8.4 Randverdiproblemer, falsk rand og kodefeil-lokalisering

Sett opp $A\mathbf U=\mathbf b$ for et randverdiproblem, håndter Neumann-rand med falsk node, og finn den innebygde feilen i en gitt Python-kode.

60 min

14 oppgaver

Randverdiproblemerfalsk randkodefeil-lokalisering

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

8.PPrøver til del 8: Differansemetoder for PDE og randverdiproblemer

Dette kapitlet dekker den tredje varianten av sjanger P — differansemetoder for partielle differensiallikninger og randverdiproblemer, som står på 11 av 13 gjennomgåtte sett (85 %). Bokstavene A til S er bokas korte navn på de nitten oppgavetypene på settene, og de forklares første gang de brukes i hvert kapittel.

To underspørsmål har eget belegg, og begge er toppsjikt-markører:

- Randverdiproblem med falsk rand: 2 av 13 sett (15 %). Du diskretiserer $u'' + q(x)u = g(x)$ , setter opp $A\mathbf U = \mathbf b$ , og håndterer en Neumann-betingelse med en fiktiv node utenfor intervallet.
- Kodefeil-lokalisering: 2 av 13 sett (15 %). Du får et kort Python-program med én innebygd feil, ser at randbetingelsen ikke er oppfylt, og peker på den linja som er skyld i det.

Hver for seg er de ikke veldig hyppige. Samlet er de en fast del av P-blokken, og de er billige å score på når du har gjort dem én gang — særlig kodefeilen, som er ren logikk uten tung regning.

Formelark-merking.

- Differansekvotientene står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Det gjelder både sentraldifferansen for $u'$ og den andre sentraldifferansen for $u''$ ; begge trengs her.
- Systemoppsettet, elimineringen av den falske noden og feilsøkingslogikken må kunnes. Formelarket har ingenting om noen av delene.

En notasjonsavklaring før vi begynner. Randverdiproblemet skrives ofte $u'' + q(x)u = r(x)$ i lærebøker. Denne boka bruker $g(x)$ for høyresiden, fordi $r$ i hele Del 8 er stabilitetstallet $c^2\Delta t/h^2$ . Ser du en $r(x)$ i en oppgavetekst, er det høyresiden — ikke stabilitetstallet.

Tidsbruk: 60 minutter lesetid, fire løkker à omtrent et kvarter. Naturlig pausepunkt etter løkke 2.

Forkunnskaper: kap. 8.2 — gitteret, notasjonen og differanseskjemaet. Fra kap. 8.1 trengs differansekvotientene og ordensbegrepet. Kap. 8.3 er nyttig, siden systemet her har samme tridiagonale form, men ikke nødvendig.

Sist du var her. De tre tingene du bruker i hver eneste oppgave under:

$u''(x_i) \approx \frac{U_{i+1} - 2U_i + U_{i-1}}{h^2}$

Den andre sentraldifferansen. Står på det utdelte formelarket — tren oppslaget.

$u'(x_i) \approx \frac{U_{i+1} - U_{i-1}}{2h}$

Den sentrale førstederiverte, orden $O(h^2)$ . Det er denne som brukes i randpunktet og som gjør at den falske noden i det hele tatt dukker opp.

$\text{orden 2 betyr: halvér } h \ \Rightarrow\ \text{feilen deles på 4.}$

Halveringstesten fra kap. 8.1. I løkke 4 brukes den som feilsøkingsverktøy: et skjema med en feil i randraden konvergerer ikke, og det ser du med to kjøringer.

Fra tidligere matematikkemner trengs å kunne løse et lite lineært system, og å lese enkel Python-kode med numpy. Du skal aldri skrive et program i denne boka — bare lese og feilsøke.

To slags problemer, to helt ulike løsningsmåter

Fram til nå har alt i Del 8 marsjert framover i tid: du kjenner starten, og du regner deg oppover rad for rad. Det kalles et initialverdiproblem.

