5.3 Bølgeligningen og d'Alemberts formel

Bølgeligningen på $\mathbb{R}$: d'Alemberts formel for initialverdiproblemet og variabelskiftet som gjør bølgeligningen til $u_{yz}=0$.

60 min

13 oppgaver

Bølgeligningend'Alemberts formel

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Bølgeligningen står på 10 av 13 gjennomgåtte sett — 77 %. Sammen med verifikasjonsoppgaven i kap. 5.4 utgjør den det som er mest særegent for nettopp Matematikk 4D: fra 2018 er eksamen felles for to emner, og den ene oppgaven som har en egen 4D-variant, handler nesten alltid om bølger eller om å verifisere en PDE-løsning.

Oppgavene merkes med bokstaven H. Boka bruker bokstavene A til S som korte navn på de nitten oppgavetypene som går igjen på settene; H er bølge, d'Alembert og verifikasjon. Bokstaven forklares første gang den brukes i hvert kapittel.

To varianter går igjen. Den ene er ren bruk av d'Alemberts formel: du får en startposisjon og en starthastighet, og skal skrive ned løsningen. Den andre er variabelskiftet som gjør bølgeligningen om til $u_{yz} = 0$ og dermed forklarer hvorfor formelen ser ut som den gjør. Begge dekkes her, og begge er korte oppgaver — det er sjelden mer enn ti minutters arbeid, men de er dyre å bomme på fordi feilen forplanter seg til hele svaret.

Formelark-merking. Eksamen har hjelpemiddelkode C, med utdelt formelark og eget A5-ark. d'Alemberts formel står ikke alltid på det utdelte arket — regn med at den må kunnes og navngis, og skriv den på ditt eget A5-ark. Trigonometriske identiteter og reduksjonsformlene står på det utdelte formelarket, så tren oppslaget; dem får du bruk for når integralleddet skal regnes ut.

Tidsbruk: 60 minutter lesetid i fire løkker à omtrent et kvarter. Pausepunktet er markert etter løkke 2.

Forkunnskaper: kap. 5.1 — derfra trenger du separasjonsansatsen og de tre

k

-tilfellene, som brukes i siste løkke. De tre første løkkene kan leses uten.

Fra tidligere matematikkemner forutsettes: kjerneregelen for funksjoner av sammensatte argumenter, partiell derivasjon, og analysens fundamentalteorem (at $\displaystyle \frac{d}{db}\int_a^b g(s)\,ds = g(b)$ ). Trenger du å friske opp det siste, ligger det en oppgave om det i repetisjonsboksen nederst.

Kapitlet er forutsetning for kap. 5.4 og kap. 5.5.

Et rykk i et langt tau

Strekk et langt tau mellom to hender og gi det ett kjapt rykk oppover på midten. Det som skjer, er ikke at bulen blir stående og dø ut, slik varme gjør. Bulen deler seg i to, og de to halvdelene løper hver sin vei langs tauet med den samme farten, uten å forandre form.

Det er hele innholdet i d'Alemberts formel, og det er også hele forskjellen mellom bølge- og varmelikningen. Varmelikningen har én tidsderivert og glatter ut; bølgeligningen har to og transporterer.

Forskjellen ligger i én bokstav. Varme: $u_t = c^2u_{xx}$ . Bølge: $u_{tt} = c^2u_{xx}$ . Det ekstra tidsleddet gjør at systemet får treghet — det svinger i stedet for å legge seg til ro, og signalene beveger seg med en bestemt endelig fart $c$ i stedet for å merkes overalt med én gang.

Jean le Rond d'Alembert fant løsningen i 1747, og han fant den ikke ved å gjette et produkt, men ved å bytte koordinater slik at likningen ble triviell. Det grepet er verdt å kunne, både fordi det spørres om direkte og fordi det gjør formelen lett å huske: den er ikke et magisk uttrykk, den er to bølger som løper hver sin vei.

Kapitlet gjør fire ting: bytter koordinater og finner den generelle løsningen, bruker den til å utlede d'Alemberts formel, regner eksempler med både startposisjon og starthastighet, og setter til slutt inn to faste ender igjen for å få stående bølger.

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Definisjonsboksene er samtidig kortene i flashcard-bunken. Ved første gjennomlesing holder det å lese formelen og gå videre til eksempelet; tidsanslaget på 60 minutter gjelder kjernestoffet.

