8.2 Eksplisitt skjema for varmelikningen og stabilitet $r\le\tfrac12$

Det eksplisitte (forward-Euler) skjemaet for varmelikningen, ett gitterpunkt for hånd, og stabilitetskravet $r\le\tfrac12$.

60 min

13 oppgaver

Eksplisitt skjema for varmelikningenstabilitet $r\le\tfrac12$

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Dette er hovedkapitlet i Del 8. Oppgaver av typen «differansemetode for en partiell differensiallikning eller et randverdiproblem» står på 11 av 13 gjennomgåtte sett — 85 %. Boka kaller den sjangeren P; bokstavene A til S er korte navn på de nitten oppgavetypene som går igjen på settene, og de forklares første gang de brukes i hvert kapittel.

Innenfor sjanger P finnes tre faste varianter, én i hvert av kapitlene i denne delen:

1. det eksplisitte skjemaet for varmelikningen — dette kapitlet;
2. Crank–Nicolson og det tridiagonale systemet — kap. 8.3;
3. randverdiproblem med falsk rand og kodefeil — kap. 8.4.

Delspørsmålene som går igjen her er to, og de kommer nesten alltid sammen:

- «Regn ut $U_i^{n+1}$ for hånd» i ett bestemt gitterpunkt, ut fra gitte initial- og randdata. Rent regnearbeid, og et sikkert delpoeng.
- «Avgjør om skjemaet er stabilt.» Det er stabilitetskravet $r \le \tfrac12$ , og det er en av toppsjikt-markørene i hele emnet. Bruker du skjemaet med $r > \tfrac12$ uten å kommentere det, mister du poeng selv om regningen er riktig.

Formelark-merking.

- Differansekvotientene står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Det gjør også Crank–Nicolson-formelen du møter i neste kapittel. Ferdigheten er å plukke riktig kvotient og sette inn riktige indekser.
- Oppsettet av det eksplisitte skjemaet og stabilitetsgrensen $r \le \tfrac12$ må kunnes. Formelarket har ingen stabilitetsbetingelse noe sted. Denne ene ulikheten hører hjemme på ditt eget A5-ark.

Tidsbruk: 60 minutter lesetid, fire løkker à omtrent et kvarter. Naturlig pausepunkt etter løkke 2. Ganger du 1,5 fordi du skriver av for hånd, blir det halvannen time — det er en hel kveldsøkt.

Forkunnskaper: kap. 8.1 — differansekvotientene og ordensbegrepet. Du trenger også kap. 5.1 og kap. 5.2: varmelikningen, hva rand- og initialbetingelser er, og den analytiske løsningen vi skal måle det numeriske svaret mot i løkke 4.

Sist du var her. De tre tingene du kommer til å bruke i hver eneste oppgave i dette kapitlet:

$u''(x_i) \approx \frac{U_{i+1} - 2U_i + U_{i-1}}{h^2}$

Den andre sentraldifferansen fra kap. 8.1. Mønsteret $1, -2, 1$ og nevneren $h^2$ .

$u_t = c^2 u_{xx}$

Varmelikningen fra kap. 5.1, med diffusivitetskonstanten $c^2$ .

$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-c^2(n\pi/L)^2 t}$

Den analytiske løsningen ved kalde ender fra kap. 5.2. Den er fasiten vi kontrollerer mot til slutt — og for startdata $u(x,0) = \sin(\pi x/L)$ er den bare det ene leddet $\sin(\pi x/L)\,e^{-c^2\pi^2t/L^2}$ .

Fra tidligere matematikkemner trengs ikke noe utover vanlig regning. Kapitlet er forutsetning for kap. 8.3 og kap. 8.4.

Når separasjon av variable ikke rekker til

I Del 5 løste du varmelikningen eksakt. Metoden var vakker, men den hadde tre forutsetninger: likningen måtte være homogen, randbetingelsene måtte være av en av noen få snille typer, og startdataene måtte la seg skrive som en Fourier-rekke du klarte å regne ut.

