2.4 Konvolusjon og integro-differensiallikninger

$$(g*y)(t) = \int_0^{t} g(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau.$$

Ordet betyr «sammenfolding», og det er en god beskrivelse: den ene funksjonen speilvendes og skyves forbi den andre, og du summerer produktet i hver posisjon.

Legg merke til tre ting i formelen.
1. Den øvre grensen er $t$, ikke en konstant. Konvolusjonen er en funksjon av $t$.
2. Integrasjonsvariabelen er $\tau$; $t$ er en parameter mens du integrerer.
3. Argumentene summerer alltid til $t$: $\tau + (t-\tau) = t$. Det er kjennetegnet du leter etter i en oppgavetekst.

Begrepet må kunnes eller utledes aktivt — og det viktigste er å kjenne det igjen, ikke å regne det ut.

Sjekklisten du kjører på hvert integral i en oppgavetekst. Integralet er en konvolusjon dersom alle fire stemmer:

1. Nedre grense er $0$, øvre grense er $t$.
2. Integranden er et produkt av to funksjoner.
3. Integrasjonsvariabelen er $\tau$ (eller et annet hjelpesymbol), og $t$ står bare som parameter.
4. Argumentene summerer til $t$: den ene faktoren har argument $\tau$, den andre $t-\tau$.

Punkt 4 er det avgjørende. Står det $\int_0^t \sin(t-\tau)\,y(\tau)\,d\tau$, er summen $(t-\tau)+\tau = t$, og det er en konvolusjon $\sin * y$. Står det derimot $\int_0^t \sin(\tau)\,y(\tau)\,d\tau$, er det ikke en konvolusjon — begge faktorene har argument $\tau$.

Grensetilfellet du må kunne: $\int_0^t y(\tau)\,d\tau$ ser ikke ut som et produkt, men det er $1 * y$, med konstantfunksjonen $1$ som den andre faktoren. Det er den vanligste formen i eksamensoppgaver.

$$(g*y)(t) = (y*g)(t).$$

Utledningen er ett variabelskifte: sett $\sigma = t-\tau$ i integralet, slik at $d\tau = -d\sigma$ og grensene bytter plass. Da blir $\int_0^t g(\tau)y(t-\tau)\,d\tau$ til $\int_0^t g(t-\sigma)y(\sigma)\,d\sigma$, som er $(y*g)(t)$.

Praktisk nytte: skriv integralet på den formen som er lettest å regne på. Skal du regne ut $t * \sin t$ direkte, er det enklere å la $\tau$ sitte på polynomet enn på sinusen — velg selv.

Konvolusjonen er også lineær i hver faktor og assosiativ, men de to egenskapene brukes sjelden i denne sjangeren.

$$\mathcal{L}\left\{\int_0^{t} y(\tau)\,d\tau\right\} = \frac{Y(s)}{s}.$$

Den følger direkte: integralet er $1 * y$, og $\mathcal{L}\{1\}=1/s$.

Speilbildet av derivasjonsregelen. Å derivere svarer til å gange med $s$; å integrere svarer til å dele på $s$. De to reglene er hverandres motstykker, og sammen dekker de alt du trenger for en integro-differensiallikning.

Regelen må kunnes eller utledes aktivt.

En integrallikning har den ukjente funksjonen inne i et integral, men ingen deriverte:
$$y(t) = f(t) + \int_0^t g(t-\tau)y(\tau)\,d\tau.$$

En integro-differensiallikning har begge deler — både en derivert og et integral av den ukjente:
$$y'(t) + c\int_0^t g(t-\tau)y(\tau)\,d\tau = f(t), \qquad y(0)=y_0.$$

Startverdier: integrallikningen trenger ingen — starttilstanden er bakt inn i at integralet er null ved $t=0$. Integro-differensiallikningen trenger like mange som den høyeste derivasjonsordenen, akkurat som en vanlig likning.

Begge blir algebraiske likninger i $Y(s)$ etter transformen, og begge løses på nøyaktig samme måte.

Fem skritt:

1. Kjenn igjen konvolusjonen. Sjekk grenser, produkt og at argumentene summerer til $t$. Skriv ned hvilken $g$ det er.
2. Transformer hele likningen. Integralleddet blir $G(s)Y(s)$ — si at det er etter konvolusjonsteoremet. Deriverte behandles med derivasjonsregelen, og startverdiene settes inn med det samme.
3. Løs algebraisk for $Y(s)$. Alle $Y$-leddene på én side; faktoriser ut $Y$; gang gjerne opp med en fellesnevner for å rydde.
4. Faktoriser nevneren i den brøken du sitter igjen med.
5. Transformer tilbake med delbrøk og kvadratkomplettering fra kap. 2.2.

