4.3 Drill: Gram–Schmidt i standard og ikke-standard indreprodukt

Gram–Schmidt drillet i alle fire indreprodukt-typene — særlig integral og evaluering på polynomrom — så refleksen «hvilket indreprodukt er oppgitt?» sitter før projeksjonsdelen i Del 5.

85 min

12 oppgaver

DrillGram–Schmidt i standardikke-standard indreprodukt

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.2Ortogonale mengder og Gram–Schmidt

Brukes videre i

4.PPrøver til del 4: Indreproduktrom, ortogonalitet og Gram–Schmidt

Dette er drillkapitlet for Gram–Schmidt — sjangeren som er i praktisk talt hvert sett (~100 %). Målet er å gjøre den ene refleksen automatisk: «hvilket indreprodukt er oppgitt?» — før du regner et eneste ledd.

- I ca. 7 av 10 sett er indreproduktet ikke-standard (integral på $\operatorname{P}_n$ , vektet eller evaluering). Da regnes hver teller, hver nevner og normen i normaliseringen med det oppgitte indreproduktet.
- Etter denne drillen skal du kunne kjøre prosessen i alle fire typene uten å nøle — det er forsteget til ortogonal projeksjon og minste kvadrater i Del 5.

Slik bruker du kapitlet: les løsningsoppskriften og det sensor-kommenterte caset, og regn deg deretter gjennom de 12 oppgavene. De er lagt opp etter stigende vanskegrad og dekker $\mathbb{R}^n$ (standard og vektet), integral på $\operatorname{P}_n$ , evaluering og normalisering. ~85 min — del gjerne over to økter (oppgave 1–6, så 7–12).

Forkunnskaper: hele Del 4 så langt.

- Kap. 4.1 — indreprodukt-typene
- Kap. 4.2 — Gram–Schmidt-prosessen med normalisering
- Integralregning — teknikkene integralene regnes med

Ingen ny teori innføres her — dette er ren drill på det du allerede har sett.

Løsningsoppskrift — Gram–Schmidt i fire indreprodukt

Samme fire steg uansett rom og indreprodukt:

Steg 0 — Identifiser indreproduktet. Les oppgaven: standard prikkprodukt, vektet ( $\sum w_ix_iy_i$ ), integral ( $\int_a^b pq\,dt$ ) eller evaluering ( $\sum p(t_i)q(t_i)$ )? Skriv det opp øverst. Alt som følger bruker denne definisjonen.

Steg 1 — Start. $\mathbf{v}_1=\mathbf{a}_1$ . Regn $\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle$ (trengs som nevner).

Steg 2 — Trekk fra projeksjonene. For hver ny $\mathbf{a}_k$ : $\ \mathbf{v}_k=\mathbf{a}_k-\sum_{i<k}\dfrac{\langle\mathbf{a}_k,\mathbf{v}_i\rangle}{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle}\mathbf{v}_i$ — med de allerede ortogonaliserte $\mathbf{v}_i$ -ene. Skalér opp til heltall før du går videre.

Steg 3 — Normalisér (bare hvis bedt om ortonormal). $\mathbf{u}_i=\dfrac{1}{\|\mathbf{v}_i\|}\mathbf{v}_i$ med den oppgitte normen $\|\mathbf{v}_i\|=\sqrt{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle}$ . La svaret stå eksakt.

Steg 4 — Sjekk. Regn $\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$ for $i\ne j$ og bekreft $=0$ .

Regel 1 — Identifiser indreproduktet først

\sum w_ix_iy_i

Regel 2 — Standard-prikkprodukt-fellen

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}

Regel 3 —

\mathbf{v}_1=\mathbf{a}_1

\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle

Regel 4 — Bruk

\mathbf{v}_i

, ikke

\mathbf{a}_i

k

Regel 5 — Heltalls-oppskalering

\mathbf{v}_k

Regel 6 — Normalisér med den oppgitte normen

\mathbf{v}_i

Regel 7 — Regn integraler og summer nøyaktig

p\,q

Regel 8 — Sjekk ortogonaliteten til slutt

\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle

✏️Gjennomregnet case (sensor-kommentert): Gram–Schmidt i integralindreprodukt

På $\operatorname{P}_2$ med $\langle p,q\rangle=\int_{-2}^{0} p(t)q(t)\,dt$ : bruk Gram–Schmidt på standardbasisen $\{1,t,t^2\}$ til en ortogonal basis for $\operatorname{P}_2$ .

