Tilbake
3.1
Alle fag for Høyskole

3.1 Egenverdier, egenvektorer og egenrom

Egenverdier og egenvektorer med MAT1120s arbeidsmåte: verifiser en oppgitt egenvektor ved innsetting Av=λv, les det karakteristiske polynomet fra vedlegget (poly), og finn egenrom (A−λI)v=0 fra RREF.

60 min
11 oppgaver
Egenverdieregenvektoreregenrom
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 1.2 — nullrom Nul⁡A\operatorname{Nul}A og hvordan en basis leses av RREF; egenrommet regnes på nøyaktig samme måte
- Kap. 1.1 — vedleggslesning
- Grunnleggende egenverdier (MAT1110) — det grunnleggende egenverdibegrepet og komplekse tall
- Komplekse tall — repetisjon av komplekse tall

Vi bygger begrepet opp fra grunnen her, men regner ikke matriseprodukt og radreduksjon fra bunnen — det sitter fra MAT1110.

En egenvektor for en matrise AA er en retning som AA ikke vrir bort: AA strekker den bare med en faktor. Faktoren er egenverdien. Kapitlet går i fire løkker (teori →\to eksempel →\to oppgave):

1. Hva egenverdi/egenvektor er, og hvordan du verifiserer en oppgitt egenvektor ved innsetting.
2. Den karakteristiske likningen og hvordan egenverdiene leses av vedlegget.
3. Egenrommet Eλ=Nul⁡(A−λI)E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I) fra vedleggets RREF.
4. Algebraisk vs. geometrisk multiplisitet og kontrollrelasjonene (spor⁡\operatorname{spor}, det⁡\det).

Vi bruker gjennomgående to matriser, slik at teknikkene bygger på hverandre.

Løkke 1 — Egenverdi, egenvektor og verifisering ved innsetting (~15 min)

En egenvektor peker i en retning som blir liggende: AvA\mathbf{v} er en skalar gange v\mathbf{v} selv. Vi krever alltid v≠0\mathbf{v}\ne\mathbf{0} (nullvektoren ville oppfylt likningen for enhver λ\lambda og ville ikke fortalt noe). Egenverdien λ\lambda er strekkfaktoren, og den kan godt være 00 eller negativ — negativ betyr at AA snur retningen.

Når oppgaven oppgir en vektor og spør om den er en egenvektor, er den raskeste og mest presise metoden å sette den inn: regn ut AvA\mathbf{v} og se om resultatet er et multiplum av v\mathbf{v}. Da slipper du hele det karakteristiske polynomet.

Egenverdi og egenvektor

La AA være en kvadratisk n×nn\times n-matrise. En egenvektor er en vektor v≠0\mathbf{v}\ne\mathbf{0} slik at Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} for et tall λ\lambda. Tallet λ\lambda er den tilhørende egenverdien. I ord: AA virker på v\mathbf{v} bare ved å strekke den med faktoren λ\lambda — retningen bevares (eller snus, hvis λ<0\lambda<0).

Verifisering ved innsetting

For å sjekke at en oppgitt vektor v\mathbf{v} er egenvektor for AA: regn ut AvA\mathbf{v}. Er Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} for et tall λ\lambda, er v\mathbf{v} egenvektor med egenverdi λ\lambda; ellers ikke. Dette er den foretrukne metoden når v\mathbf{v} er gitt — du trenger ikke det karakteristiske polynomet. Egenverdien leser du rett av forholdet mellom AvA\mathbf{v} og v\mathbf{v}.

✏️Eksempel 1: Verifiser en oppgitt egenvektor

La A=[12−10−10224]A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&-1&0\\2&2&4\end{bmatrix}. Vis at v=(1,−1,0)T\mathbf{v}=(1,-1,0)^{T} er en egenvektor, og finn egenverdien.

Vi setter inn og regner ut AvA\mathbf{v}:
Av=[12−10−10224][1−10]=[1⋅1+2⋅(−1)+(−1)⋅00⋅1+(−1)(−1)+0⋅02⋅1+2⋅(−1)+4⋅0]=[−110].A\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&-1&0\\2&2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot1+2\cdot(-1)+(-1)\cdot0\\0\cdot1+(-1)(-1)+0\cdot0\\2\cdot1+2\cdot(-1)+4\cdot0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}.
Resultatet er [−110]=−1⋅[1−10]=−v\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}=-1\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=-\mathbf{v}. Altså er Av=(−1)vA\mathbf{v}=(-1)\mathbf{v}, så v\mathbf{v} er en egenvektor med egenverdi λ=−1\lambda=-1.

