Læringsmål

Oversikt over læringsmål dekket i MAT1120 Lineær algebra

Kilde: Læringsmålene er utformet av Skolesaga på grunnlag av emnets eksamensoppgaver, sensorveiledninger og emnebeskrivelse. De er ikke institusjonens offisielle læringsutbyttebeskrivelser.

157 kompetansemål40 av 40 kapitler har kompetansemål

Alle kompetansemål

•gjøre rede for hvordan MAT1120 vurderes: en 4-timers skriftlig skoleeksamen med ti likt vektede deloppgaver og et vedlegg som gjør den tyngste regningen
0.1Eksamenskartet: 10 deloppgaver à 10 p, vedlegget og fem faste søyler
•prioritere lesingen etter de fem temaene som treffer så godt som hvert eneste eksamenssett
0.1Eksamenskartet: 10 deloppgaver à 10 p, vedlegget og fem faste søyler
•planlegge en eksamensoppgave slik at samme matrise eller underrom gjenbrukes mellom deloppgaver
0.1Eksamenskartet: 10 deloppgaver à 10 p, vedlegget og fem faste søyler
•kjenne igjen sensorens faste krav om at alle svar skal begrunnes og oppgis eksakt
0.1Eksamenskartet: 10 deloppgaver à 10 p, vedlegget og fem faste søyler
•lese pivotposisjoner, pivotkolonner og frie variabler ut av en RREF fra vedlegget i stedet for å radredusere for hånd
1.1Vedleggslesning: RREF, pivoter og avhengighetsrelasjoner
•lese avhengighetsrelasjoner direkte av RREF og forklare hvorfor de også gjelder i den opprinnelige matrisen A
1.1Vedleggslesning: RREF, pivoter og avhengighetsrelasjoner
•bruke begrepene lineærkombinasjon, span, lineær uavhengighet og underrom trygt i R^n
1.1Vedleggslesning: RREF, pivoter og avhengighetsrelasjoner
•finne en basis for Col A som de opprinnelige pivotkolonnene i A (ikke de reduserte i RREF)
1.2Col A, Nul A, rang og dimensjonsteoremet
•finne en basis for Nul A som spesielle løsninger, én per fri variabel
1.2Col A, Nul A, rang og dimensjonsteoremet
•bestemme rang A og kontrollere med dimensjonsteoremet rang A + dim Nul A = antall søyler
1.2Col A, Nul A, rang og dimensjonsteoremet
•avgjøre om b ligger i Col A ut fra vedlegget
1.2Col A, Nul A, rang og dimensjonsteoremet
•finne en basis for Row A som de ikke-null-radene i RREF og forklare hvorfor radrommet bevares av radreduksjon mens kolonnerommet ikke gjør det
1.3Row A, lineærkombinasjoner og konstruksjonsvarianter
•skrive ikke-pivotkolonnene i A eksplisitt som lineærkombinasjoner av Col A-basisen
1.3Row A, lineærkombinasjoner og konstruksjonsvarianter
•konstruere en matrise B med AB = O og gitt rang ved å plassere Nul A-vektorer som kolonner
1.3Row A, lineærkombinasjoner og konstruksjonsvarianter
•bestemme koordinatvektoren [v]_B relativt en ordnet basis i R^n
1.3Row A, lineærkombinasjoner og konstruksjonsvarianter
•kjøre løsningsoppskriften for sjanger A: sitere vedlegget og lese Col/Nul/Row-basis, rang og lineærkombinasjoner riktig
1.4Drill: oppgave 1-kjeden — Col/Nul/basis/rang fra vedlegg
•avgjøre om b ligger i Col A og konstruere en matrise B med AB = O fra nullrommet
1.4Drill: oppgave 1-kjeden — Col/Nul/basis/rang fra vedlegg
•kontrollere svar med dimensjonsteoremet og føre en A-besvarelse med verbal konklusjon og eksakte svar
1.4Drill: oppgave 1-kjeden — Col/Nul/basis/rang fra vedlegg
•kunne lese pivotkolonner, frie variabler og avhengighetsrelasjoner rett av et vedlegg (RREF)
1.PPrøver til del 1: Fundamentale underrom fra RREF
•kunne finne basis for Col A (fra original), Nul A og Row A, oppgi rang og kontrollere med dimensjonsteoremet
1.PPrøver til del 1: Fundamentale underrom fra RREF
•kunne skrive kolonner som lineærkombinasjoner, konstruere B med AB = O og avgjøre om b ligger i Col A
1.PPrøver til del 1: Fundamentale underrom fra RREF
•kunne føre en fullstendig oppgave 1-besvarelse med vedleggssitering og eksakte svar
1.PPrøver til del 1: Fundamentale underrom fra RREF
•avgjøre om en delmengde er et underrom ved å sjekke de tre betingelsene (0 i W, lukket under addisjon og skalarmultiplikasjon)
2.1Abstrakte vektorrom og underrom: Pₙ og funksjonsrom
•behandle polynomrommet Pₙ som vektorrom med standardbasis {1,t,...,tⁿ} og dimensjon n+1
2.1Abstrakte vektorrom og underrom: Pₙ og funksjonsrom
•kjenne igjen funksjonsrom som endelig-dimensjonale underrom av C(ℝ) og avgjøre om en funksjon ligger i et gitt span
2.1Abstrakte vektorrom og underrom: Pₙ og funksjonsrom
•skille lineære homogene betingelser (gir underrom) fra inhomogene betingelser og ulikheter (gjør det ikke)
2.1Abstrakte vektorrom og underrom: Pₙ og funksjonsrom
•avgjøre lineær uavhengighet av polynomer ved koeffisientsammenligning og av funksjoner ved evaluering eller Wronski-determinanten
2.2Basis, dimensjon og lineær uavhengighet i abstrakte rom
•bevise at en mengde er en basis ved uavhengighet kombinert med dimensjonsargumentet
2.2Basis, dimensjon og lineær uavhengighet i abstrakte rom
•bruke at k uavhengige vektorer i et k-dimensjonalt rom automatisk er en basis
2.2Basis, dimensjon og lineær uavhengighet i abstrakte rom
•koble abstrakt uavhengighet til uavhengighet av koordinatvektorer i ℝⁿ
2.2Basis, dimensjon og lineær uavhengighet i abstrakte rom
•finne koordinatvektoren [x]_B til et polynom eller en funksjon relativt en ordnet basis, også ikke-standard basiser
2.3Koordinater [x]_B og koordinatavbildningen
•forklare koordinatavbildningen som en isomorfi V→ℝⁿ og hva det betyr
2.3Koordinater [x]_B og koordinatavbildningen
•bruke at isomorfien bevarer uavhengighet, span og dimensjon til å avgjøre abstrakte spørsmål med matriseregning i ℝⁿ
2.3Koordinater [x]_B og koordinatavbildningen
•oversette et koordinatsvar tilbake til et polynom eller en funksjon i det abstrakte rommet
2.3Koordinater [x]_B og koordinatavbildningen
•bygge overgangsmatrisen P_{C←B} ved å uttrykke B-vektorene i C-koordinater som kolonner
2.4Basisskifte og overgangsmatrisen P_{C←B}
•bruke og forklare retningen «C fra B»: matrisen tar B-koordinater inn og gir C-koordinater ut
2.4Basisskifte og overgangsmatrisen P_{C←B}
•finne inversen P_{B←C} = (P_{C←B})⁻¹ og bruke den til å oversette motsatt vei
2.4Basisskifte og overgangsmatrisen P_{C←B}
•kontrollere retningen på overgangsmatrisen med et konkret talleksempel
2.4Basisskifte og overgangsmatrisen P_{C←B}
•sjekke om en avbildning er lineær og bygge matriserepresentasjonen [T]_B kolonne for kolonne (kolonne j = [T(b_j)]_B)