Oppskriften må kunnes eller utledes aktivt. Skritt 1 og 2 er de som skiller denne oppgavetypen fra en vanlig likning — resten er kjent stoff.

Den kjente funksjonen $g$ i integralet $\int_0^t g(t-\tau)y(\tau)\,d\tau$ — den som beskriver hvordan systemet husker fortiden.

Tolkningen er en vektfunksjon. Verdien $g(t-\tau)$ sier hvor mye det som skjedde ved $\tau$ betyr for tilstanden ved $t$. En kjerne som $e^{-2(t-\tau)}$ betyr at minnet falmer eksponentielt: det som skjedde nylig teller mest.

Praktisk: første skritt i enhver oppgave av denne typen er å skrive ned hva $g$ er, og slå opp $G(s)$ i tabellen. Er kjernen konstant lik $1$, er $G(s)=1/s$, og da er integralleddet bare $Y(s)/s$.

Effekten integralleddet har på systemets oppførsel.

En likning uten integral, som $y'+2y=0$, er førsteordens: løsningen faller glatt mot null uten å svinge. Legger du til $2\int_0^t y$, blir nevneren i $Y(s)$ et andregradsuttrykk, og løsningen kan svinge.

Hvorfor: integralet gir en faktor $1/s$, og etter multiplikasjon med $s$ er $s$-graden hevet med én. Systemet har fått en hukommelse, og hukommelse er det som gjør svingninger mulig.

Praktisk nytte: tell $s$-potensene i nevneren etter at du har ganget opp. De forteller hvor mange ledd svaret får, og diskriminanten forteller om det svinger.

$$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = (f*g)(t) = \int_0^{t}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.$$

Når du velger den: ved doble irredusible faktorer som $\left(s^2+\omega^2\right)^2$, ved kjerner som ikke lar seg spalte, og når oppgaven ber om svaret som et integral.

Når du ikke velger den: når nevneren lar seg faktorisere. Delbrøkoppspalting gir da et lukket uttrykk uten integrasjon, og går fortere.

Regelen må kunnes eller utledes aktivt — det er konvolusjonsteoremet lest baklengs.

En dobbel irredusibel faktor i nevneren gir alltid et ledd med $t$ ganget på en svingning:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s^2+\omega^2\right)^2}\right\} = \frac{1}{2\omega^3}\left(\sin\omega t - \omega t\cos\omega t\right).$$

Faktoren $t$ foran cosinusen betyr at amplituden vokser lineært. Fysisk er dette resonans: pådraget svinger med nøyaktig systemets egen frekvens og dytter i takt hele veien.

Kontroll av formelen: for $\omega = 2$ gir den $\tfrac{1}{16}\left(\sin 2t - 2t\cos 2t\right)$ — nøyaktig svaret i oppgave 7.

Formelen står sjelden på arket, men du trenger ikke huske den — konvolusjonsveien gir den på fem linjer.

En transformert integro-differensiallikning ser typisk slik ut:
$$sY - y_0 + cY + \frac{dY}{s} = F(s).$$
Gang hele likningen med $s$ før du samler noe:
$$s^2Y - s\,y_0 + csY + dY = sF(s).$$
Nå står det et rent polynom foran $Y$, og resten er vanlig algebra.

Generelt: har likningen en kjerne med nevner $(s+a)$, ganger du med $(s+a)$ i stedet. Se på hvilke nevnere som står der, og gang opp med produktet av dem.

Den eneste helt sikre kontrollen på en oppgave av denne typen: sett svaret inn i den opprinnelige likningen og regn ut integralet.

Det er mer arbeid enn ved en vanlig likning, men det er verdt det, og det finnes en snarvei: du kan kontrollere i $s$-planet i stedet. Sett $Y(s)$ inn i den transformerte likningen og se at den går opp. Det tar noen sekunder og fanger alle feil bortsett fra dem du gjorde i selve inverstransformen.

Kontrollen som alltid er billig: sjekk startverdien. Er $y(0)$ oppgitt, må svaret ditt gi den. Og for en ren integrallikning: sett $t=0$ i likningen — integralet er null der, så $y(0)$ må være lik høyresidens verdi i null.

Vanen som skiller en besvarelse i toppsjiktet fra en i midtsjiktet i denne sjangeren.

