5.5 Drill — separasjon av variable fra ende til annen

Sjangerdrill på hele G-komplekset (den 14–20-poengs stapleoppgaven): oppsett → tre $k$-tilfeller → egenverdier → superposisjon → Fourier-matching, som A-besvarelse.

90 min

12 oppgaver

Drillseparasjon av variable fra ende til annen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

5.PPrøver til del 5: Partielle differensiallikninger

Dette er drillkapitlet for den dyreste oppgaven på settet. Separasjon av variable står på 12 av 13 gjennomgåtte sett — 92 % — og er typisk verdt 14–20 poeng, fordelt på fire eller fem delpunkter som bygger på hverandre.

Oppgavene merkes med bokstaven G. Boka bruker bokstavene A til S som korte navn på de nitten oppgavetypene som går igjen på settene; G er separasjon av variable. Bokstaven forklares første gang den brukes i hvert kapittel.

Her regner du, du leser ikke. Kapitlet har én løsningsoppskrift, ett gjennomregnet eksamenscase med kommentarer om hva som gir uttelling i hvert steg, og tolv oppgaver som roterer gjennom hele sjangeren: kalde ender, isolerte ender, blandet rand, ikke-homogene randverdier, kildeledd, bølgeligningen og Laplace-likningen på et rektangel. Har du gjort alle tolv, har du sett hver variant arkivet inneholder.

Det som skiller midtsjiktet fra toppsjiktet, er fortsatt det samme: at alle tre tilfellene for separasjonskonstanten skrives ut, hver gang, med en begrunnelse for hvert. Det er det enkleste stedet å hente poeng i hele Del 5, og det enkleste stedet å miste dem.

Formelark-merking. Eksamen har hjelpemiddelkode C, med utdelt formelark og eget A5-ark. Selve separasjonsoppskriften står ikke på det utdelte arket — den må kunnes. Det du henter fra arket underveis, er reduksjonsformlene for delvis integrasjon og de trigonometriske identitetene; de står på det utdelte formelarket, så tren oppslaget.

Tidsbruk: 90 minutter, delt i fire bolker à omtrent tjue minutter. Med håndskriving blir det over to timer, og det er meningen at kapitlet skal deles over flere økter — pausepunktene er markert. Ta gjerne én bolk per kveld.

Karakterrealisme. Får du de mekaniske delpunktene til å sitte — ansatsen, de to ODE-ene, egenverdiene ved kalde ender — ligger du an til en solid C, som er en god og vanlig karakter. Veien opp mot A i denne sjangeren går gjennom tre ting: alle tre $k$ -tilfellene skrevet ut, riktig egenfunksjonsbasis ved Neumann- og blandet rand, og at du ser når koeffisientene kan leses av i stedet for å integreres.

Forkunnskaper: kap. 5.1 (ansatsen, de tre

k

-tilfellene, egenverdier), kap. 5.2 (superposisjon, Fourier-matching, stasjonær reduksjon), kap. 5.3 (bølgeligningen på et endelig intervall) og kap. 5.4 (verifikasjon ved innsetting, som brukes som kontroll i hver eneste oppgave her). Fra Del 3 trengs koeffisientintegralene, se kap. 3.1 og kap. 3.2.

Sist du var her. De fem uttrykkene du kommer til å bruke i nesten hver oppgave, ferdig oppfrisket:

$\text{Separasjonen:}\qquad \frac{F''}{F} = \frac{G'}{c^2G} = -k \quad\Longrightarrow\quad F'' + kF = 0, \quad G' + c^2kG = 0$

$\text{Dirichlet-rand:}\qquad k_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad F_n = \sin\frac{n\pi x}{L}, \quad n \ge 1$

$\text{Neumann-rand:}\qquad k_0 = 0,\; F_0 = 1; \quad k_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad F_n = \cos\frac{n\pi x}{L}$

$\text{Tidsfaktor, varme:}\qquad G_n(t) = e^{-c^2k_nt}$

$\text{Koeffisienten:}\qquad B_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx \quad (\text{Dirichlet})$

Klarer du å skrive disse fem fra hukommelsen før du begynner, går resten av kapitlet dobbelt så fort.