Konklusjon: v=(1,−1,0)T\mathbf{v}=(1,-1,0)^{T} er egenvektor for AA med λ=−1\lambda=-1. Vi trengte verken determinant eller karakteristisk polynom — bare ett matrise–vektor-produkt.

📝Oppgave 1

La A=[3012]A=\begin{bmatrix}3&0\\1&2\end{bmatrix}. Vis ved innsetting at v=(0,1)T\mathbf{v}=(0,1)^{T} er en egenvektor, og oppgi egenverdien.

📝Oppgave 2

For A=[12−10−10224]A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&-1&0\\2&2&4\end{bmatrix} (som i eksempel 1), avgjør ved innsetting om

a) u=(−1,0,1)T\mathbf{u}=(-1,0,1)^{T} er en egenvektor.

b) w=(1,1,1)T\mathbf{w}=(1,1,1)^{T} er en egenvektor.

Løkke 2 — Karakteristisk likning: les egenverdiene av vedlegget (~15 min)

Når ingen egenvektor er oppgitt, må vi finne egenverdiene selv. Likningen Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} kan skrives (A−λI)v=0(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. En ikke-null løsning finnes nøyaktig når A−λIA-\lambda I er singulær, altså når
det⁡(A−λI)=0.\det(A-\lambda I)=0.
Dette er den karakteristiske likningen; venstresiden er det karakteristiske polynomet, et polynom av grad nn i λ\lambda. Egenverdiene er røttene.

MAT1120-metoden: for en 3×33\times3 eller større regner du ikke ut denne determinanten for hånd — du leser polynomet av vedlegget (poly⁡(A)\operatorname{poly}(A) gir koeffisientene, eller eig gir egenverdiene direkte) og faktoriserer. To snarveier gjelder alltid: en triangulær matrise har egenverdiene stående på diagonalen, og λ=0\lambda=0 er egenverdi nøyaktig når AA er singulær.

Karakteristisk likning og polynom

Egenverdiene til AA er løsningene av den karakteristiske likningen det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0. Venstresiden p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda)=\det(A-\lambda I) er det karakteristiske polynomet — et polynom av grad nn. For store matriser leses koeffisientene/røttene av vedlegget (poly⁡\operatorname{poly}/eig) i stedet for å regnes ut for hånd.

Triangulær matrise ⇒ egenverdier på diagonalen

Er AA triangulær (øvre eller nedre) — eller diagonal — står egenverdiene rett på hoveddiagonalen. Grunn: A−λIA-\lambda I er da også triangulær, og determinanten av en triangulær matrise er produktet av diagonalelementene, så det⁡(A−λI)=(a11−λ)⋯(ann−λ)\det(A-\lambda I)=(a_{11}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda). Ingen regning nødvendig — les av diagonalen.

✏️Eksempel 2: Egenverdier fra vedlegget

Vedlegget gir for A=[10−2−35−3−56−2]A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\-3&5&-3\\-5&6&-2\end{bmatrix} det karakteristiske polynomet poly⁡(A): λ3−4λ2+λ+6\operatorname{poly}(A):\ \lambda^{3}-4\lambda^{2}+\lambda+6. Finn alle egenverdiene.

Fra vedlegget (poly⁡\operatorname{poly}) er det karakteristiske polynomet p(λ)=λ3−4λ2+λ+6p(\lambda)=\lambda^{3}-4\lambda^{2}+\lambda+6 (vi regner det ikke ut for hånd). Vi faktoriserer. Prøver vi heltallsrøtter blant divisorene av 66, gir λ=−1\lambda=-1: (−1)−4−1+6=0(-1)-4-1+6=0 ✓. Polynomdivisjon med (λ+1)(\lambda+1) gir
p(λ)=(λ+1)(λ2−5λ+6)=(λ+1)(λ−2)(λ−3).p(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda^{2}-5\lambda+6)=(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-3).
Egenverdiene er λ=−1, 2, 3\lambda=-1,\ 2,\ 3 — tre distinkte verdier.

Kontroll: summen −1+2+3=4-1+2+3=4 skal være sporet spor⁡A=1+5+(−2)=4\operatorname{spor}A=1+5+(-2)=4 ✓, og produktet (−1)⋅2⋅3=−6(-1)\cdot2\cdot3=-6 skal være det⁡A\det A (vi bruker denne kontrollen i løkke 4).