Ta bort én av dem, og separasjon av variable stopper. En stang med varierende materialtykkelse, en varmekilde som slås av og på, en rand der temperaturen måles i stedet for å være gitt ved en formel — ingen av delene lar seg separere.

Differansemetoden bryr seg ikke. Den erstatter de deriverte med tall fra nabopunkter, og så regner den seg framover i tid, rad for rad. Den virker på alt.

Men den har en pris, og prisen er dette kapitlets hovedpoeng. Velger du tidssteget for stort, gir metoden ikke et litt unøyaktig svar — den gir et svar som sprenger. Etter noen titalls steg står det tall i millionklassen der temperaturen skulle vært en halv grad, og de veksler mellom pluss og minus fra gitterpunkt til gitterpunkt. Grensen mellom «virker fint» og «totalhavari» er én eneste ulikhet:

$r \le \tfrac12.$

Kapitlet gjør fire ting: setter opp gitteret i rom og tid, utleder skjemaet og regner et gitterpunkt for hånd, viser hvor grensen $r \le \tfrac12$ kommer fra og hva som skjer på feil side av den, og sammenligner til slutt det numeriske svaret med den eksakte løsningen fra Del 5.

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene i dette kapitlet er samtidig kortene i flashcard-bunken. Ved første gjennomlesing holder det å lese formelen og gå videre til eksempelet; tidsanslaget på 60 minutter gjelder kjernestoffet, ikke pugging av boksene.

Løkke 1 — To akser, to steglengder, én notasjon (~14 min)

Den store forskjellen fra kap. 8.1 er at vi nå har to variabler: posisjonen $x$ og tiden $t$ . Det betyr to steglengder og to indekser, og det er her de fleste indeksfeilene oppstår.

Gitteret i rom og tid

[0,L]

Gitterverdien

U_i^n

U_i^n \approx u(x_i, t_n).

Tidssteget

\Delta t

— og hva formelarket kaller det

\Delta t = t_{n+1} - t_n

Forlengs differanse i tid

u_t(x_i, t_n) \approx \frac{U_i^{n+1} - U_i^n}{\Delta t}.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren avlesning.) Et gitter for varmelikningen på $[0,1]$ har $N = 5$ delintervall og tidssteg $\Delta t = 0{,}008$ .

a) Hva er romsteget $h$ ?
b) Skriv opp koordinatene $(x_i, t_n)$ til gitterpunktet $U_3^2$ .
c) Hvor mange verdier på rad $n = 0$ er ukjente, når begge randbetingelsene er gitt?

Løkke 2 — Skjemaet, og ett gitterpunkt for hånd (~16 min)

Nå setter vi de to kvotientene inn i varmelikningen og løser for den ene ukjente. Det er tre linjers algebra, og de tre linjene må kunnes — de står ikke på formelarket.

Utledningen. Varmelikningen er

$u_t = c^2 u_{xx}.$

Sett inn forlengs differanse i tid på venstre side og den andre sentraldifferansen i rom på høyre side, begge i punktet $(x_i, t_n)$ :

$\frac{U_i^{n+1} - U_i^n}{\Delta t} = c^2\,\frac{U_{i+1}^n - 2U_i^n + U_{i-1}^n}{h^2}.$

Ganger vi opp med $\Delta t$ og flytter $U_i^n$ over, står det

$U_i^{n+1} = U_i^n + \frac{c^2\Delta t}{h^2}\left(U_{i+1}^n - 2U_i^n + U_{i-1}^n\right).$

Brøken foran parentesen får sitt eget navn, og hele resten av delen handler om den.

Intuisjon: uttrykket i parentesen er positivt når punktet ligger lavere enn gjennomsnittet av naboene, altså i en grop. Da legges det til noe, og verdien stiger. Ligger punktet på en topp, er parentesen negativ, og verdien synker. Skjemaet gjør nøyaktig det varme gjør: jevner ut topper og groper. Og $r$ bestemmer hvor mye det jevner ut per skritt.

