2.5 Drill — Laplace-sjangeren fra ende til annen

Sjangerdrill på hele A/B/C-komplekset: fra oppgitt likning til ferdig $y(t)$ i A-besvarelsesform, med sensor-margnotater.

90 min

12 oppgaver

DrillLaplace-sjangeren fra ende til annen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.PPrøver til del 2: Laplace-transform

Nitti minutter som dekker den blokken som åpner nesten hvert eneste sett.

Laplace-blokken står på 13 av 13 sett i frekvensgrunnlaget, og den ligger nesten alltid som oppgave 1 og 2. Blokken består av tre varianter, og dette kapitlet driller alle tre om hverandre:

Bokas kode	Oppgavetypen skrevet ut	Belegg
A	Løs en vanlig differensiallikning med oppgitte startverdier ved hjelp av Laplace-transform	13 av 13 sett
B	Likning der den ukjente står inne i et integral (konvolusjon)	7 av 13 sett
C	Pådraget slås av og på (trapp), eller er et støt (puls)	5 av 13 sett

Bokstavene er bokas egne forkortelser for oppgavetypene, ikke noe NTNU bruker; hele listen står i kap. 0.1.
Hva drillen faktisk trener. Ikke tabellen — den ligger foran deg på det utdelte formelarket, siden eksamen har hjelpemiddelkode C. Drillen trener å se hvilken variant du har, velge riktig vei og føre den. En student som kan tabellen utenat, men bruker fem minutter på å bestemme seg for om integralleddet er en konvolusjon, taper mer enn hun vinner.
Slik bruker du kapitlet. Tolv oppgaver, alle på eksamensnivå og alle nyskrevne. Regn dem med penn og med formelarket ditt tilgjengelig, på tid. Anslaget er 90 minutter lesetid, men gjør du alle oppgavene skikkelig, går det lenger — og det er meningen. Kapitlet kan trygt deles over flere økter; det er markert to naturlige pausepunkter.
Tidsbudsjett-realisme. På eksamen har du rundt 24 minutter per oppgave på 10 poeng. Bruker du mer enn det på en av oppgavene her i starten, er det et signal om hvilket delkapittel du bør lese om igjen — ikke om at du kommer til å stryke.

Forkunnskaper: hele Del 2 — kap. 2.1, kap. 2.2, kap. 2.3 og kap. 2.4. Fra kap. 1.1 trengs komplekse tall til den ene oppgaven som ber om den komplekse veien.

Sist du var her

De fem formlene under er hele apparatet. Ingen av dem forklares på nytt i dette kapitlet.

Derivasjonsregelen — motoren, og den må kunnes eller utledes aktivt:
$\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y - s\,y(0) - y'(0).$

Kvadratkomplettering og måltabellformene — restleddet er $\omega^2$ , ikke $\omega$ :
$s^2+ps+q = \left(s+\tfrac{p}{2}\right)^2 + \left(q-\tfrac{p^2}{4}\right), \qquad \frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2} \leftrightarrow e^{at}\cos\omega t, \qquad \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2} \leftrightarrow e^{at}\sin\omega t.$

Andreforskyvningsteoremet — og rekkefølgen «finn $f$ først, forskyv sist»:
$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s), \qquad \mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}.$

Konvolusjonsteoremet — som skal navngis i besvarelsen:
$(g*y)(t) = \int_0^{t}g(\tau)y(t-\tau)\,d\tau, \qquad \mathcal{L}\{g*y\} = G(s)Y(s).$

Tildekkingsmetoden — for enkle reelle poler:
$A_k = \left.\frac{N(s)}{\prod_{j\ne k}(s-r_j)}\right|_{s=r_k}.$

Alle transformparene i tabellen står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. De fem formlene over gjør det bare delvis, og de tre siste linjene i listen — «finn $f$ først», konvolusjonsteoremet og tildekkingsmetoden — må kunnes eller utledes aktivt.

Løsningsoppskriften — sju skritt

Dette er algoritmen for hele Laplace-blokken. Den er den samme for alle tre variantene; det er bare skritt 3 og 6 som slår inn av og til.

1. Klassifiser. Se på likningen i tre sekunder og avgjør hvilken av tre den er:
- ren likning (bare $y$ og deriverte),
- integro-differensiallikning eller integrallikning (den ukjente står inne i et integral fra $0$ til $t$ ),
- trappe- eller impulslast (høyresiden inneholder en klammeparentes, en $u(t-a)$ eller en $\delta(t-a)$ ).

