1.2
Alle fag for Høyskole

1.2 Col A, Nul A, rang og dimensjonsteoremet

Fra RREF til de fundamentale underrommene: basis for Col A (de opprinnelige pivotkolonnene i A), basis for Nul A (spesielle løsninger), rang og dimensjonsteoremet — den mest gjentatte deloppgaven i faget.

60 min
9 oppgaver
Col ANul Arangdimensjonsteoremet
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 1.1 — RREF-lesing, pivoter, frie variabler, avhengighetsrelasjoner; underrom, span og lineær uavhengighet er repetert der
- Nullrom, søylerom og rang (MAT1110) — nullroms- og kolonneromsbegrepet; her setter vi det i system for eksamensbruk

To underrom hører til hver matrise: kolonnerommet Col⁡A\operatorname{Col}A (alt du kan lage av kolonnene) og nullrommet Nul⁡A\operatorname{Nul}A (alle løsningene av Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}). Fra vedleggets RREF leser du en basis for hver, tallet rang⁡A\operatorname{rang}A, og du sjekker deg selv med dimensjonsteoremet.

Kapitlet går i fire løkker (teori → eksempel → oppgave): (1) Col⁡A\operatorname{Col}A og den riktige basisen, (2) Nul⁡A\operatorname{Nul}A og de spesielle løsningene, (3) rang og dimensjonsteoremet, (4) om en gitt b\mathbf{b} ligger i Col⁡A\operatorname{Col}A. Vi bruker den samme matrisen AA gjennom flere løkker — akkurat som eksamen gjenbruker én matrise gjennom en hel oppgave.

Gjennomgangsmatrisen

Gjennom kapitlet bruker vi
A=[13−12426−159−1−321100135],rref⁡(A)=[1300−10010−10001200000] (fra vedlegget).A=\begin{bmatrix}1&3&-1&2&4\\2&6&-1&5&9\\-1&-3&2&1&1\\0&0&1&3&5\end{bmatrix},\qquad \operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&3&0&0&-1\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}\ \text{(fra vedlegget).}
Pivotkolonnene er 1, 3 og 4; de frie variablene er x2x_2 og x5x_5.

Kolonnerommet Col A og den riktige basisen (~15 min)

Col⁡A\operatorname{Col}A er spennet av kolonnene i AA — mengden av alle vektorer på formen AxA\mathbf{x}. Det er et underrom av Rm\mathbb{R}^m (der mm er antall rader).

For en basis trenger vi kolonner som er lineært uavhengige og utspenner Col⁡A\operatorname{Col}A. Svaret leses av vedlegget: pivotkolonnene er uavhengige, og hver ikke-pivotkolonne er en kombinasjon av dem. Men — og dette er fellen — basisen består av de opprinnelige kolonnene i AA som er pivotkolonner, ikke de reduserte kolonnene i RREF. RREF forteller oss hvilke kolonner (kolonne 1, 3, 4), men vektorene hentes fra AA. Grunnen: radreduksjon endrer kolonnerommet, så RREF-kolonnene lever i et annet rom.

Kolonnerom Col⁡A\operatorname{Col}A

Mengden av alle lineærkombinasjoner av kolonnene i AA: Col⁡A=Span⁡{a1,…,an}={Ax:x∈Rn}\operatorname{Col}A=\operatorname{Span}\{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n\}=\{A\mathbf{x}:\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\}. Det er et underrom av Rm\mathbb{R}^m. Likningen Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} er løsbar nøyaktig når b∈Col⁡A\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A.

Basis

En basis for et underrom WW er en mengde vektorer som (1) er lineært uavhengige og (2) utspenner WW. Alle baser for WW har like mange vektorer — det tallet er dimensjonen til WW.

Basis for Col⁡A\operatorname{Col}A (regelen)

Basis for Col⁡A=\operatorname{Col}A= de opprinnelige pivotkolonnene i AA (kolonnene i AA som svarer til pivotposisjonene i RREF). Ikke de reduserte kolonnene fra RREF — de lever i et annet kolonnerom fordi radreduksjon endrer Col⁡A\operatorname{Col}A. Antall basisvektorer =rang⁡A=\operatorname{rang}A.