Løsningsoppskriften — åtte steg (~8 min å lese)

Dette er algoritmen. Følg den i denne rekkefølgen hver gang, også når oppgaven ser annerledes ut enn den forrige.

1. Rydd først: er problemet homogent?
Sjekk randbetingelsene og likningen. Er en randverdi ulik null, eller finnes det et kildeledd, så finn den stasjonære løsningen $w(x)$ og sett $v = u - w$ . Alt videre gjøres på $v$ . Hopper du over dette steget når det trengs, kollapser hele resten.

2. Sett $u = F(x)G(t)$ og separer.
Deriver produktet, sett inn, del på $c^2FG$ , og skriv fortegnskonvensjonen eksplisitt: $F''/F = -k$ . Skriv opp begge de to vanlige differensiallikningene.

3. Oversett randbetingelsene til $F$ .
$u(0,t) = F(0)G(t) = 0$ for alle $t$ , og $G \not\equiv 0$ , altså $F(0) = 0$ . Ved Neumann-rand er det $F'$ som er null. Ta med setningen — det er et logisk trinn sensor ser etter.

4. Behandl alle tre $k$ -tilfellene.
$k = 0$ : $F = Ax + B$ . $k < 0$ ( $k = -\mu^2$ ): $F = A\cosh\mu x + B\sinh\mu x$ . $k > 0$ ( $k = p^2$ ): $F = A\cos px + B\sin px$ . Skriv ut hva randbetingelsene gir i hvert tilfelle, og konkluder «bare triviell løsning» der det er tilfelle.

5. Les av egenverdier og egenfunksjoner.
Fra det overlevende tilfellet: en likning av typen $\sin pL = 0$ eller $\cos pL = 0$ , som gir $p_n$ og dermed $k_n$ og $F_n$ .

6. Løs $t$ -likningen.
Varmelikningen: $G_n = e^{-c^2k_nt}$ . Bølgeligningen: $G_n = a_n\cos(c\sqrt{k_n}\,t) + b_n\sin(c\sqrt{k_n}\,t)$ . Laplace-likningen på et rektangel: $G$ -likningen har motsatt fortegn og gir $\sinh$ og $\cosh$ .

7. Superponer og match initialbetingelsen.
Skriv summen. Se etter om koeffisientene kan leses av — sjekk først om en trigonometrisk identitet gjør initialdataene om til en egenfunksjonssum. Ellers regn koeffisientintegralet.

8. Legg $w$ tilbake, kontroller, og les av grensen.
Sett den ferdige løsningen inn i likningen og i begge randbetingelsene og i initialbetingelsen. Blir du spurt om $t \to \infty$ , er svaret det leddet som ikke dør ut.

Om delpunkt-koblingene. Eksamensoppgavene i denne sjangeren er nesten alltid kjedet: svaret fra a) brukes i b), og b) i c). Får du feil mellomresultat men regner riktig videre, gir det fortsatt uttelling. Derfor: skriv alltid ned mellomsvaret tydelig og gå videre, selv om du er i tvil om det.

Formelkort — hopp trygt over ved førstegangslesing. De åtte boksene under er repetisjonskortene til dette kapitlet, og de er samtidig flashcard-bunken. De sier ingenting nytt utover oppskriften over; de er der for å pugges i kortform kvelden før eksamen. Tidsanslaget på 90 minutter gjelder oppgaveregningen, ikke kortene.

