8.1 Differansekvotienter og avkuttingsfeil via Taylor

Differansekvotientene for $u_x$ og $u_{xx}$, hvorfor sentraldifferansen er $O(h^2)$ (Taylor), og avveiningen mellom avrundings- og avkuttingsfeil.

55 min

14 oppgaver

Differansekvotienteravkuttingsfeil via Taylor

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Del 8 handler om én ting: å erstatte de deriverte i en differensiallikning med differanser mellom tall i et gitter. Det er den siste av de fire søylene i emnet, og den er godt belagt: oppgaver av denne typen står på 11 av 13 gjennomgåtte sett — 85 %.

Oppgavene merkes med to bokstaver. Boka bruker bokstavene A til S som korte navn på de nitten oppgavetypene som går igjen på settene. P er differansemetode for en partiell differensiallikning eller et randverdiproblem — det er hoveddelen av Del 8. Q er avkuttingsfeil via Taylor, altså å vise hvor nøyaktig en differansekvotient er. Bokstavene forklares første gang de brukes i hvert kapittel; du trenger ikke pugge alfabetet.

Dette kapitlet er sjanger Q, og det er grunnmuren under resten av delen. Q-oppgaver har belegg i 3 av 13 sett (23 %) som selvstendig spørsmål, men differansekvotientene brukes i alle P-oppgavene — så dette kapitlet betaler seg to ganger.

De to spørsmålene som går igjen i Q:

1. «Vis ved Taylor-utvikling at denne kvotienten har feil $O(h^2)$ .» Ren utledning, og et av de spørsmålene som skiller toppsjiktet fra midtsjiktet.
2. «Finn den $h$ som balanserer avrundingsfeil mot avkuttingsfeil.» Et kort optimeringsargument som gir svar av typen $h = O(\varepsilon^{1/3})$ .

Formelark-merking. Eksamen har hjelpemiddelkode C: du får utdelt et formelark sammen med oppgavesettet, og du har med ditt eget håndskrevne A5-ark.

- Selve differansekvotientene står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Numerikk-siden har forlengs, baklengs og sentral kvotient for den førstederiverte, og den andre sentraldifferansen for den dobbeltderiverte. Du skal ikke pugge dem; du skal finne dem raskt og sette inn riktig $h$ og riktige indekser.
- Taylor-utledningen av feilen og hele balanseringsargumentet må kunnes. Formelarket sier ingenting om hvorfor sentraldifferansen er $O(h^2)$ , og ingenting om optimal steglengde.

Tidsbruk: 55 minutter lesetid, fire løkker à omtrent et kvarter. Ganger du 1,5 fordi du skriver av for hånd, blir det knapt halvannen time. Naturlig pausepunkt etter løkke 2.

Forkunnskaper: kap. 6.2 — derfra trenger du feilleddene til trapes- og Simpson-regelen og vanen med å lese en orden ut av en

h

-potens. Argumentene i dette kapitlet er nøyaktig de samme, bare brukt på deriverte i stedet for integraler. Kap. 6.1 er nyttig, men ikke nødvendig.

Fra tidligere matematikkemner forutsettes: Taylors formel med restledd, derivasjon av elementære funksjoner, og at du kan lese en ulikhet av typen $|\varepsilon| \le Ch^2$ . Trenger du å friske opp Taylor, ligger det fem korte oppgaver i repetisjonsboksen nederst — gjør dem før du leser videre, for hele kapitlet hviler på dem.

Kapitlet er forutsetning for kap. 8.2, kap. 8.3 og kap. 8.4.

Når du bare har tall i punkter

En datamaskin kjenner ikke funksjoner. Den kjenner tall i en liste. Skal du løse en differensiallikning numerisk, må du derfor gjøre om det eneste vanskelige — den deriverte — til noe som kan regnes ut av nabotall i lista.

Grepet er å gå tilbake til definisjonen. Den deriverte er

$u'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h) - u(x)}{h}.$

Datamaskinen kan ikke ta grensen. Men den kan stoppe ved en liten, endelig $h$ — og da har du en differansekvotient. Hele Del 8 er dette ene grepet, brukt på varmelikningen, på bølgeligningen og på randverdiproblemer.