Stabilitetstallet

r

r = \frac{c^2\,\Delta t}{h^2}.

Det eksplisitte skjemaet

U_i^{n+1} = U_i^n + r\left(U_{i+1}^n - 2U_i^n + U_{i-1}^n\right), \qquad i = 1, \dots, N-1.

Vektformen: en veid middelverdi

U_i^{n+1} = r\,U_{i-1}^n + (1-2r)\,U_i^n + r\,U_{i+1}^n.

✏️Ett gitterpunkt for hånd — hele regningen skrevet ut

Løs

u_t = u_{xx}

på

[0,1]

med

u(0,t) = u(1,t) = 0

og starttemperaturen

$u(x,0) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le \tfrac12,\\[2pt] 1-x, & \tfrac12 < x \le 1.\end{cases}$

Bruk $h = 0{,}25$ og $\Delta t = 0{,}025$ . Regn ut hele raden $n = 1$ , og deretter $U_2^2$ .

Steg 1 — regn ut $r$ og sjekk stabiliteten med en gang. Her er

c^2 = 1

, så

$r = \frac{c^2\,\Delta t}{h^2} = \frac{0{,}025}{0{,}0625} = 0{,}4.$

Siden $0{,}4 \le \tfrac12$ er skjemaet stabilt. Dette er første linje i enhver besvarelse i sjangeren — også når oppgaven ikke spør eksplisitt.

Steg 2 — sett opp startraden. Gitterpunktene er $x_i = 0;\ 0{,}25;\ 0{,}5;\ 0{,}75;\ 1$ , og initialfunksjonen gir

$U_0^0 = 0, \quad U_1^0 = 0{,}25, \quad U_2^0 = 0{,}5, \quad U_3^0 = 0{,}25, \quad U_4^0 = 0.$

Steg 3 — bruk skjemaet på hvert indre punkt. Med $r = 0{,}4$ :

$U_i^{n+1} = U_i^n + 0{,}4\left(U_{i+1}^n - 2U_i^n + U_{i-1}^n\right).$

$i = 1$ :

$U_1^1 = 0{,}25 + 0{,}4\left(0{,}5 - 2(0{,}25) + 0\right) = 0{,}25 + 0{,}4(0) = 0{,}25.$

$i = 2$ :

$U_2^1 = 0{,}5 + 0{,}4\left(0{,}25 - 2(0{,}5) + 0{,}25\right) = 0{,}5 + 0{,}4(-0{,}5) = 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3.$

$i = 3$ : ved symmetri lik $U_1^1$ , men vi skriver den ut:

$U_3^1 = 0{,}25 + 0{,}4\left(0 - 2(0{,}25) + 0{,}5\right) = 0{,}25 + 0{,}4(0) = 0{,}25.$

Randverdiene beholdes: $U_0^1 = U_4^1 = 0$ . Rad 1 er altså

$\left(0;\ 0{,}25;\ 0{,}3;\ 0{,}25;\ 0\right).$

Steg 4 — ett skritt til, for $U_2^2$ .

$U_2^2 = 0{,}3 + 0{,}4\left(0{,}25 - 2(0{,}3) + 0{,}25\right) = 0{,}3 + 0{,}4(-0{,}1) = 0{,}3 - 0{,}04 = 0{,}26.$

Steg 5 — kontroller at svaret er fornuftig. Tre ting å se etter, og alle tre gir uttelling når de nevnes:

1. Toppen synker: $0{,}5 \to 0{,}3 \to 0{,}26$ . Varme sprer seg, temperaturen jevner seg ut. ✓
2. Ingen verdi er større enn den største startverdien ( $0{,}5$ ) eller mindre enn den minste ( $0$ ). Det er nettopp det den veide middelverdien garanterer når $r \le \tfrac12$ . ✓
3. Symmetrien er bevart: $U_1^n = U_3^n$ på hver rad, akkurat som startdataene er symmetriske om $x = \tfrac12$ . Brytes symmetrien, er det en regnefeil — eller en kodefeil, som du skal se i kap. 8.4. ✓

Merk at $U_1$ ikke endret seg i første skritt. Startprofilen er en rett linje mellom $x_0$ og $x_2$ , og en rett linje har krumning null: parentesen ble eksakt 0. Bare knekkpunktet på toppen «vet» at noe skal skje til å begynne med. Det er en pen liten illustrasjon av at det er $u_{xx}$ — krumningen — som driver hele prosessen.