✏️Eksempel 1: Basis for Col A (unngå fellen)

Finn en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A for gjennomgangsmatrisen, og oppgi dim⁡Col⁡A\dim\operatorname{Col}A.

Fra vedlegget (rref⁡\operatorname{rref}) ser vi at pivotkolonnene er 1, 3 og 4. Basisen er de opprinnelige kolonnene 1, 3 og 4 i AA — ikke RREF-kolonnene:
{[12−10], [−1−121], [2513]}.\Big\{\begin{bmatrix}1\\2\\-1\\0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}-1\\-1\\2\\1\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}2\\5\\1\\3\end{bmatrix}\Big\}.
Disse er lineært uavhengige (de er pivotkolonner) og utspenner Col⁡A\operatorname{Col}A (de øvrige kolonnene er kombinasjoner av dem, jf. kap. 1.1). Altså dim⁡Col⁡A=rang⁡A=3\dim\operatorname{Col}A=\operatorname{rang}A=3.

Sensorpoeng: hadde vi tatt kolonnene [1000],[0100],[0010]\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix} fra RREF, ville svaret vært feil — de utspenner et annet rom enn Col⁡A\operatorname{Col}A.

📝Oppgave 1
Vedlegget gir for en 3×43\times4-matrise AA:
rref⁡(A)=[120100140000],A=[120100141215].\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&4\\0&0&0&0\end{bmatrix},\qquad A=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&4\\1&2&1&5\end{bmatrix}.
Finn en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og oppgi dim⁡Col⁡A\dim\operatorname{Col}A.
📝Oppgave 2

En student skriver at basis for Col⁡A\operatorname{Col}A er {(1,0,0)T,(0,1,0)T}\{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T\} fordi det er pivotkolonnene i RREF. Forklar kort hvorfor dette er feil, og hva som er riktig framgangsmåte.

Nullrommet Nul A og de spesielle løsningene (~18 min)

Nul⁡A\operatorname{Nul}A er løsningsmengden til det homogene systemet Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} — et underrom av Rn\mathbb{R}^n (n=n= antall kolonner). En basis får du ved å parametrisere løsningen med de frie variablene: sett én fri variabel lik 11 og resten lik 00, og les av den bundne delen fra RREF. Hver fri variabel gir én basisvektor — en spesiell løsning.
Nullrom Nul⁡A\operatorname{Nul}A

Løsningsmengden til Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}: Nul⁡A={x∈Rn:Ax=0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}. Et underrom av Rn\mathbb{R}^n. Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{0}\} nøyaktig når kolonnene er lineært uavhengige (ingen frie variabler).

Spesiell løsning

Basisvektoren for Nul⁡A\operatorname{Nul}A du får ved å sette én fri variabel lik 11, de andre frie lik 00, og løse for de bundne variablene via RREF. Én spesiell løsning per fri variabel; til sammen danner de en basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A.

Nullitet dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A

Dimensjonen til nullrommet == antall frie variabler == antall ikke-pivotkolonner. Kalles også nulliteten til AA.

✏️Eksempel 2: Basis for Nul A

Finn en basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A for gjennomgangsmatrisen.

De frie variablene er x2x_2 og x5x_5 (ikke-pivotkolonner). Fra RREF leser vi likningene:
x1+3x2−x5=0,x3−x5=0,x4+2x5=0,x_1+3x_2-x_5=0,\qquad x_3-x_5=0,\qquad x_4+2x_5=0,
altså x1=−3x2+x5, x3=x5, x4=−2x5x_1=-3x_2+x_5,\ x_3=x_5,\ x_4=-2x_5.

Spesiell løsning 1 (x2=1, x5=0x_2=1,\ x_5=0): u1=(−3,1,0,0,0)T\mathbf{u}_1=(-3,1,0,0,0)^T.

