8.P Prøver til del 8: Differansemetoder for PDE og randverdiproblemer

Fire prøver som dekker del 8 (differansemetoder for pde og randverdiproblemer) på eksamensnivå, med fulle løsningsforslag.

120 min

12 oppgaver

Prøver til del 8Differansemetoder for PDErandverdiproblemer

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.4Randverdiproblemer, falsk rand og kodefeil-lokalisering

Fire prøver à 35–45 minutter, til sammen 155 minutter.

- Prøve 8.A (35 min, 35 poeng): differansekvotienter, avkuttingsfeil via Taylor og avveiningen mellom avrunding og avkutting.
- Prøve 8.B (40 min, 40 poeng): det eksplisitte varmeskjemaet — gitterpunkter for hånd og stabilitetskravet $r \le \tfrac12$ .
- Prøve 8.C (35 min, 35 poeng): Crank–Nicolson og det tridiagonale systemet.
- Prøve 8.D (45 min, 45 poeng): randverdiproblem med $A\mathbf U = \mathbf b$ , falsk rand og kodefeil-lokalisering.

Prøvene kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt. De bygger ikke på hverandre, og hver er kort nok til å passe på slutten av en leseøkt.

Om tempoet. Ett poeng per minutt er raskere enn eksamenstakten, som ligger rundt 24 minutter per oppgave på 10 poeng. Det er med vilje: her er hver oppgave rendyrket på én ferdighet, uten lesetida en full eksamensoppgave krever. Minuttene per deloppgave står i oppgaveteksten og summerer seg til den deklarerte tida.

Hver prøve avsluttes med fire raske spørsmål med svaralternativer. De ligger nederst, teller ikke poeng, og er en treningsform — settene i dette emnet har aldri hatt en avkryssingsdel.

Slik bruker du prøvene: ta dem på tid, uten fasit og uten kapitlene oppslått. Kalkulator er tillatt, og du skal late som du har det utdelte formelarket foran deg — når du trenger en differansekvotient eller Crank–Nicolson-formelen, noter «fra formelarket» og bruk den. Skriv fullstendige svar med utregning; det er en del av kravet om at alle svar skal begrunnes. Åpne løsningsforslaget først etterpå, og kryss av i selvdiagnosen.

Formelark-merking. Differansekvotientene og Crank–Nicolson-formelen står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Taylor-utledningen av avkuttingsfeil, stabilitetskravet $r \le \tfrac12$ , oppsettet av likningssystemet og elimineringen av den falske noden må kunnes — ingenting av det står på arket.

Notasjon. Romsteget heter $h$ og tidssteget $\Delta t$ , med $r = c^2\Delta t/h^2$ . Det utdelte formelarket kaller tidssteget $k$ ; boka bruker $\Delta t$ fordi $k$ er separasjonskonstanten i Del 5.

Forkunnskaper: kap. 8.1 (differansekvotienter, avkuttingsfeil, orden, balansering), kap. 8.2 (det eksplisitte skjemaet, stabilitetstallet

r

, stabilitetskravet), kap. 8.3 (Crank–Nicolson og det tridiagonale systemet) og kap. 8.4 (randverdiproblem, falsk node, kodefeil-lokalisering).

Fra Del 5 trengs den analytiske løsningen av varmelikningen, se kap. 5.1 og kap. 5.2 — flere av fasitene kontrollerer det numeriske svaret mot den. Fra tidligere matematikkemner trengs Taylors formel, derivasjon, hyperbelfunksjonene og løsning av små lineære systemer.

Under ligger de fire prøvene, hver i sin egen boks du kan åpne når du er klar. Løsningsforslagene er ført som toppbesvarelser: hvert mellomsteg er med, metodenavnet er skrevet ut, tabelloppslagene er markert, og kontrollregningen står der. Det er den føringen som gir full uttelling — ikke et riktig sluttsvar alene.

Prøve 8.A — Differansekvotienter, avkuttingsfeil og optimal steglengde (35 min)

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Prøve 8.B — Eksplisitt varmeskjema, gitterpunkt for hånd og stabilitet (40 min)

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Prøve 8.C — Crank–Nicolson og det tridiagonale systemet (35 min)

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Prøve 8.D — Randverdiproblem, falsk rand og kodefeil-lokalisering (45 min)

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.