Et randverdiproblem er noe annet. Der er betingelsene gitt i begge ender av intervallet, og det finnes ingen retning å marsjere i. En stang som holdes på 20 grader i den ene enden og er isolert i den andre — hva er temperaturen i midten når alt har roet seg? Du kan ikke starte i venstre ende og gå mot høyre, for du vet ikke hva stigningen skal være der.

Derfor må alle punktene finnes samtidig. Én likning per indre punkt, alle koblet til naboene sine, samlet i ett lineært system $A\mathbf U = \mathbf b$ . Det er samme tridiagonale form som i kap. 8.3, men nå kommer den ikke av et tidssteg — den kommer av selve problemet.

Så kommer den lille komplikasjonen som gir kapitlet navn. Er randbetingelsen av typen «temperaturen er $5$ grader», setter du bare inn tallet. Men er den «enden er isolert», altså $u'(1) = 0$ , må du bruke en differansekvotient i randpunktet — og sentraldifferansen der peker på et punkt som ligger utenfor intervallet. Det punktet finnes ikke. Trikset er å late som det gjør, og deretter eliminere det. Den fiktive verdien kalles en falsk node.

Og til slutt en sjanger som er helt egen for dette emnet: du får et kort program som løser et slikt problem, det gir feil svar, og du skal finne den ene linja som er skyld i det. Det er ikke et programmeringspensum — det er en test på om du forstår hvor randbetingelsen bor i koden.

Kapitlet gjør fire ting: setter opp systemet med Dirichlet-rand, innfører den falske noden, viser hvorfor den er verdt bryet, og går gjennom kodefeil-lokalisering med en oppskrift som virker.

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene i dette kapitlet er samtidig kortene i flashcard-bunken. Ved første gjennomlesing holder det å lese formelen og gå videre til eksempelet; tidsanslaget på 60 minutter gjelder kjernestoffet.

Løkke 1 — Fra differensiallikning til likningssystem (~15 min)

Vi begynner med det enkleste tilfellet: verdien er gitt i begge ender. Da er hele jobben å skrive én likning per indre punkt og samle dem.

Randverdiproblem

[a,b]

Diskretisering av randverdiproblemet

x_i = a + ih

Systemet

A\mathbf U = \mathbf b

N-1

Dirichlet-rand i systemet

u(a) = \alpha

✏️Sett opp og løs systemet med Dirichlet-rand i begge ender

Diskretiser

$u'' - 9u = 9x, \qquad 0 \le x \le 1, \qquad u(0) = 0, \quad u(1) = 0,$

med $h = \tfrac13$ . Sett opp $A\mathbf U = \mathbf b$ , løs, og sammenlign med den eksakte løsningen.

Steg 1 — gitteret.

N = 3

delintervall gir

x_0 = 0

x_1 = \tfrac13

x_2 = \tfrac23

x_3 = 1

, og

h = \tfrac13

med

h^2 = \tfrac19

, altså

1/h^2 = 9

De ukjente er $U_1$ og $U_2$ . Randverdiene er $U_0 = U_3 = 0$ .

Steg 2 — diskretiser. Fra formelarket: $u'' \approx \dfrac{U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}}{h^2}$ . Sett inn i likningen:

$\frac{U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}}{h^2} - 9U_i = 9x_i.$

Med $1/h^2 = 9$ blir venstre side $9\left(U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}\right) - 9U_i$ . Del alt på 9:

$U_{i+1} - 3U_i + U_{i-1} = x_i.$

Pent. Med akkurat dette $h$ -et og denne $q$ -en blir alle koeffisientene hele tall.

Steg 3 — skriv likningene.

$i = 1$ : $U_2 - 3U_1 + U_0 = \tfrac13$ . Med $U_0 = 0$ :

$-3U_1 + U_2 = \tfrac13.$

$i = 2$ : $U_3 - 3U_2 + U_1 = \tfrac23$ . Med $U_3 = 0$ :

$U_1 - 3U_2 = \tfrac23.$

Steg 4 — systemet.

