Tilbake
4.2
Alle fag for Høyskole

4.2 Ortogonale mengder og Gram–Schmidt

Gram–Schmidt-prosessen som gjør en hvilken som helst basis om til en ortogonal (eller ortonormal) basis — i standard OG ikke-standard indreprodukt, med heltalls-oppskalering underveis slik fasiten gjør.

55 min
8 oppgaver
Ortogonale mengderGram–Schmidt
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 4.1 — indreprodukt, norm og ortogonalitet; alt regnes i det oppgitte indreproduktet
- Kap. 1.2 — Col⁡A\operatorname{Col}A-basis, siden Gram–Schmidt ofte tar imot nettopp den
- Skalarprodukt — standardprikkproduktet og vektorprojeksjon på VGS-nivå

Selve Gram–Schmidt-prosessen forutsettes ikke fra før — vi bygger den fra grunnen her.

En ortogonal basis er en basis der vektorene står vinkelrett på hverandre. Slike baser er gull verdt: koordinater blir en enkel formel i stedet for et likningssystem, og projeksjon (Del 5) blir triviell. Problemet er at en oppgitt basis sjelden er ortogonal. Gram–Schmidt-prosessen løser dette — den tar en hvilken som helst basis og bygger om til en ortogonal en, vektor for vektor, uten å endre spennet.

Ideen er enkel: behold den første vektoren, og for hver ny vektor trekk fra den delen som peker langs de allerede ortogonaliserte — det som blir igjen står vinkelrett på alt før. Alt måles i det indreproduktet oppgaven har gitt.

Vi jobber i tre løkker: (1) ortogonale og ortonormale mengder, og hvorfor koordinater blir enkle; (2) Gram–Schmidt i Rn\mathbb{R}^n med standardprikkproduktet, inkludert heltalls-oppskalering og normalisering; (3) Gram–Schmidt i et ikke-standard indreprodukt. Hver løkke går teori → eksempel → oppgave.

Løkke 1 — Ortogonale og ortonormale mengder (~18 min)

Ortogonal mengde
En mengde vektorer {v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} (ingen av dem null) er ortogonal dersom de er parvis ortogonale:

⟨vi,vj⟩=0for alle i≠j.\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle=0\quad\text{for alle } i\ne j.

Altså: hver vektor står vinkelrett på hver av de andre, målt i det oppgitte indreproduktet. Man sjekker en ortogonal mengde ved å regne alle par ⟨vi,vj⟩\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle og se at de er 00.

📜Ortogonal mengde er lineært uavhengig

Enhver ortogonal mengde av vektorer forskjellige fra 0\mathbf{0} er lineært uavhengig.

Hvorfor: anta c1v1+⋯+ckvk=0c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}. Ta indreproduktet med vi\mathbf{v}_i på begge sider. Alle kryssledd ⟨vj,vi⟩\langle\mathbf{v}_j,\mathbf{v}_i\rangle (j≠ij\ne i) er 00, så bare ci⟨vi,vi⟩=0c_i\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle=0 står igjen. Siden vi≠0\mathbf{v}_i\ne\mathbf{0} er ⟨vi,vi⟩>0\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle>0, altså ci=0c_i=0. Dette gjelder hver ii, så alle koeffisienter er null.

Konsekvens: en ortogonal mengde med dim⁡V\dim V vektorer er automatisk en basis — du slipper å sjekke uavhengighet separat.

Ortogonal og ortonormal basis
En ortogonal basis for et rom VV er en basis som samtidig er en ortogonal mengde. Er hver basisvektor i tillegg en enhetsvektor (∥ui∥=1\|\mathbf{u}_i\|=1), kalles den en ortonormal basis:

⟨ui,uj⟩=δij={1i=j0i≠j.\langle\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\ne j.\end{cases}

En ortonormal basis er det ideelle koordinatsystemet: vektorene står vinkelrett og har lengde 11. Man kommer dit i to steg — først ortogonal (Gram–Schmidt), så normalisér hver vektor.

