen for tidlig. Treffer formelen på

x^{2}

, er du ikke ferdig. Symmetriske formler får odde potenser gratis, og de skjuler seg mellom de like. Test til noe faktisk feiler.

2. Å forveksle «eksakt for $x^{3}$ » med presisjonsgrad 4. Presisjonsgraden er den høyeste graden som går gjennom, altså 3. Feilen kommer av å telle den graden som feilet.

3. Feil vektmønster i Simpson. Mønsteret er $1,4,2,4,\dots,4,1$ . Vanlige varianter av feilen: å begynne med 4, å sette 2 ved siden av en 1, eller å bruke $1,2,2,\dots,2,1$ (som er trapes). Kontroll: summen av vektene ganget med $h/3$ skal bli $b-a$ .

4. Å glemme jacobifaktoren $\displaystyle \frac{b-a}{2}$ i Gauss-kvadratur. Symptomet er et svar som er feil med nøyaktig den faktoren. Er intervallet akkurat 2 langt, er faktoren 1 og feilen usynlig — la det ikke gi deg falsk trygghet.

5. Å runde antall delintervall nedover. Kommer du til $n\ge 36{,}5$ , er svaret 37, ikke 36. For Simpson må du dessuten opp til nærmeste partall.

6. Å bruke feil derivert i feilleddet. Trapes har $f''$ og $h^{2}$ ; Simpson har $f^{(4)}$ og $h^{4}$ . Å blande dem gir et anslag som kan være flere størrelsesordener galt.

7. Å hente maksimum av den deriverte på feil intervall. Maksimeringen skal gå over hele $[a,b]$ , ikke bare over de nodene du tilfeldigvis regner i.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.