$\begin{pmatrix}-3 & 1\\ 1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}U_1\\ U_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac13\\ \tfrac23\end{pmatrix}.$

Steg 5 — løs. Fra første likning: $U_2 = 3U_1 + \tfrac13$ . Sett inn i den andre:

$U_1 - 9U_1 - 1 = \tfrac23 \quad\Longrightarrow\quad -8U_1 = \tfrac53 \quad\Longrightarrow\quad U_1 = -\frac{5}{24} = -0{,}208333.$

$U_2 = 3\left(-\frac{5}{24}\right) + \frac13 = -\frac{15}{24} + \frac{8}{24} = -\frac{7}{24} = -0{,}291667.$

Kontroll: $U_1 - 3U_2 = -\tfrac{5}{24} + \tfrac{21}{24} = \tfrac{16}{24} = \tfrac23$ . ✓

Steg 6 — sammenlign med fasiten. Den eksakte løsningen finnes: homogen del $A\cosh 3x + B\sinh 3x$ , partikulær $u_p = -x$ (sett inn: $0 - 9(-x) = 9x$ ✓). Randbetingelsene gir $A = 0$ og $B\sinh 3 = 1$ , altså

$u(x) = \frac{\sinh 3x}{\sinh 3} - x, \qquad \sinh 3 = 10{,}0179.$

$u(\tfrac13) = \frac{1{,}17520}{10{,}0179} - \frac13 = -0{,}216023, \qquad u(\tfrac23) = \frac{3{,}62686}{10{,}0179} - \frac23 = -0{,}304628.$

Avvikene er $0{,}0077$ og $0{,}0130$ . Med bare to indre punkter er det bra.

Steg 7 — kontroller ordenen. Skjemaet skal være $O(h^2)$ , så feilen skal deles på 4 når $h$ halveres. Kjørt for $N = 3, 6, 12, 24$ blir største feil

$1{,}30\cdot 10^{-2}, \quad 3{,}46\cdot 10^{-3}, \quad 8{,}81\cdot 10^{-4}, \quad 2{,}22\cdot 10^{-4},$

med forholdene $3{,}74$ , $3{,}93$ og $3{,}97$ — på vei mot 4. ✓ Andre orden bekreftet.

Denne konvergenskontrollen er verdt å nevne i besvarelsen, og i løkke 4 blir den selve feilsøkingsverktøyet.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren innsetting.) Diskretiser $u'' = 6x$ på $[0,1]$ med $u(0) = 0$ , $u(1) = 1$ og $h = \tfrac12$ .

a) Hvor mange ukjente er det?
b) Skriv opp likningen for det indre punktet.
c) Løs den.

📝Oppgave 2

Diskretiser

$u'' - 4u = 8, \qquad 0 \le x \le 1, \qquad u(0) = 0, \quad u(1) = 1,$

med $h = \tfrac13$ .

a) Sett opp $A\mathbf U = \mathbf b$ .
b) Løs systemet.

Løkke 2 — Neumann-rand og den falske noden (~16 min)

Nå kommer kapitlets kjerne. Hva gjør du når randbetingelsen ikke gir en verdi, men en stigning?

Neumann-rand

u'(b) = \beta.

Den falske noden

x_{N+1} = b + h

Elimineringen, steg for steg. Anta

u'(b) = 0

i høyre ende.

Steg 1 — randbetingelsen med sentraldifferanse:

$\frac{U_{N+1} - U_{N-1}}{2h} = 0 \quad\Longrightarrow\quad U_{N+1} = U_{N-1}.$

Den falske verdien er altså speilbildet av naboen på innsiden.

Steg 2 — bruk differensiallikningen også i randpunktet. Likningen gjelder helt ut til randen, så vi skriver den for $i = N$ :

$\frac{U_{N+1} - 2U_N + U_{N-1}}{h^2} + q_N U_N = g_N.$

Steg 3 — sett inn fra steg 1. Erstatt $U_{N+1}$ med $U_{N-1}$ :

$\frac{2U_{N-1} - 2U_N}{h^2} + q_N U_N = g_N.$

Her er hele poenget: koeffisienten foran $U_{N-1}$ ble $2$ , ikke $1$ . De to naboverdiene falt sammen til én, og bidragene la seg oppå hverandre.

