9.3 Øvingseksamen 2 — Fourier-transform og differansemetoder

Komplett sett (9 oppgaver) som vrir tyngden mot Fourier-transform, ikke-homogen PDE og differansemetoder.

240 min

9 oppgaver

Øvingseksamen 2Fourier-transformdifferansemetoder

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Eksamensform. Fire timers skriftlig skoleeksamen, hjelpemiddelkode C: bestemt enkel kalkulator, ett gult stemplet A5-ark med egne håndskrevne notater, og et formelark som deles ut. Ingen avkryssingsdel.

Omfang. Ni oppgaver, 100 poeng til sammen. Karakterskalaen er prosentbasert: A fra 80, B fra 69, C fra 59, D fra 48, E fra 37.

Tidsbudsjett.

Oppgave	Tema	Poeng	Minutter
1	Laplace med konvolusjon	12	25
2	Kompleks Fourier-rekke	11	24
3	Fourier-transform og integrallikning	11	24
4	Fourier-transform for en likning på hele linja	11	24
5	Ikke-homogen varmelikning med stasjonær reduksjon	12	27
6	Numerisk integrasjon, Gauss–Legendre og presisjonsgrad	11	24
7	Newtons metode med entydighetsargument	10	22
8	Eksplisitt differanseskjema og stabilitet	11	24
9	Randverdiproblem med falsk rand og kodefeil	11	26
Sum	100	220

De resterende 20 minuttene er 10 til lesing og 10 til sluttkontroll. Deltidene i hver oppgave summerer seg til oppgavens deklarerte tid.
Hva dette settet tester som forrige ikke gjorde. Kap. 9.2 fulgte den klassiske malen med Laplace, Fourier-rekke, separasjon og en numerikk-blokk. Dette settet vrir tyngden mot fire sjangre det forrige ikke traff: Fourier-transform for utregning og for en likning på hele linja, numerisk integrasjon med presisjonsgrad, og to differanseoppgaver. Det er tyngre enn forrige sett — regn med at oppgave 3, 4 og 9 tar mer tid enn minuttallet sier første gang du møter dem.
Slik bruker du settet. Ta det på tid, i ett strekk, med A5-arket fra kap. 9.1 og med det utdelte formelarket «tenkt inn»: når du trenger en tabellrad, noterer du «fra tabellen på formelarket» og bruker den.
Modellbesvarelsene er nyskrevne. Oppgave 3 har i tillegg en ærlig merket midtnivåbesvarelse ved siden av toppbesvarelsen, med margnotat om nøyaktig hva som skiller dem.

Forkunnskaper: kap. 2.4 (konvolusjon), kap. 3.3 (kompleks Fourier-rekke), kap. 4.1 og kap. 4.2 (Fourier-transform, tabell og reglene, og transform av en likning på hele linja), kap. 5.2 (superposisjon, matching og ikke-homogen reduksjon), kap. 6.2 og kap. 6.4 (numerisk integrasjon og rotsøking), og kap. 8.1 til kap. 8.4 (differansekvotienter, eksplisitt skjema, randverdiproblem og feilsøking i kode).

Fra tidligere matematikkemner trengs Gauss-integralet $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ , hyperbelfunksjonene, og løsning av små lineære systemer.

Notasjon. Romsteget heter $h$ og tidssteget $\Delta t$ , med $r = c^2\Delta t/h^2$ . Det utdelte formelarket kaller tidssteget $k$ ; boka bruker $\Delta t$ fordi $k$ er separasjonskonstanten i Del 5.

Under ligger de ni oppgavene, hver i sin egen boks. Løsningsforslagene er ført som toppbesvarelser: hvert mellomsteg er med, metodenavnet er skrevet ut, tabelloppslagene er markert, og kontrollregningen står der.

Settet kan deles over to økter: oppgave 1 til 5 den ene kvelden, 6 til 9 den neste. Da mister du treningen i tidsstyring, men får trent sjangrene.