2. Transformer og bruk derivasjonsregelen med startverdiene satt inn med det samme. Ikke til slutt. Startverdiene skal inn i denne linja.

3. Ved integralledd: kjenn igjen konvolusjonen og navngi konvolusjonsteoremet — integralet blir $G(s)Y(s)$ .
Ved trappelast: skriv $f$ som en sum av trappeledd før du transformerer. Koeffisientene er spranghøydene.

4. Løs algebraisk for $Y(s)$ . Gang opp med fellesnevneren tidlig, samle alle $Y$ -leddene, faktoriser ut $Y$ .

5. Transformer tilbake via delbrøkoppspalting og/eller kvadratkomplettering. Faktoriser nevneren først; regn ut diskriminanten på hvert andregradsledd. Velg den raskeste veien, og nevn at den andre finnes — arkivets løsningsforslag honorerer begge.

6. Ved eksponentialfaktor $e^{-as}$ : dekk den til, finn den inverse av det som blir igjen helt ferdig, og forskyv til slutt: $g(t-a)u(t-a)$ .

7. Oppgi svaret som eksakt uttrykk, og kontroller: startverdiene, og enten innsetting i likningen eller en $s$ -verdi i oppspaltingen.

Instruksen som styrer føringen. På hvert sett står den samme setningen: alle svar skal begrunnes med nok mellomregning til at tenkemåten klart framgår. I praksis betyr det fire ting, og de er de samme i hver eneste oppgave under:
- skriv derivasjonsregelen med startverdiene satt inn (skritt 2),
- bær teoremnavnet der du bruker et: «etter andreforskyvningsteoremet …», «etter konvolusjonsteoremet …»,
- marker tabelloppslagene: «fra tabellen på formelarket …»,
- vis faktoriseringen og oppspaltingen, ikke bare resultatet.

✏️Gjennomregnet eksamenscase med margnotater

Et dempet system får et konstant pådrag som slås av etter tre tidsenheter:

y'' + 2y' + 5y = f(t), \qquad y(0)=0,\ y'(0)=0, \qquad f(t) = \begin{cases} 4, & 0 \le t < 3, \\ 0, & t \ge 3.\end{cases}

Finn

y(t)

, og skriv svaret både som én formel og på hvert intervall.

Skritt 1 — klassifiser. Høyresiden er gitt med klammeparentes og hopper ved

t=3

. Dette er en trappelast, altså variant C. Ingen integralledd, så konvolusjonsteoremet er ikke aktuelt her.

Margnotat: dette skrittet skal ta tre sekunder og gir null poeng i seg selv — men velger du feil vei her, taper du oppgaven. Se etter klammeparentes, $u(t-a)$ eller $\delta(t-a)$ på høyresiden.

Skritt 3 (kommer før 2 i denne varianten) — skriv $f$ som trappeledd. Start på $4$ ; ved $t=3$ hopper funksjonen fra $4$ til $0$ , altså ned $4$ :
$f(t) = 4 - 4u(t-3).$
Kontroll: ved $t=1$ er $f=4$ ; ved $t=5$ er $f=4-4=0$ . Stemmer med klammeparentesen.

Margnotat: koeffisienten er spranghøyden $-4$ , ikke den nye verdien $0$ . Kontrollen med ett punkt per intervall koster ti sekunder og fanger feilen.

Skritt 2 — transformer. Begge startverdiene er null, så $\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y$ og $\mathcal{L}\{2y'\}=2sY$ . Fra tabellen på formelarket er $\mathcal{L}\{u(t-3)\}=e^{-3s}/s$ :
$\left(s^2+2s+5\right)Y = \frac{4}{s} - \frac{4e^{-3s}}{s}.$

Margnotat: skriv derivasjonsregelen ut selv når startverdiene er null. Det viser at du vet at leddene finnes, og det er nettopp «nok mellomregning til at tenkemåten framgår».

Skritt 4 — løs for $Y$ .
$Y(s) = \frac{4}{s\left(s^2+2s+5\right)} - e^{-3s}\cdot\frac{4}{s\left(s^2+2s+5\right)}.$
Legg merke til at begge leddene har samme brøk. Vi finner den inverse én gang og bruker den to ganger.

Margnotat: dette er det som gjør rektangelpulser billige. Ser du to ledd med samme brøk og ulik eksponentialfaktor, regn én gang.

Skritt 5 — invers av den felles brøken. Kall den $G(s) = 4/\left(s\left(s^2+2s+5\right)\right)$ .