Koordinater i en ortogonal basis
Har du en ortogonal basis {v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} for WW, kan enhver y∈W\mathbf{y}\in W skrives med en formel i stedet for et likningssystem:

y=∑i=1k⟨y,vi⟩⟨vi,vi⟩ vi.\mathbf{y}=\sum_{i=1}^{k}\frac{\langle\mathbf{y},\mathbf{v}_i\rangle}{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle}\,\mathbf{v}_i.

Tallene ci=⟨y,vi⟩⟨vi,vi⟩c_i=\dfrac{\langle\mathbf{y},\mathbf{v}_i\rangle}{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle} kalles Fourier-koeffisientene til y\mathbf{y}. Dette er hele grunnen til at ortogonale baser er verdt bryet — hver koordinat regnes for seg, uavhengig av de andre. (I en ortonormal basis er nevneren 11, så ci=⟨y,ui⟩c_i=\langle\mathbf{y},\mathbf{u}_i\rangle.)

✏️Eksempel 1: Sjekk at en mengde er ortogonal

Er {v1,v2,v3}={(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}=\{(1,1,1),(-2,1,1),(0,-1,1)\} en ortogonal basis for R3\mathbb{R}^3 (standardprikkproduktet)?

Vi regner de tre parene.

⟨v1,v2⟩=(1)(−2)+(1)(1)+(1)(1)=−2+1+1=0.\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle=(1)(-2)+(1)(1)+(1)(1)=-2+1+1=0. ✓

⟨v1,v3⟩=(1)(0)+(1)(−1)+(1)(1)=0−1+1=0.\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle=(1)(0)+(1)(-1)+(1)(1)=0-1+1=0. ✓

⟨v2,v3⟩=(−2)(0)+(1)(−1)+(1)(1)=0−1+1=0.\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\rangle=(-2)(0)+(1)(-1)+(1)(1)=0-1+1=0. ✓

Alle par er 00, så mengden er ortogonal. Tre parvis ortogonale vektorer ≠0\ne\mathbf{0} er lineært uavhengige (teoremet over), og tre uavhengige vektorer i R3\mathbb{R}^3 er en basis. Altså er {v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} en ortogonal basis for R3\mathbb{R}^3.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.) Hva menes med en ortogonal mengde, og hva er i tillegg kravet for at en ortogonal basis skal være ortonormal?

✏️Eksempel 2: Koordinater i en ortogonal basis

Med den ortogonale basisen {v1,v2,v3}={(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}=\{(1,1,1),(-2,1,1),(0,-1,1)\} for R3\mathbb{R}^3: skriv y=(3,0,0)\mathbf{y}=(3,0,0) som en lineærkombinasjon av basisvektorene ved koordinatformelen.

Fourier-koeffisientene er ci=⟨y,vi⟩⟨vi,vi⟩c_i=\dfrac{\langle\mathbf{y},\mathbf{v}_i\rangle}{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle}.

c1=⟨(3,0,0),(1,1,1)⟩⟨(1,1,1),(1,1,1)⟩=33=1.c_1=\dfrac{\langle(3,0,0),(1,1,1)\rangle}{\langle(1,1,1),(1,1,1)\rangle}=\dfrac{3}{3}=1.

c2=⟨(3,0,0),(−2,1,1)⟩⟨(−2,1,1),(−2,1,1)⟩=−66=−1.c_2=\dfrac{\langle(3,0,0),(-2,1,1)\rangle}{\langle(-2,1,1),(-2,1,1)\rangle}=\dfrac{-6}{6}=-1.

c3=⟨(3,0,0),(0,−1,1)⟩⟨(0,−1,1),(0,−1,1)⟩=02=0.c_3=\dfrac{\langle(3,0,0),(0,-1,1)\rangle}{\langle(0,-1,1),(0,-1,1)\rangle}=\dfrac{0}{2}=0.