Å glemme den faktoren 2 er den enkeltfeilen som er dokumentert i løsningsforslagene — og den er også kodefeilen du skal lete etter i løkke 4. Skriv $2$ og understrek den.

Intuisjon: betingelsen $u'(b) = 0$ sier at kurven er flat i randen. Da er verdien på utsiden lik verdien på innsiden — profilen speiler seg om randpunktet. Tegn det, og faktoren 2 blir opplagt.

Er $u'(b) = \beta \ne 0$ , gir samme regning $U_{N+1} = U_{N-1} + 2h\beta$ , og randraden blir

$\frac{2U_{N-1} - 2U_N}{h^2} + q_NU_N = g_N - \frac{2\beta}{h}.$

Det ekstra leddet flyttes over til høyresiden.

📝Oppgave 3

(Innstegsoppgave — ren opptelling.) Et randverdiproblem på $[0,1]$ diskretiseres med $N = 5$ delintervall.

a) Hvor mange ukjente er det når begge randbetingelsene er av Dirichlet-type?
b) Hvor mange er det når venstre rand er Dirichlet og høyre rand er Neumann?
c) Hvilke gitterpunkter trenger en falsk node i tilfellet i b), og hvor ligger den?

✏️Falsk node fra ende til annen, med kontroll mot fasiten

Diskretiser

$u'' - 16u = 16x, \qquad 0 \le x \le 1, \qquad u(0) = 0, \quad u'(1) = 0,$

med $h = \tfrac14$ . Sett opp $A\mathbf U = \mathbf b$ med falsk node ved høyre rand, løs, og sammenlign med den eksakte løsningen.

Steg 1 — gitteret og de ukjente.

N = 4

gir

x_i = 0;\ 0{,}25;\ 0{,}5;\ 0{,}75;\ 1

1/h^2 = 16

$U_0 = 0$ er kjent (Dirichlet). $U_4$ er ukjent, fordi høyre rand bare gir stigningen. De ukjente er altså $U_1, U_2, U_3, U_4$ — fire stykker.

Steg 2 — diskretiser likningen. Fra formelarket:

$\frac{U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}}{h^2} - 16U_i = 16x_i.$

Med $1/h^2 = 16$ blir venstre side $16\left(U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}\right) - 16U_i$ . Del alt på 16:

$U_{i+1} - 3U_i + U_{i-1} = x_i.$

Steg 3 — de indre likningene ( $i = 1,2,3$ ).

$i = 1$ , med $U_0 = 0$ : $\quad -3U_1 + U_2 = 0{,}25$

$i = 2$ : $\quad U_1 - 3U_2 + U_3 = 0{,}5$

$i = 3$ : $\quad U_2 - 3U_3 + U_4 = 0{,}75$

Steg 4 — randraden med falsk node ( $i = 4$ ). Skriv samme likning i randpunktet:

$U_5 - 3U_4 + U_3 = x_4 = 1.$

Randbetingelsen $u'(1) = 0$ med sentraldifferanse:

$\frac{U_5 - U_3}{2h} = 0 \quad\Longrightarrow\quad U_5 = U_3.$

Sett inn:

$\boxed{2U_3 - 3U_4 = 1.}$

Faktoren 2 foran $U_3$ er hele poenget. Skriver du $1$ der, løser du et helt annet problem — som du skal se i løkke 3 og 4.

Steg 5 — systemet.

$\begin{pmatrix}-3 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 2 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}U_1\\ U_2\\ U_3\\ U_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}25\\ 0{,}5\\ 0{,}75\\ 1\end{pmatrix}.$

Legg merke til at matrisen ikke lenger er symmetrisk — den siste raden har 2 der de andre har 1. Det er normalt for falsk-rand-behandlingen og er ikke en feil.