📝Oppgave 2

Regn ut $r$ og avgjør om det eksplisitte skjemaet er stabilt i hvert tilfelle.

a) $u_t = u_{xx}$ , $h = 0{,}1$ , $\Delta t = 0{,}004$ .
b) $u_t = u_{xx}$ , $h = 0{,}05$ , $\Delta t = 0{,}002$ .
c) $u_t = 4u_{xx}$ , $h = 0{,}2$ , $\Delta t = 0{,}002$ .

📝Oppgave 3

Løs

u_t = u_{xx}

på

[0,1]

med

u(0,t) = u(1,t) = 0

$u(x,0) = x(1-x).$

Bruk $h = 0{,}25$ og $\Delta t = 0{,}0125$ .

a) Regn ut $r$ og avgjør om skjemaet er stabilt.
b) Regn ut hele raden $n = 1$ .
c) Regn ut $U_2^2$ .

Løkke 3 — Grensen $r \le \tfrac12$ , og hva som skjer på feil side (~16 min)

— naturlig pausepunkt —

Nå kommer kapitlets viktigste avsnitt. Vi skal vise nøyaktig hvor grensen kommer fra, og så se hva som skjer når man bommer på den med to hundredeler.

Stabilitet

Et skjema er stabilt dersom feil som allerede finnes i tallene — avrundingsfeil, målefeil i startdataene, avkuttingsfeil fra tidligere skritt — ikke vokser når du regner videre. Merk hva stabilitet ikke er: det er ikke det samme som nøyaktighet. Et stabilt skjema kan gi et unøyaktig svar. Men et ustabilt skjema gir før eller siden et svar uten mening, uansett hvor små steg du tar i rommet. Sammenhengen med kap. 8.1 : konsistens sier at avkuttingsfeilen går mot null; stabilitet sier at feilene ikke forsterkes underveis. Begge kreves for at den beregnede løsningen skal nærme seg den eksakte.

Argument 1 — den veide middelverdien (det korteste og det mest overbevisende).

Skriv skjemaet på vektform:

$U_i^{n+1} = r\,U_{i-1}^n + (1-2r)\,U_i^n + r\,U_{i+1}^n, \qquad r + (1-2r) + r = 1.$

Anta $r \le \tfrac12$ . Da er $1 - 2r \ge 0$ , og alle tre vektene er ikke-negative og summerer seg til 1. La $M$ være den største absoluttverdien på rad $n$ . Da er

$\left|U_i^{n+1}\right| \le r|U_{i-1}^n| + (1-2r)|U_i^n| + r|U_{i+1}^n| \le \left(r + 1 - 2r + r\right)M = M.$

Maksimalverdien kan altså aldri vokse. Det gjelder rad etter rad, i det uendelige. Ingenting kan sprenge.

Intuisjon: et gjennomsnitt av tre tall ligger alltid mellom det minste og det største av dem. Så lenge alle vektene er positive, er den nye verdien fanget mellom naboene sine — nøyaktig slik ekte temperatur oppfører seg.

Og hva skjer når $r > \tfrac12$ ? Da er $1 - 2r < 0$ . Midtvekten er negativ, det er ikke lenger et gjennomsnitt, og garantien er borte. At garantien forsvinner er i seg selv ikke et bevis på at noe går galt — så vi viser at det faktisk gjør det.

Argument 2 — sagtannmoden, som viser at grensen er skarp.

