6.3 Fikspunktiterasjon og kontraksjon

Skriv $x=g(x)$ og vis konvergens ved **begge** fikspunktvilkårene, deretter a-priori-estimatet for nødvendig antall iterasjoner.

55 min

12 oppgaver

Fikspunktiterasjonkontraksjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Fikspunktiterasjon er sjanger K. Boka bruker bokstavene

A

til

S

som korte navn på de nitten oppgavetypene på settene; K er fikspunktiterasjon og kontraksjon.

Frekvens: 6 av 13 gjennomgåtte sett (46 %). Oppgaven er nesten alltid bygd likt, i to eller tre delpunkter:

1. Vis at iterasjonen konvergerer for enhver startverdi i et gitt intervall.
2. Finn hvor mange iterasjoner som trengs for en gitt nøyaktighet.
3. Av og til: gjør de første iterasjonene og oppgi svaret med nok siffer.

Dette er et av kapitlene der toppsjiktet skiller seg ut. Grunnen er enkel: fikspunktteoremet har to vilkår, og en besvarelse som bare sjekker det ene, er ufullstendig. Løsningsforslagene viser alltid begge. Vilkårene er

- (i) at $|g'|\le L<1$ på intervallet, og
- (ii) at $g$ avbilder intervallet inn i seg selv.

Det andre er det som glemmes. Du finner en egen advarsel om det lenger nede, og en oppgave som viser hva som går galt uten det.

Formelark-merking.

- Står på det utdelte formelarket — tren oppslaget: Newtons metode og de andre rotsøkingsformlene på numerikk-siden (de kommer i kap. 6.4), og de trigonometriske identitetene du eventuelt trenger for å derivere $g$ .
- Må kunnes eller utledes aktivt: hele fikspunktapparatet. A-priori-estimatet står vanligvis ikke på arket, og heller ikke de to vilkårene. Fikspunktteoremet skal navngis, og estimatet skal skrives opp fra hukommelsen — det er derfor det står øverst på lista over hva du bør ha på ditt eget A5-ark.

Tidsbruk: 55 minutter lesetid, fire løkker. Naturlig pausepunkt etter løkke 2.

Forkunnskaper: kap. 6.1 er ikke strengt nødvendig, men gir øvelsen i å arbeide med funksjonsverdier på et intervall. Ellers trenger du derivasjon, og at du kan avgjøre om en funksjon er voksende eller avtakende.

Kapitlet er forutsetning for kap. 6.4: Newtons metode er en fikspunktiterasjon i forkledning, med $g(x)=x-f(x)/f'(x)$ .

Å løse en likning ved å gjenta seg selv

Du skal løse $x^{2}-4x+2=0$ . Den kan du løse eksakt — men tenk deg at du ikke kunne det, og at det eneste verktøyet ditt var en kalkulator med en likhetstast.

Grepet er å skrive likningen om til formen $x=g(x)$ . Her kan vi flytte om: $4x=x^{2}+2$ , altså

$x=\frac{x^{2}+2}{4}=g(x).$

Nå gjør vi noe som ser altfor enkelt ut til å virke: gjett en startverdi, sett den inn i $g$ , ta svaret og sett det inn igjen, om og om igjen.

$0{,}5\ \to\ 0{,}5625\ \to\ 0{,}5791\ \to\ 0{,}5838\ \to\ 0{,}5852\ \to\ \dots$

Tallene stabiliserer seg. Og de stabiliserer seg mot $2-\sqrt2\approx 0{,}585786$ — som er den eksakte løsningen.

Hverdagsanalogien. Sett deg foran et speil som henger rett overfor et annet speil. Hvert bilde er speilingen av det forrige, og bildene blir stadig mindre og trekker seg mot ett punkt. Fikspunktiterasjonen gjør det samme: hvert nytt tall er «bildet» av det forrige, og hvis avbildningen krymper avstander, samler alt seg mot ett punkt.

Men det er ikke gratis. Skriver du den samme likningen om på en annen måte — for eksempel $\displaystyle x=\frac{x^2+2}{4}$ mot $x^2 = 4x-2$ , altså $x=\sqrt{4x-2}$ — kan iterasjonen sprike i stedet for å samle seg. Hele kapitlet handler om hvordan du på forhånd vet hvilken vei det går, og om hvor mange skritt du trenger.