Prisen er en feil, og den feilen har to helt ulike kilder. Den ene er at du stoppet før grensen: det er avkuttingsfeilen, og den blir mindre når $h$ blir mindre. Den andre er at datamaskinen regner med endelig mange siffer: det er avrundingsfeilen, og den blir større når $h$ blir mindre, fordi du trekker fra hverandre to nesten like tall og deler på noe bittelite.

De to drar hver sin vei. Et sted midt imellom ligger den beste $h$ -en — og å finne den er selve eksamensoppgaven i sjanger Q.

Kapitlet gjør fire ting i denne rekkefølgen: setter opp gitteret og de to enkleste kvotientene, bruker Taylor til å måle hvor gode de er, gjør det samme for den dobbeltderiverte, og avslutter med avveiningen mellom avrunding og avkutting.

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene i dette kapitlet er samtidig kortene i flashcard-bunken. Ved første gjennomlesing holder det å lese formelen og gå videre til eksempelet; tidsanslaget på 55 minutter gjelder kjernestoffet, ikke pugging av boksene.

Løkke 1 — Gitteret og de to ensidige kvotientene (~12 min)

Alt i Del 8 foregår på et gitter: et endelig sett med punkter der vi tillater oss å kjenne verdien av funksjonen. Første steg er å bli enige om navnene, for indeksene er der halvparten av feilene skjer.

Gitteret og gitterpunktene

[a,b]

Gitterfunksjonen

U_i

u

Forlengs differansekvotient

u'(x_i) \approx \frac{U_{i+1} - U_i}{h}.

Baklengs differansekvotient

u'(x_i) \approx \frac{U_i - U_{i-1}}{h}.

✏️De to ensidige kvotientene på en funksjon vi kan fasiten til

La $f(x) = e^x$ og $x_0 = 1$ . Regn ut den forlengs og den baklengs differansekvotienten med $h = 0{,}1$ , og sammenlign med den eksakte deriverte.

Steg 1 — hva vet vi eksakt? Her er

f'(x) = e^x

, så

$f'(1) = e = 2{,}718281828\dots$

Det er nettopp poenget med å teste på $e^x$ : vi kjenner fasiten og kan måle feilen.

Steg 2 — de tre funksjonsverdiene.

$f(0{,}9) = e^{0{,}9} = 2{,}459603111, \qquad f(1) = 2{,}718281828, \qquad f(1{,}1) = e^{1{,}1} = 3{,}004166024.$

Steg 3 — forlengs kvotient. Fra formelarket: $\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .

$\frac{3{,}004166024 - 2{,}718281828}{0{,}1} = \frac{0{,}285884196}{0{,}1} = 2{,}858841955.$

Feil: $2{,}858841955 - 2{,}718281828 = +0{,}140560$ .

Steg 4 — baklengs kvotient. Fra formelarket: $\dfrac{f(x) - f(x-h)}{h}$ .

$\frac{2{,}718281828 - 2{,}459603111}{0{,}1} = \frac{0{,}258678717}{0{,}1} = 2{,}586787173.$

Feil: $2{,}586787173 - 2{,}718281828 = -0{,}131495$ .

Steg 5 — les av mønsteret. De to feilene er nesten like store og har motsatt fortegn. Det er ikke tilfeldig, og det er hele hemmeligheten bak neste løkke: legger du de to kvotientene sammen og deler på to, kansellerer hovedfeilene hverandre.

Legg også merke til størrelsen: begge bommer i tredje desimal med $h = 0{,}1$ . Det er ikke imponerende. Halverer du $h$ , halveres feilen — men bare det. Det er en førsteordens metode, og i neste løkke gjør vi det bedre.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren avlesning og innsetting.) En temperaturmåler har gitt disse verdiene langs en stang, med $h = 0{,}5$ :

$i$	0	1	2	3
$x_i$	0	0,5	1,0	1,5
$U_i$	2,00	3,10	3,80	4,05

a) Bruk den forlengs differansekvotienten til å anslå

u'(0{,}5)

.
b) Bruk den baklengs differansekvotienten til å anslå

u'(0{,}5)

.
c) Hvorfor kan du ikke bruke den forlengs kvotienten i

x = 1{,}5

📝Oppgave 2

La $f(x) = \sin x$ og $x_0 = \pi/6$ , der $f'(x_0) = \cos(\pi/6) = 0{,}8660254$ .

a) Regn ut den forlengs differansekvotienten med $h = 0{,}1$ og med $h = 0{,}05$ .
b) Hvor mye mindre ble feilen da $h$ ble halvert?