Steg 6 — løs. Ved eliminasjon:

$U_1 = -\frac{45}{188} = -0{,}239362, \qquad U_2 = -\frac{22}{47} = -0{,}468085,$
$U_3 = -\frac{125}{188} = -0{,}664894, \qquad U_4 = -\frac{73}{94} = -0{,}776596.$

Kontroll i randraden: $2\left(-\tfrac{125}{188}\right) - 3\left(-\tfrac{146}{188}\right) = \tfrac{-250 + 438}{188} = \tfrac{188}{188} = 1$ . ✓

Kontroll i rad 2: $-\tfrac{45}{188} + \tfrac{66}{47} - \tfrac{125}{188}$ . Med felles nevner 188: $\tfrac{-45 + 264 - 125}{188} = \tfrac{94}{188} = 0{,}5$ . ✓

Steg 7 — sammenlign med fasiten. Eksakt: partikulær $u_p = -x$ (sett inn: $0 - 16(-x) = 16x$ ✓), homogen $A\cosh 4x + B\sinh 4x$ . Fra $u(0) = 0$ : $A = 0$ . Fra $u'(1) = 0$ : $4B\cosh 4 - 1 = 0$ , altså $B = \dfrac{1}{4\cosh 4}$ :

$u(x) = \frac{\sinh 4x}{4\cosh 4} - x, \qquad \cosh 4 = 27{,}30823.$

$x$	numerisk	eksakt	avvik
0,25	$-0{,}239362$	$-0{,}239241$	$-0{,}000120$
0,50	$-0{,}468085$	$-0{,}466797$	$-0{,}001288$
0,75	$-0{,}664894$	$-0{,}658289$	$-0{,}006605$
1,00	$-0{,}776596$	$-0{,}750168$	$-0{,}026428$

Merk at feilen er størst i randpunktet. Det er typisk: randraden er den eneste som er behandlet spesielt, og den bærer mest feil. Men den er fortsatt

O(h^2)

— se løkke 3.
Det som gir uttelling i denne oppgavetypen: (1) at du skriver differensiallikningen også i randpunktet, (2) at du bruker sentraldifferansen — ikke en ensidig — på randbetingelsen, (3) at faktoren 2 kommer riktig ut, og (4) minst én innsettingskontroll. Ren fasit uten disse fire gir ikke full uttelling.

📝Oppgave 4

Sett opp randraden med falsk node i hvert tilfelle. Likningen er $u'' + q u = g$ , gitteret har $N$ delintervall, og randbetingelsen gjelder i $x_N = b$ .

a) $u'(b) = 0$
b) $u'(b) = 3$
c) Venstre rand i stedet: $u'(a) = 0$ , med falsk node $U_{-1}$ .

📝Oppgave 5

Diskretiser

$u'' - 4u = 4, \qquad 0 \le x \le 1, \qquad u'(0) = 0, \quad u(1) = 0,$

med $h = \tfrac12$ . Sett opp systemet og løs det.

Løkke 3 — Hvorfor ikke bare bruke en ensidig differanse? (~13 min)

— naturlig pausepunkt —

Et rimelig spørsmål: hvorfor gjøre det så tungvint? Randbetingelsen $u'(b) = 0$ kunne jo like gjerne skrives

$\frac{U_N - U_{N-1}}{h} = 0 \quad\Longrightarrow\quad U_N = U_{N-1},$

uten noen falsk node i det hele tatt. Svaret er at det ødelegger hele skjemaet, og det er verdt å se hvorfor.

Ordenen til randbehandlingen

O(h^2)

✏️To randbehandlinger, målt mot hverandre

Løs problemet fra eksempel 2 — $u'' - 16u = 16x$ , $u(0) = 0$ , $u'(1) = 0$ — for $N = 4, 8, 16, 32, 64$ , én gang med falsk node og én gang med den ensidige betingelsen $U_N = U_{N-1}$ . Sammenlign største feil.