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene er samtidig kortene i flashcard-bunken. Tidsanslaget på 55 minutter gjelder kjernestoffet.

Løkke 1 — Fikspunkt og iterasjon (~13 min)

Fikspunkt

r

Fikspunktform — og at den ikke er entydig

f(x)=0

Fikspunktiterasjonen

g

Trappediagram og spiral

g'

Kontraksjon

L<1

Kontraksjonskonstanten

L

L=\max_{x\in I}\left|g'(x)\right|.

Vilkår (i):

|g'|\le L<1

\max|g'|=1

Vilkår (ii):

g(I)\subseteq I

g

✏️Begge vilkårene på $g(x)=\frac{x^{2}+2}{4}$

La $g(x)=\dfrac{x^{2}+2}{4}$ og $I=[0,1]$ .

a) Vis at $g$ har et fikspunkt i $I$ , og finn det eksakt.
b) Sjekk begge fikspunktvilkårene på $I$ .
c) Gjør fire iterasjoner fra $x_0=0{,}5$ og sammenlikn med det eksakte svaret.

a) Fikspunktet. Løs

g(x)=x

$\frac{x^{2}+2}{4}=x\ \Longleftrightarrow\ x^{2}+2=4x\ \Longleftrightarrow\ x^{2}-4x+2=0.$

$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt2}{2}=2\pm\sqrt2.$

Røttene er $2-\sqrt2\approx 0{,}585786$ og $2+\sqrt2\approx 3{,}414214$ . Bare den første ligger i $[0,1]$ .

$\boxed{r=2-\sqrt2\approx 0{,}5857864}$

b) Vilkår (i) — kontraksjon.

$g'(x)=\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}.$

På $[0,1]$ er $\displaystyle |g'(x)|=\frac{x}{2}$ voksende, så maksimum ligger i høyre endepunkt:

$L=\max_{[0,1]}\left|g'\right|=g'(1)=\frac12<1.\qquad ✔$

Vilkår (ii) — $g$ avbilder $[0,1]$ inn i seg selv.

$\displaystyle g'(x)=\frac{x}{2}\ge 0$ på $[0,1]$ , så $g$ er voksende der. Da er

$g\left([0,1]\right)=\left[g(0),\,g(1)\right]=\left[\frac{0+2}{4},\ \frac{1+2}{4}\right]=\left[\frac12,\ \frac34\right].$

Og $\left[\tfrac12,\tfrac34\right]\subset[0,1]$ . ✔

Konklusjon. Begge vilkårene holder med $\displaystyle L=\frac12$ . Etter fikspunktteoremet har $g$ et entydig fikspunkt i $[0,1]$ , og iterasjonen $x_{k+1}=g(x_k)$ konvergerer mot det for enhver startverdi $x_0\in[0,1]$ .

c) Iterasjonene fra $x_0=0{,}5$ .

$x_1=\frac{0{,}25+2}{4}=\frac{2{,}25}{4}=0{,}5625,$
$x_2=\frac{0{,}5625^{2}+2}{4}=\frac{0{,}31640625+2}{4}=0{,}5791015625,$
$x_3=\frac{0{,}5791015625^{2}+2}{4}\approx\frac{0{,}33535862+2}{4}\approx 0{,}5838396549,$
$x_4\approx\frac{0{,}34086874+2}{4}\approx 0{,}5852171857.$

$k$	$x_k$	$\|x_k-r\|$
0	$0{,}5$	$8{,}58\cdot 10^{-2}$
1	$0{,}5625$	$2{,}33\cdot 10^{-2}$
2	$0{,}5791016$	$6{,}69\cdot 10^{-3}$
3	$0{,}5838397$	$1{,}95\cdot 10^{-3}$
4	$0{,}5852172$	$5{,}69\cdot 10^{-4}$

Legg merke til mønsteret i feilene: hver feil er omtrent

0{,}29

ganger den forrige. Det er mindre enn

\displaystyle L=\frac12

, og det er som forventet —

L

er et maksimum over hele intervallet, mens den faktiske krympingen nær fikspunktet er

\displaystyle |g'(r)|=\frac{r}{2}\approx 0{,}293

.
Konvergensen er lineær: feilen faller med en fast faktor per skritt, ikke raskere. Det er kjennetegnet på fikspunktiterasjon, og det er også grunnen til at du trenger ganske mange skritt for høy nøyaktighet.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.) La $g(x)=\dfrac{x+3}{x+1}$ og $I=[1,2]$ .

a) Finn fikspunktet eksakt ved å løse $g(x)=x$ .
b) Regn ut $g(1)$ og $g(2)$ .
c) Regn ut $g'(x)$ .