Oppskrift: separasjon i åtte steg

w

Kort: de tre

k

-tilfellene

k > 0,\; k = p^2: \qquad F = A\cos px + B\sin px

Kort: egenverdiene ved Dirichlet-rand

F(0) = F(L) = 0

Kort: egenverdiene ved Neumann-rand

F'(0) = F'(L) = 0

Kort: egenverdiene ved blandet rand

F(0) = 0

Kort: tidsfaktoren for varme og bølge

u_t = c^2u_{xx}

Kort: ikke-homogen reduksjon

u(0,t) = T_0

Kort: Fourier-matching — når slipper du integralet

u(x,0)

✏️Gjennomregnet eksamenscase, med sensornotater i margen

Eksamensoppgave (~18 min, 16 poeng). En stang på

0 \le x \le 2

har begge ender i isvann. Betrakt

$u_t = 3u_{xx}, \qquad 0 < x < 2, \qquad u(0,t) = u(2,t) = 0, \qquad u(x,0) = 4\sin\frac{\pi x}{2} - \sin\frac{3\pi x}{2}.$

a) Sett $u = F(x)G(t)$ og utled de to vanlige differensiallikningene. (3 poeng)
b) Finn egenverdiene og egenfunksjonene ved å behandle alle tre tilfellene. (7 poeng)
c) Bestem løsningen som oppfyller initialbetingelsen. (4 poeng)
d) Hva nærmer løsningen seg når $t \to \infty$ , og hvilket ledd dør ut sist? (2 poeng)

a) Separasjonen. (3 poeng)

Med $u = F(x)G(t)$ er $u_t = FG'$ og $u_{xx} = F''G$ , så $FG' = 3F''G$ . Del på $3FG$ :

$\frac{G'}{3G} = \frac{F''}{F}.$

Venstre side avhenger bare av $t$ , høyre bare av $x$ ; skal de være like for alle $x$ og $t$ , må begge være samme konstant, som vi kaller $-k$ :

$F'' + kF = 0, \qquad G' + 3kG = 0.$

Randbetingelsene: $u(0,t) = F(0)G(t) = 0$ for alle $t$ , og $G \not\equiv 0$ (ellers er $u$ triviell), altså $F(0) = 0$ . Tilsvarende $F(2) = 0$ .

Sensornotat: alle tre poengene her er mekaniske. Det som må stå, er (i) begge de to ODE-ene, (ii) fortegnskonvensjonen skrevet ut, og (iii) setningen om at randbetingelsene overføres til $F$ fordi $G$ ikke er identisk null. Den siste er ett poeng verdt, og den koster én linje.

b) De tre tilfellene. (7 poeng)

Tilfelle $k = 0$ . Da er $F'' = 0$ , altså $F = Ax + B$ .
$F(0) = 0$ gir $B = 0$ . $F(2) = 2A = 0$ gir $A = 0$ .
Bare $F \equiv 0$ — triviell løsning, forkastes.

Tilfelle $k < 0$ . Skriv $k = -\mu^2$ med $\mu > 0$ . Da er $F'' - \mu^2F = 0$ , altså

$F = A\cosh\mu x + B\sinh\mu x.$

$F(0) = 0$ : siden $\cosh 0 = 1$ og $\sinh 0 = 0$ , gir dette $A = 0$ .
$F(2) = B\sinh 2\mu = 0$ : men $2\mu > 0$ og $\sinh$ er strengt positiv for positive argumenter, så $B = 0$ .
Bare $F \equiv 0$ — triviell løsning, forkastes.

Tilfelle $k > 0$ . Skriv $k = p^2$ med $p > 0$ . Da er

$F = A\cos px + B\sin px.$

$F(0) = 0$ gir $A = 0$ , så $F = B\sin px$ .
$F(2) = B\sin 2p = 0$ med $B \ne 0$ krever

$\sin 2p = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2p = n\pi \quad\Longrightarrow\quad p_n = \frac{n\pi}{2}, \qquad n = 1,2,3,\dots$

Egenverdier og egenfunksjoner:

$k_n = \frac{n^2\pi^2}{4}, \qquad F_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{2}.$

Tidsfaktoren: $G' = -3k_nG$ gir

$G_n(t) = \exp\left(-\frac{3n^2\pi^2 t}{4}\right).$

Sensornotat: dette er delpunktet der karakterene skiller lag. De to «tomme» tilfellene er verdt omtrent to poeng til sammen, og de tar tre linjer hver. En besvarelse som bare skriver « $k$ må være positiv» og går videre til svaret, får de fire poengene for $k > 0$ -regningen og mister resten — selv om alt annet er riktig. Skriv dem ut. Legg også merke til at faktoren 3 hører hjemme i $G$ , ikke i $k_n$ ; å legge den inn i egenverdiene er en av de vanligste feilene her.