Løkke 1 — Koordinatskiftet som gjør likningen triviell (~16 min)

Vi begynner ikke med formelen, men med grepet som produserer den. Da blir formelen noe du kan gjenskape i stedet for å pugge.

Bølgeligningen

u_{tt} = c^2 u_{xx}.

Bølgefarten

c

x

Initialposisjonen

f(x)

u(x,0) = f(x).

Initialhastigheten

g(x)

u_t(x,0) = g(x).

Initialverdiproblemet på hele linja

u_{tt} = c^2u_{xx}, \qquad x \in \mathbb{R},\; t > 0, \qquad u(x,0) = f(x),\; u_t(x,0) = g(x).

Karakteristiske koordinater

y = x + ct, \qquad z = x - ct.

Normalformen

u_{yz} = 0

u_{tt} - c^2u_{xx} = -4c^2\,u_{yz} \quad\Longrightarrow\quad u_{tt} = c^2u_{xx} \;\Longleftrightarrow\; u_{yz} = 0.

Høyregående bølge

\psi(x - ct)

Venstregående bølge

\phi(x + ct)

✏️Koordinatskiftet og den generelle løsningen

Vis at substitusjonen $y = x + ct$ , $z = x - ct$ gjør bølgeligningen $u_{tt} = c^2u_{xx}$ om til $u_{yz} = 0$ , og integrer opp for å finne den generelle løsningen.

Steg 1 — kjerneregelen. Vi tenker på

u

som en funksjon av

y

z

, som igjen avhenger av

x

t

. Siden

y_x = z_x = 1

$u_x = u_y\,y_x + u_z\,z_x = u_y + u_z.$

Deriverer vi en gang til, med samme regel anvendt på hvert ledd:

$u_{xx} = \left(u_{yy} + u_{yz}\right) + \left(u_{zy} + u_{zz}\right) = u_{yy} + 2u_{yz} + u_{zz},$

der vi brukte at blandede partielle deriverte er like, $u_{yz} = u_{zy}$ .

Steg 2 — samme i $t$ . Nå er $y_t = c$ og $z_t = -c$ :

$u_t = c\,u_y - c\,u_z = c\left(u_y - u_z\right),$

$u_{tt} = c\left[c\left(u_{yy} - u_{yz}\right) - c\left(u_{zy} - u_{zz}\right)\right] = c^2\left(u_{yy} - 2u_{yz} + u_{zz}\right).$

Steg 3 — sett inn.

$u_{tt} - c^2u_{xx} = c^2\left(u_{yy} - 2u_{yz} + u_{zz}\right) - c^2\left(u_{yy} + 2u_{yz} + u_{zz}\right) = -4c^2\,u_{yz}.$

Siden $c \ne 0$ , er $u_{tt} = c^2u_{xx}$ ekvivalent med $u_{yz} = 0$ . Legg merke til at de to kompliserte leddene $u_{yy}$ og $u_{zz}$ kansellerer nøyaktig — det er hele grunnen til at akkurat dette koordinatvalget virker.

Steg 4 — integrer. Likningen $u_{yz} = 0$ sier at $\dfrac{\partial}{\partial y}\left(u_z\right) = 0$ , altså at $u_z$ ikke avhenger av $y$ :

$u_z = h(z)$

for en funksjon $h$ . Integrer med hensyn på $z$ , og husk at «integrasjonskonstanten» nå kan være en vilkårlig funksjon av $y$ :

$u = \int h(z)\,dz + \phi(y) = \psi(z) + \phi(y).$

Steg 5 — tilbake til $x$ og $t$ .

$u(x,t) = \phi(x + ct) + \psi(x - ct),$

der $\phi$ og $\psi$ er vilkårlige to ganger deriverbare funksjoner.

Kontroll ved innsetting. Med $\phi$ og $\psi$ vilkårlige:

$u_{tt} = c^2\phi''(x+ct) + c^2\psi''(x-ct), \qquad u_{xx} = \phi''(x+ct) + \psi''(x-ct).$

Altså $u_{tt} = c^2u_{xx}$ for alle valg av $\phi$ og $\psi$ . Oppfylt.