Resultatet av de to kjøringene:

$N$	$h$	falsk node	forhold	ensidig	forhold
4	0,2500	$2{,}643\cdot 10^{-2}$	—	$1{,}540\cdot 10^{-1}$	—
8	0,1250	$7{,}473\cdot 10^{-3}$	3,54	$7{,}005\cdot 10^{-2}$	2,20
16	0,0625	$1{,}933\cdot 10^{-3}$	3,87	$3{,}314\cdot 10^{-2}$	2,11
32	0,0312	$4{,}874\cdot 10^{-4}$	3,97	$1{,}609\cdot 10^{-2}$	2,06
64	0,0156	$1{,}221\cdot 10^{-4}$	3,99	$7{,}923\cdot 10^{-3}$	2,03

Les kolonnene med forhold. Falsk node gir forholdet 4 — feilen deles på fire når

h

halveres, altså orden 2. Den ensidige gir forholdet 2 — bare orden 1.
Se hva det koster i praksis. Ved

N = 64

er feilen med falsk node

1{,}2\cdot 10^{-4}

; med ensidig rand er den

7{,}9\cdot 10^{-3}

— 65 ganger større. Og forspranget vokser: hver halvering av

h

dobler forholdet mellom de to.
Sagt på en annen måte: for å nå samme nøyaktighet som falsk node gir ved

N = 8

, trenger den ensidige varianten omtrent

N = 570

. Det er en veldig dyr forenkling.
Det ene ekstra trinnet — å skrive likningen i randpunktet og speile den falske noden inn — er altså ikke pynt. Det er forskjellen mellom en andreordens og en førsteordens metode.
Merk også at feilen med ensidig rand ikke er konsentrert nær randen. Den forplanter seg innover, fordi alle likningene er koblet. Én dårlig rad ødelegger for hele løsningen — og det er nettopp derfor kodefeil i randraden er så vanskelige å oppdage ved å se på tallene.

📝Oppgave 6

En annen måte å bevare orden 2 på i randpunktet er å bruke den ensidige andreordens formelen fra kap. 8.1:

$u'(x_N) \approx \frac{3U_N - 4U_{N-1} + U_{N-2}}{2h}.$

a) Skriv opp randraden som $u'(b) = 0$ da gir.
b) Hvilken fordel og hvilken ulempe har denne varianten sammenlignet med falsk node?
c) Hvorfor blir matrisen ikke lenger tridiagonal?

Løkke 4 — Å finne den ene linja som er feil (~16 min)

Nå til den sjangeren som er helt egen for dette emnet. Du får et kort program, det gir feil svar, og du skal peke på linja.

Dette er ikke et programmeringspensum. Du skal aldri skrive et program på eksamen. Du skal lese femten linjer og se hvor randbetingelsen bor.

Oppskrift: finn feilen i et differanseprogram

u(0) = 0

✏️Kodefeil-lokalisering: programmet som ikke respekterer randbetingelsen

En student skal løse randverdiproblemet fra eksempel 2,

$u'' - 16u = 16x, \qquad u(0) = 0, \quad u'(1) = 0,$

og skriver dette programmet. Det gir feil svar. Finn feilen, forklar symptomet, og rett den.

import numpy as np

n = 4                          # antall delintervall
h = 1/n
x = np.linspace(0, 1, n+1)
A = np.zeros((n, n))           # ukjente er U_1, ..., U_4
b = np.zeros(n)

for i in range(1, n):          # de indre punktene
    A[i-1, i-1] = -2/h**2 - 16
    if i >= 2:
        A[i-1, i-2] = 1/h**2
    A[i-1, i] = 1/h**2
    b[i-1] = 16*x[i]

A[n-1, n-2] = 1/h**2           # raden for randpunktet x_n
A[n-1, n-1] = -2/h**2 - 16
b[n-1] = 16*x[n]

U = np.linalg.solve(A, b)
print(np.round(U, 6))

Utskrift:

[-0.227273 -0.431818 -0.568182 -0.522727]

Steg 1 — sjekk randbetingelsen i svaret. Betingelsen er

u'(1) = 0

: løsningen skal flate ut mot høyre ende. Se på de to siste tallene:

$U_3 = -0{,}568182, \qquad U_4 = -0{,}522727.$

Kurven stiger mot randen, med en stigning på omtrent $(U_4-U_3)/h = 0{,}18$ . Den er ikke i nærheten av flat. Randbetingelsen er brutt, og etter steg 1 i oppskriften ligger feilen dermed i randbehandlingen.