2.5Lineære avbildninger og matriserepresentasjonen [T]_B
•bruke sammenhengen [T(x)]_B = [T]_B [x]_B til å regne på abstrakte rom i koordinater
2.5Lineære avbildninger og matriserepresentasjonen [T]_B
•finne [T]_B for derivasjonsoperatoren T(f)=f′ og for differensialoperatorer S som polynom i T
2.5Lineære avbildninger og matriserepresentasjonen [T]_B
•forklare hvorfor [T]_B-kolonnene må uttrykkes i B-koordinater før de settes inn
2.5Lineære avbildninger og matriserepresentasjonen [T]_B
•bytte basis for en operatormatrise med [T]_C = P_{C←B}[T]_B P_{B←C} i riktig rekkefølge og retning
2.6Basisskifte for [T]_B, isomorfi og kjerne oversatt til funksjoner
•avgjøre om en lineær avbildning er en isomorfi ved å sjekke om [T]_B er invertibel
2.6Basisskifte for [T]_B, isomorfi og kjerne oversatt til funksjoner
•finne ker T som Nul[T]_B og oversette basisen tilbake til polynomer/funksjoner
2.6Basisskifte for [T]_B, isomorfi og kjerne oversatt til funksjoner
•forklare at egenverdiene til en operator er basisuavhengige
2.6Basisskifte for [T]_B, isomorfi og kjerne oversatt til funksjoner
•føre en komplett signaturoppgave: underrom → basis → koordinater → overgangsmatrise → [T]_B → ker T
2.7Drill: signaturoppgaven — abstrakt vektorrom + [T]_B
•velge riktig verktøy for hvert delpunkt og gjenbruke samme rom gjennom en hel oppgave
2.7Drill: signaturoppgaven — abstrakt vektorrom + [T]_B
•oversette kjerne og egenvektorer tilbake til polynomer/funksjoner
2.7Drill: signaturoppgaven — abstrakt vektorrom + [T]_B
•unngå fellekatalogen fra kap. 2.1–2.6 under tidspress
2.7Drill: signaturoppgaven — abstrakt vektorrom + [T]_B
•kunne vise underrom via de tre betingelsene og at en mengde er en basis (uavhengighet + dimensjonsargument)
2.PPrøver til del 2: Abstrakte vektorrom, koordinater og [T]_B
•kunne regne koordinater og bygge overgangsmatrisen P_{C←B} i begge retninger
2.PPrøver til del 2: Abstrakte vektorrom, koordinater og [T]_B
•kunne bygge [T]_B for en derivasjons-/differensialoperator, avgjøre isomorfi og finne ker T oversatt til funksjoner
2.PPrøver til del 2: Abstrakte vektorrom, koordinater og [T]_B
•kunne føre en fullstendig signaturoppgave i et funksjonsrom fra ende til annen
2.PPrøver til del 2: Abstrakte vektorrom, koordinater og [T]_B
•verifisere en oppgitt egenvektor ved innsetting Av=λv og lese egenverdier av vedlegget (poly/eig)
3.1Egenverdier, egenvektorer og egenrom
•finne egenrommet E_λ = Nul(A−λI) som spesielle løsninger fra RREF
3.1Egenverdier, egenvektorer og egenrom
•skille algebraisk fra geometrisk multiplisitet og bruke ulikheten geo ≤ alg
3.1Egenverdier, egenvektorer og egenrom
•kontrollere egenverdier med spor A = Σλ og det A = Πλ
3.1Egenverdier, egenvektorer og egenrom
•skrive A=PDP⁻¹ og bygge P og D matchet søyle for søyle
3.2Diagonalisering A=PDP⁻¹ og multiplisitetskriteriet
•begrunne diagonaliserbarhet med multiplisitetskriteriet (geo=alg) eller en navngitt snarvei
3.2Diagonalisering A=PDP⁻¹ og multiplisitetskriteriet
•vise at en matrise ikke er diagonaliserbar ved at et egenrom er for lite (geo<alg)
3.2Diagonalisering A=PDP⁻¹ og multiplisitetskriteriet
•avgjøre for hvilke parameterverdier en matrise A(α) er diagonaliserbar
3.2Diagonalisering A=PDP⁻¹ og multiplisitetskriteriet
•regne Aᵏ=PDᵏP⁻¹ via diagonalisering i stedet for gjentatt multiplikasjon
3.3Aᵏ og polynom i A
•bruke q(A)v=q(λ)v: finne egenverdiene q(λ) til q(A) og diagonalisere med samme P
3.3Aᵏ og polynom i A
•avgjøre om q(A) er invertibel ved å sjekke at ingen q(λ)=0
3.3Aᵏ og polynom i A
•kjenne Cayley–Hamilton (p(A)=O) og bruke den til å redusere potenser
3.3Aᵏ og polynom i A
•kjøre løsningsoppskriften for sjanger D+E: innsetting, vedleggslesing, egenrom, diagonaliserbarhet
3.4Drill: egenverdi- og diagonaliseringskjeden
•begrunne diagonaliserbarhet med snarvei eller multiplisitet og bygge P/D matchet søyle for søyle
3.4Drill: egenverdi- og diagonaliseringskjeden
•vise at en matrise ikke er diagonaliserbar (geo<alg) og håndtere parametertilfeller
3.4Drill: egenverdi- og diagonaliseringskjeden
•regne Aᵏ=PDᵏP⁻¹ og q(A)=Pq(D)P⁻¹ med samme P og avgjøre invertibilitet
3.4Drill: egenverdi- og diagonaliseringskjeden
•kunne verifisere en oppgitt egenvektor ved innsetting og lese egenverdier og egenrom av et vedlegg (poly/eig/RREF)
3.PPrøver til del 3: Egenverdier og diagonalisering
•kunne avgjøre og begrunne diagonaliserbarhet med multiplisitet (geo=alg) eller en navngitt snarvei, og vise ikke-diagonaliserbarhet ved geo<alg
3.PPrøver til del 3: Egenverdier og diagonalisering
•kunne bygge P og D matchet søyle for søyle og regne Aᵏ=PDᵏP⁻¹ og q(A)=Pq(D)P⁻¹ med samme P
3.PPrøver til del 3: Egenverdier og diagonalisering
•kunne føre en fullstendig oppgave 2-besvarelse med vedleggssitering og eksakte svar
3.PPrøver til del 3: Egenverdier og diagonalisering
•kjenne de fire aksiomene for et indreprodukt og definere norm, avstand og ortogonalitet ut fra det oppgitte indreproduktet
4.1Indreprodukt: standard, vektet, integral og evaluering
•regne med de fire eksamenstypene — standard, vektet, integral og evaluering — og se at norm og ortogonalitet skifter med indreproduktet
4.1Indreprodukt: standard, vektet, integral og evaluering
•avgjøre ortogonalitet og bestemme ukjente slik at to vektorer blir ortogonale i et gitt indreprodukt
4.1Indreprodukt: standard, vektet, integral og evaluering
•kjenne igjen og navngi Cauchy–Schwarz og trekantulikheten
4.1Indreprodukt: standard, vektet, integral og evaluering
•avgjøre om en mengde er ortogonal og regne koordinater (Fourier-koeffisienter) i en ortogonal basis
4.2Ortogonale mengder og Gram–Schmidt
•utføre Gram–Schmidt-prosessen i standardprikkproduktet med heltalls-oppskalering og normalisere til en ortonormal basis
4.2Ortogonale mengder og Gram–Schmidt
•utføre Gram–Schmidt i et ikke-standard indreprodukt (vektet, integral, evaluering) med riktig norm
4.2Ortogonale mengder og Gram–Schmidt
•unngå å bruke de opprinnelige a-vektorene eller feil norm i senere steg av prosessen
4.2Ortogonale mengder og Gram–Schmidt
•identifisere hvilket indreprodukt en oppgave gir, og bruke det konsekvent gjennom hele Gram–Schmidt
4.3Drill: Gram–Schmidt i standard og ikke-standard indreprodukt