Faktoriser nevneren. Diskriminanten til $s^2+2s+5$ er $4-20 = -16 < 0$ : irredusibel. Nevneren er altså én reell rot og én irredusibel faktor, og ansatsen blir
$\frac{4}{s\left(s^2+2s+5\right)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs+C}{s^2+2s+5}.$

Tildekking for $A$ :
$A = \left.\frac{4}{s^2+2s+5}\right|_{s=0} = \frac{4}{5}.$

Resten. Gang opp og sett inn $A$ :
$4 - \frac45\left(s^2+2s+5\right) = -\frac45 s^2 - \frac85 s = -\frac45 s(s+2) = (Bs+C)s,$
altså $Bs+C = -\tfrac45(s+2)$ , det vil si $B = -\tfrac45$ og $C=-\tfrac85$ .

Kvadratkompletter: $s^2+2s+5 = (s+1)^2+4$ , altså demping $e^{-t}$ og $\omega = 2$ . Telleren i nevnerens språk: $s+2 = (s+1)+1$ , og konstanten $1$ må skrives som $\tfrac12\cdot 2$ for å treffe sinusraden:
$G(s) = \frac{4}{5}\cdot\frac1s - \frac45\cdot\frac{s+1}{(s+1)^2+4} - \frac25\cdot\frac{2}{(s+1)^2+4}.$

Fra tabellen på formelarket:
$g(t) = \frac45 - \frac45 e^{-t}\cos 2t - \frac25 e^{-t}\sin 2t.$

Margnotat: her ligger flest poeng i hele oppgaven. Skriv ansatsen ned eksplisitt, si at $A$ kom fra tildekking, vis kvadratkompletteringen som eget steg, og skriv «fra tabellen». Et riktig $g(t)$ uten disse linjene gir ikke full uttelling.
Alternativ vei, verdt én linje i besvarelsen: den irredusible faktoren kunne også vært behandlet med kompleks delbrøkoppspalting på polparet $-1\pm 2i$ (kap. 2.2). Kvadratkomplettering er raskest her, men begge er honorert.

Kontroll av oppspaltingen ved $s=1$ : venstre side gir $4/(1\cdot 8) = 0{,}5$ ; høyre side gir $\tfrac45 - \tfrac45\cdot\tfrac{3}{8} - \tfrac25\cdot\tfrac{2}{8} = 0{,}8 - 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}4$ . Hm — la oss regne én gang til på det midterste leddet: ved $s=1$ er $(s+1)/((s+1)^2+4) = 2/8 = 0{,}25$ , ikke $3/8$ . Da blir høyre side $0{,}8 - \tfrac45\cdot 0{,}25 - \tfrac25\cdot 0{,}25 = 0{,}8-0{,}2-0{,}1 = 0{,}5$ . Stemmer.

Margnotat: dette er hvordan kontrollen skal brukes — den fanget en innsettingsfeil på fem sekunder. Gjør den, også når du er sikker.

Skritt 6 — forskyv til slutt. Etter andreforskyvningsteoremet blir det andre leddet $g(t-3)u(t-3)$ :
$y(t) = g(t) - g(t-3)\,u(t-3),$
altså skrevet ut:
$y(t) = \frac45\Big(1 - e^{-t}\cos 2t\Big) - \frac25 e^{-t}\sin 2t - \left[\frac45\Big(1-e^{-(t-3)}\cos 2(t-3)\Big) - \frac25 e^{-(t-3)}\sin 2(t-3)\right]u(t-3).$

Skritt 7 — svaret på hvert intervall.
$y(t) = \begin{cases} \dfrac45 - \dfrac45 e^{-t}\cos 2t - \dfrac25 e^{-t}\sin 2t, & 0 \le t < 3, \\[10pt] \dfrac45 e^{-(t-3)}\cos 2(t-3) + \dfrac25 e^{-(t-3)}\sin 2(t-3) - \dfrac45 e^{-t}\cos 2t - \dfrac25 e^{-t}\sin 2t, & t \ge 3.\end{cases}$
Konstantleddet $\tfrac45$ faller bort for $t\ge 3$ : $\tfrac45 - \tfrac45 = 0$ .

Kontroll ved skjøten $t=3$ . Ovenfra: $\tfrac45 - \tfrac45 e^{-3}\cos 6 - \tfrac25 e^{-3}\sin 6$ . Nedenfra, med $t-3=0$ : $\tfrac45\cdot 1 + 0 - \tfrac45 e^{-3}\cos 6 - \tfrac25 e^{-3}\sin 6$ . Samme uttrykk. Løsningen er kontinuerlig, som den skal være når pådraget bare hopper endelig.