Spesiell løsning 2 (x2=0, x5=1x_2=0,\ x_5=1): x1=1, x3=1, x4=−2x_1=1,\ x_3=1,\ x_4=-2, altså u2=(1,0,1,−2,1)T\mathbf{u}_2=(1,0,1,-2,1)^T.

Basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A: {u1,u2}\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}, og dim⁡Nul⁡A=2\dim\operatorname{Nul}A=2.

Kontroll: Au1=0A\mathbf{u}_1=\mathbf{0} og Au2=0A\mathbf{u}_2=\mathbf{0} (regn gjerne etter). Antall vektorer == antall frie variabler =2=2. ✓

📝Oppgave 3
Bruk RREF-en
rref⁡(A)=[1−20−110011200000]\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix}1&-2&0&-1&1\\0&0&1&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}
(pivotkolonner 1 og 3) til å finne en basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A og oppgi dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A.

Rang og dimensjonsteoremet (~15 min)

Rangen rang⁡A\operatorname{rang}A er antall pivoter =dim⁡Col⁡A=\dim\operatorname{Col}A. Sammen med nulliteten fyller den opp alle kolonnene:
 rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n (n=antall søyler).\boxed{\ \operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n\ }\quad(n=\text{antall søyler}).
Dette er dimensjonsteoremet (rang–nullitet). Bruk det som en rask kontroll: har du funnet en Col⁡\operatorname{Col}-basis og en Nul⁡\operatorname{Nul}-basis, skal antallet basisvektorer summere til antall kolonner.
Rang rang⁡A\operatorname{rang}A

Antall pivotposisjoner i RREF =dim⁡Col⁡A=dim⁡Row⁡A=\dim\operatorname{Col}A=\dim\operatorname{Row}A. Måler «hvor mange uavhengige kolonner (og rader)» AA har. Full kolonnerang betyr rang == antall kolonner (ingen frie variabler); full radrang betyr rang == antall rader.

Dimensjon

Antall vektorer i en (enhver) basis for et underrom. dim⁡Col⁡A=rang⁡A\dim\operatorname{Col}A=\operatorname{rang}A og dim⁡Nul⁡A=\dim\operatorname{Nul}A= antall frie variabler. Dimensjon er et tall; en basis er en mengde vektorer — bland ikke de to.

Dimensjonsteoremet (rang–nullitet)

For en m×nm\times n-matrise: rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n (antall søyler). Brukes som obligatorisk kontroll: summen av Col⁡\operatorname{Col}-basisvektorer og Nul⁡\operatorname{Nul}-basisvektorer skal bli antall kolonner.

✏️Eksempel 3: Rang og dimensjonsteoremet

Oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A for gjennomgangsmatrisen og kontroller med dimensjonsteoremet.

Fra vedlegget har RREF tre pivoter (kolonne 1, 3, 4), så rang⁡A=3\operatorname{rang}A=3. Vi fant dim⁡Nul⁡A=2\dim\operatorname{Nul}A=2 (to frie variabler).

Dimensjonsteoremet: rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=3+2=5=\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=3+2=5= antall søyler. ✓

Kontrollen bekrefter at både Col⁡\operatorname{Col}-basisen (3 vektorer) og Nul⁡\operatorname{Nul}-basisen (2 vektorer) har riktig antall.

📝Oppgave 4

En 4×74\times7-matrise AA har rang⁡A=4\operatorname{rang}A=4.

a) Hva er dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A?

b) Hva er dim⁡Col⁡A\dim\operatorname{Col}A, og i hvilket rom lever Col⁡A\operatorname{Col}A?

📝Oppgave 5

En matrise AA er 5×55\times5. Vedlegget viser at RREF har en nullrad og fire pivoter.

a) Er kolonnene i AA lineært uavhengige?

b) Finnes det ikke-trivielle løsninger av Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}?