Tolkningen. Enhver løsning av bølgeligningen på hele linja er summen av én bølge som løper mot venstre og én som løper mot høyre, begge med fart $c$ og begge med uforandret form. Det er en påstand om fysikk, og den følger av tre linjers kjerneregel.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren avlesning.) Les av bølgefarten $c$ og skriv opp formen på den generelle løsningen.

a) $u_{tt} = 25u_{xx}$
b) $u_{tt} = u_{xx}$
c) $4u_{tt} = u_{xx}$

📝Oppgave 2

Vis ved direkte innsetting at $u(x,t) = \psi(x - 3t)$ oppfyller $u_{tt} = 9u_{xx}$ for enhver to ganger deriverbar funksjon $\psi$ . Beskriv deretter med ord hvordan grafen beveger seg.

Løkke 2 — d'Alemberts formel (~15 min)

Den generelle løsningen har to ukjente funksjoner. Initialbetingelsene gir to likninger. Løser vi dem, faller formelen ut — og den er verdt å utlede minst én gang, fordi utledningen forklarer hvor både halvparten og integralet kommer fra.

📜d'Alemberts formel

Setning. Løsningen av initialverdiproblemet

$u_{tt} = c^2u_{xx}, \qquad x \in \mathbb{R}, \qquad u(x,0) = f(x), \qquad u_t(x,0) = g(x)$

$u(x,t) = \tfrac12\Big(f(x+ct) + f(x-ct)\Big) + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)\,ds.$

Bevis. Fra løkke 1 vet vi at $u = \phi(x+ct) + \psi(x-ct)$ . Sett $t = 0$ :

$\phi(x) + \psi(x) = f(x). \tag{1}$

Deriver $u$ med hensyn på $t$ og sett $t = 0$ :

$u_t = c\phi'(x+ct) - c\psi'(x-ct) \quad\Longrightarrow\quad c\left(\phi'(x) - \psi'(x)\right) = g(x).$

Integrer fra et fast punkt $x_0$ til $x$ :

$\phi(x) - \psi(x) = \frac{1}{c}\int_{x_0}^{x} g(s)\,ds + K, \tag{2}$

der $K$ er en konstant. Legger vi $(1)$ og $(2)$ sammen og deler på 2:

$\phi(x) = \tfrac12 f(x) + \frac{1}{2c}\int_{x_0}^x g(s)\,ds + \tfrac{K}{2}.$

Trekker vi $(2)$ fra $(1)$ og deler på 2:

$\psi(x) = \tfrac12 f(x) - \frac{1}{2c}\int_{x_0}^x g(s)\,ds - \tfrac{K}{2}.$

Sett nå $x + ct$ inn i $\phi$ og $x - ct$ inn i $\psi$ , og legg sammen. Konstantene $K/2$ kansellerer, og de to integralene slås sammen til ett:

$\frac{1}{2c}\int_{x_0}^{x+ct} g - \frac{1}{2c}\int_{x_0}^{x-ct} g = \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g.$

Resultatet er formelen. Legg merke til at $x_0$ forsvant — svaret avhenger ikke av hvor vi begynte å integrere.

Kontroll. At formelen oppfyller likningen, følger av at den er på formen $\phi(x+ct) + \psi(x-ct)$ . At den treffer initialbetingelsene, sjekkes direkte: ved $t = 0$ blir første ledd $\tfrac12(f(x)+f(x)) = f(x)$ og integralet null. Og

$u_t = \tfrac{c}{2}\left(f'(x+ct) - f'(x-ct)\right) + \tfrac12\left(g(x+ct) + g(x-ct)\right)$

etter analysens fundamentalteorem, som i $t = 0$ gir $0 + \tfrac12(g(x)+g(x)) = g(x)$ . Begge oppfylt.

Formelen står ikke alltid på det utdelte formelarket — den må kunnes og navngis. Skriv «etter d'Alemberts formel» i besvarelsen; det er et av de metodenavnene fasitene alltid har med.

Midlingsleddet

\tfrac12\Big(f(x+ct) + f(x-ct)\Big).

Impulsleddet

\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)\,ds.

Karakteristikker

x + ct = \text{konstant}

Avhengighetsområdet

[x - ct,\; x + ct]

✏️En startpuls uten fart: pulsen deler seg i to

Løs

$u_{tt} = 4u_{xx}, \qquad x \in \mathbb{R}, \qquad u(x,0) = e^{-x^2}, \qquad u_t(x,0) = 0,$

og beskriv løsningen som to bølger.

Steg 1 — les av farten.

c^2 = 4

, så

c = 2

. (Ikke 4.)