•utføre Gram–Schmidt med heltalls-oppskalering i standard, vektet, integral- og evalueringsindreprodukt
4.3Drill: Gram–Schmidt i standard og ikke-standard indreprodukt
•normalisere til ortonormal basis med den oppgitte normen, ikke standardnormen
4.3Drill: Gram–Schmidt i standard og ikke-standard indreprodukt
•verifisere ortogonaliteten til slutt og gjenkjenne standard-prikkprodukt-fellen under tidspress
4.3Drill: Gram–Schmidt i standard og ikke-standard indreprodukt
•kunne regne skalarprodukt, norm, avstand og ortogonalitet i standard, vektet, integral- og evalueringsindreprodukt, og bestemme ukjente slik at to vektorer blir ortogonale
4.PPrøver til del 4: Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt
•kunne utføre Gram–Schmidt i R^n med heltalls-oppskalering, normalisere til ortonormal basis og bruke Fourier-koeffisienter
4.PPrøver til del 4: Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt
•kunne utføre Gram–Schmidt i ikke-standard indreprodukt (integral og evaluering) og normalisere med den oppgitte normen
4.PPrøver til del 4: Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt
•kunne føre en fullstendig sjanger B-besvarelse der alle skalarprodukt og normer regnes i det oppgitte indreproduktet, med eksakte svar
4.PPrøver til del 4: Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt
•finne ortogonalkomplementet W⊥ og bruke identiteten (Col A)⊥ = Nul(Aᵀ)
5.1Ortogonal projeksjon, dekomposisjon, W⊥ og avstand
•regne ortogonal projeksjon proj_W y med en ortogonal basis (Gram–Schmidt først om nødvendig) og skrive dekomposisjonen y = ŷ + z
5.1Ortogonal projeksjon, dekomposisjon, W⊥ og avstand
•finne avstanden fra en vektor til et underrom som ‖y − ŷ‖ = ‖z‖, også i ikke-standard indreprodukt
5.1Ortogonal projeksjon, dekomposisjon, W⊥ og avstand
•unngå projeksjon uten ortogonal basis og feilberegning av avstand som ‖ŷ‖
5.1Ortogonal projeksjon, dekomposisjon, W⊥ og avstand
•sette opp og løse normallikningene CᵀCx̂=Cᵀb ved å lese den lille RREF-en fra vedlegget
5.2Minste kvadrater: normallikninger, projeksjonssnarvei og affin løsning
•bruke koblingen proj_W b = Cx̂ og projeksjonssnarveien som alternativ vei
5.2Minste kvadrater: normallikninger, projeksjonssnarvei og affin løsning
•avgjøre om løsningen er entydig (full kolonnerang) eller affin (rangdefekt = partikulær + Nul C)
5.2Minste kvadrater: normallikninger, projeksjonssnarvei og affin løsning
•tilpasse en rett linje til data ved minste kvadrater og finne avstanden til kolonnerommet
5.2Minste kvadrater: normallikninger, projeksjonssnarvei og affin løsning
•kjede ortogonal basis, projeksjon, minste kvadrater, avstand og W⊥ på samme matrise med korrekt vedleggssitering
5.3Drill: projeksjon og minste kvadrater kjedet
•velge mellom normallikninger og projeksjonssnarvei og bruke koblingen proj_W b = Cx̂
5.3Drill: projeksjon og minste kvadrater kjedet
•skille entydig løsning (full kolonnerang) fra affin løsning (rangdefekt) og gjenkjenne det oppgitte indreproduktet
5.3Drill: projeksjon og minste kvadrater kjedet
•unngå hele fellekatalogen fra 5.1–5.2 under tidspress
5.3Drill: projeksjon og minste kvadrater kjedet
•kunne skaffe en ortogonal basis (Gram–Schmidt), projisere, skrive dekomposisjonen y=ŷ+z, regne avstand ‖z‖ og finne en basis for W⊥
5.PPrøver til del 5: Ortogonal projeksjon og minste kvadrater
•kunne sette opp normallikningene CᵀCx̂=Cᵀb, lese løsningen fra vedlegget og bruke koblingen proj_W b=Cx̂
5.PPrøver til del 5: Ortogonal projeksjon og minste kvadrater
•kunne avgjøre entydig vs. affin løsning ved rangdefekt (partikulær + Nul C) og bruke projeksjonssnarveien
5.PPrøver til del 5: Ortogonal projeksjon og minste kvadrater
•kunne føre en fullstendig oppgave 1-hale-besvarelse kjedet på én matrise med vedleggssitering og eksakte svar
5.PPrøver til del 5: Ortogonal projeksjon og minste kvadrater
•begrunne med spektralteoremet at en symmetrisk matrise er ortogonalt diagonaliserbar A=PDPᵀ
6.1Symmetriske matriser og spektralteoremet: ortogonal diagonalisering A=PDPᵀ
•bygge en ortogonal P (PᵀP=I) ved å normalisere egenvektorene og kjøre Gram–Schmidt innen et egenrom med multiplisitet
6.1Symmetriske matriser og spektralteoremet: ortogonal diagonalisering A=PDPᵀ
•skrive den spektrale dekomposisjonen A=Σλᵢuᵢuᵢᵀ og bruke at ortogonale matriser er normbevarende
6.1Symmetriske matriser og spektralteoremet: ortogonal diagonalisering A=PDPᵀ
•skille A=PDPᵀ (ortogonal, symmetrisk A) fra den generelle A=PDP⁻¹
6.1Symmetriske matriser og spektralteoremet: ortogonal diagonalisering A=PDPᵀ
•skrive en kvadratisk form Q(x)=xᵀAx med symmetrisk A og dele kryssleddet på 2
6.2Kvadratiske former: symmetrisering og definitthet
•klassifisere definitthet (positiv/negativ definit, indefinit, semidefinit) ut fra egenverditegnene
6.2Kvadratiske former: symmetrisering og definitthet
•bevise at en positiv definit matrise er invertibel og har positiv definit invers via spektral dekomposisjon
6.2Kvadratiske former: symmetrisering og definitthet
•bruke ulikheten λmin‖x‖² ≤ xᵀAx ≤ λmax‖x‖² for en symmetrisk matrise
6.2Kvadratiske former: symmetrisering og definitthet
•bruke Rayleigh (Teorem 6/7 §7.3) til å finne max og min av xᵀAx på enhetssfæren og hvor de nås
6.3Rayleigh-maksimering og kjeglesnitt
•fjerne kryssleddet i en kvadratisk form med det ortogonale variabelskiftet x=Py
6.3Rayleigh-maksimering og kjeglesnitt
•klassifisere en kurve xᵀAx=c som ellipse, hyperbel eller parabel ut fra egenverditegnene
6.3Rayleigh-maksimering og kjeglesnitt
•skissere ellipse og hyperbel i hovedaksene med riktige halvakser og asymptoter
6.3Rayleigh-maksimering og kjeglesnitt
•kjøre hele symmetrisk-kjeden: ortogonal diagonalisering, kvadratisk form, definitthet, Rayleigh og kjeglesnitt på samme matrise
6.4Drill: symmetrisk-kjeden — ortogonal diagonalisering → kvadratisk form → Rayleigh/kjeglesnitt
•unngå de fem faste fellene: normalisering, Gram–Schmidt i egenrom, kryssledd/2, egenverditegn, riktig egenvektor for Rayleigh-maks
6.4Drill: symmetrisk-kjeden — ortogonal diagonalisering → kvadratisk form → Rayleigh/kjeglesnitt
•føre en fullstendig oppgave 4-besvarelse med vedleggssitering, teoremnavning og eksakte svar
6.4Drill: symmetrisk-kjeden — ortogonal diagonalisering → kvadratisk form → Rayleigh/kjeglesnitt