Kontroll av likningen for $t>3$ . Der er høyresiden null, og de gjenværende leddene er alle av formen $e^{-\alpha}\cos$ eller $e^{-\alpha}\sin$ med demping $1$ og frekvens $2$ — nøyaktig røttene $-1\pm 2i$ i $s^2+2s+5$ . Alle slike ledd løser den homogene likningen. Stemmer.

Fysisk lesning av svaret. Fram til $t=3$ krøller systemet seg inn mot det nye likevektsnivået $\tfrac45$ med dempede svingninger. Når kraften slås av, faller det tilbake mot null igjen. Det er nøyaktig hva et dempet fjærsystem gjør når du dytter og slipper.

Poengfordeling i en slik oppgave. Fordelingen under er en realistisk anslag basert på hvordan tilsvarende oppgaver er bygd opp:
- trappeleddoppdelingen: rundt en femdel,
- transformen med derivasjonsregelen: en femdel,
- oppspaltingen og kvadratkompletteringen: to femdeler — dette er tyngdepunktet,
- forskyvningen og sluttsvaret: en femdel.

Den som stopper etter $G(s)$ har fortsatt over halve uttellingen. Det er verdt å huske når tiden er knapp: skriv ned det du har kommet fram til, selv om du ikke rekker siste skritt.

— naturlig pausepunkt —

Nå er det din tur. Tolv oppgaver, som roterer mellom de tre variantene. De er ikke sortert etter type — det er med vilje, for på eksamen står det ikke hvilken variant du har.

Anbefalt økt: oppgave 1–6 (~45 min), pause, deretter 7–12 (~45 min).

📝Oppgave 1

Klassifiser hver likning etter oppskriftens skritt 1, og skriv ned første grep — altså hva du skriver på arket før du regner noe. Du skal ikke løse dem.

a) $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$ , $y(0)=1$ , $y'(0)=0$
b) $y(t) = t^2 + \displaystyle\int_0^t \cos(t-\tau)y(\tau)\,d\tau$
c) $y'' + y = 3u(t-2)$ , $y(0)=y'(0)=0$
d) $y' + y = \delta(t-1)$ , $y(0)=0$
e) $y'(t) + 4\displaystyle\int_0^t y(\tau)\,d\tau = \sin t$ , $y(0)=2$

📝Oppgave 2

Løs $y'' + 2y' + 10y = 0$ med $y(0)=0$ og $y'(0)=6$ .

📝Oppgave 3

Løs $y'' - 3y' + 2y = e^{3t}$ med $y(0)=0$ og $y'(0)=0$ .

📝Oppgave 4

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s-4}{s^2+6s+13}\right\}$ .

📝Oppgave 5

Løs $y'(t) + \displaystyle\int_0^{t} y(\tau)\,d\tau = t$ med $y(0)=0$ .

📝Oppgave 6

Løs $y' + 2y = f(t)$ med $y(0)=0$ , der $f(t)=0$ for $0\le t<1$ og $f(t)=4$ for $t\ge 1$ .

— naturlig pausepunkt —

Halvveis. De seks siste oppgavene er tyngre, og to av dem er kjedet slik reelle eksamensoppgaver er.

📝Oppgave 7

Løs $y'' + 6y' + 9y = \delta(t-2)$ med $y(0)=0$ og $y'(0)=0$ , og finn spranget i den deriverte ved $t=2$ .

📝Oppgave 8

Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s+5}{s^2+4s+20}\right\}$ på begge de honorerte måtene, og si hvilken du ville brukt på eksamen.

a) Ved kvadratkomplettering.
b) Ved kompleks delbrøkoppspalting på polparet.

📝Oppgave 9

Løs integrallikningen $y(t) = e^{-t} + \displaystyle\int_0^{t}(t-\tau)\,y(\tau)\,d\tau$ .

📝Oppgave 10

Denne oppgaven er kjedet slik eksamensoppgaver ofte er — bruk svaret fra ett punkt i det neste.

a) Finn $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s-2)\left(s^2+1\right)}\right\}$ .
b) Bruk resultatet fra a) til å løse $y'' + y = e^{2t}$ med $y(0)=0$ og $y'(0)=0$ .
c) Systemet i b) får i tillegg en enhetsimpuls ved $t=\pi$ . Finn den nye løsningen.