Steg 2 — bruk d'Alemberts formel. Med $g \equiv 0$ faller integralleddet bort:

$u(x,t) = \tfrac12\Big(f(x + 2t) + f(x - 2t)\Big) = \tfrac12\left(e^{-(x+2t)^2} + e^{-(x-2t)^2}\right).$

Steg 3 — kontroll ved innsetting i likningen. Sett $A = e^{-(x+2t)^2}$ og $B = e^{-(x-2t)^2}$ . Begge er funksjoner av henholdsvis $x + 2t$ og $x - 2t$ , så etter løkke 1 oppfyller begge bølgeligningen med $c = 2$ , og dermed også halve summen. Skrevet ut for $B$ , med $s = x - 2t$ : $B = e^{-s^2}$ gir $B_t = -2\cdot(-2s)e^{-s^2}\cdot 1 = 4se^{-s^2}$ og $B_{tt} = 4\left(1 - 2s^2\right)e^{-s^2}\cdot(-2)\cdot(-1)$ ; enklere er å bruke at $B_{tt} = 4B_{ss}$ og $B_{xx} = B_{ss}$ , altså $B_{tt} = 4B_{xx}$ . Oppfylt.

Steg 4 — kontroll av initialbetingelsene. Ved $t = 0$ :

$u(x,0) = \tfrac12\left(e^{-x^2} + e^{-x^2}\right) = e^{-x^2}. \quad \text{Oppfylt.}$

$u_t = \tfrac12\left(-2(x+2t)\cdot 2\,e^{-(x+2t)^2} + (-2)(x-2t)\cdot(-2)\,e^{-(x-2t)^2}\right),$

som i $t = 0$ blir $\tfrac12\left(-4xe^{-x^2} + 4xe^{-x^2}\right) = 0$ . Oppfylt.

Beskrivelsen. Startpulsen har toppverdi 1 i $x = 0$ . Ved tiden $t$ har den delt seg i to identiske pulser med toppverdi $\tfrac12$ , den ene med topp i $x = -2t$ og den andre i $x = 2t$ . De løper fra hverandre med fart 2 hver vei, altså med en innbyrdes fart på 4, og hver av dem beholder formen sin nøyaktig.

Den setningen sensor ser etter: «etter d'Alemberts formel med $c = 2$ og $g \equiv 0$ blir løsningen halve startpulsen forskjøvet hver sin vei». Selve regningen er tre linjer; navnet på metoden og tolkningen er resten av poengene.

📝Oppgave 3

Løs

$u_{tt} = 9u_{xx}, \qquad u(x,0) = \cos x, \qquad u_t(x,0) = 0,$

og skriv svaret som ett produkt ved hjelp av en identitet fra det utdelte formelarket.

📝Oppgave 4

Løs

$u_{tt} = u_{xx}, \qquad u(x,0) = 0, \qquad u_t(x,0) = x^2,$

og kontroller svaret ved innsetting.

— naturlig pausepunkt —

Du har nå formelen og utledningen. Det er nok til å løse den vanligste H-oppgaven. Tar du en pause her, skriv først ned d'Alemberts formel fra hukommelsen — særlig faktoren $\tfrac1{2c}$ og grensene $x \pm ct$ .

Løkke 3 — Når begge initialdataene er med (~14 min)

De to leddene i formelen er uavhengige, så en oppgave med både startform og starthastighet er bare de to foregående oppgavene lagt sammen. Men den er dyrere å bomme på, fordi et fortegn i integralleddet ødelegger alt.

✏️Bare fart, ingen startform

Løs

$u_{tt} = c^2u_{xx}, \qquad u(x,0) = 0, \qquad u_t(x,0) = \frac{1}{1+x^2},$

for en generell bølgefart $c > 0$ .

d'Alemberts formel med

f \equiv 0

$u(x,t) = \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\frac{ds}{1+s^2}.$

Den antideriverte til $1/(1+s^2)$ er $\arctan s$ , så

$u(x,t) = \frac{1}{2c}\Big[\arctan s\Big]_{x-ct}^{x+ct} = \frac{1}{2c}\Big(\arctan(x+ct) - \arctan(x - ct)\Big).$

Kontroll — initialbetingelsene. Ved $t = 0$ er de to argumentene like, så differansen er null: $u(x,0) = 0$ . Oppfylt.