c) Match initialbetingelsen. (4 poeng)

Superposisjon:

$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\frac{n\pi x}{2}\exp\left(-\frac{3n^2\pi^2t}{4}\right).$

Sett $t = 0$ :

$\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\frac{n\pi x}{2} \;\overset{!}{=}\; 4\sin\frac{\pi x}{2} - \sin\frac{3\pi x}{2}.$

Høyresiden er allerede en endelig sum av egenfunksjonene — ingen integraler trengs. Sammenlikn ledd for ledd: $B_1 = 4$ , $B_3 = -1$ , alle andre null. Med $k_1 = \pi^2/4$ og $k_3 = 9\pi^2/4$ :

$\boxed{u(x,t) = 4\sin\frac{\pi x}{2}\,e^{-3\pi^2t/4} \;-\; \sin\frac{3\pi x}{2}\,e^{-27\pi^2t/4}.}$

Kontroll — likningen. For ett ledd $\sin(p x)e^{-3p^2t}$ er $u_t = -3p^2u$ og $3u_{xx} = -3p^2u$ . Like. Oppfylt for begge ledd, og dermed for summen.

Kontroll — randen. I $x = 0$ : $\sin 0 = 0$ i begge ledd. I $x = 2$ : $\sin\pi = 0$ og $\sin 3\pi = 0$ . Oppfylt.

Kontroll — initialbetingelsen. Sett $t = 0$ : begge eksponentialene blir 1, og vi får nøyaktig $\displaystyle 4\sin\frac{\pi x}{2} - \sin\frac{3\pi x}{2}$ . Oppfylt.

Sensornotat: å regne koeffisientintegralet $\displaystyle B_n = \int_0^2(\dots)\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx$ her gir samme svar, men koster fem til åtte minutter og gir ikke ett ekstra poeng. Tidsfella er reell: dette er den dyreste oppgaven på settet, og den tida du sparer her, trenger du på numerikk-blokken til slutt. Skriv én setning om at koeffisientene leses av direkte fordi initialdataene alt er en egenfunksjonssum.

d) Grensen. (2 poeng)

Begge eksponentialene går mot null når $t \to \infty$ , så

$u(x,t) \;\longrightarrow\; 0.$

Det er som forventet: begge ender holdes kalde, og stanga mister varme til isvannet.

Leddet med minst eksponent i tallverdi dør ut sist, altså $\displaystyle 4\sin\frac{\pi x}{2}e^{-3\pi^2t/4}$ . Forholdet mellom leddene er

$\frac{e^{-27\pi^2t/4}}{e^{-3\pi^2t/4}} = e^{-6\pi^2 t},$

som ved $t = 0{,}05$ allerede er $e^{-2{,}96} \approx 0{,}052$ , altså under seks prosent. Etter kort tid er profilen praktisk talt en ren halv sinusbue.

Sensornotat: to poeng for to setninger. Dette delpunktet er gratis når du har skrevet løsningen — men det er også det delpunktet flest lar stå tomt, fordi tida er brukt opp på b) og c). Det er nettopp derfor oppskriftens steg 8 sier at du skal lese av grensen med én gang du har svaret.

Bolk 1 — Grunnvarianten: kalde ender (~20 min)

Fire oppgaver på det som er standardformen. Klarer du disse på tjue minutter til sammen, har du eksamenstempoet.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjenkjenning.) For hvert randverdiproblem for $F$ på $[0,L]$ : si hvilke av tilfellene $k > 0$ , $k = 0$ , $k < 0$ som gir ikke-trivielle løsninger, og hva egenfunksjonene blir. Ikke regn.

a) $F(0) = F(L) = 0$
b) $F'(0) = F'(L) = 0$
c) $F(0) = 0$ , $F'(L) = 0$
d) $F'(0) = 0$ , $F(L) = 0$

📝Oppgave 2

Løs

$u_t = u_{xx}, \qquad 0 < x < 3, \qquad u(0,t) = u(3,t) = 0, \qquad u(x,0) = 2\sin\frac{\pi x}{3},$

og kontroller svaret ved innsetting i likningen og i begge randbetingelsene.