📝Oppgave 11

Løs $y'' + 4y = \delta(t-1) + u(t-3)$ med $y(0)=0$ og $y'(0)=0$ . Skriv svaret på hvert av de tre intervallene.

📝Oppgave 12

Løs integrallikningen $y(t) = t + \displaystyle\int_0^{t}\sin(t-\tau)\,y(\tau)\,d\tau$ , og kontroller svaret ved innsetting.

Typiske feil

Dette er hele feilkatalogen for Laplace-blokken samlet. Gå gjennom lista etter hver økt og kryss av det du faktisk gjorde.

1. Feil forskyvningsteorem. Eksponentialfaktor $e^{-as}$ utenfor brøken betyr andreforskyvning (tid). Forskjøvet argument $s-a$ inne i brøken betyr første (demping). To sekunders sjekk.

2. Å glemme å forskyve argumentet. Å gange med $u(t-a)$ er bare halve jobben. Hver $t$ i $f$ skal byttes med $t-a$ — også de i eksponenter og inne i sinus- og cosinusargumenter.

3. Manglende ledd i $\mathcal{L}\{y''\}$ . Regelen har tre ledd: $s^2Y - s\,y(0) - y'(0)$ . Det midterste ryker oftest. Skriv regelen med bokstaver først, tall etterpå.

4. Feil $\omega$ etter kvadratkomplettering. Restleddet er $\omega^2$ . Er nevneren $(s+3)^2+4$ , er $\omega = 2$ , ikke $4$ .

5. Uttilpasset teller. Sinusraden krever nøyaktig $\omega$ ; cosinusraden krever nøyaktig $s-a$ . Har du $7$ og $\omega = 2$ , må du skrive $7 = \tfrac72\cdot 2$ .

6. Glemt ledd ved multippel pol. $(s-r)^2$ i nevneren krever to ledd i ansatsen. Symptomet på at du glemte det, er at det mangler en faktor $t$ i svaret.

7. Ubegrunnet tabelloppslag. Instruksen krever at tenkemåten framgår. Skriv «fra tabellen på formelarket …» ved hvert oppslag. Det koster tre ord.

8. Glemt teoremnavn. «Etter andreforskyvningsteoremet …», «etter konvolusjonsteoremet …». Arkivets løsningsforslag skriver dem ut, og det skal du også.

9. Ikke sett konvolusjonsstrukturen. Et integral fra $0$ til $t$ med den ukjente inni: sjekk om argumentene summerer til $t$ før du prøver noe annet. Å derivere seg ut virker bare når kjernen er konstant.

10. Feil spranghøyder i trappeleddoppdelingen. Koeffisientene er differansene, ikke funksjonsverdiene. Kontroller med ett punkt i hvert intervall.

11. Startverdiene satt inn for sent. De skal inn i skritt 2, samtidig med derivasjonsregelen — ikke presses inn i sluttsvaret.

12. Ingen kontroll. Hver eneste oppgave i dette kapitlet har minst én kontroll som tar under et halvt minutt: sett inn en $s$ -verdi i oppspaltingen, sjekk startverdiene, eller regn ut spranget i $y'$ ved en impuls. Tiden du bruker på kontrollen, tjener du inn på oppgaven du slipper å gjøre om.

Kortbunken — oppskrifter og formler for Del 2

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Dette er ikke ny teori, men Del 2 komprimert til ti kort du kan bla gjennom kvelden før eksamen. De egner seg også som utgangspunkt for ditt eget A5-ark; verkstedet for det arket er kap. 0.1 sitt motstykke i eksamenstreningsdelen.

Oppskrift: Laplace-blokken i sju skritt

f

Kort: derivasjonsregelen

\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0)

Kort: transformparene du slår opp

\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}, \qquad \mathcal{L}\{t^ne^{at}\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}

Kort: metodevalg for den inverse

t

Kort: måltabellformene etter kvadratkomplettering

\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2} \;\leftrightarrow\; e^{at}\cos\omega t, \qquad \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2} \;\leftrightarrow\; e^{at}\sin\omega t

Kort: de to forskyvningsteoremene side om side

s

Kort: trappeledd og impuls

f = f_1 + (f_2-f_1)u(t-a_1) + (f_3-f_2)u(t-a_2) + \dots

Kort: konvolusjon

(g*y)(t) = \int_0^{t}g(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau, \qquad \mathcal{L}\{g*y\} = G(s)\,Y(s)

Kort: kontrollene som tar under et halvt minutt

s

Kort: føringen som gir uttelling

Y(s)

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.