Steg 2 — utled randraden for hånd og les den mot koden. Fra eksempel 2: skriv differensiallikningen i $i = 4$ og sett inn $U_5 = U_3$ fra randbetingelsen:

$\frac{2U_3 - 2U_4}{h^2} - 16U_4 = 16.$

Koeffisienten foran $U_3$ skal altså være $\dfrac{2}{h^2}$ .

I koden står det

A[n-1, n-2] = 1/h**2

Det er feilen, og det er én linje. Faktoren 2 mangler. De to naboverdiene $U_3$ og $U_5$ falt sammen til én da den falske noden ble eliminert, og bidragene skulle legges sammen.

Steg 3 — hvorfor symptomet følger av feilen. Raden koden faktisk løser, er

$\frac{U_3 - 2U_4}{h^2} - 16U_4 = 16,$

som er den samme som du ville fått av å sette $U_5 = 0$ — altså en Dirichlet-betingelse i den falske noden, ikke $u'(1) = 0$ . Programmet løser et helt annet randverdiproblem: ett der løsningen tvinges mot null like utenfor intervallet. Derfor bøyer kurven oppover mot randen i stedet for å flate ut.

Steg 4 — bekreft med gitterforfining. Kjør det samme programmet for flere $n$ og se på randverdien $U_n$ :

$n$	$U(1)$ med feilen	$U(1)$ rettet	eksakt
4	$-0{,}522727$	$-0{,}776596$	$-0{,}750168$
8	$-0{,}314344$	$-0{,}757641$	$-0{,}750168$
16	$-0{,}172100$	$-0{,}752100$	$-0{,}750168$
32	$-0{,}089919$	$-0{,}750655$	$-0{,}750168$

Se på venstre kolonne: den går mot null, ikke mot fasiten. Feilen blir verre når gitteret forfines. Det er det sikreste tegnet på en strukturell feil i en randrad — en ren regnefeil ville blitt mindre.
Den rettede kolonnen konvergerer pent mot

-0{,}750168

, med feil som deles på omtrent fire for hver halvering.
Rettelsen er én tegn:

A[n-1, n-2] = 2/h**2

Slik formuleres svaret på eksamen, kort og med begge delene med:

Linja A[n-1, n-2] = 1/h**2 er feil; den skal være 2/h**2. Ved elimineringen av den falske noden $U_5 = U_3$ legger de to naboleddene seg oppå hverandre, så koeffisienten foran $U_3$ blir $2/h^2$ . Med koeffisienten $1/h^2$ løser programmet i stedet problemet med $U_5 = 0$ , altså en verdibetingelse i den fiktive noden. Symptomet er at den numeriske løsningen stiger mot høyre rand i stedet for å flate ut, og at feilen vokser når gitteret forfines.

Merk hva som gir uttelling: å peke på linja alene er halve svaret. Den andre halvdelen er å forklare hvorfor symptomet følger av feilen — at randbetingelsen blir en annen enn den oppgaven ba om.

📝Oppgave 7

Et program skal ta fem tidssteg med det eksplisitte skjemaet for varmelikningen med $r = 0{,}4$ , på et symmetrisk startprofil. Det gir dette svaret:

[0.       0.206821 0.326136 0.342679 0.270243 0.142233 0.      ]

Startprofilen var $\left(0;\ 0{,}3;\ 0{,}7;\ 1{,}0;\ 0{,}7;\ 0{,}3;\ 0\right)$ , og randbetingelsene er kalde ender i begge sider.

a) Hva er galt med svaret, uten å regne noe?
b) Her er løkka. Finn feilen.

for n in range(5):
    for i in range(1, len(U)-1):
        U[i] = U[i] + r*(U[i+1] - 2*U[i] + U[i-1])

c) Hva blir riktig svar?