📝Oppgave 3

Oppgi egenverdiene til den triangulære matrisen T=[23−1024005]T=\begin{bmatrix}2&3&-1\\0&2&4\\0&0&5\end{bmatrix} direkte fra vedlegget/diagonalen, og skriv det karakteristiske polynomet på faktorisert form.

📝Oppgave 4

Vedlegget gir poly⁡(A)=λ3−9λ2+24λ−20\operatorname{poly}(A)=\lambda^{3}-9\lambda^{2}+24\lambda-20 for en 3×33\times3-matrise AA, og opplyser at λ=2\lambda=2 er en rot.

a) Faktoriser polynomet fullstendig og oppgi alle egenverdiene med multiplisitet.

b) Kontroller at summen av egenverdiene er lik sporet, som vedlegget oppgir til 99.

Løkke 3 — Egenrommet E_λ = Nul(A − λI) (~15 min)

Til hver egenverdi λ\lambda hører alle egenvektorene med den verdien, pluss nullvektoren — det er nettopp løsningsmengden til (A−λI)v=0(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Denne mengden er egenrommet EλE_\lambda, og det er Nul⁡(A−λI)\operatorname{Nul}(A-\lambda I). Derfor er å finne egenrommet eksakt samme jobb som å finne en nullrombasis i kap. 1.2: sett opp A−λIA-\lambda I, les RREF fra vedlegget, og skriv de spesielle løsningene.

Egenrom EλE_\lambda

Egenrommet til egenverdien λ\lambda er Eλ=Nul⁡(A−λI)={v:(A−λI)v=0}E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I)=\{\mathbf{v}:(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\} — alle egenvektorene for λ\lambda sammen med 0\mathbf{0}. Det er et underrom av Rn\mathbb{R}^{n}. En basis finnes som spesielle løsninger fra RREF av A−λIA-\lambda I (nøyaktig som nullrombasis, kap. 1.2).

✏️Eksempel 3: Finn et egenrom fra vedleggets RREF

For A=[10−2−35−3−56−2]A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\-3&5&-3\\-5&6&-2\end{bmatrix} (egenverdier −1,2,3-1,2,3 fra eksempel 2), finn egenrommet E2E_{2}.

Vi ser på A−2I=[−10−2−33−3−56−4]A-2I=\begin{bmatrix}-1&0&-2\\-3&3&-3\\-5&6&-4\end{bmatrix} og henter RREF fra vedlegget:
rref⁡(A−2I)=[102011000].\operatorname{rref}(A-2I)=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}.
Pivotkolonner er 1 og 2; x3x_{3} er fri. Likningene gir x1=−2x3x_{1}=-2x_{3}, x2=−x3x_{2}=-x_{3}. Med x3=1x_{3}=1: v=(−2,−1,1)T\mathbf{v}=(-2,-1,1)^{T}. Altså
E2=Span⁡{(−2,−1,1)T},dim⁡E2=1.E_{2}=\operatorname{Span}\{(-2,-1,1)^{T}\},\qquad \dim E_{2}=1.
Kontroll ved innsetting: A(−2,−1,1)T=(−2⋅1+0−2, 6−5−3, 10−6−2)T=(−4,−2,2)T=2(−2,−1,1)TA(-2,-1,1)^{T}=(-2\cdot1+0-2,\ 6-5-3,\ 10-6-2)^{T}=(-4,-2,2)^{T}=2(-2,-1,1)^{T} ✓.
📝Oppgave 5

For A=[10−2−35−3−56−2]A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\-3&5&-3\\-5&6&-2\end{bmatrix} gir vedlegget rref⁡(A+I)=[10−101−1000]\operatorname{rref}(A+I)=\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}. Finn egenrommet E−1E_{-1} og oppgi dimensjonen.

📝Oppgave 6

Vedlegget gir for A=[5−333−133−35]A=\begin{bmatrix}5&-3&3\\3&-1&3\\3&-3&5\end{bmatrix} (egenverdier 2,2,52,2,5) at rref⁡(A−2I)=[1−11000000]\operatorname{rref}(A-2I)=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}. Finn E2E_{2} og oppgi dim⁡E2\dim E_{2}.