Se på et mønster som veksler mellom pluss og minus fra gitterpunkt til gitterpunkt:

$U_i^n = (-1)^i A_n.$

Dette er den «verste» formen data kan ha — den kortest mulige bølgen gitteret kan bære. Sett den inn i skjemaet:

$U_i^{n+1} = r(-1)^{i-1}A_n + (1-2r)(-1)^iA_n + r(-1)^{i+1}A_n.$

Både $(-1)^{i-1}$ og $(-1)^{i+1}$ er lik $-(-1)^i$ , så

$U_i^{n+1} = (-1)^iA_n\left(-r + 1 - 2r - r\right) = (-1)^i A_n\,(1 - 4r).$

Amplituden ganges altså med $1-4r$ for hvert tidssteg:

$A_{n+1} = (1-4r)A_n \quad\Longrightarrow\quad A_n = (1-4r)^n A_0.$

Dette holder seg begrenset hvis og bare hvis $|1-4r| \le 1$ , altså

$-1 \le 1 - 4r \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 \le r \le \tfrac12.$

Er $r$ større, vokser sagtannmønsteret eksponentielt — og det gjør det uansett hvor pen den eksakte løsningen er, fordi avrundingsfeilene i maskinen alltid inneholder litt av det verste mønsteret.

Den fulle analysen ser på alle bølgelengder, ikke bare den korteste. Setter du inn $U_i^n = \xi^n e^{\mathrm{i}\beta x_i}$ , får du forsterkningsfaktoren

$\xi = 1 - 4r\sin^2\!\left(\frac{\beta h}{2}\right).$

Den er mest negativ når $\sin^2 = 1$ , altså for sagtannmoden — så den ene moden vi regnet på, er nettopp den som avgjør. Kravet $|\xi| \le 1$ for alle $\beta$ gir samme svar: $r \le \tfrac12$ .

Stabilitetskravet for det eksplisitte skjemaet

r = \frac{c^2\,\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{2}.

✏️Hva ustabilitet faktisk ser ut som — en kjøring på begge sider av grensen

Løs $u_t = u_{xx}$ på $[0,1]$ med kalde ender og en bratt starttemperatur: $u = 1$ i alle indre punkter, $0$ på randen. Bruk $h = 0{,}1$ og kjør skjemaet i 60 tidssteg med $r = 0{,}50$ , $r = 0{,}52$ og $r = 0{,}60$ . Hva skjer?

Steg 1 — hva teorien forutsier. Gitteret har

N = 10

delintervall, og den mest oscillerende moden det kan bære, er

n = 9

. Forsterkningsfaktoren for den er

$\xi = 1 - 4r\sin^2\!\left(\frac{9\pi h}{2}\right) = 1 - 4r\sin^2(0{,}45\pi).$

Med $\sin^2(0{,}45\pi) = 0{,}97553$ :

$r$	$\xi$ for den verste moden	vekst per steg	etter 60 steg
0,50	$-0{,}951$	0,951	$0{,}049$ (dør ut)
0,52	$-1{,}029$	1,029	$5{,}6$ (vokser)
0,60	$-1{,}341$	1,341	$4{,}5\cdot 10^{7}$ (eksploderer)

Steg 2 — den faktiske kjøringen. Kjørt med skjemaet, ikke med formelen:

steg $n$	$r = 0{,}50$	$r = 0{,}52$	$r = 0{,}60$
0	1	1	1
10	0,781	0,788	1,248
20	0,474	0,500	11,61
40	0,174	0,256	$3{,}99\cdot 10^{3}$
60	0,0637	0,232	$1{,}42\cdot 10^{6}$

Tallene er største absoluttverdi i gitteret.
Steg 3 — les tabellen.

Ved $r = 0{,}50$ synker maksimalverdien jevnt, akkurat slik varme skal oppføre seg. Den eksakte løsningen ved $t = 0{,}30$ er omtrent $0{,}06$ ; skjemaet gir $0{,}064$ .

