3.3 Aᵏ og polynom i A

Er $A=PDP^{-1}$ diagonaliserbar, er $A^{k}=PD^{k}P^{-1}$ for ethvert $k\ge1$, med $D^{k}=\operatorname{diag}(\lambda_1^{k},\dots,\lambda_n^{k})$. Samme $P$ som for $A$; bare diagonalen endres. (Er $A$ invertibel, gjelder det også for negative $k$, med $\lambda^{k}$.)

For et polynom $q(x)=c_mx^{m}+\dots+c_1x+c_0$ er $q(A)=c_mA^{m}+\dots+c_1A+c_0I$ — konstantleddet blir $c_0I$ (identiteten), ikke tallet $c_0$. $q(A)$ er en $n\times n$-matrise av samme størrelse som $A$.

Er $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$, så er $q(A)\mathbf{v}=q(\lambda)\mathbf{v}$ for ethvert polynom $q$. Altså deler $q(A)$ egenvektorer med $A$, og egenverdiene transformeres ved $\lambda\mapsto q(\lambda)$. Følger av $A^{j}\mathbf{v}=\lambda^{j}\mathbf{v}$ ledd for ledd.

Er $A=PDP^{-1}$, er $q(A)=Pq(D)P^{-1}$ der $q(D)=\operatorname{diag}(q(\lambda_1),\dots,q(\lambda_n))$. Diagonaliseringen av $q(A)$ bruker samme $P$ som $A$ — du regner bare $q$ av hver egenverdi. Dette er den store tidsbesparelsen i sjanger E.

Enhver kvadratisk matrise annullerer sitt eget karakteristiske polynom: er $p(\lambda)=\det(A-\lambda I)$, så $p(A)=O$ (nullmatrisen). Følge: $A^{n}$ (og høyere potenser) kan skrives som lineærkombinasjoner av $I,A,\dots,A^{n-1}$. Regnes sjelden ut på eksamen, men er nyttig teori.

For en diagonal $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ er $D^{k}=\operatorname{diag}(\lambda_1^{k},\dots,\lambda_n^{k})$ — hvert diagonalelement opphøyd i $k$, alt utenfor diagonalen forblir $0$. Det er derfor $A^{k}$ blir enkelt via diagonalisering.

En egenvektor for $A$ er egenvektor for $A^{k}$ (egenverdi $\lambda^{k}$) og for $q(A)$ (egenverdi $q(\lambda)$). Egenvektorene endres aldri av å ta potenser eller polynom — bare egenverdiene transformeres.

I $q(A)$ erstattes hver $x^{j}$ med $A^{j}$ og konstantleddet $c_0$ med $c_0I$. Å skrive bare $+c_0$ (et tall) i en matriseligning er en typefeil — man kan ikke addere et tall til en matrise.

Determinanten til $q(A)$ er produktet av $q(\lambda_i)$ over alle egenverdiene (med multiplisitet). Derfor styrer nullpunktene til $q$ på $A$s spektrum om $q(A)$ er singulær.

Er $q(\lambda_0)=0$ for en egenverdi $\lambda_0$, ligger hele egenrommet $E_{\lambda_0}$ i $\operatorname{Nul}q(A)$: for $\mathbf{v}\in E_{\lambda_0}$ er $q(A)\mathbf{v}=q(\lambda_0)\mathbf{v}=\mathbf{0}$. Slik oppstår singularitet i $q(A)$.

Er $A$ invertibel ($0$ ikke egenverdi), gjelder $A^{-k}=PD^{-k}P^{-1}$ med $D^{-k}=\operatorname{diag}(\lambda_i^{-k})$. Egenverdiene til $A^{-1}$ er $1/\lambda_i$ — spesialtilfellet $q(x)=x^{-1}$ av samme idé.

Er $A$ diagonaliserbar, er $q(A)$ det også — med samme $P$. Merk at $q(A)$ kan ha færre distinkte egenverdier enn $A$ (hvis $q$ sender ulike $\lambda$ til samme verdi), men den er fortsatt diagonaliserbar.

Cayley–Hamilton ($p(A)=O$) lar deg redusere høye potenser: for en $2\times2$-matrise med $p(\lambda)=\lambda^{2}-t\lambda+d$ gir $A^{2}=tA-dI$, så $A^{3}=tA^{2}-dA$ osv. Nyttig når diagonalisering ikke er tilgjengelig.

Velger man $q$ smart, får man nyttige matriser: en projeksjon oppfyller $q(x)=x^{2}-x=0$ på spekteret (egenverdier $0,1$), en involusjon $q(x)=x^{2}-1=0$ (egenverdier $\pm1$). Egenverdibetingelsen $q(\lambda)=0$ karakteriserer klassen.

Samme idé strekker seg til $e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$ med $e^{Dt}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_it})$ — grunnlaget for løsning av $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ (Del 7). En egenvektor er egenvektor også for matrisefunksjoner, med egenverdi $f(\lambda)$.

Har du allerede $P$ og $D$ for $A$, koster $q(A)$ eller $A^{k}$ nesten ingenting: du bytter bare $D$ mot $q(D)$ eller $D^{k}$. Å diagonalisere $q(A)$ på nytt fra bunnen er bortkastet — og en vanlig tidstyv.

Spekteret til $q(A)$ er bildet $\{q(\lambda):\lambda\text{ egenverdi til }A\}$. Dette er «spektralavbildningssetningen» i praksis: for å finne egenverdiene til $q(A)$ trenger du bare kjøre $A$s egenverdier gjennom $q$.

Sender $q$ to ulike egenverdier $\lambda_1\ne\lambda_2$ til samme verdi $q(\lambda_1)=q(\lambda_2)$, får $q(A)$ en egenverdi med større geometrisk multiplisitet (egenrommene slås sammen). Diagonaliserbarheten bevares, men strukturen forenkles.

For en invertibel matrise kan $A^{-1}$ uttrykkes som et polynom i $A$ (følge av Cayley–Hamilton). F.eks. $2\times2$: $A^{-1}=\tfrac{1}{d}(tI-A)$ når $p(\lambda)=\lambda^{2}-t\lambda+d$. Illustrerer at «alt bygget av $A$» deler $A$s egenvektorer.

Kontroller alltid et $q(A)$- eller $A^{k}$-resultat ved å sette inn en egenvektor: $q(A)\mathbf{v}$ skal bli $q(\lambda)\mathbf{v}$, og $A^{k}\mathbf{v}$ skal bli $\lambda^{k}\mathbf{v}$. Rask sjekk uten å gange ut hele produktet.

(1) Diagonaliser $A=PDP^{-1}$ (fra kap. 3.2). (2) For $A^{k}$: bytt $D$ mot $D^{k}$. (3) For $q(A)$: bytt $D$ mot $q(D)=\operatorname{diag}(q(\lambda_i))$, behold $P$. (4) Invertibel $\iff$ ingen $q(\lambda)=0$. Samme $P$ hele veien.