Oppgave 1 — Laplace med konvolusjon (12 poeng, ~25 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 2 — Kompleks Fourier-rekke (11 poeng, ~24 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 3 — Fourier-transform og integrallikning (11 poeng, ~24 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 4 — Fourier-transform for en likning på hele linja (11 poeng, ~24 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 5 — Ikke-homogen varmelikning med stasjonær reduksjon (12 poeng, ~27 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 6 — Numerisk integrasjon, Gauss–Legendre og presisjonsgrad (11 poeng, ~24 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 7 — Newtons metode med entydighetsargument (10 poeng, ~22 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 8 — Eksplisitt differanseskjema og stabilitet (11 poeng, ~24 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Oppgave 9 — Randverdiproblem med falsk rand og kodefeil (11 poeng, ~26 min)

Din fremgang

0 / 1 oppgaver

Slik ligger poengene.

Type arbeid	Poeng	Hvor
Mekanisk oppsett (transformer, sett opp systemet, sett opp skjemaet, ett oppslag)	30	1a–b / 3a–b / 4a / 6a / 8a / 9a
Metodevalg og gjennomføring (delbrøk, invers transform, stasjonær reduksjon, Gauss-transformasjon)	40	1c / 2b / 3c / 4b–c / 5a–c / 6b / 8b
Toppsjikt-markører (konvensjonsfaktor, falsk node med faktor 2, entydighetsargument, presisjonsgrad-regelen, stabilitetstall)	21	3b / 6c / 7a / 8a / 9a
Kontroll, tolkning og feilsøking	9	1d / 3d / 4d / 9c

Det praktiske av dette. Dette settet er tyngre enn kap. 9.2, og de mekaniske poengene ligger lavere — 30 mot 34. Til gjengjeld er de fordelt over seks oppgaver, og hver av dem er kort. Rekker du ikke alt, er strategien den samme: gå gjennom hele settet og ta delpunkt a) overalt først.
Rekkefølge jeg ville anbefalt. Start med oppgave 1 og 8, som begge er mekaniske og gir raske poeng. Ta så 5 og 9, de to dyreste. Fourier-transform-oppgavene 3 og 4 kommer etter det — de er korte når konvensjonsfaktoren sitter, og lange når den ikke gjør det. Avslutt med 2, 6 og 7.
Om tidsbudsjettet. Deltidene i hver oppgave summerer seg til oppgavens deklarerte tid, og de ni oppgavetidene til 220 minutter. De siste 20 minuttene er 10 til lesing og 10 til sluttkontroll. Minuttallene er regnetid med penn i hånd, ikke lesetid.

Selvdiagnose etter øvingseksamen 2

Kryss av det du faktisk gjorde.

☐ Jeg navnga konvolusjonsteoremet i oppgave 1, ikke bare brukte formelen.

☐ Jeg regnet $c_0$ først i oppgave 2 og brukte det som kontroll av middelverdien.

☐ Jeg brukte broformelen $b_n = -2\operatorname{Im}(c_n)$ med riktig fortegn.

☐ Jeg hadde faktoren $\sqrt{2\pi}$ i konvolusjonsteoremet for Fourier-transformen.

☐ Jeg kontrollerte transformsvaret i $\omega = 0$ .

☐ Jeg skrev at $\omega$ er en konstant i den transformerte likningen, og hvorfor.

☐ Jeg fant den stasjonære løsningen først og regnet ut $v(x,0) = u(x,0) - w(x)$ før jeg vurderte om et integral trengtes.

☐ Jeg hadde jakobifaktoren $(b-a)/2$ med i Gauss–Legendre.

☐ Jeg fortsatte presisjonsgradstesten til formelen faktisk feilet.

☐ Jeg navnga mellomverdisetningen og brukte monotoni til entydighet.

☐ Jeg regnet ut $r$ og skrev eksplisitt at $r \le \tfrac12$ .

☐ Jeg fikk faktoren 2 i randraden med falsk node.

☐ Jeg sjekket randbetingelsene i programmets svar før jeg lette i løkka.

Færre enn sju kryss? Les kap. 4.1, kap. 5.2 og kap. 8.4 på nytt, og ta prøvene til Del 4 og Del 8 før du går videre.

Sju til elleve? Legg de manglende punktene inn på A5-arket ditt fra kap. 9.1 — særlig konvensjonsfaktoren og faktoren 2.

Tolv eller tretten? Gå videre til kap. 9.4, som dekker de nyeste sjangrene.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.