9.4 Øvingseksamen 3 — nyeste mal med DFT og innfelt RK-par

Komplett sett (10 oppgaver à 10 poeng) etter 2022–2024-malen med de nye sjangrene DFT, innfelt RK-par og Gauss–Legendre.

240 min

10 oppgaver

Øvingseksamen 3nyeste mal med DFTinnfelt RK-par

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Eksamensform. Fire timers skriftlig skoleeksamen, hjelpemiddelkode C: bestemt enkel kalkulator, ett gult stemplet A5-ark med egne håndskrevne notater, og et formelark som deles ut. Ingen avkryssingsdel.

Omfang. Ti oppgaver à 10 poeng, 100 poeng til sammen. Dette er formatet i de nyeste settene i grunnlaget, med prosentbasert karakterskala: A fra 80, B fra 69, C fra 59, D fra 48, E fra 37.

Tidsbudsjett.

Oppgave	Tema	Poeng	Minutter
1	Laplace med polynomisk pådrag	10	20
2	Laplace med sprangfunksjon og impuls	10	21
3	Diskret Fourier-transform	10	22
4	Separasjon med isolerte ender	10	24
5	Verifiser og klassifiser	10	20
6	Interpolasjon med symmetriargument	10	20
7	Gauss–Legendre-kvadratur	10	22
8	Innfelt Runge–Kutta-par og steglengdekontroll	10	24
9	Stabilitet for et system	10	20
10	Crank–Nicolson og kodefeil	10	24
Sum	100	217

De resterende 23 minuttene er 10 til lesing og 13 til sluttkontroll.
Med likevektede oppgaver endres strategien. På et sett der alle oppgaver er verdt 10 poeng, er det ingen «dyr» oppgave det lønner seg å prioritere. I stedet blir tidsdisiplin alt: bruker du 40 minutter på oppgave 4, har du stjålet 20 minutter fra en annen oppgave som var like mye verdt. Sett en klokke per oppgave, og gå videre når den ringer — du kan alltid komme tilbake.

Tre av oppgavene i dette settet dekker sjangre som først dukket opp i de nyeste settene i grunnlaget. Her er hva som faktisk er belagt:

- Oppgave 3, diskret Fourier-transform: i 2 av de 13 gjennomgåtte settene, begge kontinuasjonssett fra de siste årene. Ingenting av apparatet står på det utdelte formelarket.
- Oppgave 7, Gauss–Legendre-kvadratur: i 1 av 13 sett, det nyeste. Node- og vekttabellen deles ut i selve oppgaven.
- Oppgave 8, innfelt Runge–Kutta-par med steglengdekontroll: i 3 av 13 sett, men i alle tre settene fra 2022 og framover. Butcher-tabellen deles ut i oppgaven; feilestimatet og steglengdeformelen står ikke på arket.

Hvordan du skal lese dette. Tallene er lave fordi sjangrene er nye, ikke fordi de er uviktige. Alle tre er faste i de siste settene, og de er derfor obligatoriske å beherske. Men vekten er usikker: at innfelte par har vært på tre sett på rad, sier ikke sikkert at de kommer på det neste. Ta dem seriøst, men la dem ikke fortrenge Laplace, Fourier-rekker og separasjon, som til sammen er i 12 eller 13 av 13 sett hver.

Praktisk konsekvens for A5-arket: de tre sjangrene fortjener til sammen fire linjer — den diskrete transformen med reell-test og skifteegenskap, jakobifaktoren i Gauss-transformasjonen, og feilestimatet med steglengdeformelen.

Forkunnskaper: kap. 2.1 til kap. 2.3 (Laplace med startverdier og sprangfunksjoner), kap. 4.3 (diskret Fourier-transform), kap. 5.1, kap. 5.2 og kap. 5.4 (separasjon med isolerte ender, matching, verifikasjon og klassifisering), kap. 6.1 og kap. 6.2 (interpolasjon og Gauss–Legendre), kap. 7.3 og kap. 7.4 (innfelt par og stabilitet), og kap. 8.3 og kap. 8.4 (Crank–Nicolson og feilsøking i kode).

Fra Del 1 trengs enhetsrøttene $w = e^{2\pi i/N}$ , se kap. 1.1.

Notasjon. Romsteget heter $h$ og tidssteget $\Delta t$ , med $r = c^2\Delta t/h^2$ . Det utdelte formelarket kaller tidssteget $k$ .

Under ligger de ti oppgavene, hver i sin egen boks. Løsningsforslagene er ført som toppbesvarelser. Oppgave 8 har i tillegg en ærlig merket midtnivåbesvarelse ved siden av, med margnotat om nøyaktig hva som skiller dem. Alle modellbesvarelser er nyskrevne for denne boka.

Settet kan deles over to økter: oppgave 1 til 5 den ene kvelden, 6 til 10 den neste.