Ligger b i Col A? (~12 min)

Spørsmålet «er Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} løsbar?» er det samme som «ligger b\mathbf{b} i Col⁡A\operatorname{Col}A?». Det leser du av totalmatrisen [ A∣b ][\,A\mid\mathbf{b}\,]: hvis dens RREF får en pivot i den siste kolonnen, er systemet inkonsistent og b∉Col⁡A\mathbf{b}\notin\operatorname{Col}A; ellers er b∈Col⁡A\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A. Ekvivalent: b∈Col⁡A  ⟺  rang⁡[ A∣b ]=rang⁡A\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A\iff\operatorname{rang}[\,A\mid\mathbf{b}\,]=\operatorname{rang}A.

Løsbarhet: b∈Col⁡A\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A
Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} er konsistent   ⟺  b∈Col⁡A  ⟺  rang⁡[ A∣b ]=rang⁡A\iff\mathbf{b}\in\operatorname{Col}A\iff\operatorname{rang}[\,A\mid\mathbf{b}\,]=\operatorname{rang}A. Fra vedlegget: en pivot i høyresidekolonnen i RREF av totalmatrisen betyr inkonsistent (da er b∉Col⁡A\mathbf{b}\notin\operatorname{Col}A).
✏️Eksempel 4: Ligger b i Col A?

For A=[120100141215]A=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&4\\1&2&1&5\end{bmatrix} (samme som i oppgave 1), avgjør om b=[110]\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} ligger i Col⁡A\operatorname{Col}A.

Vi leser RREF av totalmatrisen [ A∣b ][\,A\mid\mathbf{b}\,] fra vedlegget:
rref⁡[ A∣b ]=[120100014000001].\operatorname{rref}[\,A\mid\mathbf{b}\,]=\begin{bmatrix}1&2&0&1&0\\0&0&1&4&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}.
Den siste kolonnen (høyresiden) er en pivotkolonne — rad 3 gir likningen 0=10=1, som er umulig. Systemet er inkonsistent, altså b∉Col⁡A\mathbf{b}\notin\operatorname{Col}A.

Tolkning: rang⁡A=2\operatorname{rang}A=2, men rang⁡[ A∣b ]=3\operatorname{rang}[\,A\mid\mathbf{b}\,]=3 — de er ulike, så b\mathbf{b} ligger utenfor kolonnerommet.

📝Oppgave 6

For gjennomgangsmatrisen AA (den 4×54\times5) er b=[35−4−1]\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\5\\-4\\-1\end{bmatrix}. Vedlegget viser at rang⁡[ A∣b ]=3=rang⁡A\operatorname{rang}[\,A\mid\mathbf{b}\,]=3=\operatorname{rang}A, og at b=2a1−a3\mathbf{b}=2\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_3.

a) Ligger b\mathbf{b} i Col⁡A\operatorname{Col}A?

b) Gi en konkret x\mathbf{x} med Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Fundamentale underrom

De underrommene som hører til en matrise: Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A (og Row⁡A\operatorname{Row}A, kap. 1.3). Alle fire leses av samme RREF fra vedlegget. De to sentrale på oppgave 1 er Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A.

dim⁡Col⁡A=rang⁡A\dim\operatorname{Col}A=\operatorname{rang}A

Antall pivotkolonner. Kolonnerommets dimensjon er nettopp rangen — derfor teller du bare pivotene for å få dim⁡Col⁡A\dim\operatorname{Col}A, uten å skrive ut basisen.

Full kolonnerang
rang⁡A=n\operatorname{rang}A=n (antall kolonner): hver kolonne er pivotkolonne, ingen frie variabler, Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{0}\}, og kolonnene er lineært uavhengige. Da har Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} høyst én løsning.
Full radrang
rang⁡A=m\operatorname{rang}A=m (antall rader): ingen nullrader i RREF, Col⁡A=Rm\operatorname{Col}A=\mathbb{R}^m, og Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} er løsbar for enhver b\mathbf{b}.
Endelig-dimensjonalt rom

Et vektorrom med en endelig basis; dimensjonen er antall basisvektorer. Rn\mathbb{R}^n, Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A er alle endelig-dimensjonale. (Funksjonsrom kan være uendelig-dimensjonale — Del 2.)