Løkke 2 — Taylor måler feilen, og sentraldifferansen vinner (~15 min)

Til nå har vi observert at feilen halveres når $h$ halveres. Nå skal vi bevise det, og finne en kvotient som gjør det fire ganger bedre. Verktøyet er Taylors formel, og det er det eneste verktøyet som brukes i hele sjanger Q.

Taylors formel med restledd

u

Avkuttingsfeil

u

Ordenen til en differansekvotient

\tau(h) = C h^p + \text{noe som er enda mindre},

Utledning: hvorfor er den forlengs kvotienten $O(h)$ ?

Sett Taylor-rekka rett inn i telleren:

$\frac{u(x+h) - u(x)}{h} = \frac{1}{h}\left(h\,u'(x) + \frac{h^2}{2}u''(x) + \frac{h^3}{6}u'''(x) + \cdots\right) = u'(x) + \frac{h}{2}u''(x) + \frac{h^2}{6}u'''(x) + \cdots$

Avkuttingsfeilen er alt som står etter $u'(x)$ :

$\tau(h) = \frac{h}{2}u''(x) + O(h^2) = O(h).$

Intuisjon: kvotienten måler stigningen på sekanten fra $x$ til $x+h$ , mens $u'(x)$ er stigningen på tangenten i $x$ . Krummer kurven oppover ( $u'' > 0$ ), ligger sekanten brattere enn tangenten, og kvotienten blir for stor. Det stemmer med eksempelet: for $e^x$ er $u'' > 0$ og forlengs-feilen var positiv; for $\sin x$ i $\pi/6$ er $u'' < 0$ og feilen var negativ.

Den baklengs kvotienten får du ved å sette $-h$ inn i samme regning:

$\frac{u(x) - u(x-h)}{h} = u'(x) - \frac{h}{2}u''(x) + \frac{h^2}{6}u'''(x) - \cdots$

Samme størrelse på hovedfeilen, motsatt fortegn. Det forklarer nøyaktig det vi så i eksempelet — og peker rett mot neste definisjon.

Sentral differansekvotient for

u'

u'(x_i) \approx \frac{U_{i+1} - U_{i-1}}{2h}.

Utledning: hvorfor er sentraldifferansen $O(h^2)$ ?

Trekk de to Taylor-rekkene fra hverandre. De like leddene ( $u$ , $h^2u''/2$ , $h^4u^{(4)}/24$ ) står med samme fortegn i begge og forsvinner:

$u(x+h) - u(x-h) = 2h\,u'(x) + \frac{2h^3}{6}u'''(x) + \frac{2h^5}{120}u^{(5)}(x) + \cdots$

Del på $2h$ :

$\frac{u(x+h) - u(x-h)}{2h} = u'(x) + \frac{h^2}{6}u'''(x) + O(h^4).$

Avkuttingsfeilen er $\tau(h) = \dfrac{h^2}{6}u'''(x) + O(h^4) = O(h^2)$ .

Intuisjon: leddet $\displaystyle \frac{h}{2}u''$ dukket opp med $+$ i den forlengs kvotienten og med $-$ i den baklengs. I gjennomsnittet kansellerer de eksakt. Du får en orden gratis, uten å bruke flere funksjonsverdier enn før — de to naboene i stedet for naboen og deg selv.

Merk også at bare hver annen potens overlever. Feilrekka går $h^2, h^4, h^6, \dots$ Det er symmetrien i formelen som gjør det, og det er derfor sentrale formler er så populære i praksis.

✏️Halveringstesten: se ordenen i tallene

Bruk den sentrale differansekvotienten på $f(x) = e^x$ i $x = 1$ for $h = 0{,}1;\ 0{,}05;\ 0{,}025;\ 0{,}0125$ . Vis at tallene bekrefter $O(h^2)$ , og at feilkonstanten stemmer med $u'''(1)/6$ .