•kunne begrunne ortogonal diagonaliserbarhet med spektralteoremet og bygge ortogonal P med normalisering og Gram–Schmidt i egenrom
6.PPrøver til del 6: Symmetriske matriser og kvadratiske former
•kunne symmetrisere en kvadratisk form, klassifisere definitthet via egenverditegn og bevise posdef ⇒ invertibel og B⁻¹ posdef
6.PPrøver til del 6: Symmetriske matriser og kvadratiske former
•kunne bruke Rayleigh (Teorem 6/7 §7.3) og variabelskiftet x=Py til kjeglesnitt, med skisse i hovedaksene
6.PPrøver til del 6: Symmetriske matriser og kvadratiske former
•kunne føre en fullstendig oppgave 4-besvarelse kjedet på én symmetrisk matrise med vedleggssitering og eksakte svar
6.PPrøver til del 6: Symmetriske matriser og kvadratiske former
•bygge en singulærverdidekomposisjon A=UΣVᵀ fra AᵀA: V og σᵢ=√λᵢ fra vedleggets egenverdier, uᵢ=(1/σᵢ)Avᵢ utvidet til ortonormal U
7.1Singulærverdidekomposisjon A=UΣVᵀ
•ordne singulærverdiene synkende og lese rangen som antall σᵢ>0
7.1Singulærverdidekomposisjon A=UΣVᵀ
•bruke max‖Ax‖=σ₁ (oppnådd i v₁) som Rayleigh anvendt på AᵀA
7.1Singulærverdidekomposisjon A=UΣVᵀ
•forklare at SVD finnes for enhver matrise og skille σᵢ fra egenverdiene til A
7.1Singulærverdidekomposisjon A=UΣVᵀ
•løse x′=Ax med generell løsning x(t)=Σcᵢvᵢe^{λᵢt} og bestemme koeffisientene fra Pc=x(0)
7.2Differensiallikningssystem x′=Ax og diskret dynamikk
•avgjøre langtidsatferd og stabilitet fra fortegnet på egenverdiene
7.2Differensiallikningssystem x′=Ax og diskret dynamikk
•løse diskret dynamikk xₖ=Σcᵢλᵢᵏvᵢ og avgjøre langtid fra |λᵢ|, inkludert normbevaring når A er ortogonal
7.2Differensiallikningssystem x′=Ax og diskret dynamikk
•forklare at metoden krever egenvektorbasis (diagonaliserbar A)
7.2Differensiallikningssystem x′=Ax og diskret dynamikk
•føre et bevis strukturert: identifisere gitt vs. skal-vises, navngi teoremet og sjekke forutsetningene, og skille ⇒ fra ⇔
7.3Kort teori og bevis: refleksjon, positiv definitthet, normbevaring, isomorfi
•bevise at Householder-matrisen R=I−2vvᵀ er symmetrisk, ortogonal og oppfyller R²=I, og tolke den som en speiling om v⊥
7.3Kort teori og bevis: refleksjon, positiv definitthet, normbevaring, isomorfi
•bevise at ortogonale matriser er normbevarende og at posdef ⇒ invertibel med B⁻¹ posdef, via spektralteoremet
7.3Kort teori og bevis: refleksjon, positiv definitthet, normbevaring, isomorfi
•bruke isomorfi-kriteriet og vise ikke-diagonaliserbarhet via geometrisk < algebraisk multiplisitet
7.3Kort teori og bevis: refleksjon, positiv definitthet, normbevaring, isomorfi
•kunne bygge en SVD A=UΣVᵀ fra vedleggets eig(AᵀA) og lese av max‖Ax‖=σ₁ og rangen
7.PPrøver til del 7: SVD, dynamiske systemer og bevis
•kunne løse x′=Ax med begynnelsesverdi og analysere diskret dynamikk (langtid, normbevaring)
7.PPrøver til del 7: SVD, dynamiske systemer og bevis
•kunne føre modellbevisene med forutsetningssjekk og navngitte teoremer (Householder, posdef, isomorfi-kriteriet)
7.PPrøver til del 7: SVD, dynamiske systemer og bevis
•kunne kjede SVD, dynamikk og bevis i et bredde-tverrsnitt med full føring og eksakte svar
7.PPrøver til del 7: SVD, dynamiske systemer og bevis
•kunne føre en fullt begrunnet MAT1120-besvarelse som siterer vedlegget og navngir teoremet argumentet hviler på
8.1Føringsstandarden og vedleggsbruken: slik skriver du en fullt begrunnet MAT1120-besvarelse
•kunne bruke begrunnelsestrappen A–L til å avgjøre hva som er tilstrekkelig begrunnelse i hver sjanger
8.1Føringsstandarden og vedleggsbruken: slik skriver du en fullt begrunnet MAT1120-besvarelse
•kunne teoremnavn-banken utenat (intet formelark) og bruke sjekklisten før innlevering
8.1Føringsstandarden og vedleggsbruken: slik skriver du en fullt begrunnet MAT1120-besvarelse
•kunne kjenne igjen og rette de vanligste føringsfeilene fra riktig tallsvar til full uttelling
8.1Føringsstandarden og vedleggsbruken: slik skriver du en fullt begrunnet MAT1120-besvarelse
•kunne føre en komplett oppgave 1-kjede: Col/Nul-basis fra vedlegg → Gram–Schmidt → ortogonal projeksjon med dekomposisjon og avstand
8.2Øvingseksamen 1: 10 deloppgaver à 10 p — bred kjerne med vedlegg
•kunne diagonalisere med multiplisitetsbegrunnelse og finne en lukket formel for Aᵏ
8.2Øvingseksamen 1: 10 deloppgaver à 10 p — bred kjerne med vedlegg
•kunne arbeide i det abstrakte rommet P₃: underrom og basis, overgangsmatrise og [T]_B for derivasjon med kjerne oversatt til polynomer
8.2Øvingseksamen 1: 10 deloppgaver à 10 p — bred kjerne med vedlegg
•kunne ortogonaldiagonalisere en symmetrisk matrise A=PDPᵀ og klassifisere den tilhørende kvadratiske formen
8.2Øvingseksamen 1: 10 deloppgaver à 10 p — bred kjerne med vedlegg
•kunne føre minste kvadrater ved rangdefekt med affin løsningsmengde og hente projeksjonen via proj_W b = C x̂
8.3Øvingseksamen 2: 10 deloppgaver à 10 p — signaturoppgave, minste kvadrater og SVD
•kunne arbeide i et funksjonsrom: uavhengighet, [T]_B for derivasjon og ker(T-I) oversatt tilbake til funksjoner
8.3Øvingseksamen 2: 10 deloppgaver à 10 p — signaturoppgave, minste kvadrater og SVD
•kunne diagonalisere med multiplisitetsbegrunnelse og evaluere et polynom q(A) via samme P
8.3Øvingseksamen 2: 10 deloppgaver à 10 p — signaturoppgave, minste kvadrater og SVD
•kunne finne en fullstendig SVD A=UΣVᵀ og bruke max‖Ax‖=σ₁, og føre et stramt Householder-bevis
8.3Øvingseksamen 2: 10 deloppgaver à 10 p — signaturoppgave, minste kvadrater og SVD
•kunne kjøre Gram–Schmidt, projeksjon og avstand konsekvent i et integral-indreprodukt på P₂
8.4Øvingseksamen 3: 10 deloppgaver à 10 p — ikke-standard indreprodukt, kjeglesnitt og x′=Ax
•kunne klassifisere et kjeglesnitt via variabelskiftet x=Py, skrive standardform og skissere i hovedaksene
8.4Øvingseksamen 3: 10 deloppgaver à 10 p — ikke-standard indreprodukt, kjeglesnitt og x′=Ax
•kunne løse x′=Ax generelt og med begynnelsesverdi ut fra egenverdier og egenvektorer
8.4Øvingseksamen 3: 10 deloppgaver à 10 p — ikke-standard indreprodukt, kjeglesnitt og x′=Ax
•kunne føre et stramt bevis for at en symmetrisk positiv definit matrise er invertibel med positiv definit invers
8.4Øvingseksamen 3: 10 deloppgaver à 10 p — ikke-standard indreprodukt, kjeglesnitt og x′=Ax