Løkke 4 — Algebraisk vs. geometrisk multiplisitet og kontrollrelasjonene (~15 min)

En egenverdi kan ha to «størrelser», og forskjellen på dem er selve nøkkelen til neste kapittel:

- Algebraisk multiplisitet == hvor mange ganger λ\lambda er rot i det karakteristiske polynomet (potensen på faktoren (λ−λ0)(\lambda-\lambda_0)).
- Geometrisk multiplisitet =dim⁡Eλ=\dim E_\lambda == antall lineært uavhengige egenvektorer for λ\lambda == antall frie variabler i A−λIA-\lambda I.

Det gjelder alltid 1≤1\le geo ≤\le alg. Når geo << alg er egenverdien «defekt» — det er nettopp da matrisen ikke kan diagonaliseres (kap. 3.2). To gratis kontroller: sporet er summen av egenverdiene og determinanten er produktet (begge med multiplisitet).

Algebraisk multiplisitet

Den algebraiske multiplisiteten til egenverdien λ0\lambda_0 er antallet ganger λ0\lambda_0 opptrer som rot i det karakteristiske polynomet — altså eksponenten mm i faktoren (λ−λ0)m(\lambda-\lambda_0)^{m}. Summen av de algebraiske multiplisitetene er alltid nn (polynomets grad).

Geometrisk multiplisitet

Den geometriske multiplisiteten til λ0\lambda_0 er dim⁡Eλ0\dim E_{\lambda_0} — antallet lineært uavhengige egenvektorer, som er lik antallet frie variabler i A−λ0IA-\lambda_0 I. Den er alltid minst 11 (en egenverdi har alltid minst én egenvektor).

Ulikheten geo ≤ alg

For enhver egenverdi gjelder 1≤dim⁡Eλ≤1\le\dim E_{\lambda}\le (algebraisk multiplisitet). Er den geometriske strengt mindre enn den algebraiske, kalles egenverdien defekt; da mangler det egenvektorer, og matrisen kan ikke diagonaliseres (kap. 3.2). For en enkel egenverdi (alg =1=1) er alltid geo =1=1.

Spor = sum av egenverdier
spor⁡A\operatorname{spor}A (summen av diagonalelementene) er lik summen av egenverdiene, talt med algebraisk multiplisitet: spor⁡A=∑λi\operatorname{spor}A=\sum\lambda_i. Brukes som rask kontroll på at egenverdiene fra vedlegget er riktige.
Determinant = produkt av egenverdier
det⁡A\det A er lik produktet av egenverdiene, talt med multiplisitet: det⁡A=∏λi\det A=\prod\lambda_i. Følge: λ=0\lambda=0 er egenverdi   ⟺  det⁡A=0  ⟺  A\iff\det A=0\iff A er singulær.
✏️Eksempel 4: Multiplisiteter og kontroll

For A=[5−333−133−35]A=\begin{bmatrix}5&-3&3\\3&-1&3\\3&-3&5\end{bmatrix} er det karakteristiske polynomet (λ−2)2(λ−5)(\lambda-2)^{2}(\lambda-5), og vi fant dim⁡E2=2\dim E_{2}=2 (oppgave 6). Oppgi algebraisk og geometrisk multiplisitet for hver egenverdi, og kontroller med spor og determinant.

Egenverdi λ=2\lambda=2: algebraisk multiplisitet 22 (dobbeltrot). Geometrisk multiplisitet dim⁡E2=2\dim E_{2}=2. Her er geo == alg =2=2 — ingen defekt.

Egenverdi λ=5\lambda=5: algebraisk multiplisitet 11 (enkel rot), så geometrisk =1=1 automatisk.

Kontroller:
- Spor: spor⁡A=5+(−1)+5=9\operatorname{spor}A=5+(-1)+5=9, og summen av egenverdiene 2+2+5=92+2+5=9 ✓.
- Determinant: det⁡A=∏λi=2⋅2⋅5=20\det A=\prod\lambda_i=2\cdot2\cdot5=20 ✓ (og siden ingen egenverdi er 00, er AA invertibel).

At geo == alg for hver egenverdi er akkurat kriteriet som gjør AA diagonaliserbar — vi utnytter det i kap. 3.2.

📝Oppgave 7

En 3×33\times3-matrise AA har karakteristisk polynom (λ−4)2(λ−1)(\lambda-4)^{2}(\lambda-1), og vedlegget viser at dim⁡E4=1\dim E_{4}=1.

a) Oppgi algebraisk og geometrisk multiplisitet for λ=4\lambda=4.

b) Er λ=4\lambda=4 defekt? Hva sier det om senere diagonalisering (foregripende)?

c) Bruk determinant-relasjonen til å avgjøre om AA er invertibel.

