5.P Prøver til del 5: Partielle differensiallikninger

- Prøve 5.A (45 min, 45 poeng): separasjon av variable — alle tre tilfellene for separasjonskonstanten, ved tre ulike randtyper.
- Prøve 5.B (40 min, 40 poeng): superposisjon, Fourier-matching og reduksjon av et ikke-homogent problem.
- Prøve 5.C (35 min, 35 poeng): d'Alemberts formel og variabelskiftet, med skisse.
- Prøve 5.D (45 min, 45 poeng): 4D-signaturen — verifiser og klassifiser en PDE, pluss et gradient-innslag.

Prøvene kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt. De bygger ikke på hverandre, og hver er kort nok til å passe på slutten av en leseøkt.

Om tempoet. Ett poeng per minutt er raskere enn eksamenstakten, som ligger rundt 24 minutter per oppgave på 10 poeng. Det er med vilje: her er hver oppgave rendyrket på én ferdighet, uten den lesetida en full eksamensoppgave krever. Minuttene per deloppgave står i oppgaveteksten og summerer seg til den deklarerte tida.

Hver prøve avsluttes med fire raske spørsmål med svaralternativer. De ligger nederst, teller ikke poeng, og er en treningsform — settene i dette emnet har aldri hatt en avkryssingsdel.

Slik bruker du prøvene: ta dem på tid, uten fasit og uten kapitlene oppslått. Du har lov til kalkulator, og du skal late som du har det utdelte formelarket foran deg — når du trenger en reduksjonsformel eller en trigonometrisk identitet, noter «fra formelarket» og bruk den. Skriv fullstendige svar med utregning og med navnet på metoden; det er en del av kravet om at alle svar skal begrunnes. Åpne løsningsforslaget først etterpå, og kryss av i selvdiagnosen.

Formelark-merking. Reduksjonsformlene for $\int x^n\sin ax\,dx$ og $\int x^n\cos ax\,dx$, de trigonometriske identitetene og sumformlene står på det utdelte formelarket — tren oppslaget. Alt annet i Del 5 — separasjonsoppskriften, de tre $k$-tilfellene, egenverdiene, superposisjonen, den stasjonære reduksjonen og d'Alemberts formel — må kunnes eller utledes aktivt.

Karakterrealisme. Får du de mekaniske delpunktene til å sitte — ansatsen, de to ODE-ene, egenverdiene ved kalde ender, riktig innsatt d'Alembert — ligger du an til en solid C, som er en god og vanlig karakter. Forskjellen opp mot A i denne delen ligger i tre ting: at alle tre $k$-tilfellene faktisk skrives ut, at riktig egenfunksjonsbasis velges ved Neumann- og blandet rand, og at den ferdige løsningen kontrolleres ved innsetting i både likningen og randbetingelsene.

Alle oppgavene er nyskrevne for denne boka.