Steg 1 — regn ut. Fra formelarket:

\dfrac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}

. Eksakt verdi er

f'(1) = e = 2{,}7182818285

$h$	sentral kvotient	feil	forhold
0,1	2,7228145639	$4{,}5327\cdot 10^{-3}$	—
0,05	2,7194145875	$1{,}1328\cdot 10^{-3}$	4,002
0,025	2,7185649917	$2{,}8316\cdot 10^{-4}$	4,000
0,0125	2,7183526176	$7{,}0789\cdot 10^{-5}$	4,000

Steg 2 — les av ordenen. Hver halvering av

h

deler feilen på 4. Det er

2^p = 4

, altså

p = 2

: kvotienten er av andre orden, akkurat som utledningen sa.
Steg 3 — kontroller konstanten. Utledningen ga

\displaystyle \tau(h) \approx \frac{h^2}{6}u'''(1)

. For

u = e^x

u'''(1) = e

, så

\frac{\tau(h)}{h^2} \approx \frac{e}{6} = 0{,}45305.

Sjekk med tallene:

4{,}5327\cdot 10^{-3}/0{,}1^2 = 0{,}45327

, og

7{,}0789\cdot 10^{-5}/0{,}0125^2 = 0{,}45305

. Stemmer til fem siffer, og nærmer seg

e/6

nedenfra etter hvert som

h

krymper.
Sammenlign med den forlengs kvotienten fra det første eksempelet: den bommet med

0{,}14

ved

h = 0{,}1

. Sentraldifferansen bommer med

0{,}0045

— tretti ganger bedre, med like mange funksjonsverdier. Det er derfor alle skjemaene i Del 8 bruker sentraldifferanser i romretningen.

Sensorregelen her: en «vis at feilen er $O(h^2)$ »-oppgave besvares med Taylor-utledningen, ikke med tabellen. Tabellen er en kontroll, ikke et bevis. Men den er en kontroll du bør gjøre, og den er verdt å nevne med én setning.

📝Oppgave 3

En numerisk metode gir disse feilene:

$h$	0,4	0,2	0,1	0,05
feil	$3{,}20\cdot 10^{-2}$	$8{,}00\cdot 10^{-3}$	$2{,}00\cdot 10^{-3}$	$5{,}00\cdot 10^{-4}$

a) Bestem ordenen

p

.
b) Anslå feilkonstanten

C

\tau \approx Ch^p

c) Hvor liten må $h$ være for at feilen skal komme under $10^{-6}$ ?

📝Oppgave 4

Vis ved Taylor-utvikling at den baklengs differansekvotienten har avkuttingsfeil

$\frac{u(x) - u(x-h)}{h} - u'(x) = -\frac{h}{2}u''(x) + O(h^2),$

og forklar hvorfor gjennomsnittet av den forlengs og den baklengs kvotienten er nøyaktig den sentrale.

Løkke 3 — Den dobbeltderiverte, og hvorfor $u_{xx}$ er hjertet i Del 8 (~14 min)

— naturlig pausepunkt —

Varmelikningen, bølgeligningen og randverdiproblemet har alle det samme leddet: $u_{xx}$ . Det er den ene kvotienten du kommer til å bruke i hver eneste oppgave i resten av delen.

Den andre sentraldifferansen

u''(x_i) \approx \frac{U_{i+1} - 2U_i + U_{i-1}}{h^2}.

Differanseoperatoren

\delta^2

\delta^2 U_i = U_{i+1} - 2U_i + U_{i-1}.

✏️Taylor-utledning av $u''$-kvotienten, med kontroll

Vis at

$\frac{u(x+h) - 2u(x) + u(x-h)}{h^2} = u''(x) + \frac{h^2}{12}u^{(4)}(x) + O(h^4),$

og kontroller feilkonstanten numerisk på $f(x) = e^x$ i $x = 1$ .

Steg 1 — legg de to Taylor-rekkene sammen. Nå er det de odde leddene vi vil bli kvitt, og de forsvinner når vi adderer:

$u(x+h) = u + hu' + \frac{h^2}{2}u'' + \frac{h^3}{6}u''' + \frac{h^4}{24}u^{(4)} + \frac{h^5}{120}u^{(5)} + \cdots$
$u(x-h) = u - hu' + \frac{h^2}{2}u'' - \frac{h^3}{6}u''' + \frac{h^4}{24}u^{(4)} - \frac{h^5}{120}u^{(5)} + \cdots$

Summen:

$u(x+h) + u(x-h) = 2u + h^2u'' + \frac{h^4}{12}u^{(4)} + O(h^6).$

Her er $\displaystyle 2\cdot\frac{h^4}{24} = \frac{h^4}{12}$ , og alle odde potenser er borte.