📝Oppgave 2

Fortsett med $g(x)=\dfrac{x+3}{x+1}$ på $I=[1,2]$ , der $g'(x)=\dfrac{-2}{(x+1)^{2}}$ .

a) Finn $L=\max_{I}|g'|$ , og begrunn hvor maksimum ligger.
b) Vis at $g$ avbilder $[1,2]$ inn i seg selv.
c) Konkluder.

Løkke 2 — Fikspunktteoremet (~13 min)

📜Fikspunktteoremet

I=[a,b]

og la

g

være deriverbar på

I

med

(i) $\left|g'(x)\right|\le L<1$ for alle $x\in I$ , og
(ii) $g(I)\subseteq I$ .

Da gjelder:

1. $g$ har nøyaktig ett fikspunkt $r$ i $I$ .
2. Iterasjonen $x_{k+1}=g(x_k)$ konvergerer mot $r$ for enhver startverdi $x_0\in I$ .
3. Feilen tilfredsstiller $\left|x_{k}-r\right|\le L^{k}\left|x_0-r\right|$ .

Bevisskisse. Vilkår (ii) sikrer at hele følgen blir liggende i $I$ , slik at (i) alltid kan brukes. Da er

$\left|x_{k+1}-r\right|=\left|g(x_k)-g(r)\right|\le L\left|x_k-r\right|,$

der vi brukte at $r=g(r)$ og at $g$ er en kontraksjon. Gjentar du ulikheten $k$ ganger, får du punkt 3, og siden $L<1$ går $L^{k}\to 0$ . Entydigheten: hadde $g$ to fikspunkter $r$ og $s$ i $I$ , ville $|r-s|=|g(r)-g(s)|\le L|r-s|$ , altså $(1-L)|r-s|\le 0$ , som med $L<1$ tvinger $r=s$ . $\blacksquare$

Begge vilkårene brukes i beviset. Det er derfor det ikke holder å sjekke bare det ene, og det er derfor løsningsforslagene alltid skriver ut begge.

Teoremet skal navngis i besvarelsen — «etter fikspunktteoremet konvergerer iterasjonen …». Det står ikke på det utdelte formelarket.

Hvorfor begge vilkårene trengs

g(x)=x^{2}-2

Toppsjiktets skille: begge vilkårene

Den vanligste enkeltfeilen i denne sjangeren er å sjekke bare $|g'|<1$ .

En besvarelse som skriver « $\displaystyle |g'(x)|\le\frac12<1$ , altså konvergerer iterasjonen» har gjort halve jobben. Den mangler:

- at $g$ avbilder intervallet inn i seg selv, med begrunnelse via monotoni og endepunktsverdier;
- at teoremet navngis.

Slik ser en fullstendig føring ut, i fire linjer:

1. « $g'(x)=\dots$ , og $|g'|$ er voksende/avtakende på $[a,b]$ , så $L=\max|g'|=|g'(\cdot)|=\dots<1$ .»
2. « $g$ er voksende/avtakende fordi $g'$ har fast fortegn, så $g([a,b])=[g(\cdot),g(\cdot)]=[\dots,\dots]$ .»
3. «Dette ligger inne i $[a,b]$ , så vilkår (ii) er oppfylt.»
4. «Etter fikspunktteoremet har $g$ et entydig fikspunkt i $[a,b]$ , og iterasjonen konvergerer mot det for enhver $x_0\in[a,b]$ .»

Fire linjer. Skriv dem hver gang.

📝Oppgave 3

La $g(x)=\sqrt{x+6}$ på $I=[1,4]$ .

a) Finn fikspunktet eksakt.
b) Sjekk begge vilkårene og finn $L$ .
c) Gjør tre iterasjoner fra $x_0=1$ .