Kapitler med kompetansemål

0Eksamenskartet og vedlegget

0.1Eksamenskartet: 10 deloppgaver à 10 p, vedlegget og fem faste søyler
  • gjøre rede for hvordan MAT1120 vurderes: en 4-timers skriftlig skoleeksamen med ti likt vektede deloppgaver og et vedlegg som gjør den tyngste regningen
  • prioritere lesingen etter de fem temaene som treffer så godt som hvert eneste eksamenssett
  • planlegge en eksamensoppgave slik at samme matrise eller underrom gjenbrukes mellom deloppgaver
  • kjenne igjen sensorens faste krav om at alle svar skal begrunnes og oppgis eksakt

1Fundamentale underrom fra RREF

1.1Vedleggslesning: RREF, pivoter og avhengighetsrelasjoner
  • lese pivotposisjoner, pivotkolonner og frie variabler ut av en RREF fra vedlegget i stedet for å radredusere for hånd
  • lese avhengighetsrelasjoner direkte av RREF og forklare hvorfor de også gjelder i den opprinnelige matrisen A
  • bruke begrepene lineærkombinasjon, span, lineær uavhengighet og underrom trygt i R^n
1.2Col A, Nul A, rang og dimensjonsteoremet
  • finne en basis for Col A som de opprinnelige pivotkolonnene i A (ikke de reduserte i RREF)
  • finne en basis for Nul A som spesielle løsninger, én per fri variabel
  • bestemme rang A og kontrollere med dimensjonsteoremet rang A + dim Nul A = antall søyler
  • avgjøre om b ligger i Col A ut fra vedlegget
1.3Row A, lineærkombinasjoner og konstruksjonsvarianter
  • finne en basis for Row A som de ikke-null-radene i RREF og forklare hvorfor radrommet bevares av radreduksjon mens kolonnerommet ikke gjør det
  • skrive ikke-pivotkolonnene i A eksplisitt som lineærkombinasjoner av Col A-basisen
  • konstruere en matrise B med AB = O og gitt rang ved å plassere Nul A-vektorer som kolonner
  • bestemme koordinatvektoren [v]_B relativt en ordnet basis i R^n
1.4Drill: oppgave 1-kjeden — Col/Nul/basis/rang fra vedlegg
  • kjøre løsningsoppskriften for sjanger A: sitere vedlegget og lese Col/Nul/Row-basis, rang og lineærkombinasjoner riktig
  • avgjøre om b ligger i Col A og konstruere en matrise B med AB = O fra nullrommet
  • kontrollere svar med dimensjonsteoremet og føre en A-besvarelse med verbal konklusjon og eksakte svar
1.PPrøver til del 1: Fundamentale underrom fra RREF
  • kunne lese pivotkolonner, frie variabler og avhengighetsrelasjoner rett av et vedlegg (RREF)
  • kunne finne basis for Col A (fra original), Nul A og Row A, oppgi rang og kontrollere med dimensjonsteoremet
  • kunne skrive kolonner som lineærkombinasjoner, konstruere B med AB = O og avgjøre om b ligger i Col A
  • kunne føre en fullstendig oppgave 1-besvarelse med vedleggssitering og eksakte svar