Ved $r = 0{,}52$ — bare to hundredeler over grensen — synker verdien først, helt til den snur ved omtrent 40 steg og begynner å vokse igjen. Det er den farlige situasjonen: de første radene ser helt normale ut, så du oppdager ikke feilen med det samme.
Ved $r = 0{,}60$ er det ingen tvil. Etter 60 steg står det $1{,}4$ millioner der temperaturen skulle vært $0{,}02$ , og fortegnet veksler fra gitterpunkt til gitterpunkt.
Steg 4 — hva som er lærdommen. Ustabilitet er ikke unøyaktighet. Skjemaet gir ikke et litt for stort svar; det gir et svar som ikke har noe med varme å gjøre i det hele tatt. En temperatur som veksler mellom $+10^6$ og $-10^6$ mellom nabopunkter er ikke en dårlig tilnærming — den er søppel.
Og det er derfor stabilitetssjekken hører hjemme i første linje. Regn ut $r$ , sammenlign med $\tfrac12$ , og skriv konklusjonen ned før du regner et eneste gitterpunkt. Det er ett strekpunkt i besvarelsen, og det er et av de sikreste delpoengene i sjangeren.

📝Oppgave 4

a) Finn det største tidssteget som gir et stabilt eksplisitt skjema for

u_t = u_{xx}

på

[0,1]

med

h = 0{,}05

.
b) Samme spørsmål for

u_t = 9u_{xx}

med

h = 0{,}05

.
c) Hvor mange tidssteg trengs i b) for å komme fram til

t = 1

📝Oppgave 5

Vis at sagtannmønsteret $U_i^n = (-1)^i A_n$ forsterkes med faktoren $1-4r$ per tidssteg, og bruk det til å avgjøre hva som skjer i de tre tilfellene $r = \tfrac14$ , $r = \tfrac12$ og $r = 1$ .

Løkke 4 — Kontroll mot den eksakte løsningen fra Del 5 (~14 min)

Det sterkeste du kan gjøre med et numerisk svar, er å måle det mot et eksakt svar. For varmelikningen med kalde ender har vi det: kap. 5.2 ga hele løsningen som en Fourier-rekke, og for startdata $u(x,0) = \sin\pi x$ er rekka bare ett ledd.

Testproblemet med kjent fasit

u_t = u_{xx}, \quad 0 < x < 1, \qquad u(0,t) = u(1,t) = 0, \qquad u(x,0) = \sin \pi x

✏️Eksamensnivå: regn tre tidssteg og sammenlign med den analytiske løsningen

Løs testproblemet $u_t = u_{xx}$ , $u(0,t) = u(1,t) = 0$ , $u(x,0) = \sin \pi x$ med $h = 0{,}2$ og $\Delta t = 0{,}01$ .

a) Avgjør om skjemaet er stabilt.
b) Regn ut $U_2^1$ for hånd.
c) Regn tre tidssteg og sammenlign hele raden med den eksakte løsningen $u = e^{-\pi^2t}\sin\pi x$ .
d) Forklar hvorfor avviket er som det er.

a) Stabilitet.

$r = \frac{c^2\Delta t}{h^2} = \frac{0{,}01}{0{,}04} = 0{,}25 \le \tfrac12.$

Skjemaet er stabilt. Vi vet nå at ingenting kommer til å sprenge, og at maksimalverdien vil synke monotont.

b) Ett gitterpunkt for hånd. Startraden er $U_i^0 = \sin(\pi x_i)$ med $x_i = 0;\ 0{,}2;\ 0{,}4;\ 0{,}6;\ 0{,}8;\ 1$ :

$U_1^0 = \sin 0{,}2\pi = 0{,}587785, \quad U_2^0 = \sin 0{,}4\pi = 0{,}951057,$
$U_3^0 = \sin 0{,}6\pi = 0{,}951057, \quad U_4^0 = \sin 0{,}8\pi = 0{,}587785,$

og $U_0^0 = U_5^0 = 0$ .