Steg 2 — trekk fra $2u(x)$ og del på $h^2$ .

$u(x+h) - 2u(x) + u(x-h) = h^2u'' + \frac{h^4}{12}u^{(4)} + O(h^6),$

$\frac{u(x+h) - 2u(x) + u(x-h)}{h^2} = u''(x) + \frac{h^2}{12}u^{(4)}(x) + O(h^4). \qquad \blacksquare$

Avkuttingsfeilen er $O(h^2)$ , og igjen inneholder feilrekka bare like potenser.

Steg 3 — kontroll på $e^x$ i $x = 1$ . Her er $u^{(4)}(1) = e$ , så feilkonstanten skal være $e/12 = 0{,}226523$ .

$h$	kvotient	feil	feil $/h^2$
0,2	2,7273548578	$9{,}0730\cdot 10^{-3}$	0,226826
0,1	2,7205478185	$2{,}2660\cdot 10^{-3}$	0,226599
0,05	2,7188481844	$5{,}6636\cdot 10^{-4}$	0,226542
0,025	2,7184234086	$1{,}4158\cdot 10^{-4}$	0,226528

Siste kolonne nærmer seg

0{,}226523 = e/12

. Feilen deles på 4 ved hver halvering — andre orden, som utledningen sa.
Merk hvor det store spranget i orden ligger. Den forlengs kvotienten er

O(h)

; de sentrale er

O(h^2)

. Alle skjemaene i Del 8 er sentrale i romretningen nettopp fordi denne kvotienten er gratis andreordens — mens tidsretningen ofte er ensidig og dermed bare førsteordens. Den ubalansen er selve grunnen til at Crank–Nicolson finnes.

📝Oppgave 5

La $f(x) = \ln x$ og $x_0 = 2$ .

a) Regn ut $\dfrac{f(2+h) - 2f(2) + f(2-h)}{h^2}$ for $h = 0{,}2$ og $h = 0{,}1$ .
b) Sammenlign med $f''(2)$ og bestem ordenen fra de to feilene.
c) Kontroller feilkonstanten mot $\displaystyle \frac{1}{12}f^{(4)}(2)$ .

📝Oppgave 6

I randpunktet

x_0

finnes ingen

U_{-1}

, så sentraldifferansen kan ikke brukes. En ensidig andreordens formel er

$u'(x_0) \approx \frac{-3U_0 + 4U_1 - U_2}{2h}.$

a) Vis ved Taylor-utvikling at denne formelen har avkuttingsfeil $O(h^2)$ .
b) Finn hovedleddet i feilen.

Løkke 4 — Avrunding mot avkutting: den beste $h$ (~14 min)

Utledningene over sier at feilen går mot null når $h$ gjør det. Men prøver du det på en datamaskin, skjer noe annet: feilen synker en stund og begynner så å stige igjen. Det er dette eksamensspørsmålet i sjanger Q handler om.

Maskinepsilon

\varepsilon

1 + \varepsilon

Kansellering i en differansekvotient

u(x+h) - u(x-h)

Totalfeil-modellen

E(h) \approx \underbrace{\frac{K\varepsilon}{h^q}}_{\text{avrunding}} + \underbrace{C h^p}_{\text{avkutting}},

Optimal steglengde ved balansering

E(h)

✏️Eksamensnivå (sjanger Q): balanser feilene og finn optimal $h$

Den sentrale differansekvotienten $\dfrac{u(x+h)-u(x-h)}{2h}$ brukes på en datamaskin med maskinepsilon $\varepsilon$ . Funksjonsverdiene har absoluttfeil inntil $\varepsilon$ .

a) Sett opp et anslag for totalfeilen som funksjon av $h$ .
b) Finn den $h$ som gjør totalfeilen minst, uttrykt ved $\varepsilon$ og de deriverte av $u$ .
c) Regn ut et tall for $u(x) = e^x$ i $x = 1$ med $\varepsilon = 2{,}2\cdot 10^{-16}$ , og sammenlign med en faktisk kjøring.

a) Totalfeilen. (Oppsettet må kunnes — arket har det ikke.)