📝Oppgave 8

Et program skal løse varmelikningen $u_t = u_{xx}$ på $[0,1]$ med $u(0,t) = 0$ , $u(1,t) = 1$ og $u(x,0) = 0$ for $x < 1$ . Etter 50 tidssteg med $r = 0{,}4$ og $h = 0{,}1$ gir det

[0.  0.001071 0.002039 0.002812 0.003313 0.003492 0.003329 0.002838 0.002066 0.001087 0.  ]

a) Hva forteller svaret deg umiddelbart?
b) Her er tidsløkka. Finn feilen.

for k in range(steg):
    Ny = np.zeros_like(U)
    Ny[1:-1] = U[1:-1] + r*(U[2:] - 2*U[1:-1] + U[:-2])
    U = Ny

c) Hva skulle svaret nærmet seg?

📝Oppgave 9

Et program løser $u'' + 4u = 0$ på $[0,1]$ med $u(0) = 1$ , $u(1) = 2$ , og bygger matrisen med denne løkka:

for i in range(1, n):
    A[i-1, i-1] = -2/h**2 + 4
    if i >= 2:
        A[i-1, i-2] = 1/h**2
    if i <= n-2:
        A[i-1, i] = 1/h**2
b[0] = -1/h**2
b[n-2] = -2/h**2

a) Kontroller at diagonalen er riktig.
b) Kontroller randbidragene i b.
c) Programmet gir en løsning som er nær null overalt. Hvor bør du lete?

Typiske feil

Å glemme faktoren 2 ved eliminering av den falske noden. Dette er den dokumenterte enkeltfeilen i sjangeren, og det er nettopp den som plantes i kodefeil-oppgavene. Når

U_{N+1} = U_{N-1}

settes inn, legger to like ledd seg oppå hverandre, og koeffisienten blir

2/h^2

. Skriv 2-tallet, og sett en ring rundt det.

Å bruke en ensidig differanse på Neumann-betingelsen. $\dfrac{U_N - U_{N-1}}{h} = 0$ er fristende kort, men den er bare $O(h)$ og trekker hele løsningen ned til første orden. Feilen blir titalls ganger større, slik eksempel 3 viser. Bruk sentraldifferansen og den falske noden.

Feil matriseoppføring. Kontroller alltid to rader for hånd: én vanlig indre rad og randraden. Nesten alle plantede feil ligger i randraden, fordi det er den eneste som er utledet spesielt.

Å glemme å flytte randverdien over til høyresiden. I første og siste likning står en kjent verdi som må over i $\mathbf b$ — med motsatt fortegn. Å glemme fortegnsbyttet er like vanlig som å glemme leddet helt.

Å lete i selve løkka når randbetingelsen er brutt. Er $U_0$ eller $U_N$ feil i utskriften, ligger feilen i randbehandlingen. Løkka over de indre punktene rører ikke randen. Denne ene erkjennelsen sparer flere minutter på eksamen.

Å peke på linja uten å forklare symptomet. Oppgaven ber om begge deler: hvilken linje, og hvorfor det gale svaret følger av den. Halve poengsummen ligger i forklaringen.

Å tro at et lite tall betyr et lite avvik. I eksempel 4 var svaret $-0{,}52$ mot fasiten $-0{,}75$ — det ser nesten riktig ut. Først når gitteret forfines, ser du at det ikke konvergerer i det hele tatt. Forfin alltid.

Begrepsbank

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Boksene under samler resten av kapitlets begreper som egne kort.

Blandet rand (Robin-betingelse)

\alpha\,u(b) + \beta\,u'(b) = \gamma.

Residualtesten

\mathbf s = A\mathbf U - \mathbf b.

Gitterforfining som diagnose

h

Symptom og årsak

1/h^2

Entydighet for randverdiproblemet

A\mathbf U = \mathbf b

Indekseringen i koden mot indekseringen på papiret

U_0, U_1, \dots, U_N

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.