📝Oppgave 8

En 2×22\times2-matrise har egenverdier λ1=3\lambda_1=3 og λ2=−2\lambda_2=-2. Bruk kontrollrelasjonene til å oppgi spor⁡A\operatorname{spor}A og det⁡A\det A, og avgjør om AA er invertibel.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Spektrum

Mengden av alle egenverdiene til AA kalles spekteret. En n×nn\times n-matrise har (talt med multiplisitet, og med komplekse verdier tillatt) nøyaktig nn egenverdier, siden det karakteristiske polynomet har grad nn.

Kravet v ≠ 0

En egenvektor må være forskjellig fra nullvektoren. Uten kravet ville A0=λ0A\mathbf{0}=\lambda\mathbf{0} holdt for enhver λ\lambda, og begrepet ville vært tomt. Egenverdien λ\lambda derimot kan godt være 00.

Egenrommet er et underrom
Eλ=Nul⁡(A−λI)E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I) er alltid et underrom (det er et nullrom): det inneholder 0\mathbf{0} og er lukket under addisjon og skalering. Derfor er enhver lineærkombinasjon av egenvektorer med samme egenverdi igjen en egenvektor (eller 0\mathbf{0}).
Egenvektorer til ulike egenverdier er uavhengige

Egenvektorer som hører til forskjellige egenverdier er alltid lineært uavhengige. Følge: har en n×nn\times n-matrise nn distinkte egenverdier, danner egenvektorene en basis for Rn\mathbb{R}^{n} — grunnlaget for «distinkte ⇒\Rightarrow diagonaliserbar» (kap. 3.2).

Skalarmultipler av en egenvektor

Er v\mathbf{v} egenvektor for λ\lambda, er cvc\mathbf{v} det også for enhver c≠0c\ne0 (samme λ\lambda). Egenvektorer er derfor aldri entydige — vi velger gjerne en pen heltallsrepresentant. Det er egenrommets retning som er bestemt, ikke lengden.

λ = 0 og singularitet
λ=0\lambda=0 er egenverdi   ⟺  Av=0\iff A\mathbf{v}=\mathbf{0} har ikke-null-løsning   ⟺  Nul⁡A≠{0}  ⟺  A\iff\operatorname{Nul}A\ne\{\mathbf{0}\}\iff A singulær   ⟺  det⁡A=0\iff\det A=0. Da er E0=Nul⁡AE_0=\operatorname{Nul}A.
Egenverdier til A−1A^{-1}

Er AA invertibel med Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} (nødvendigvis λ≠0\lambda\ne0), er A−1v=1λvA^{-1}\mathbf{v}=\tfrac{1}{\lambda}\mathbf{v} — samme egenvektor, egenverdi 1/λ1/\lambda. Egenvektorene deles altså mellom AA og A−1A^{-1}.

Egenverdier til ATA^{T}
AA og ATA^{T} har samme karakteristiske polynom (fordi det⁡(A−λI)=det⁡((A−λI)T)=det⁡(AT−λI)\det(A-\lambda I)=\det((A-\lambda I)^{T})=\det(A^{T}-\lambda I)), altså samme egenverdier — men vanligvis ikke de samme egenvektorene.
Komplekse egenverdier

En reell matrise kan ha komplekse egenverdier (røttene av et reelt polynom kan være komplekse); de opptrer da i konjugerte par. En rotasjon i planet er standardeksempelet. Komplekse tall repeteres i Komplekse tall.

Similære matriser
AA og BB er similære hvis B=P−1APB=P^{-1}AP for en invertibel PP. Similære matriser har samme karakteristiske polynom, og dermed samme egenverdier, spor og determinant. Diagonalisering (kap. 3.2) er nettopp å finne en similær matrise som er diagonal.
Sporet er en similaritetsinvariant
spor⁡(P−1AP)=spor⁡A\operatorname{spor}(P^{-1}AP)=\operatorname{spor}A. Sammen med spor⁡A=∑λi\operatorname{spor}A=\sum\lambda_i gir dette en rask konsistenssjekk: uansett basis er sporet summen av egenverdiene.
Determinanten er en similaritetsinvariant
det⁡(P−1AP)=det⁡A\det(P^{-1}AP)=\det A. Sammen med det⁡A=∏λi\det A=\prod\lambda_i betyr det at produktet av egenverdiene er basisuavhengig — nok en gratis kontroll på vedleggsavlesningen.
Egenverdier til AkA^{k}

Er Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}, er Akv=λkvA^{k}\mathbf{v}=\lambda^{k}\mathbf{v} — samme egenvektor, egenverdi λk\lambda^{k}. Dette utnyttes fullt ut i kap. 3.3 (Ak=PDkP−1A^{k}=PD^{k}P^{-1}).