Avkuttingsdelen er utledet i løkke 2:

$\left|\frac{h^2}{6}u'''(\xi)\right| \le \frac{h^2}{6}M_3, \qquad M_3 = \max|u'''|.$

Avrundingsdelen: hver av de to funksjonsverdiene har feil inntil $\varepsilon$ , så telleren har feil inntil $2\varepsilon$ , og etter divisjon med $2h$ :

$\frac{2\varepsilon}{2h} = \frac{\varepsilon}{h}.$

Til sammen:

$E(h) \le \frac{\varepsilon}{h} + \frac{M_3}{6}h^2.$

b) Minimum. Deriver med hensyn på $h$ og sett lik null:

$E'(h) = -\frac{\varepsilon}{h^2} + \frac{M_3}{3}h = 0 \quad\Longrightarrow\quad h^3 = \frac{3\varepsilon}{M_3} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{h_{\text{opt}} = \left(\frac{3\varepsilon}{M_3}\right)^{1/3}.}$

Dette er et minimum: $E''(h) = 2\varepsilon/h^3 + M_3/3 > 0$ for alle $h > 0$ .

Størrelsesordenen er $h_{\text{opt}} = O(\varepsilon^{1/3})$ , og den tilhørende minste feilen er av orden $\varepsilon^{2/3}$ — altså cirka $10^{-11}$ i dobbel presisjon, ikke $10^{-16}$ . Du får aldri full maskinnøyaktighet ut av en differansekvotient.

c) Tall. For $u = e^x$ nær $x = 1$ er $M_3 = e = 2{,}718$ :

$h_{\text{opt}} = \left(\frac{3\cdot 2{,}2\cdot 10^{-16}}{2{,}718}\right)^{1/3} = \left(2{,}43\cdot 10^{-16}\right)^{1/3} = 6{,}26\cdot 10^{-6}.$

Faktisk kjøring av kvotienten på $e^x$ i $x = 1$ gir denne feilkurven:

$h$	$10^{-2}$	$10^{-4}$	$10^{-5}$	$3{,}2\cdot 10^{-6}$	$10^{-6}$	$10^{-8}$
feil	$4{,}5\cdot 10^{-5}$	$4{,}5\cdot 10^{-9}$	$5{,}9\cdot 10^{-11}$	$3{,}3\cdot 10^{-11}$	$1{,}6\cdot 10^{-10}$	$6{,}6\cdot 10^{-9}$

Minimum ligger rundt

h \approx 3\cdot 10^{-6}

med feil

\approx 3\cdot 10^{-11}

— samme størrelsesorden som anslaget

6{,}3\cdot 10^{-6}

, og feilen stemmer med

\varepsilon^{2/3} \approx 3{,}7\cdot 10^{-11}

.
Legg merke til høyre halvdel av tabellen: fra

h = 10^{-6}

og nedover blir feilen større, ikke mindre. Det er avrundingsleddet som har tatt over. En student som «bare velger

h

svært liten», får dårligere svar enn en som velger

h

fornuftig.

Hva sensor ser etter i denne sjangeren: at du (1) skriver opp begge feilkildene med riktig $h$ -potens, (2) deriverer og løser for $h$ — ikke bare setter de to leddene lik hverandre uten å fullføre, og (3) svarer med størrelsesordenen $h = O(\varepsilon^{1/3})$ . Setter du bare $\displaystyle \varepsilon/h = \frac{M_3}{6}h^2$ i stedet for å derivere, får du $h = (6\varepsilon/M_3)^{1/3}$ — samme størrelsesorden, og det godtas, men si i så fall at du balanserer leddene.

📝Oppgave 7

Gjenta balanseringen for den andre sentraldifferansen $\dfrac{u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^2}$ , der avrundingsbidraget er omtrent $4\varepsilon/h^2$ og avkuttingsfeilen $\displaystyle \frac{h^2}{12}M_4$ med $M_4 = \max|u^{(4)}|$ .

a) Sett opp totalfeilen og finn $h_{\text{opt}}$ .
b) Regn ut tallet for $u = e^x$ i $x = 1$ med $\varepsilon = 2{,}2\cdot 10^{-16}$ .
c) En faktisk kjøring har minimum ved $h \approx 3{,}2\cdot 10^{-4}$ med feil $2{,}9\cdot 10^{-8}$ . Stemmer det med anslaget?