Altså y=1⋅v1−1⋅v2+0⋅v3\mathbf{y}=1\cdot\mathbf{v}_1-1\cdot\mathbf{v}_2+0\cdot\mathbf{v}_3. Kontroll: v1−v2=(1,1,1)−(−2,1,1)=(3,0,0)=y.\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2=(1,1,1)-(-2,1,1)=(3,0,0)=\mathbf{y}. ✓ Ingen likningssystem — bare tre uavhengige brøker.

📝Oppgave 2

Med den ortogonale basisen {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}\{(1,1,1),(-2,1,1),(0,-1,1)\} for R3\mathbb{R}^3 (standardprikkprodukt): finn koordinatene (Fourier-koeffisientene) til y=(0,3,3)\mathbf{y}=(0,3,3).

Løkke 2 — Gram–Schmidt i Rn\mathbb{R}^n (~22 min)

Gram–Schmidt-prosessen
Gitt en basis {a1,…,ak}\{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_k\} lager Gram–Schmidt-prosessen en ortogonal basis {v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} for det samme rommet, steg for steg:

v1=a1,vk=ak−∑i=1k−1⟨ak,vi⟩⟨vi,vi⟩ vi.\mathbf{v}_1=\mathbf{a}_1,\qquad \mathbf{v}_k=\mathbf{a}_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\mathbf{a}_k,\mathbf{v}_i\rangle}{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle}\,\mathbf{v}_i.

I ord: behold a1\mathbf{a}_1. For hver neste ak\mathbf{a}_k, trekk fra projeksjonen på hver av de allerede ortogonaliserte vi\mathbf{v}_i-ene — brøken ⟨ak,vi⟩⟨vi,vi⟩\displaystyle \frac{\langle\mathbf{a}_k,\mathbf{v}_i\rangle}{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle} er nettopp «hvor mye av ak\mathbf{a}_k som peker langs vi\mathbf{v}_i». Det som blir igjen står vinkelrett på alt før. Viktig: bruk de nye vi\mathbf{v}_i-ene i summen, aldri de opprinnelige ai\mathbf{a}_i-ene.

Heltalls-oppskalering

Etter hvert steg kan vk\mathbf{v}_k få stygge brøker. Siden en ortogonal basis fortsatt er ortogonal om du skalerer en vektor med et tall ≠0\ne0, kan du gange vk\mathbf{v}_k opp til en penere (gjerne heltallig) vektor før du går videre. Fasitene gjør dette rutinemessig — det holder regningen ren. Retningen (og dermed ortogonaliteten) er upåvirket; bare lengden endres, og den fikser normaliseringen til slutt.

✏️Eksempel 3: Gram–Schmidt i $\mathbb{R}^3$

Bruk Gram–Schmidt på basisen a1=(1,1,1)\mathbf{a}_1=(1,1,1), a2=(0,1,1)\mathbf{a}_2=(0,1,1), a3=(0,0,1)\mathbf{a}_3=(0,0,1) (standardprikkprodukt) til en ortogonal basis for R3\mathbb{R}^3.

Steg 1: v1=a1=(1,1,1)\mathbf{v}_1=\mathbf{a}_1=(1,1,1), med ⟨v1,v1⟩=3\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle=3.

Steg 2: ⟨a2,v1⟩=0+1+1=2\langle\mathbf{a}_2,\mathbf{v}_1\rangle=0+1+1=2, så
v2=a2−23v1=(0,1,1)−23(1,1,1)=(−23,13,13).\mathbf{v}_2=\mathbf{a}_2-\tfrac{2}{3}\mathbf{v}_1=(0,1,1)-\tfrac23(1,1,1)=\left(-\tfrac23,\tfrac13,\tfrac13\right).
Skalér opp med 33: v2=(−2,1,1)\mathbf{v}_2=(-2,1,1), med ⟨v2,v2⟩=6\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2\rangle=6.