Koordinater relativt en basis

Er B={b1,…,bk}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\} en basis for WW og x=c1b1+⋯+ckbk\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+\dots+c_k\mathbf{b}_k, er [x]B=(c1,…,ck)T[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=(c_1,\dots,c_k)^T entydig. Broen til abstrakte rom (Del 2); introdusert nærmere i kap. 1.3.

Underrom-test i praksis

For å vise at W⊆RnW\subseteq\mathbb{R}^n er et underrom: sjekk 0∈W\mathbf{0}\in W, lukket under addisjon og under skalarmultiplikasjon. Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A oppfyller alle tre automatisk (de er henholdsvis et span og et løsningsrom for et homogent system).

Invertibel matrise (koblingen)

For en kvadratisk n×nn\times n-matrise er følgende ekvivalent: AA invertibel   ⟺  rang⁡A=n  ⟺  Nul⁡A={0}  ⟺  Col⁡A=Rn  ⟺  \iff\operatorname{rang}A=n\iff\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{0}\}\iff\operatorname{Col}A=\mathbb{R}^n\iff kolonnene er en basis for Rn\mathbb{R}^n. (Invers-mekanikken forutsettes fra MAT1110.)

Col⁡A\operatorname{Col}A som bilderom

Ser du på AA som en avbildning x↦Ax\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}, er Col⁡A\operatorname{Col}A nøyaktig bildet (verdimengden): alle vektorer AA kan «treffe». Nul⁡A\operatorname{Nul}A er tilsvarende kjernen — alt som avbildes på 0\mathbf{0}. Dette språket brukes aktivt i Del 2.

Løsningsstruktur for Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}

Er systemet konsistent, har det formen x=xp+xh\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_h: én partikulærløsning xp\mathbf{x}_p pluss en vilkårlig xh∈Nul⁡A\mathbf{x}_h\in\operatorname{Nul}A. Løsningsmengden er et affint underrom (et parallellforskjøvet Nul⁡A\operatorname{Nul}A) — entydig løsning nøyaktig når Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{0}\}.

Basis: minimal og maksimal

En basis er samtidig en minimal utspennende mengde (fjern én vektor, og spennet krymper) og en maksimal lineært uavhengig mengde (legg til én vektor fra rommet, og den blir avhengig). Derfor har alle baser samme antall vektorer.

rang⁡A=rang⁡AT\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}A^{T}

Rangen er den samme for AA og dens transponerte: antall uavhengige kolonner == antall uavhengige rader. Dette er hvorfor dim⁡Col⁡A=dim⁡Row⁡A\dim\operatorname{Col}A=\dim\operatorname{Row}A (kap. 1.3).

Trivielt vs. ikke-trivielt nullrom
Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{0}\} (trivielt)   ⟺  \iff kolonnene er uavhengige   ⟺  \iff ingen frie variabler. Er dim⁡Nul⁡A≥1\dim\operatorname{Nul}A\ge1 (ikke-trivielt), finnes ikke-trivielle løsninger av Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Utspennende mengde
{v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} utspenner WW hvis Span⁡{v1,…,vk}=W\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\}=W. En utspennende mengde kan ha overflødige vektorer; fjerner du de avhengige, sitter du igjen med en basis.
Dimensjonen til Rn\mathbb{R}^n
dim⁡Rn=n\dim\mathbb{R}^n=n, med standardbasisen {e1,…,en}\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}. Ethvert underrom av Rn\mathbb{R}^n har dimensjon mellom 00 (bare 0\mathbf{0}) og nn (hele rommet).
Pivotkolonnene utspenner Col⁡A\operatorname{Col}A

Fordi hver ikke-pivotkolonne er en lineærkombinasjon av pivotkolonnene (avhengighetsrelasjonene, kap. 1.1), utspenner pivotkolonnene alene hele Col⁡A\operatorname{Col}A. De er også uavhengige — derfor er de en basis.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.