$U_2^1 = U_2^0 + r\left(U_3^0 - 2U_2^0 + U_1^0\right) = 0{,}951057 + 0{,}25\left(0{,}951057 - 1{,}902113 + 0{,}587785\right)$

$= 0{,}951057 + 0{,}25\,(-0{,}363271) = 0{,}951057 - 0{,}090818 = \boxed{0{,}860239.}$

c) Tre steg mot fasiten. Kjørt videre med samme skjema, og sammenlignet med $u(x_i, t_n) = e^{-\pi^2 t_n}\sin \pi x_i$ :

$t$	$x = 0{,}2$	$x = 0{,}4$	$x = 0{,}6$	$x = 0{,}8$
0,01	numerisk	0,531657	0,860239	0,860239	0,531657
0,01	eksakt	0,532544	0,861674	0,861674	0,532544
0,02	numerisk	0,480888	0,778093	0,778093	0,480888
0,02	eksakt	0,482495	0,780693	0,780693	0,482495
0,03	numerisk	0,434967	0,703792	0,703792	0,434967
0,03	eksakt	0,437149	0,707322	0,707322	0,437149

Største avvik ved

t = 0{,}03

0{,}00353

, altså omtrent 0,5 %. På et gitter med bare fire indre punkter er det godt.
*d) Hvorfor avviket er som det er — og hvorfor det er nedad. Startdataene er den reneste moden som finnes, og for den kan vi regne eksakt hva skjemaet gjør. Sett $U_i^n = \xi^n\sin(\pi x_i)$ inn i skjemaet; forsterkningsfaktoren blir
$\xi = 1 - 4r\sin^2\!\left(\frac{\pi h}{2}\right) = 1 - 4(0{,}25)\sin^2(0{,}1\pi) = 1 - 0{,}0954915 = 0{,}9045085.$
Den eksakte løsningen dempes med
$e^{-\pi^2\Delta t} = e^{-0{,}0986960} = 0{,}9060181$
per tidssteg. Skjemaet demper altså litt for mye — $0{,}90451$ mot $0{,}90602$ — og derfor ligger alle de numeriske tallene litt under fasiten, med et avvik som vokser jevnt for hvert steg.
Kontroll: etter tre steg er $0{,}9045085^3 = 0{,}740011$ mot $e^{-3\pi^2\cdot 0{,}01} = 0{,}743722$ . Ganget med $\sin 0{,}4\pi = 0{,}951057$ gir det $0{,}703792$ og $0{,}707322$ — nøyaktig tallene i tabellen. ✓
Dette er den sterkeste kontrollen boka kan gi deg: den analytiske metoden fra Del 5 og den numeriske metoden i Del 8 svarer på nøyaktig samme spørsmål, og de svarer likt. Blir du usikker på et numerisk skjema, test det på et problem der separasjon av variable gir fasiten.

Merk hva som gir uttelling i denne oppgavetypen:* (1) $r$ regnet ut og sammenlignet med $\tfrac12$ først, (2) minst ett gitterpunkt ført helt ut med tall, (3) en kontroll — enten mot fasiten, mot symmetrien, eller mot at maksimalverdien synker. Fasiten alene, uten mellomregning, gir ikke full uttelling.

📝Oppgave 6

Testproblemet i eksempelet, men med $h = 0{,}25$ og $\Delta t = 0{,}03125$ .

a) Regn ut $r$ og avgjør stabiliteten.
b) Regn ut forsterkningsfaktoren $\xi = 1-4r\sin^2(\pi h/2)$ for grunnmoden, og sammenlign med den eksakte dempningen $e^{-\pi^2\Delta t}$ .
c) Hva blir $U_2^1$ ?

📝Oppgave 7

Betrakt $u_t = u_{xx}$ på $[0,1]$ med isolerte ender: $u_x(0,t) = u_x(1,t) = 0$ , og $u(x,0) = \cos \pi x$ .

a) Vis at den eksakte løsningen er $u = e^{-\pi^2t}\cos\pi x$ .
b) Gitteret er $h = 0{,}25$ , $\Delta t = 0{,}015625$ . Regn ut $r$ og avgjør stabiliteten.
c) Regn ut $U_1^1$ og $U_2^1$ (de to første indre punktene) og sammenlign med de eksakte verdiene.