Steg 3: ⟨a3,v1⟩=1\langle\mathbf{a}_3,\mathbf{v}_1\rangle=1 og ⟨a3,v2⟩=1\langle\mathbf{a}_3,\mathbf{v}_2\rangle=1, så
v3=a3−13v1−16v2=(0,0,1)−13(1,1,1)−16(−2,1,1)=(0,−12,12).\mathbf{v}_3=\mathbf{a}_3-\tfrac{1}{3}\mathbf{v}_1-\tfrac{1}{6}\mathbf{v}_2=(0,0,1)-\tfrac13(1,1,1)-\tfrac16(-2,1,1)=\left(0,-\tfrac12,\tfrac12\right).
Skalér opp med 22: v3=(0,−1,1)\mathbf{v}_3=(0,-1,1).

Ortogonal basis: {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}\{(1,1,1),(-2,1,1),(0,-1,1)\}. Kontroll: alle tre par gir 00 (se Eksempel 1). ✓ Merk: i steg 3 brukte vi den oppskalerte v2=(−2,1,1)\mathbf{v}_2=(-2,1,1) — da blir nevneren 66, ikke 23\tfrac23.

📝Oppgave 3

Bruk Gram–Schmidt på a1=(1,0,1)\mathbf{a}_1=(1,0,1), a2=(1,1,0)\mathbf{a}_2=(1,1,0) (standardprikkprodukt) til en ortogonal basis for underrommet Span⁡{a1,a2}\operatorname{Span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}. Skalér til heltall.

Normalisering til ortonormal basis
Har du en ortogonal basis {v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\}, får du en ortonormal basis ved å dele hver vektor på sin egen norm:

ui=1∥vi∥ vi,∥vi∥=⟨vi,vi⟩.\mathbf{u}_i=\frac{1}{\|\mathbf{v}_i\|}\,\mathbf{v}_i,\qquad \|\mathbf{v}_i\|=\sqrt{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle}.

Bruk den oppgitte normen. Etter heltalls-oppskalering blir normene ofte heltall\sqrt{\text{heltall}}, og enhetsvektorene får formen 1mvi\tfrac{1}{\sqrt m}\mathbf{v}_i — la svaret stå eksakt slik, aldri som desimaltilnærming.

✏️Eksempel 4: Normalisering

Normalisér den ortogonale basisen {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}\{(1,1,1),(-2,1,1),(0,-1,1)\} (standardprikkprodukt) til en ortonormal basis.

Regn normene:
∥(1,1,1)∥=3,∥(−2,1,1)∥=4+1+1=6,∥(0,−1,1)∥=0+1+1=2.\|(1,1,1)\|=\sqrt3,\quad \|(-2,1,1)\|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6,\quad \|(0,-1,1)\|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt2.
Del hver vektor på sin norm:
u1=13(1,1,1),u2=16(−2,1,1),u3=12(0,−1,1).\mathbf{u}_1=\tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1),\quad \mathbf{u}_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(-2,1,1),\quad \mathbf{u}_3=\tfrac{1}{\sqrt2}(0,-1,1).
Dette er en ortonormal basis for R3\mathbb{R}^3. Eksakt svar — la 13\tfrac{1}{\sqrt3} osv. stå; ikke skriv 0,5770{,}577.
📝Oppgave 4

Normalisér den ortogonale basisen {(1,0,1),(1,2,−1)}\{(1,0,1),(1,2,-1)\} (standardprikkprodukt) til en ortonormal basis for underrommet den utspenner.

Løkke 3 — Gram–Schmidt i et ikke-standard indreprodukt (~15 min)

✏️Eksempel 5: Gram–Schmidt i integralindreprodukt

På P⁡2\operatorname{P}_2 med ⟨p,q⟩=∫−11pq dt\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1 pq\,dt: bruk Gram–Schmidt på standardbasisen {1,t,t2}\{1,t,t^2\} til en ortogonal basis.

Alle indreprodukt er integraler over [−1,1][-1,1].

Steg 1: v1=1v_1=1, med ⟨1,1⟩=∫−111 dt=2\langle 1,1\rangle=\int_{-1}^1 1\,dt=2.