📝Oppgave 3

Løs

$u_t = u_{xx}, \qquad 0 < x < \pi, \qquad u(0,t) = u(\pi,t) = 0, \qquad u(x,0) = x.$

📝Oppgave 4

Løs

$u_t = u_{xx}, \qquad 0 < x < \pi, \qquad u_x(0,t) = u_x(\pi,t) = 0, \qquad u(x,0) = 2\sin^2 x,$

og angi likevektstemperaturen.

— naturlig pausepunkt —

Fire oppgaver på grunnvarianten er unnagjort. Tar du en pause her, start neste bolk med å skrive de tre $k$ -tilfellene fra hukommelsen.

Bolk 2 — De to variantene som gjør oppgaven dyrere (~24 min)

Blandet rand og ikke-homogene problemer. Begge er lette å kjenne igjen, og begge koster poeng hvis du behandler dem som grunnvarianten.

📝Oppgave 5

Finn egenverdiene, egenfunksjonene og produktløsningene for

$u_t = 3u_{xx}, \qquad 0 < x < 5, \qquad u(0,t) = 0, \qquad u_x(5,t) = 0,$

ved å behandle alle tre tilfellene.

📝Oppgave 6

Løs

$u_t = u_{xx}, \qquad 0 < x < 4, \qquad u(0,t) = 3, \qquad u(4,t) = 11, \qquad u(x,0) = 3 + 2x + 6\sin\frac{\pi x}{2},$

og angi grensen når $t \to \infty$ .

📝Oppgave 7

Løs

$u_t = 2u_{xx} + 4, \qquad 0 < x < 1, \qquad u(0,t) = u(1,t) = 0, \qquad u(x,0) = 0,$

og angi likevektstemperaturen i midtpunktet.

📝Oppgave 8

Løs

$u_t = u_{xx}, \qquad 0 < x < 2, \qquad u_x(0,t) = u_x(2,t) = 0, \qquad u(x,0) = 5 + 3\cos\frac{\pi x}{2},$

og bekreft grensen mot middelverdien av initialtemperaturen.

— naturlig pausepunkt —

Nå har du sett alle de fire randtypene og begge reduksjonene. Neste bolk går over til bølge- og Laplace-likningen, der romproblemet er det samme og bare $G$ -likningen er ny.

Bolk 3 — Andre likninger, samme romproblem (~24 min)

Bølgeligningen og Laplace-likningen bruker nøyaktig samme $F$ -analyse. Det er verdt å legge merke til, for det betyr at hele arbeidet fra bolk 1 og 2 kan gjenbrukes.

📝Oppgave 9

G og H

Løs

$u_{tt} = u_{xx}, \qquad 0 < x < \pi, \qquad u(0,t) = u(\pi,t) = 0, \qquad u(x,0) = 0, \qquad u_t(x,0) = \sin x.$

a) Utled de to ODE-ene og finn egenverdiene.
b) Finn løsningen.
c) Angi perioden, og forklar hvorfor løsningen ikke dør ut.

📝Oppgave 10

Betrakt

$u_{xx} + u_{yy} = 0 \quad\text{på}\quad 0 < x < 1,\; 0 < y < 2,$

med $u = 0$ på de tre sidene $x = 0$ , $x = 1$ og $y = 0$ , og $u(x,2) = \sin(\pi x)$ på den fjerde.

a) Separer og finn egenverdiene fra $x$ -retningen.
b) Løs $y$ -likningen, og bruk betingelsen i $y = 0$ .
c) Finn løsningen.

— naturlig pausepunkt —

Siste bolk er to fulle eksamensoppgaver med flere delpunkter. Ta dem på tid, med formelark ved siden av, og skriv fullstendig.