2Abstrakte vektorrom, koordinater og [T]_B

2.1Abstrakte vektorrom og underrom: Pₙ og funksjonsrom
  • avgjøre om en delmengde er et underrom ved å sjekke de tre betingelsene (0 i W, lukket under addisjon og skalarmultiplikasjon)
  • behandle polynomrommet Pₙ som vektorrom med standardbasis {1,t,...,tⁿ} og dimensjon n+1
  • kjenne igjen funksjonsrom som endelig-dimensjonale underrom av C(ℝ) og avgjøre om en funksjon ligger i et gitt span
  • skille lineære homogene betingelser (gir underrom) fra inhomogene betingelser og ulikheter (gjør det ikke)
2.2Basis, dimensjon og lineær uavhengighet i abstrakte rom
  • avgjøre lineær uavhengighet av polynomer ved koeffisientsammenligning og av funksjoner ved evaluering eller Wronski-determinanten
  • bevise at en mengde er en basis ved uavhengighet kombinert med dimensjonsargumentet
  • bruke at k uavhengige vektorer i et k-dimensjonalt rom automatisk er en basis
  • koble abstrakt uavhengighet til uavhengighet av koordinatvektorer i ℝⁿ
2.3Koordinater [x]_B og koordinatavbildningen
  • finne koordinatvektoren [x]_B til et polynom eller en funksjon relativt en ordnet basis, også ikke-standard basiser
  • forklare koordinatavbildningen som en isomorfi V→ℝⁿ og hva det betyr
  • bruke at isomorfien bevarer uavhengighet, span og dimensjon til å avgjøre abstrakte spørsmål med matriseregning i ℝⁿ
  • oversette et koordinatsvar tilbake til et polynom eller en funksjon i det abstrakte rommet
2.4Basisskifte og overgangsmatrisen P_{C←B}
  • bygge overgangsmatrisen P_{C←B} ved å uttrykke B-vektorene i C-koordinater som kolonner
  • bruke og forklare retningen «C fra B»: matrisen tar B-koordinater inn og gir C-koordinater ut
  • finne inversen P_{B←C} = (P_{C←B})⁻¹ og bruke den til å oversette motsatt vei
  • kontrollere retningen på overgangsmatrisen med et konkret talleksempel
2.5Lineære avbildninger og matriserepresentasjonen [T]_B
  • sjekke om en avbildning er lineær og bygge matriserepresentasjonen [T]_B kolonne for kolonne (kolonne j = [T(b_j)]_B)
  • bruke sammenhengen [T(x)]_B = [T]_B [x]_B til å regne på abstrakte rom i koordinater
  • finne [T]_B for derivasjonsoperatoren T(f)=f′ og for differensialoperatorer S som polynom i T
  • forklare hvorfor [T]_B-kolonnene må uttrykkes i B-koordinater før de settes inn
2.6Basisskifte for [T]_B, isomorfi og kjerne oversatt til funksjoner
  • bytte basis for en operatormatrise med [T]_C = P_{C←B}[T]_B P_{B←C} i riktig rekkefølge og retning
  • avgjøre om en lineær avbildning er en isomorfi ved å sjekke om [T]_B er invertibel
  • finne ker T som Nul[T]_B og oversette basisen tilbake til polynomer/funksjoner
  • forklare at egenverdiene til en operator er basisuavhengige
2.7Drill: signaturoppgaven — abstrakt vektorrom + [T]_B
  • føre en komplett signaturoppgave: underrom → basis → koordinater → overgangsmatrise → [T]_B → ker T
  • velge riktig verktøy for hvert delpunkt og gjenbruke samme rom gjennom en hel oppgave
  • oversette kjerne og egenvektorer tilbake til polynomer/funksjoner
  • unngå fellekatalogen fra kap. 2.1–2.6 under tidspress
2.PPrøver til del 2: Abstrakte vektorrom, koordinater og [T]_B
  • kunne vise underrom via de tre betingelsene og at en mengde er en basis (uavhengighet + dimensjonsargument)
  • kunne regne koordinater og bygge overgangsmatrisen P_{C←B} i begge retninger
  • kunne bygge [T]_B for en derivasjons-/differensialoperator, avgjøre isomorfi og finne ker T oversatt til funksjoner
  • kunne føre en fullstendig signaturoppgave i et funksjonsrom fra ende til annen

3Egenverdier og diagonalisering

3.1Egenverdier, egenvektorer og egenrom
  • verifisere en oppgitt egenvektor ved innsetting Av=λv og lese egenverdier av vedlegget (poly/eig)
  • finne egenrommet E_λ = Nul(A−λI) som spesielle løsninger fra RREF
  • skille algebraisk fra geometrisk multiplisitet og bruke ulikheten geo ≤ alg
  • kontrollere egenverdier med spor A = Σλ og det A = Πλ
3.2Diagonalisering A=PDP⁻¹ og multiplisitetskriteriet
  • skrive A=PDP⁻¹ og bygge P og D matchet søyle for søyle
  • begrunne diagonaliserbarhet med multiplisitetskriteriet (geo=alg) eller en navngitt snarvei
  • vise at en matrise ikke er diagonaliserbar ved at et egenrom er for lite (geo<alg)
  • avgjøre for hvilke parameterverdier en matrise A(α) er diagonaliserbar
3.3Aᵏ og polynom i A
  • regne Aᵏ=PDᵏP⁻¹ via diagonalisering i stedet for gjentatt multiplikasjon
  • bruke q(A)v=q(λ)v: finne egenverdiene q(λ) til q(A) og diagonalisere med samme P
  • avgjøre om q(A) er invertibel ved å sjekke at ingen q(λ)=0
  • kjenne Cayley–Hamilton (p(A)=O) og bruke den til å redusere potenser
3.4Drill: egenverdi- og diagonaliseringskjeden
  • kjøre løsningsoppskriften for sjanger D+E: innsetting, vedleggslesing, egenrom, diagonaliserbarhet
  • begrunne diagonaliserbarhet med snarvei eller multiplisitet og bygge P/D matchet søyle for søyle
  • vise at en matrise ikke er diagonaliserbar (geo<alg) og håndtere parametertilfeller
  • regne Aᵏ=PDᵏP⁻¹ og q(A)=Pq(D)P⁻¹ med samme P og avgjøre invertibilitet
3.PPrøver til del 3: Egenverdier og diagonalisering
  • kunne verifisere en oppgitt egenvektor ved innsetting og lese egenverdier og egenrom av et vedlegg (poly/eig/RREF)
  • kunne avgjøre og begrunne diagonaliserbarhet med multiplisitet (geo=alg) eller en navngitt snarvei, og vise ikke-diagonaliserbarhet ved geo<alg
  • kunne bygge P og D matchet søyle for søyle og regne Aᵏ=PDᵏP⁻¹ og q(A)=Pq(D)P⁻¹ med samme P
  • kunne føre en fullstendig oppgave 2-besvarelse med vedleggssitering og eksakte svar

4Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt

4.1Indreprodukt: standard, vektet, integral og evaluering
  • kjenne de fire aksiomene for et indreprodukt og definere norm, avstand og ortogonalitet ut fra det oppgitte indreproduktet
  • regne med de fire eksamenstypene — standard, vektet, integral og evaluering — og se at norm og ortogonalitet skifter med indreproduktet
  • avgjøre ortogonalitet og bestemme ukjente slik at to vektorer blir ortogonale i et gitt indreprodukt
  • kjenne igjen og navngi Cauchy–Schwarz og trekantulikheten
4.2Ortogonale mengder og Gram–Schmidt
  • avgjøre om en mengde er ortogonal og regne koordinater (Fourier-koeffisienter) i en ortogonal basis
  • utføre Gram–Schmidt-prosessen i standardprikkproduktet med heltalls-oppskalering og normalisere til en ortonormal basis
  • utføre Gram–Schmidt i et ikke-standard indreprodukt (vektet, integral, evaluering) med riktig norm
  • unngå å bruke de opprinnelige a-vektorene eller feil norm i senere steg av prosessen
4.3Drill: Gram–Schmidt i standard og ikke-standard indreprodukt
  • identifisere hvilket indreprodukt en oppgave gir, og bruke det konsekvent gjennom hele Gram–Schmidt
  • utføre Gram–Schmidt med heltalls-oppskalering i standard, vektet, integral- og evalueringsindreprodukt
  • normalisere til ortonormal basis med den oppgitte normen, ikke standardnormen
  • verifisere ortogonaliteten til slutt og gjenkjenne standard-prikkprodukt-fellen under tidspress
4.PPrøver til del 4: Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt
  • kunne regne skalarprodukt, norm, avstand og ortogonalitet i standard, vektet, integral- og evalueringsindreprodukt, og bestemme ukjente slik at to vektorer blir ortogonale
  • kunne utføre Gram–Schmidt i R^n med heltalls-oppskalering, normalisere til ortonormal basis og bruke Fourier-koeffisienter
  • kunne utføre Gram–Schmidt i ikke-standard indreprodukt (integral og evaluering) og normalisere med den oppgitte normen
  • kunne føre en fullstendig sjanger B-besvarelse der alle skalarprodukt og normer regnes i det oppgitte indreproduktet, med eksakte svar

5Ortogonal projeksjon og minste kvadrater

5.1Ortogonal projeksjon, dekomposisjon, W⊥ og avstand
  • finne ortogonalkomplementet W⊥ og bruke identiteten (Col A)⊥ = Nul(Aᵀ)
  • regne ortogonal projeksjon proj_W y med en ortogonal basis (Gram–Schmidt først om nødvendig) og skrive dekomposisjonen y = ŷ + z
  • finne avstanden fra en vektor til et underrom som ‖y − ŷ‖ = ‖z‖, også i ikke-standard indreprodukt
  • unngå projeksjon uten ortogonal basis og feilberegning av avstand som ‖ŷ‖
5.2Minste kvadrater: normallikninger, projeksjonssnarvei og affin løsning
  • sette opp og løse normallikningene CᵀCx̂=Cᵀb ved å lese den lille RREF-en fra vedlegget
  • bruke koblingen proj_W b = Cx̂ og projeksjonssnarveien som alternativ vei
  • avgjøre om løsningen er entydig (full kolonnerang) eller affin (rangdefekt = partikulær + Nul C)
  • tilpasse en rett linje til data ved minste kvadrater og finne avstanden til kolonnerommet
5.3Drill: projeksjon og minste kvadrater kjedet
  • kjede ortogonal basis, projeksjon, minste kvadrater, avstand og W⊥ på samme matrise med korrekt vedleggssitering
  • velge mellom normallikninger og projeksjonssnarvei og bruke koblingen proj_W b = Cx̂
  • skille entydig løsning (full kolonnerang) fra affin løsning (rangdefekt) og gjenkjenne det oppgitte indreproduktet
  • unngå hele fellekatalogen fra 5.1–5.2 under tidspress
5.PPrøver til del 5: Ortogonal projeksjon og minste kvadrater
  • kunne skaffe en ortogonal basis (Gram–Schmidt), projisere, skrive dekomposisjonen y=ŷ+z, regne avstand ‖z‖ og finne en basis for W⊥
  • kunne sette opp normallikningene CᵀCx̂=Cᵀb, lese løsningen fra vedlegget og bruke koblingen proj_W b=Cx̂
  • kunne avgjøre entydig vs. affin løsning ved rangdefekt (partikulær + Nul C) og bruke projeksjonssnarveien
  • kunne føre en fullstendig oppgave 1-hale-besvarelse kjedet på én matrise med vedleggssitering og eksakte svar