Defekt egenverdi

En egenverdi med geometrisk << algebraisk multiplisitet. Da «mangler» egenrommet dimensjoner i forhold til rotens multiplisitet, og matrisen kan ikke diagonaliseres. En enkel egenverdi kan aldri være defekt.

Sum av geometriske multiplisiteter

Summen av alle dim⁡Eλi\dim E_{\lambda_i} er høyst nn. Er den lik nn, finnes en basis av egenvektorer og AA er diagonaliserbar; er den mindre enn nn, mangler det egenvektorer. Dette er diagonaliserbarhetskriteriet i kap. 3.2.

poly og eig i vedlegget
poly⁡(A)\operatorname{poly}(A) gir koeffisientene til det karakteristiske polynomet; eig(A) (eller [V,D]=eig(A)) gir egenverdiene (i DD) og egenvektorene (i VV). MAT1120-metoden er å lese disse og bruke dem — ikke regne det⁡(A−λI)\det(A-\lambda I) for hånd for n≥3n\ge3.
Egenverdier til en diagonalmatrise

En diagonalmatrise D=diag⁡(d1,…,dn)D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) har egenverdiene d1,…,dnd_1,\dots,d_n med standard-enhetsvektorene ei\mathbf{e}_i som egenvektorer. Diagonal er spesialtilfellet triangulær der alt utenfor diagonalen er 00.

Identitet og skalarmatriser
II har den ene egenverdien 11 (alg mult nn), og hele Rn\mathbb{R}^{n} som egenrom (geo =n=n). En skalarmatrise cIcI har egenverdien cc med geometrisk multiplisitet nn — maksimalt «snill», aldri defekt.
E0=Nul⁡AE_0=\operatorname{Nul}A

Egenrommet til egenverdien 00 er nettopp nullrommet: E0=Nul⁡(A−0⋅I)=Nul⁡AE_0=\operatorname{Nul}(A-0\cdot I)=\operatorname{Nul}A. Basisen for E0E_0 finnes med de vanlige spesielle løsningene fra kap. 1.2.

Multiplisitetssummen fyller polynomet

For en n×nn\times n-matrise er summen av de algebraiske multiplisitetene alltid nn (over de komplekse tallene). Er alle egenverdiene reelle og alle enkle, er de nn distinkte tall; ellers deler multiplisiteter opp de nn «plassene».

Egenverdier under skift A+cIA+cI
A+cIA+cI har samme egenvektorer som AA, med egenverdier λ+c\lambda+c: (A+cI)v=Av+cv=(λ+c)v(A+cI)\mathbf{v}=A\mathbf{v}+c\mathbf{v}=(\lambda+c)\mathbf{v}. Nyttig når man forskyver spekteret (f.eks. for å gjøre en matrise invertibel).
Innsetting er billigst

Er en egenvektor (eller et par egenverdi/egenvektor) oppgitt eller foreslått, er verifisering ved innsetting Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} nesten alltid raskere enn å gå via polynomet — og sensor godtar det fullt ut. Reserver polynomet/vedlegget for når du må finne ukjente egenverdier.

Egenbasis

En basis for Rn\mathbb{R}^{n} som helt består av egenvektorer for AA. Den finnes nøyaktig når summen av de geometriske multiplisitetene er nn — altså nøyaktig når AA er diagonaliserbar. Da blir AA «diagonal» i egenbasisen.

Reelle egenverdier for symmetriske

En symmetrisk matrise (A=ATA=A^{T}) har alltid reelle egenverdier og er aldri defekt — den er til og med ortogonalt diagonaliserbar (spektralteoremet, [Del 6]). Verdt å merke seg allerede nå som en garantert «snill» klasse.

Graden bestemmer antallet

Det karakteristiske polynomet til en n×nn\times n-matrise har grad nn med ledende ledd (−1)nλn(-1)^{n}\lambda^{n}. Derfor er antallet egenverdier (med multiplisitet) alltid nn — verken flere eller færre.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.