Steg 0 — indreproduktet: integral over

[-2,0]

. Alle skalarprodukt under er

\int_{-2}^0(\cdots)\,dt

. (Sensornotat: å skrive dette opp eksplisitt er det som skiller de som ikke faller i standard-prikkprodukt-fellen.)

Steg 1: $v_1=1$ . $\langle 1,1\rangle=\int_{-2}^0 1\,dt=2$ .

Steg 2 (for $t$ ): $\langle t,1\rangle=\int_{-2}^0 t\,dt=\big[\tfrac{t^2}{2}\big]_{-2}^0=0-2=-2$ . Da er
$v_2=t-\frac{-2}{2}\cdot 1=t+1.$
Kontroll: $\langle t+1,1\rangle=\int_{-2}^0(t+1)\,dt=\big[\tfrac{t^2}{2}+t\big]_{-2}^0=0-(2-2)=0.$ ✓ Vi trenger $\langle v_2,v_2\rangle=\int_{-2}^0(t+1)^2\,dt=\tfrac23$ .

Steg 2 (for $t^2$ ): $\langle t^2,1\rangle=\int_{-2}^0 t^2\,dt=\big[\tfrac{t^3}{3}\big]_{-2}^0=0-(-\tfrac83)=\tfrac83$ , og $\langle t^2,v_2\rangle=\int_{-2}^0 t^2(t+1)\,dt=\big[\tfrac{t^4}{4}+\tfrac{t^3}{3}\big]_{-2}^0=0-\big(4-\tfrac83\big)=-\tfrac43$ . Da er
$v_3=t^2-\frac{8/3}{2}\cdot 1-\frac{-4/3}{2/3}\cdot(t+1)=t^2-\tfrac43+2(t+1)=t^2+2t+\tfrac23.$
(Sensornotat: her brukes den allerede ortogonaliserte $v_2=t+1$ , ikke $t$ — Regel 4. Nevneren $\tfrac23$ er $\langle v_2,v_2\rangle$ , ikke $\langle t,t\rangle$ .) Skalér opp med $3$ :
$v_3=3t^2+6t+2.$

Ortogonal basis: $\{\,1,\ t+1,\ 3t^2+6t+2\,\}$ .

Steg 4 — sjekk: $\langle 1,3t^2+6t+2\rangle=\int_{-2}^0(3t^2+6t+2)\,dt=\big[t^3+3t^2+2t\big]_{-2}^0=0-(-8+12-4)=0$ ✓, og $\langle t+1,3t^2+6t+2\rangle=0$ (regn tilsvarende). Eksakt svar — heltallskoeffisienter, ingen desimaler. (Sensornotat: full uttelling krever at hvert projeksjonsledd vises; sluttbasisen alene gir lite.)

Drilloppgaver

Stigende vanskegrad. Identifiser indreproduktet før hvert regnestykke. Fasit etter føringsstandarden med eksakte svar.

📝Oppgave 1

(Innsteg.) For hvert scenario, oppgi hvilket indreprodukt du skal bruke:

a) «På $\mathbb{R}^3$ med $\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=3x_1y_1+x_2y_2+2x_3y_3$ …»

b) «På $\operatorname{P}_2$ med $\langle p,q\rangle=\int_0^2 pq\,dt$ …»

c) «På $\operatorname{P}_2$ med $\langle p,q\rangle=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)$ …»

📝Oppgave 2

På $\mathbb{R}^2$ med standardprikkprodukt: bruk Gram–Schmidt på $\mathbf{a}_1=(3,1)$ , $\mathbf{a}_2=(2,2)$ til en ortogonal basis. Skalér til heltall.

📝Oppgave 3

På $\mathbb{R}^3$ med standardprikkprodukt: bruk Gram–Schmidt på $\mathbf{a}_1=(1,1,0)$ , $\mathbf{a}_2=(1,0,1)$ , $\mathbf{a}_3=(0,1,1)$ til en ortogonal basis. Skalér til heltall.

Full trestegs Gram–Schmidt i $\mathbb{R}^3$ med heltalls-oppskalering — kjernen i sjanger B. Merk at steg 3 bruker de ferdig ortogonaliserte $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ (Regel 4).

📝Oppgave 4

På $\mathbb{R}^3$ med det vektede indreproduktet $\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=2x_1y_1+2x_2y_2+x_3y_3$ : bruk Gram–Schmidt på $\mathbf{a}_1=(1,1,0)$ , $\mathbf{a}_2=(1,0,2)$ til en ortogonal basis. Skalér til heltall.

Gram–Schmidt i et vektet indreprodukt. Fellen: å bruke $\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle=2$ (standard) i stedet for $4$ (vektet). Vektene må inn overalt.