📝Oppgave 4

La $g(x)=\dfrac{x}{2}+1$ og $I=[0,1]$ .

a) Vis at $|g'|<1$ på $I$ .
b) Undersøk om $g$ avbilder $I$ inn i seg selv.
c) Hva sier fikspunktteoremet her, og hva skjer faktisk med iterasjonen fra $x_0=0{,}5$ ?

— naturlig pausepunkt (~28 min brukt) —

Du har teoremet og begge vilkårene. Resten av kapitlet er det andre faste delspørsmålet: hvor mange iterasjoner trengs?

Løkke 3 — A-priori-estimatet (~15 min)

«Konvergerer» er ikke nok på en eksamen. Spørsmålet er alltid: hvor mange skritt før feilen er under en gitt toleranse — og det skal besvares før du har regnet dem.

A-priori-estimatet

L

Den svakere varianten

x_1

Avrunding oppover av iterasjonstallet

k

A-posteriori-estimatet

\left|x_k-r\right|\le\frac{L}{1-L}\left|x_k-x_{k-1}\right|.

Lineær konvergens

\left|x_{k+1}-r\right|\approx\left|g'(r)\right|\cdot\left|x_k-r\right|.

✏️Hvor mange iterasjoner trengs?

Med $g(x)=\dfrac{x^{2}+2}{4}$ på $[0,1]$ , $L=\dfrac12$ og $x_0=0{,}5$ : hvor mange iterasjoner garanterer at feilen er under $10^{-4}$ ?

Sammenlikn deretter med den virkelige feilen.

Steg 1 — det første skrittet.

$x_1=g(0{,}5)=\frac{0{,}25+2}{4}=0{,}5625,\qquad \left|x_1-x_0\right|=0{,}0625.$

Steg 2 — sett inn i a-priori-estimatet.

$\left|x_{k+1}-r\right|\le\frac{L^{k+1}}{1-L}\left|x_1-x_0\right|=\frac{\left(\tfrac12\right)^{k+1}}{\tfrac12}\cdot 0{,}0625=0{,}125\cdot\left(\tfrac12\right)^{k+1}.$

Steg 3 — løs ulikheten.

$0{,}125\cdot\left(\tfrac12\right)^{k+1}\le 10^{-4}\ \Longleftrightarrow\ \left(\tfrac12\right)^{k+1}\le 8\cdot 10^{-4}\ \Longleftrightarrow\ 2^{\,k+1}\ge 1250.$

$k+1\ge\log_2 1250=\frac{\ln 1250}{\ln 2}\approx\frac{7{,}1309}{0{,}6931}\approx 10{,}288.$

Rund oppover: $k+1=11$ .

$\boxed{\text{11 iterasjoner garanterer feil under } 10^{-4}.}$

Kontroll: med $k+1=11$ er anslaget $0{,}125\cdot 2^{-11}\approx 6{,}10\cdot 10^{-5}<10^{-4}$ ✔. Med $k+1=10$ blir det $1{,}22\cdot 10^{-4}$ , altså over kravet — avrundingen oppover var nødvendig.

Steg 4 — den virkelige feilen. Kjører vi iterasjonen, er

$x_{11}\approx 0{,}5857863324,\qquad r=2-\sqrt2\approx 0{,}5857864376,$

$\left|x_{11}-r\right|\approx 1{,}05\cdot 10^{-7}.$

Anslaget var 580 ganger for stort. Grunnen er at $\displaystyle L=\frac12$ er maksimum over hele $[0,1]$ , mens den faktiske krympingen nær fikspunktet er $\displaystyle |g'(r)|=\frac{r}{2}\approx 0{,}293$ . Over elleve skritt blir forskjellen mellom $0{,}5^{11}$ og $0{,}293^{11}$ enorm.

Er anslaget da ubrukelig? Nei — det er en garanti, og det er akkurat det oppgaven spør etter. Men det er verdt å skrive én setning om at den virkelige feilen er klart mindre. Vil du ha et skarpt tall, bruker du a-posteriori-estimatet i stedet, etter at du har regnet.

Tidsbruk på eksamen: dette delpunktet tar 5–6 minutter når formelen sitter.