6Symmetriske matriser og kvadratiske former

6.1Symmetriske matriser og spektralteoremet: ortogonal diagonalisering A=PDPᵀ
  • begrunne med spektralteoremet at en symmetrisk matrise er ortogonalt diagonaliserbar A=PDPᵀ
  • bygge en ortogonal P (PᵀP=I) ved å normalisere egenvektorene og kjøre Gram–Schmidt innen et egenrom med multiplisitet
  • skrive den spektrale dekomposisjonen A=Σλᵢuᵢuᵢᵀ og bruke at ortogonale matriser er normbevarende
  • skille A=PDPᵀ (ortogonal, symmetrisk A) fra den generelle A=PDP⁻¹
6.2Kvadratiske former: symmetrisering og definitthet
  • skrive en kvadratisk form Q(x)=xᵀAx med symmetrisk A og dele kryssleddet på 2
  • klassifisere definitthet (positiv/negativ definit, indefinit, semidefinit) ut fra egenverditegnene
  • bevise at en positiv definit matrise er invertibel og har positiv definit invers via spektral dekomposisjon
  • bruke ulikheten λmin‖x‖² ≤ xᵀAx ≤ λmax‖x‖² for en symmetrisk matrise
6.3Rayleigh-maksimering og kjeglesnitt
  • bruke Rayleigh (Teorem 6/7 §7.3) til å finne max og min av xᵀAx på enhetssfæren og hvor de nås
  • fjerne kryssleddet i en kvadratisk form med det ortogonale variabelskiftet x=Py
  • klassifisere en kurve xᵀAx=c som ellipse, hyperbel eller parabel ut fra egenverditegnene
  • skissere ellipse og hyperbel i hovedaksene med riktige halvakser og asymptoter
6.4Drill: symmetrisk-kjeden — ortogonal diagonalisering → kvadratisk form → Rayleigh/kjeglesnitt
  • kjøre hele symmetrisk-kjeden: ortogonal diagonalisering, kvadratisk form, definitthet, Rayleigh og kjeglesnitt på samme matrise
  • unngå de fem faste fellene: normalisering, Gram–Schmidt i egenrom, kryssledd/2, egenverditegn, riktig egenvektor for Rayleigh-maks
  • føre en fullstendig oppgave 4-besvarelse med vedleggssitering, teoremnavning og eksakte svar
6.PPrøver til del 6: Symmetriske matriser og kvadratiske former
  • kunne begrunne ortogonal diagonaliserbarhet med spektralteoremet og bygge ortogonal P med normalisering og Gram–Schmidt i egenrom
  • kunne symmetrisere en kvadratisk form, klassifisere definitthet via egenverditegn og bevise posdef ⇒ invertibel og B⁻¹ posdef
  • kunne bruke Rayleigh (Teorem 6/7 §7.3) og variabelskiftet x=Py til kjeglesnitt, med skisse i hovedaksene
  • kunne føre en fullstendig oppgave 4-besvarelse kjedet på én symmetrisk matrise med vedleggssitering og eksakte svar

7SVD, dynamiske systemer og bevis

7.1Singulærverdidekomposisjon A=UΣVᵀ
  • bygge en singulærverdidekomposisjon A=UΣVᵀ fra AᵀA: V og σᵢ=√λᵢ fra vedleggets egenverdier, uᵢ=(1/σᵢ)Avᵢ utvidet til ortonormal U
  • ordne singulærverdiene synkende og lese rangen som antall σᵢ>0
  • bruke max‖Ax‖=σ₁ (oppnådd i v₁) som Rayleigh anvendt på AᵀA
  • forklare at SVD finnes for enhver matrise og skille σᵢ fra egenverdiene til A
7.2Differensiallikningssystem x′=Ax og diskret dynamikk
  • løse x′=Ax med generell løsning x(t)=Σcᵢvᵢe^{λᵢt} og bestemme koeffisientene fra Pc=x(0)
  • avgjøre langtidsatferd og stabilitet fra fortegnet på egenverdiene
  • løse diskret dynamikk xₖ=Σcᵢλᵢᵏvᵢ og avgjøre langtid fra |λᵢ|, inkludert normbevaring når A er ortogonal
  • forklare at metoden krever egenvektorbasis (diagonaliserbar A)
7.3Kort teori og bevis: refleksjon, positiv definitthet, normbevaring, isomorfi
  • føre et bevis strukturert: identifisere gitt vs. skal-vises, navngi teoremet og sjekke forutsetningene, og skille ⇒ fra ⇔
  • bevise at Householder-matrisen R=I−2vvᵀ er symmetrisk, ortogonal og oppfyller R²=I, og tolke den som en speiling om v⊥
  • bevise at ortogonale matriser er normbevarende og at posdef ⇒ invertibel med B⁻¹ posdef, via spektralteoremet
  • bruke isomorfi-kriteriet og vise ikke-diagonaliserbarhet via geometrisk < algebraisk multiplisitet
7.PPrøver til del 7: SVD, dynamiske systemer og bevis
  • kunne bygge en SVD A=UΣVᵀ fra vedleggets eig(AᵀA) og lese av max‖Ax‖=σ₁ og rangen
  • kunne løse x′=Ax med begynnelsesverdi og analysere diskret dynamikk (langtid, normbevaring)
  • kunne føre modellbevisene med forutsetningssjekk og navngitte teoremer (Householder, posdef, isomorfi-kriteriet)
  • kunne kjede SVD, dynamikk og bevis i et bredde-tverrsnitt med full føring og eksakte svar

8Eksamenstrening

8.1Føringsstandarden og vedleggsbruken: slik skriver du en fullt begrunnet MAT1120-besvarelse
  • kunne føre en fullt begrunnet MAT1120-besvarelse som siterer vedlegget og navngir teoremet argumentet hviler på
  • kunne bruke begrunnelsestrappen A–L til å avgjøre hva som er tilstrekkelig begrunnelse i hver sjanger
  • kunne teoremnavn-banken utenat (intet formelark) og bruke sjekklisten før innlevering
  • kunne kjenne igjen og rette de vanligste føringsfeilene fra riktig tallsvar til full uttelling
8.2Øvingseksamen 1: 10 deloppgaver à 10 p — bred kjerne med vedlegg
  • kunne føre en komplett oppgave 1-kjede: Col/Nul-basis fra vedlegg → Gram–Schmidt → ortogonal projeksjon med dekomposisjon og avstand
  • kunne diagonalisere med multiplisitetsbegrunnelse og finne en lukket formel for Aᵏ
  • kunne arbeide i det abstrakte rommet P₃: underrom og basis, overgangsmatrise og [T]_B for derivasjon med kjerne oversatt til polynomer
  • kunne ortogonaldiagonalisere en symmetrisk matrise A=PDPᵀ og klassifisere den tilhørende kvadratiske formen
8.3Øvingseksamen 2: 10 deloppgaver à 10 p — signaturoppgave, minste kvadrater og SVD
  • kunne føre minste kvadrater ved rangdefekt med affin løsningsmengde og hente projeksjonen via proj_W b = C x̂
  • kunne arbeide i et funksjonsrom: uavhengighet, [T]_B for derivasjon og ker(T-I) oversatt tilbake til funksjoner
  • kunne diagonalisere med multiplisitetsbegrunnelse og evaluere et polynom q(A) via samme P
  • kunne finne en fullstendig SVD A=UΣVᵀ og bruke max‖Ax‖=σ₁, og føre et stramt Householder-bevis
8.4Øvingseksamen 3: 10 deloppgaver à 10 p — ikke-standard indreprodukt, kjeglesnitt og x′=Ax
  • kunne kjøre Gram–Schmidt, projeksjon og avstand konsekvent i et integral-indreprodukt på P₂
  • kunne klassifisere et kjeglesnitt via variabelskiftet x=Py, skrive standardform og skissere i hovedaksene
  • kunne løse x′=Ax generelt og med begynnelsesverdi ut fra egenverdier og egenvektorer
  • kunne føre et stramt bevis for at en symmetrisk positiv definit matrise er invertibel med positiv definit invers
Tilbake til MAT1120 Lineær algebra