Oppgave 1 — Laplace med polynomisk pådrag (10 poeng, ~20 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 2 — Laplace med sprangfunksjon og impuls (10 poeng, ~21 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 3 — Diskret Fourier-transform (10 poeng, ~22 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 4 — Separasjon med isolerte ender (10 poeng, ~24 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 5 — Verifiser og klassifiser (10 poeng, ~20 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 6 — Interpolasjon med symmetriargument (10 poeng, ~20 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 7 — Gauss–Legendre-kvadratur (10 poeng, ~22 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 8 — Innfelt Runge–Kutta-par og steglengdekontroll (10 poeng, ~24 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 9 — Stabilitet for et system (10 poeng, ~20 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 10 — Crank–Nicolson og kodefeil (10 poeng, ~24 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Slik ligger poengene på et likevektet sett.

Type arbeid	Poeng	Hvor
Mekanisk oppsett (transformer, sett $u=FG$ , sett opp systemet, ett skritt)	32	delpunkt a) i oppgave 1, 2, 3, 4 og 7, samt 8b og 10a
Metodevalg og gjennomføring (delbrøk, matching, transformasjon, oppspalting)	33	delpunkt b) i oppgave 1, 5, 6, 7 og 10, samt 2a–b
Toppsjikt-markører (alle tre $k$ -tilfellene inkludert $k=0$ , ordensverifikasjon rad for rad, riktig eksponent, mest negativ egenverdi, jakobifaktoren)	25	oppgave 4a, 7a, 8a, 8d og 9c
Kontroll, tolkning og feilsøking	10	delpunkt c) i oppgave 1, 3, 9 og 10

Strategien på et likevektet sett. Alle oppgaver er verdt like mye, så det finnes ingen «dyr» oppgave å prioritere. To konsekvenser:
1. Ta de raskeste først. Oppgave 1, 2, 5 og 6 er alle korte og mekaniske. Fire oppgaver på under nitti minutter gir 40 poeng — nok til bestått alene.
2. Sett klokke. Med ti oppgaver og 217 minutter er snittet 21,7 minutter. Bruker du 40 på oppgave 4, mister du en hel oppgave et annet sted. Gå videre når tiden er ute; du kan komme tilbake.
Om tidsbudsjettet. Deltidene i hver oppgave summerer seg til oppgavens deklarerte tid, og de ti oppgavetidene til 217 minutter. De siste 23 minuttene er 10 til lesing og 13 til sluttkontroll. Minuttallene er regnetid med penn i hånd.
Om de tre nye sjangrene. Oppgave 3, 7 og 8 dekker sjangre med tynt belegg i arkivet — henholdsvis 2, 1 og 3 av de 13 gjennomgåtte settene. De er tatt med fordi de er faste i de nyeste settene, men vekten på et framtidig sett er usikker. Bruker du all treningstid på dem, går det ut over de fire søylene som er i 12 eller 13 av 13 sett hver.

Selvdiagnose etter øvingseksamen 3

Kryss av det du faktisk gjorde.

☐ Jeg holdt tidsbudsjettet og gikk videre når klokka ringte.

☐ Jeg skrev «fra tabellen på formelarket» hver gang jeg slo opp en rad.

☐ Jeg kontrollerte $c_0$ mot middelverdien i den diskrete transformen.

☐ Jeg brukte reell-testen $c_{N-k} = \overline{c_k}$ som kontroll.

☐ Jeg brukte skifteegenskapen i stedet for å regne transformen på nytt.

☐ Jeg behandlet alle tre $k$ -tilfellene i oppgave 4, og så at $k=0$ gir en ikke-triviell løsning ved isolerte ender.

☐ Jeg kontrollerte likevektstemperaturen mot middelverdien av initialdataene.

☐ Jeg brukte det generelle argumentet $u = h(ax+bt)$ i oppgave 5, ikke bare direkte derivasjon.

☐ Jeg brukte entydigheten til å spare halve regningen i oppgave 6.

☐ Jeg hadde jakobifaktoren $(b-a)/2$ med i Gauss–Legendre.

☐ Jeg sjekket begge betingelsene på nivå 3 for begge vektradene.

☐ Jeg brukte eksponenten $1/(p+1)$ med $p$ = ordenen til den propagerte løsningen, og skrev hvorfor.

☐ Jeg brukte den mest negative egenverdien til å binde steglengden.

☐ Jeg lette etter en strukturell egenskap i programmets svar før jeg lette i koden.

Færre enn åtte kryss? Gå tilbake til kap. 4.3, kap. 7.3 og kap. 8.3, og ta prøvene til de delene.

Åtte til tolv? Solid. Legg de manglende punktene inn på A5-arket fra kap. 9.1 og ta settet en gang til om en uke.

Tretten eller fjorten? Da er du ferdig med boka. Ta de tre settene i kap. 9.2, kap. 9.3 og dette på nytt med noen dagers mellomrom, og bruk resten av tiden på å skrive arket ferdig.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.