Randbetingelsene i randpunktene skal du ikke behandle her — de kommer i kap. 8.4. Bruk de eksakte verdiene $U_0^n = e^{-\pi^2t_n}$ og $U_4^n = -e^{-\pi^2t_n}$ når du trenger randverdier.

📝Oppgave 8

Et eksplisitt skjema kjøres på $u_t = u_{xx}$ med $h = 0{,}1$ og $\Delta t = 0{,}0055$ på $[0,1]$ med kalde ender. Startdataene er glatte: $u(x,0) = \sin\pi x$ , altså uten noe sagtannmønster i det hele tatt.

a) Er skjemaet stabilt?
b) Vil kjøringen likevel gå galt? Begrunn.
c) Anslå hvor mange tidssteg det tar før en avrundingsfeil på $10^{-16}$ i den verste moden har vokst til størrelse 1.

Typiske feil

Feil $r$ -faktor. To varianter, begge dokumentert i løsningsforslagene: å glemme $c^2$ når diffusiviteten ikke er 1, og å bytte om teller og nevner slik at det blir

h^2/\Delta t

. Skriv

r = c^2\Delta t/h^2

på egen linje med tallene satt inn, hver gang. Det tar ti sekunder og fanger begge.

Å bruke skjemaet med $r > \tfrac12$ uten å kommentere det. Dette er den dyreste feilen i kapitlet, og den koster poeng selv når alle gitterverdiene er regnet riktig. Løsningsforslagene krever at stabiliteten vurderes. Regn ut $r$ først, konkluder, og fortsett — også når oppgaven ikke spør.

Feil indeksering av naboverdiene. Parentesen er $U_{i+1}^n - 2U_i^n + U_{i-1}^n$ , og alle tre skal hentes fra samme rad $n$ . Blander du inn en verdi fra rad $n+1$ fordi du allerede har regnet den ut, får du et helt annet skjema — det er nøyaktig den kodefeilen du skal lete etter i kap. 8.4.

Å la formelen overskrive randverdiene. Skjemaet gjelder bare for $i = 1, \dots, N-1$ . Randverdiene kommer fra randbetingelsen og settes inn på nytt på hver rad.

Å tro at stabilitet betyr nøyaktighet. Ved $r = \tfrac12$ er skjemaet stabilt og likevel merkbart unøyaktig, slik oppgave 6 viser. Stabilitet er en nedre terskel, ikke et kvalitetsstempel.

Å glemme at $h$ og $\Delta t$ ikke kan velges uavhengig. Halverer du $h$ for å få bedre romlig oppløsning, må $\Delta t$ deles på fire. Regnearbeidet åttedobles. Dette er verdt en setning i enhver drøftingsoppgave om metodevalg.

Å blande $k$ -ene. Det utdelte formelarket kaller tidssteget $k$ , mens $k$ i Del 5 er separasjonskonstanten. Skriv $\Delta t$ i din egen besvarelse, og noter i margen hva arket kaller det.

Begrepsbank

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Boksene under samler resten av kapitlets begreper som egne kort. Ved førstegangslesing kan du gå rett til repetisjonsoppgavene.

Forsterkningsfaktoren

\xi

\xi(\beta) = 1 - 4r\sin^2\!\left(\frac{\beta h}{2}\right).

Sagtannmoden

U_i = (-1)^iA

Betinget kontra ubetinget stabilitet

r \le \tfrac12

Konvergens = konsistens + stabilitet

U_i^n

Arbeidsmengden per tidssteg

3(N-1)

Maksimumsprinsippet

r \le \tfrac12

Avkuttingsfeilen til skjemaet

\tau = O(\Delta t) + O(h^2).

Startraden og randkolonnene

U_i^0 = u(x_i, 0)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.