For $u_t$ bruker vi analysens fundamentalteorem på hver grense:

$u_t = \frac{1}{2c}\left(\frac{c}{1+(x+ct)^2} + \frac{c}{1+(x-ct)^2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+(x+ct)^2} + \frac{1}{1+(x-ct)^2}\right),$

som i $t = 0$ gir $\displaystyle \tfrac12\left(\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2}$ . Oppfylt.

Kontroll — likningen. Uttrykket er en funksjon av $x + ct$ pluss en funksjon av $x - ct$ (den siste med minustegn), altså på formen $\phi(x+ct) + \psi(x-ct)$ . Etter løkke 1 oppfyller enhver slik funksjon bølgeligningen. Oppfylt.

Legg merke til grensen. Når $t \to \infty$ går $\arctan(x + ct) \to \pi/2$ og $\arctan(x - ct) \to -\pi/2$ , så

$u(x,t) \;\longrightarrow\; \frac{1}{2c}\cdot\pi = \frac{\pi}{2c}.$

Hele tauet ender opp løftet til en fast høyde. Det er riktig: vi ga det en oppadrettet fart overalt og ingen kraft som trekker det tilbake.

✏️Eksamensnivå: både startform og starthastighet

Eksamensoppgave. Betrakt

$u_{tt} = 9u_{xx}, \qquad x \in \mathbb{R}, \qquad u(x,0) = \sin x, \qquad u_t(x,0) = \cos x.$

a) Skriv opp d'Alemberts formel og les av bølgefarten.
b) Regn ut løsningen og forenkle den så langt som mulig.
c) Kontroller at svaret oppfyller både differensiallikningen og begge initialbetingelsene.

a) Formelen og farten. Etter d'Alemberts formel er

$u(x,t) = \tfrac12\Big(f(x+ct) + f(x-ct)\Big) + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.$

Her er $c^2 = 9$ , altså $c = 3$ , og $f(x) = \sin x$ , $g(x) = \cos x$ .

b) Regningen.

Midlingsleddet. Fra sumformlene på det utdelte formelarket: $\displaystyle \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ . Med $A = x+3t$ , $B = x-3t$ :

$\tfrac12\Big(\sin(x+3t) + \sin(x-3t)\Big) = \tfrac12\cdot 2\sin x\cos 3t = \sin x\cos 3t.$

Impulsleddet.

$\frac{1}{6}\int_{x-3t}^{x+3t}\cos s\,ds = \frac{1}{6}\Big[\sin s\Big]_{x-3t}^{x+3t} = \frac{\sin(x+3t) - \sin(x-3t)}{6}.$

Fra differanseformelen på arket: $\displaystyle \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ , altså

$\frac{2\cos x\sin 3t}{6} = \frac{\cos x\sin 3t}{3}.$

Til sammen:

$\boxed{u(x,t) = \sin x\,\cos 3t + \tfrac13\cos x\,\sin 3t.}$

c) Kontrollen.

Differensiallikningen.

$u_t = -3\sin x\sin 3t + \cos x\cos 3t, \qquad u_{tt} = -9\sin x\cos 3t - 3\cos x\sin 3t.$

$u_x = \cos x\cos 3t - \tfrac13\sin x\sin 3t, \qquad u_{xx} = -\sin x\cos 3t - \tfrac13\cos x\sin 3t.$

$9u_{xx} = -9\sin x\cos 3t - 3\cos x\sin 3t = u_{tt}. \quad\text{Oppfylt.}$

Initialposisjonen. $u(x,0) = \sin x\cdot 1 + \tfrac13\cos x\cdot 0 = \sin x$ . Oppfylt.

Initialhastigheten. $u_t(x,0) = -3\sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos x$ . Oppfylt.

Hva som gir uttelling. Delpunkt a) er gratis hvis formelen sitter — men den må skrives riktig, med $\tfrac1{2c}$ og $x \pm ct$ . Delpunkt b) er der forenklingene ligger: du får full uttelling for det uforenklede uttrykket, men sumformlene fra arket gjør svaret mye penere og gjør kontrollen i c) langt raskere. Og delpunkt c) er poeng nesten ingen tar seg tid til, selv om det er ren mekanikk og avslører enhver fortegnsfeil du måtte ha gjort.