Steg 2: ⟨t,1⟩=∫−11t dt=0\langle t,1\rangle=\int_{-1}^1 t\,dt=0, så
v2=t−02⋅1=t.v_2=t-\tfrac{0}{2}\cdot 1=t.
(tt er allerede ortogonal på 11 — oddefunksjon over symmetrisk intervall.) ⟨t,t⟩=∫−11t2 dt=23.\langle t,t\rangle=\int_{-1}^1 t^2\,dt=\tfrac23.

Steg 3: ⟨t2,1⟩=∫−11t2 dt=23\langle t^2,1\rangle=\int_{-1}^1 t^2\,dt=\tfrac23 og ⟨t2,t⟩=∫−11t3 dt=0\langle t^2,t\rangle=\int_{-1}^1 t^3\,dt=0, så
v3=t2−2/32⋅1−02/3⋅t=t2−13.v_3=t^2-\frac{2/3}{2}\cdot 1-\frac{0}{2/3}\cdot t=t^2-\tfrac13.
Skalér opp med 33: v3=3t2−1v_3=3t^2-1.

Ortogonal basis: {1, t, 3t2−1}\{1,\ t,\ 3t^2-1\}. Kontroll: ⟨1,3t2−1⟩=∫−11(3t2−1) dt=[t3−t]−11=0\langle 1,3t^2-1\rangle=\int_{-1}^1(3t^2-1)\,dt=[t^3-t]_{-1}^1=0 og ⟨t,3t2−1⟩=0\langle t,3t^2-1\rangle=0 (odde). ✓ (Dette er de tre første Legendre-polynomene opp til skalering.)

📝Oppgave 5

På P⁡1\operatorname{P}_1 med integralindreproduktet ⟨p,q⟩=∫01pq dt\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} pq\,dt: bruk Gram–Schmidt på {1,t}\{1,t\} til en ortogonal basis, og normalisér deretter 11 til en enhetsvektor.

Merk at intervallet her er [0,1][0,1], ikke [−1,1][-1,1] — regn alle integraler over [0,1][0,1].

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform — apparatet bak sjanger B (Gram–Schmidt og ortogonal basis).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Parvis ortogonal

At hvert par ulike vektorer i en mengde er ortogonalt: ⟨vi,vj⟩=0\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle=0 for i≠ji\ne j. Dette er akkurat kravet til en ortogonal mengde — man sjekker alle parene.

Kronecker-delta δij\delta_{ij}

Symbolet δij\delta_{ij} er 11 når i=ji=j og 00 ellers. En ortonormal basis oppsummeres kompakt som ⟨ui,uj⟩=δij\langle\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j\rangle=\delta_{ij} — vinkelrett og enhetslengde i én formel.

Fourier-koeffisient

Tallet ci=⟨y,vi⟩⟨vi,vi⟩c_i=\dfrac{\langle\mathbf{y},\mathbf{v}_i\rangle}{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle} — koordinaten til y\mathbf{y} langs vi\mathbf{v}_i i en ortogonal basis. Regnes uavhengig av de andre koordinatene, uten likningssystem.

Projeksjonsledd

Uttrykket ⟨ak,vi⟩⟨vi,vi⟩vi\dfrac{\langle\mathbf{a}_k,\mathbf{v}_i\rangle}{\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle}\mathbf{v}_i som trekkes fra i Gram–Schmidt: «den delen av ak\mathbf{a}_k som peker langs vi\mathbf{v}_i». Å fjerne alle slike ledd gir en rest vinkelrett på det som er ortogonalisert.

Startsteget v1=a1\mathbf{v}_1=\mathbf{a}_1

Gram–Schmidt beholder den første vektoren uendret. Alle senere vektorer bygges relativt til den. Bytter du rekkefølge på ai\mathbf{a}_i-ene, får du en annen (men like gyldig) ortogonal basis.