Instruksen på hvert sett krever at alle svar begrunnes med nok mellomregning til at tenkemåten klart framgår. For denne oppgavetypen betyr det konkret at du skriver ut hvilket teorem som gjør at integralet blir en faktor:

«Integralleddet er en konvolusjon med kjerne $g(t)=e^{-2t}$. Etter konvolusjonsteoremet er $\mathcal{L}\{g*y\}=G(s)Y(s)$, med $G(s)=1/(s+2)$ fra tabellen.»

Samme vane gjelder de andre navngitte resultatene i boka: andreforskyvningsteoremet (kap. 2.3), derivasjonsregelen (kap. 2.1) og senere fikspunktteoremet, mellomverdisetningen og d'Alemberts formel. Skriv navnet, ikke bare regningen.

Løs $ay''+by'+cy = f(t)$ med null startverdier. Transformen gir $Y(s) = F(s)\cdot H(s)$, der

$$H(s) = \frac{1}{as^2+bs+c}$$

er den samme uansett hva pådraget er. Etter konvolusjonsteoremet er da

$$y(t) = (f * h)(t) = \int_0^t f(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,$$

med $h = \mathcal{L}^{-1}\{H\}$. Funksjonen $h$ er systemets impulsrespons — svaret på et enkelt støt (kap. 2.3).

Tolkningen: løsningen er en vektet sum av alle tidligere pådrag, med impulsresponsen som vekt. Det er nøyaktig hukommelsesbildet fra motivasjonen, og det gjelder for ethvert lineært system med konstante koeffisienter.

For vanlig multiplikasjon er $1$ enheten: $1\cdot f = f$. For konvolusjon gjelder ikke dette — vi så i eksempel 1 at $1 * t^2 = t^3/3$, ikke $t^2$. Konstantfunksjonen $1$ integrerer; den er ikke en enhet.

Den eneste «funksjonen» som oppfører seg som en enhet, er Dirac-deltaen fra kap. 2.3:

$$(\delta * f)(t) = f(t),$$

som følger av at $\mathcal{L}\{\delta\} = 1$ og konvolusjonsteoremet.

Praktisk konsekvens: ser du $\int_0^t y(\tau)\,d\tau$ i en likning, er det et integral av den ukjente, ikke den ukjente selv. Det hever likningens orden med én.

Regelen som avgjør om snarveien «deriver likningen» virker.

Er kjernen konstant, altså integralleddet $c\int_0^t y(\tau)\,d\tau$, forsvinner integralet når du deriverer: du får $cy(t)$, og likningen blir en vanlig differensiallikning av én orden høyere. Det virker.

Er kjernen ikke konstant, som $e^{-2(t-\tau)}$ eller $\sin(t-\tau)$, gir derivasjon deg leddet $g(0)y(t)$ pluss et nytt integral med $g'$ som kjerne. Integralet er der fortsatt, og du har fått en ekstra derivert på kjøpet.

Praktisk: ikke lete etter snarveier. Transformer, uansett kjerne. Laplace-veien er like kort i begge tilfeller, og den er den eneste som virker i det andre.

Kontrollen som forteller hvor mange ledd svaret skal ha.

Etter at du har ganget opp med fellesnevneren, står det $P(s)\,Y = Q(s)$ for to polynomer. Graden av $P$ er antall ledd du kan vente deg i svaret — én per rot, to per dobbel rot, og et par $\cos/\sin$ per irredusibel faktor.

Eksempel: i $\left(s^2+2s-3\right)Y = 1$ er graden 2 med to reelle røtter, altså to eksponentialledd. I $\left(s^2+2s+2\right)Y = 4s$ er graden 2 med et konjugert polpar, altså ett dempet svingeledd med $\cos$ og $\sin$.

Bruk: sjekk svaret ditt mot tellingen. Har du færre ledd enn nevnerens grad tilsier, har du mistet noe underveis.

Sjangeren har to godtatte metoder for siste skritt, og begge gir uttelling.

Delbrøkoppspalting (kap. 2.2): virker når nevneren lar seg faktorisere. Gir et lukket uttrykk uten integrasjon. Dette er standardvalget.

Konvolusjon: virker alltid når $Y$ kan skrives som et produkt av to kjente transformer. Gir svaret som et integral, som du kan la stå eller regne ut. Velg den ved doble irredusible faktorer, eller når oppgaven ber om det.

Formuleringen som gir uttelling: «Her bruker jeg delbrøkoppspalting, siden nevneren faktoriseres. Alternativt kunne svaret skrives som konvolusjonen $\left(e^{-t} * \sin t\right)(t)$.» Å nevne den andre veien koster én linje og viser at du kjenner begge.