Kontroll av rimeligheten: faktoren $\tfrac13$ foran det andre leddet er $1/c$ , akkurat som formelen krever. Får du 1 eller 3 der, har du sannsynligvis mistet eller doblet en $c$ .

📝Oppgave 5

Løs

$u_{tt} = 4u_{xx}, \qquad u(x,0) = \sin x, \qquad u_t(x,0) = 2\cos x,$

forenkle svaret, og kommenter hva slags bølge du får.

Løkke 4 — To faste ender gir stående bølger (~15 min)

Sett to faste ender på tauet — en gitarstreng — og d'Alemberts formel er ikke lenger nok alene: bølgene reflekteres. Da er vi tilbake i separasjon av variable, med nøyaktig det samme romproblemet som i kap. 5.1 og en ny tidsfaktor.

Stående bølge

u(x,t) = F(x)\,G(t),

Tidsfaktoren for bølgeligningen

u = FG

Moden

n

og dens frekvens

n

Grunntonen og overtonene

n = 1

Refleksjon i en fast ende

2L

📝Oppgave 6

Gjennomfør variabelskiftet selv, for generell $c > 0$ .

a) Sett $y = x + ct$ og $z = x - ct$ , og vis ved kjerneregelen at $u_{xx} = u_{yy} + 2u_{yz} + u_{zz}$ og $u_{tt} = c^2\left(u_{yy} - 2u_{yz} + u_{zz}\right)$ .
b) Konkluder at bølgeligningen er ekvivalent med $u_{yz} = 0$ .
c) Integrer opp og skriv den generelle løsningen.

📝Oppgave 7

En streng er festet i begge ender:

$u_{tt} = 4u_{xx}, \qquad 0 < x < \pi, \qquad u(0,t) = u(\pi,t) = 0, \qquad u(x,0) = 3\sin 2x, \qquad u_t(x,0) = 0.$

a) Finn løsningen ved separasjon av variable.
b) Angi perioden til svingningen, og skriv løsningen som to motgående vandrebølger.

📝Oppgave 8

En streng på hele tallinja ligger i ro, men får en starthastighet $g$ som er null utenfor intervallet $[-1,1]$ . Bølgefarten er $c = 3$ .

a) Hvilket område på $x$ -aksen kan være i bevegelse ved tiden $t = 2$ ?
b) Hva er $u(10, 2)$ ? Begrunn uten å regne.
c) Fra hvilket tidspunkt kan punktet $x = 10$ tidligst merke noe?

Typiske feil

Å bruke $x \pm t$ i stedet for $x \pm ct$ . Dette er den vanligste feilen i hele sjanger H, og den ødelegger både argumentene i midlingsleddet og grensene i integralet. Skriv ned

c

på egen linje aller først: «

c^2 = 16

, altså

c = 4

».

Å forveksle $c$ med $c^2$ . Står det $u_{tt} = 9u_{xx}$ , er farten 3, ikke 9. Og står det et tall foran $u_{tt}$ , må du dele først.

Å glemme faktoren $\tfrac{1}{2c}$ foran integralet. Ikke $\tfrac12$ , ikke $\tfrac1c$ , men $\tfrac1{2c}$ . En rask kontroll: sett $g =$ konstant og se om $u_t(x,0)$ blir riktig — med feil faktor blir den det ikke.

Å bytte om integrasjonsgrensene. Nedre grense er $x - ct$ , øvre er $x + ct$ . Bytter du, får du feil fortegn på hele impulsleddet.

Å glemme halveringen i midlingsleddet. En startpuls med toppverdi 1 gir to pulser med toppverdi $\tfrac12$ . Beholder svaret ditt full høyde i begge, har du mistet faktoren.

Å blande $u_t$ og $u_{tt}$ . Varmelikningen har én tidsderivert og trenger én initialbetingelse; bølgeligningen har to og trenger to. Får du oppgitt både $u(x,0)$ og $u_t(x,0)$ , er det en bølgeligning — sjekk at du leser riktig likning.

Å bruke d'Alemberts formel på et endelig intervall uten videre. Formelen er utledet for hele tallinja. Har du to faste ender, skal du separere variable, ikke sette inn i formelen. (Det finnes en refleksjonsvariant, men den er ikke den forventede metoden her.)

Å ikke navngi formelen. Skriv «etter d'Alemberts formel». Løsningsforslagene gjør det, instruksen på settet krever begrunnelse, og det koster fire ord.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.