Bruk vi\mathbf{v}_i, ikke ai\mathbf{a}_i

I projeksjonsleddene brukes de allerede ortogonaliserte vi\mathbf{v}_i-ene. Å bruke de opprinnelige ai\mathbf{a}_i-ene er en klassisk feil som ødelegger ortogonaliteten fra steg 3 og utover.

Nevneren ⟨vi,vi⟩\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\rangle

Kvadratet av normen til vi\mathbf{v}_i, som står i nevneren i hvert projeksjonsledd. Skalerer du vi\mathbf{v}_i opp til heltall, endres denne nevneren tilsvarende — bruk alltid den gjeldende (oppskalerte) vi\mathbf{v}_i.

Skalering bevarer ortogonalitet

Å gange en vektor i en ortogonal mengde med et tall ≠0\ne0 endrer bare lengden, ikke retningen — mengden forblir ortogonal. Dette er hjemmelen for heltalls-oppskalering underveis i Gram–Schmidt.

Ortogonal projeksjon på én vektor
proj⁡va=⟨a,v⟩⟨v,v⟩v\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{a}=\dfrac{\langle\mathbf{a},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\mathbf{v} — skyggen av a\mathbf{a} langs v\mathbf{v}. Gram–Schmidt trekker fra én slik projeksjon per allerede ortogonalisert vektor. Utvides til projeksjon på et helt underrom i Del 5.
Gram–Schmidt bevarer span

Etter hvert steg er Span⁡{v1,…,vk}=Span⁡{a1,…,ak}\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\}=\operatorname{Span}\{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_k\}. Prosessen bytter altså ut basisen uten å endre rommet — den ortogonale basisen utspenner nøyaktig det samme underrommet.

Ortogonal basis for et underrom

Gram–Schmidt kan kjøres på en basis for et underrom WW (f.eks. Col⁡A\operatorname{Col}A-kolonnene), og gir en ortogonal basis for WW — ikke for hele rommet rundt. Antall vektorer er dim⁡W\dim W.

Ortonormal vs. ortogonal

En ortogonal basis har vinkelrette vektorer; en ortonormal har i tillegg lengde 11. Mange oppgaver ber bare om ortogonal — normalisér kun når «ortonormal» eller «enhetsvektorer» står eksplisitt.

Legendre-polynomer

De ortogonale polynomene 1, t, 3t2−1,…1,\,t,\,3t^2-1,\dots Gram–Schmidt gir på {1,t,t2,… }\{1,t,t^2,\dots\} i integralindreproduktet over [−1,1][-1,1]. Et konkret eksempel på at «ortogonal basis» også gjelder polynomer.

Koordinater blir en formel

Hovedgevinsten ved en ortogonal basis: koordinatene til enhver vektor er Fourier-koeffisientene, regnet enkeltvis. Uten ortogonalitet må man løse et lineært likningssystem for de samme koordinatene.

Ortogonal matrise (forvarsel)

En kvadratisk matrise UU med ortonormale kolonner oppfyller UTU=IU^{T}U=I. Slike matrikser bygges nettopp av en ortonormal basis (Gram–Schmidt + normalisering) og blir sentrale i ortogonal diagonalisering (Del 6).

Sjekk til slutt

Billig forsikring: etter Gram–Schmidt, regn ⟨vi,vj⟩\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle for i≠ji\ne j og bekreft at de er 00 i det oppgitte indreproduktet. Fanger opp regnefeil før de forplanter seg videre i oppgaven.

Rekkefølgen på a-vektorene

Gram–Schmidt beholder a1\mathbf{a}_1 og bygger resten relativt til den, så ulik rekkefølge på inn-vektorene gir ulike ortogonale baser — alle gyldige for samme rom. Ofte lønner det seg å starte med den «peneste» vektoren for enklest regning.

Enhetsvektor i det oppgitte indreproduktet

En vektor med norm 11 målt i det aktuelle indreproduktet. Samme polynom kan være en enhetsvektor i ett indreprodukt og ha norm 2\sqrt2 i et annet — derfor må normaliseringen alltid bruke den oppgitte normen, ikke standardnormen.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.