📝Oppgave 8

En differansekvotient har avkuttingsfeil $O(h^p)$ og avrundingsbidrag $O(\varepsilon/h^q)$ , med $p, q \ge 1$ .

a) Vis at optimal steglengde er $h_{\text{opt}} = O\!\left(\varepsilon^{1/(p+q)}\right)$ .
b) Vis at den minste oppnåelige feilen er $O\!\left(\varepsilon^{p/(p+q)}\right)$ .
c) En metode har $p = 4$ og $q = 1$ . Hvor liten kan feilen bli i dobbel presisjon, og ved hvilken $h$ ?

📝Oppgave 9

Betrakt kvotienten

$D_h u(x) = \frac{u(x+2h) - u(x-2h)}{4h}.$

a) Vis ved Taylor-utvikling at $\displaystyle D_hu(x) = u'(x) + \frac{2h^2}{3}u'''(x) + O(h^4)$ .
b) Sammenlign feilkonstanten med den vanlige sentraldifferansens. Hvilken er best, og med hvilken faktor?
c) Funksjonsverdiene har absoluttfeil inntil $\varepsilon$ . Finn optimal $h$ for $D_h$ , og forklar hvorfor $D_h$ likevel ikke er noe å foretrekke.

Typiske feil

Å stoppe Taylor-utviklingen for tidlig. Dette er den dyreste feilen i sjanger Q. Tar du bare med til og med

h^2

-leddet når du skal vise at sentraldifferansen er

O(h^2)

, ser det ut som om leddet forsvant helt — og du kan ikke si hva feilen faktisk er. Regelen er enkel: ta med ett ledd mer enn du tror du trenger, og sjekk at det første leddet som overlever, ikke er null.

Feil fortegn i den baklengs differansen. $\dfrac{U_i - U_{i-1}}{h}$ , ikke $\dfrac{U_{i-1} - U_i}{h}$ , og nevneren er $+h$ selv om steget går bakover. Snur du dette, snur hele svaret fortegn, og feilkonstanten din får feil fortegn i alle senere delpunkter.

Å balansere uten å fullføre. «Vi setter $\varepsilon/h = Ch^2$ » og så stopper det. Du må løse for $h$ og oppgi størrelsesordenen $h = O(\varepsilon^{1/3})$ . Et halvferdig balanseringsargument får sjelden mer enn halve poengsummen — løsningsforslagene fører alltid regningen helt ut.

Nevneren $h$ i stedet for $2h$ i sentraldifferansen. Da blir svaret dobbelt så stort. Kontroller alltid med en lineær funksjon: for $u(x) = x$ skal enhver differansekvotient gi nøyaktig 1. Det tar ti sekunder og fanger både denne og en rekke andre feil.

Å blande avkuttingsfeil og avrundingsfeil. Avkuttingsfeilen synker når $h$ synker; avrundingsfeilen stiger. Skriver du at «feilen går mot null når $h \to 0$ » i en oppgave som handler om maskinregning, har du misforstått hele spørsmålet.

Å glemme at ordenen krever deriverbarhet. $O(h^2)$ -argumentet forutsetter at $u'''$ (eller $u^{(4)}$ ) finnes og er begrenset i hele intervallet. Har funksjonen et knekkpunkt, faller ordenen. Nevn forutsetningen med én setning når du fører utledningen — det koster ingenting og er en av tingene et fullstendig svar har med.

Å forveksle $h$ i rommet med $\Delta t$ i tiden. Fra og med kap. 8.2 er det to steglengder i spill samtidig. Skriv alltid hvilken som er hvilken i første linje.

Begrepsbank

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Boksene under samler resten av begrepene i kapitlet som egne kort. Ved førstegangslesing kan du gå rett til repetisjonsoppgavene.

Konsistens

h \to 0

Halveringstesten

h

Stensil

u''

Symmetriregelen for feilrekker

h

Avkuttingsfeil kontra sluttfeil

U_i

Skranken

M_p

M_p = \max_{x \in [a,b]} \left|u^{(p)}(x)\right|.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.