📝Oppgave 5

Med $g(x)=\dfrac{x+3}{x+1}$ på $[1,2]$ , $L=\dfrac12$ og $x_0=2$ :

a) Regn ut $x_1$ og $\left|x_1-x_0\right|$ .
b) Bestem antall iterasjoner som garanterer feil under $10^{-3}$ .
c) Kontroller mot den eksakte verdien $\sqrt3\approx 1{,}7320508$ , gitt at $x_{10}\approx 1{,}7320513$ .

📝Oppgave 6

Anta at en fikspunktiterasjon har $L=0{,}8$ og $\left|x_1-x_0\right|=0{,}4$ .

a) Hvor mange iterasjoner trengs for feil under $10^{-5}$ ?
b) Samme spørsmål med $L=0{,}2$ .
c) Kommenter forskjellen.

Løkke 4 — Full eksamensoppgave (~14 min)

Nå settes alt sammen slik oppgaven faktisk kommer: velg intervall, sjekk begge vilkårene, finn $L$ , regn antall iterasjoner, gjør noen skritt.

Å velge fikspunktform selv

f(x)=0

Kontrollrutinen før du leverer

g

✏️Eksamensnivå: hele K-sjangeren i én oppgave

Likningen $e^{-x}=x$ skal løses numerisk.

a) Vis at likningen har nøyaktig én løsning, og at den ligger i $[0{,}4,\,0{,}8]$ .
b) Vis at iterasjonen $x_{k+1}=e^{-x_k}$ konvergerer mot løsningen for enhver $x_0$ i det intervallet.
c) Bestem hvor mange iterasjoner som garanterer feil under $10^{-4}$ med $x_0=0{,}6$ .
d) Gjør de tre første iterasjonene.

a) Én løsning. Sett

f(x)=e^{-x}-x

. Da er

$f'(x)=-e^{-x}-1<0 \qquad \text{for alle } x,$

så $f$ er strengt avtakende på hele tallinja og kan ha høyst én rot.

Videre er

$f(0{,}4)=e^{-0{,}4}-0{,}4\approx 0{,}670320-0{,}4=0{,}270320>0,$
$f(0{,}8)=e^{-0{,}8}-0{,}8\approx 0{,}449329-0{,}8=-0{,}350671<0.$

$f$ er kontinuerlig og skifter fortegn, så etter mellomverdisetningen finnes en rot i $(0{,}4,\,0{,}8)$ . Kombinert med monotonien er den entydig. $\blacksquare$

b) Begge vilkårene for $g(x)=e^{-x}$ på $I=[0{,}4,\,0{,}8]$ .

(i) $g'(x)=-e^{-x}$ , altså $\left|g'(x)\right|=e^{-x}$ , som er avtakende. Maksimum ligger i venstre endepunkt:

$L=e^{-0{,}4}\approx 0{,}670320<1.\qquad ✔$

(ii) $g'<0$ , så $g$ er avtakende, og bildet blir

$g\left([0{,}4,\,0{,}8]\right)=\left[g(0{,}8),\,g(0{,}4)\right]=\left[e^{-0{,}8},\ e^{-0{,}4}\right]\approx\left[0{,}449329,\ 0{,}670320\right].$

Ligger dette inne i $[0{,}4,\,0{,}8]$ ? Ja: $0{,}449\ge 0{,}4$ og $0{,}670\le 0{,}8$ . ✔

Konklusjon. Etter fikspunktteoremet har $g$ et entydig fikspunkt i $[0{,}4,\,0{,}8]$ , og iterasjonen $x_{k+1}=e^{-x_k}$ konvergerer mot det for enhver $x_0$ i intervallet.

c) Antall iterasjoner. Først ett skritt:

$x_1=e^{-0{,}6}\approx 0{,}548812,\qquad \left|x_1-x_0\right|\approx 0{,}051188.$

A-priori-estimatet:

$\left|x_{k+1}-r\right|\le\frac{L^{k+1}}{1-L}\left|x_1-x_0\right|=\frac{0{,}670320^{\,k+1}}{0{,}329680}\cdot 0{,}051188\approx 0{,}155268\cdot 0{,}670320^{\,k+1}.$

Kravet:

$0{,}155268\cdot 0{,}670320^{\,k+1}\le 10^{-4}\ \Longleftrightarrow\ 0{,}670320^{\,k+1}\le 6{,}4404\cdot 10^{-4}.$

Ta naturlig logaritme; $\ln 0{,}670320\approx -0{,}400000$ er negativ, så ulikheten snur:

