7.P Prøver til del 7: Numeriske metoder for ODE

Fire prøver som dekker del 7 (numeriske metoder for ode) på eksamensnivå, med fulle løsningsforslag.

120 min

12 oppgaver

Prøver til del 7Numeriske metoder for ODE

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.5Drill — numerisk ODE-sjangeren

Fire prøver à 35–40 minutter, til sammen 145 minutter.

- Prøve 7.A (35 min, 35 poeng): ett skritt med Euler, Heun, RK4 og bakover-Euler på det samme problemet.
- Prøve 7.B (35 min, 35 poeng): Butcher-tabell lest ut av Python-kode, med ordensverifikasjon rad for rad.
- Prøve 7.C (35 min, 35 poeng): innfelt Runge–Kutta-par, lokalt feilestimat og steglengdekontroll.
- Prøve 7.D (40 min, 40 poeng): stabilitetsfunksjonen $R(z)$ skalart og for system, og største tillatte steglengde.

Prøvene kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt. De bygger ikke på hverandre. Tar du dem i rekkefølge, får du den naturlige stigningen fra håndregning til analyse, men hver av dem står støtt alene.

Hvorfor akkurat disse fire. Å ta ett skritt for hånd med en ODE-løser er den mest stabile numerikk-sjangeren i arkivet: den er med i 12 av 13 gjennomgåtte sett. Butcher-tabell med ordensverifikasjon står i 5 av 13, stabilitetsanalyse i 3 av 13, og innfelt par i 3 av 13. De tre siste tallene ser små ut, men innfelt par er med i alle settene fra 2022 og framover — sjangeren er ny og fast, ikke ny og tilfeldig.

Om tempoet. Ett poeng per minutt er raskere enn eksamenstakten, som ligger rundt 24 minutter per oppgave på 10 poeng. Det er med vilje: her er hver oppgave rendyrket på én ferdighet, uten lesetida en full eksamensoppgave krever. Minuttene per deloppgave står i oppgaveteksten og summerer seg til den deklarerte tida.

Hver prøve avsluttes med fire raske spørsmål med svaralternativer. De ligger nederst, teller ikke poeng, og er en treningsform — settene i dette emnet har aldri hatt en avkryssingsdel.

Slik bruker du prøvene: ta dem på tid, uten fasit og uten kapitlene oppslått. Enkel kalkulator er tillatt, og du skal late som du har det utdelte formelarket foran deg — trenger du RK4-formelen eller en ordensbetingelse, noter «fra formelarket» og bruk den. Skriv fullstendige svar med utregning; det er en del av kravet om at alle svar skal begrunnes. Åpne løsningsforslaget først etterpå, og kryss av i selvdiagnosen.

Formelark-merking. Formlene for eksplisitt Euler, forbedret Euler (Heun), klassisk RK4 og bakover-Euler står på det utdelte formelarket — tren oppslaget, og det samme gjelder ordensbetingelsene for $p=1$ til $4$ , som har vært delt ut siden 2022. Å lese en Butcher-tabell ut av kode, å verifisere ordenen betingelse for betingelse, feilestimatet og steglengdeformelen i et innfelt par, og hele utledningen av $R(z)$ må kunnes — ingenting av det står på arket.

Notasjon. $h$ er steglengden i tid gjennom hele denne delen, og $z=\lambda h$ . Merk kollisjonen: i Del 8 er $h$ romsteget, og tidssteget heter $\Delta t$ der. Ser du $h$ i en oppgave, sjekk alltid hvilken del den hører til.

Forkunnskaper: kap. 7.1 (Euler, Heun, RK4 og bakover-Euler — ett skritt for hånd), kap. 7.2 (Butcher-tabeller og ordensbetingelser), kap. 7.3 (innfelt par, feilestimat og steglengdekontroll), kap. 7.4 (stabilitetsfunksjonen og stabilitetsintervallet) og drillen i kap. 7.5.

Fra kap. 6.4 trengs det å løse én likning i én ukjent — bakover-Euler gir en slik likning hver gang. Ellers trengs andregradsformelen, egenverdier til en $3\times 3$ -matrise, og at du kan regne med potenser som $\left(\text{Tol}/\hat\varepsilon\right)^{1/3}$ .

Sist du var her — de fire formelgruppene prøvene hviler tyngst på:

$y_{n+1}=y_n+hf\left(t_n,y_n\right),\qquad y_{n+1}=y_n+\frac h2\left(k_1+k_2\right),\qquad y_{n+1}=y_n+hf\left(t_{n+1},y_{n+1}\right)$

$k_i=f\left(t_n+c_ih,\ y_n+h\sum_j a_{ij}k_j\right),\qquad y_{n+1}=y_n+h\sum_i b_ik_i$

$\hat\varepsilon=h\left|\sum_i\left(b_i-\hat b_i\right)k_i\right|,\qquad h_{\text{ny}}=P\,h\left(\frac{\text{Tol}}{\hat\varepsilon}\right)^{1/(p+1)}$

$y_{n+1}=R(z)\,y_n,\qquad z=\lambda h,\qquad \left|R(z)\right|\le 1$

De tre metodeformlene i den første linja står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Butcher-oppsettet i den andre linja gjør det ikke i den formen: ordensbetingelsene deles ut, men avlesningen av tabellen må kunnes. Feilestimatet, steglengdeformelen og hele stabilitetsanalysen må kunnes eller utledes aktivt.

Under ligger de fire prøvene, hver i sin egen boks du kan åpne når du er klar. Løsningsforslagene er ført som toppbesvarelser: hvert stigningstall er skrevet ut med argumentet sitt, metodenavnet er nevnt, tabelloppslagene er markert, og kontrollregningen står der. Det er den føringen som gir full uttelling — ikke et riktig sluttsvar alene.

Delpunktene henger sammen, slik de gjør på eksamen: stigningstallene fra a) brukes i b), og tallet fra b) er forutsetningen for c). Regner du feil tidlig, men fører riktig videre, gir det fortsatt uttelling. Det er kjedet føring som premieres.

Alle tall i oppgavene er oppgitt med sju siffer der de ikke er eksakte. Regner du med færre siffer underveis, vil du se avvik i siste desimal — det er normalt, og fasitene sier fra der avrundingen har betydning.

Prøve 7.A — Ett skritt med Euler, Heun, RK4 og bakover-Euler (35 min)

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Prøve 7.B — Butcher-tabell fra kode og ordensverifikasjon rad for rad (35 min)

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Prøve 7.C — Innfelt RK-par og steglengdekontroll (35 min)

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Prøve 7.D — Stabilitetsfunksjonen

R(z)

skalart og for system (40 min)

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.