📝Oppgave 5

På $\operatorname{P}_1$ med integralindreproduktet $\langle p,q\rangle=\int_0^1 pq\,dt$ : bruk Gram–Schmidt på $\{1,t\}$ til en ortogonal basis. Skalér til heltallskoeffisienter.

📝Oppgave 6

På $\operatorname{P}_2$ med integralindreproduktet $\langle p,q\rangle=\int_0^1 pq\,dt$ : bruk Gram–Schmidt på $\{1,t,t^2\}$ til en ortogonal basis for $\operatorname{P}_2$ . Skalér til heltallskoeffisienter.

Full trestegs Gram–Schmidt i et integralindreprodukt — den vanskeligste ikke-standard-varianten. Nevneren i steg 3 er $\langle v_2,v_2\rangle=\tfrac13$ , ikke $\langle t,t\rangle$ .

📝Oppgave 7

På $\operatorname{P}_2$ med evalueringsindreproduktet $\langle p,q\rangle=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$ : bruk Gram–Schmidt på $\{1,t,t^2\}$ til en ortogonal basis. Skalér til heltallskoeffisienter.

Gram–Schmidt i et evalueringsindreprodukt. Poenget er kontrasten til integralet: samme startbasis, men $v_3=3t^2-2$ her mot $3t^2-1$ i integralet — indreproduktet avgjør.

📝Oppgave 8

Normalisér den ortogonale basisen $\{(1,1,0),(1,-1,4)\}$ til en ortonormal basis i det vektede indreproduktet $\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=2x_1y_1+2x_2y_2+x_3y_3$ (samme basis som oppgave 4).

Normalisering i et ikke-standard indreprodukt — nettopp stedet standardnorm-fellen slår til (Regel 6). Den vektede normen av $(1,-1,4)$ er $2\sqrt5$ , ikke $\sqrt{18}$ .

📝Oppgave 9

På $\operatorname{P}_1$ med integralindreproduktet $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1 pq\,dt$ : du vet fra kap. 4.2 at $\{1,t\}$ allerede er en ortogonal basis. Normalisér den til en ortonormal basis.

📝Oppgave 10

På $\mathbb{R}^3$ med det vektede indreproduktet $\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=x_1y_1+2x_2y_2+x_3y_3$ : bruk Gram–Schmidt på $\mathbf{a}_1=(1,0,1)$ , $\mathbf{a}_2=(0,1,1)$ til en ortogonal basis, og normalisér deretter.

Gram–Schmidt + normalisering i ett, i et vektet indreprodukt. To steder standardnorm-fellen kan slå til: nevneren i steg 2 og normen i normaliseringen.

📝Oppgave 11

Kort begrepssjekk: du har en ortogonal basis $\{v_1,v_2\}$ funnet i et integralindreprodukt på $[-2,0]$ . Oppgaven ber om en ortonormal basis. Hvilken norm bruker du, og hva er ett vanlig feilgrep?

📝Oppgave 12

På $\operatorname{P}_2$ med evalueringsindreproduktet $\langle p,q\rangle=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)$ : bruk Gram–Schmidt på $\{1,t,t^2\}$ til en ortogonal basis, og verifiser ortogonaliteten av $v_1$ og $v_3$ eksplisitt.

Den mest krevende evalueringsvarianten: ingen ledd forsvinner av symmetri (punktene $0,1,2$ er ikke symmetriske), så alle projeksjonsledd må regnes. Verifiseringen i punktene er sensor-forsikringen (Regel 8).

Typiske feil under tidspress

- Standard-prikkprodukt-fellen. Under tidspress glir hånden tilbake til $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ . Skriv indreproduktet øverst og hold deg til det i hvert ledd.
- Feil norm ved normalisering. Del på $\sqrt{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle}$ i det oppgitte indreproduktet — ikke standardnormen av koeffisientene.
- $\mathbf{a}_i$ i stedet for $\mathbf{v}_i$ . Projeksjonene trekkes fra de allerede ortogonaliserte vektorene. Feilen dukker først opp i steg 3.
- Glemt nevner eller feil nevner etter oppskalering. Etter at $\mathbf{v}_2$ er skalert opp, er $\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2\rangle$ endret — bruk den nye verdien.
- Regnefeil i integralet/summen. Multipliser ut før integrasjon; sett inn alle punktene i evalueringen; bruk sluttsjekken $\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle=0$ .
- Desimaltilnærming. La $3t^2-1$ , $\tfrac{1}{2\sqrt5}$ , $\tfrac{\sqrt6}{2}$ osv. stå eksakt.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.