$k+1\ge\frac{\ln\left(6{,}4404\cdot 10^{-4}\right)}{-0{,}4}=\frac{-7{,}34766}{-0{,}4}\approx 18{,}369.$

Rund oppover:

$\boxed{k+1=19 \text{ iterasjoner}}$

Kontroll: $0{,}155268\cdot 0{,}670320^{19}\approx 7{,}77\cdot 10^{-5}<10^{-4}$ ✔, mens 18 iterasjoner gir $1{,}16\cdot 10^{-4}$ , altså over kravet.

d) De tre første iterasjonene fra $x_0=0{,}6$ :

$x_1=e^{-0{,}6}\approx 0{,}5488116,$
$x_2=e^{-0{,}5488116}\approx 0{,}5776358,$
$x_3=e^{-0{,}5776358}\approx 0{,}5612236.$

Den eksakte roten er $r\approx 0{,}5671433$ .

Legg merke til at iteratene hopper vekselvis over og under roten. Det er fordi $g'<0$ — en avtakende $g$ gir en spiral inn mot fikspunktet, ikke en trapp. Det er også en gratis kontroll: er $g'$ negativ, skal fortegnet på feilen skifte for hvert skritt, og roten ligger alltid mellom to nabo-iterater.

Hvorfor så mange iterasjoner? Fordi $L\approx 0{,}67$ er ganske nær 1. Med denne $L$ trengs omtrent to og en halv iterasjon per nytt korrekt siffer.

Tidsbruk på eksamen: a) 4 min, b) 6 min, c) 6 min, d) 3 min — omtrent 19 minutter for en oppgave på 10 poeng.

📝Oppgave 7

Likningen

x^{3}+x-1=0

skrives om på to måter:

$\text{(A)}\quad x=1-x^{3},\qquad\qquad \text{(B)}\quad x=\frac{1}{1+x^{2}}.$

Roten ligger nær $0{,}68$ .

a) Regn ut $g'$ for begge og evaluer i $x=0{,}68$ .
b) Hvilken form ville du valgt, og hvorfor?
c) For den du valgte: sjekk begge vilkårene på $[0{,}6,\,0{,}8]$ .

📝Oppgave 8

La $g(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right)$ med $a>0$ (Herons metode for kvadratrot).

a) Vis at fikspunktene er $x=\pm\sqrt a$ .
b) Regn ut $g'(x)$ og vis at $g'\left(\sqrt a\right)=0$ .
c) Hva sier det om konvergenshastigheten, sammenliknet med lineær konvergens?
d) Regn to iterasjoner med $a=5$ og $x_0=2$ .

Typiske feil

1. Å sjekke bare ett av de to vilkårene. Den dokumenterte hovedfeilen i sjangeren. Løsningsforslagene viser alltid både

|g'|\le L<1

g(I)\subseteq I

. Én av dem er halve svaret.

2. Feil eksponent i a-priori-estimatet. Det er $L^{k+1}$ , ikke $L^{k}$ , når du anslår feilen i $x_{k+1}$ . Bruker du $L^{k}$ , får du ett skritt for lite.

3. Å runde antall iterasjoner nedover. $k+1\ge 10{,}29$ betyr 11 iterasjoner, ikke 10. Runder du ned, er kravet ikke oppfylt.

4. Å glemme at ulikheten snur når du deler på $\ln L$ . Siden $L<1$ er $\ln L$ negativ, og et $\le$ blir til et $\ge$ .

5. Feil rekkefølge på endepunktene i vilkår (ii) når $g$ er avtakende. Da er $g([a,b])=[g(b),g(a)]$ , ikke $[g(a),g(b)]$ .

6. Å hente $\max|g'|$ i fikspunktet i stedet for på hele intervallet. At $|g'(r)|<1$ gir bare lokal konvergens; oppgaven spør om enhver $x_0$ i intervallet.

7. Å ikke navngi fikspunktteoremet. Metodenavnet skal bæres eksplisitt i konklusjonen — det er et sensorkrav som løsningsforslagene følger konsekvent.

8. Å forveksle differansen $|x_k-x_{k-1}|$ med feilen. Den virkelige feilen er inntil $\displaystyle \frac{L}{1-L}$ ganger større, og faktoren er stor når $L$ er nær 1.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.