Bolk 4 — To fulle oppgaver på eksamensnivå (~24 min)

Nå på tid. Sett av tolv minutter til hver, skriv fullstendig med begrunnelser og metodenavn, og åpne fasiten først etterpå.

📝Oppgave 11

En stang på

0 \le x \le 1

har venstre ende i isvann og høyre ende isolert:

$u_t = 4u_{xx}, \qquad u(0,t) = 0, \qquad u_x(1,t) = 0, \qquad u(x,0) = 3\sin\frac{\pi x}{2}.$

a) Sett $u = F(x)G(t)$ og utled de to ODE-ene. (3 poeng)
b) Finn egenverdiene ved å behandle alle tre tilfellene. (5 poeng)
c) Bestem løsningen, og kontroller den ved innsetting i likningen og i begge randbetingelsene. (4 poeng)

📝Oppgave 12

Betrakt

$u_t = u_{xx}, \qquad -2 < x < 2, \qquad u(-2,t) = u(2,t) = 0.$

a) Forklar hvorfor egenverdiene bare avhenger av lengden på intervallet, og finn dem. (5 poeng)
b) Skriv opp egenfunksjonene. (3 poeng)
c) Bestem løsningen når $u(x,0) = 7\sin\!\left(\dfrac{\pi(x+2)}{2}\right)$ , og kontroller den. (4 poeng)

Typiske feil

Å hoppe over ett eller to av $k$ -tilfellene. Dette er fortsatt den dyreste enkeltfeilen i sjangeren, og den er ren poenggiverting: fasitene behandler alle tre hver gang, og du får uttelling for hvert — også for de som ender med «bare triviell løsning». Tre linjer per tilfelle.

Å bruke feil intervallengde. På $[-2,2]$ er lengden 4. På $[1,4]$ er den 3. Skriv $\ell = b - a$ på egen linje før du gjør noe annet, og bruk den i $k_n = (n\pi/\ell)^2$ .

Å lese av $n$ feil. Egenfunksjonene er $\sin(n\pi x/L)$ . Står det $\sin(\pi x/2)$ på et intervall med $L = 4$ , er det $n = 2$ , ikke $n = 1$ . Skriv alltid initialdataene på egenfunksjonsformen først.

Å putte $c^2$ inn i egenverdiene. Konstanten foran $u_{xx}$ hører hjemme i tidsfaktoren $e^{-c^2k_nt}$ , aldri i $k_n$ . Egenverdiene avhenger bare av intervallengden og randtypen.

Å superponere før problemet er gjort homogent. Er en randverdi ulik null, eller er det et kildeledd, skal du finne $w$ og sette $v = u - w$ først. Denne feilen ødelegger hele oppgaven, ikke bare ett delpunkt.

Å bruke sinus ved Neumann-rand. Isolerte ender gir cosinuser og et konstantledd. Konstantleddet er dessuten hele svaret på «hva skjer når $t \to \infty$ ».

Å regne et koeffisientintegral som kunne vært lest av. Sjekk alltid om initialdataene allerede er en egenfunksjonssum — og se etter en trigonometrisk identitet som avslører at de er det. Dette er den største tidsfella i den dyreste oppgaven på settet.

Å glemme faktoren $n$ når bølgeligningens $u_t(x,0)$ matches. Derivasjonen av $\cos(cn\pi t/L)$ og $\sin(cn\pi t/L)$ trekker ned en faktor $cn\pi/L$ . Skriv derivasjonen ut.

Tidsfella. Denne oppgaven er verdt 14–20 poeng og kan sluke førti minutter hvis du regner integraler du ikke trenger. Budsjetter tjue minutter, og gå videre til numerikk-blokken når de er brukt opp — der ligger det like mange poeng og de er raskere å hente.

Å la kontrollen ligge. To til tre minutter på å sette løsningen inn i likningen, i begge randbetingelsene og i initialbetingelsen fanger nesten alle feil, og gir ofte uttelling i seg selv fordi delpunktet ber om det eksplisitt.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.