3.4 Drill: egenverdi- og diagonaliseringskjeden

Egenverdi-repertoaret drillet: verifiser egenvektor → les polynom/egenverdier fra vedlegg → begrunn diagonaliserbarhet med multiplisitet/snarvei → bygg P og D matchet → Aᵏ/q(A) med samme P.

90 min

13 oppgaver

Drillegenverdi-diagonaliseringskjeden

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Aᵏ og polynom i A

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Egenverdier og diagonalisering

Her drilles hele egenverdioppgaven til automatikk. Sjanger D + E (verifiser egenvektor, egenverdier/egenrom fra vedlegg, begrunn diagonaliserbarhet, bygg

P/D

A^{k}

q(A)

) er ~100 % av settene, nesten alltid oppgave 2 — ofte kjedet på én matrise gjennom flere deler.

- Diagonaliserbarhet skal ALLTID begrunnes — med en navngitt snarvei (distinkt/symmetrisk/triangulær) eller multiplisitet (geo $=$ alg). Det er her flest taper poeng.
- Alt av egenverdier/egenrom leses av vedlegget ( $\operatorname{poly}$ /eig/RREF).
- $P$ og $D$ matches søyle for søyle; $A^{k}$ og $q(A)$ bruker samme $P$ .
- Regn ~15–25 min på en typisk oppgave 2.

Under følger løsningsoppskriften, en sensor-kommentert O2-case, og en stigende oppgavebank. Forkunnskaper: kap. 3.1–3.3.

Løsningsoppskrift — egenverdioppgaven steg for steg

Møter du en sjanger D/E-oppgave, kjør denne algoritmen:

1. Er en egenvektor oppgitt? Verifiser ved innsetting $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ — ikke via polynomet.
2. Trengs egenverdiene? Les $\operatorname{poly}$ /eig av vedlegget og faktoriser. Kontroll: $\sum\lambda=\operatorname{spor}A$ , $\prod\lambda=\det A$ .
3. Egenrom: $E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I)$ — spesielle løsninger fra vedleggets RREF.
4. Begrunn diagonaliserbarhet med en navngitt snarvei ( $n$ distinkte / symmetrisk / triangulær) eller multiplisitet (geo $=$ alg for hver egenverdi). Ikke-diagonaliserbar: vis geo $<$ alg for én egenverdi.
5. Bygg $P$ / $D$ matchet søyle for søyle. For $A^{k}$ : $PD^{k}P^{-1}$ . For $q(A)$ : $Pq(D)P^{-1}$ (samme $P$ ), invertibel $\iff$ ingen $q(\lambda)=0$ .

Skriv en verbal konklusjonssetning til slutt, og oppgi eksakte svar.

Innsetting-regelen (drill)

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

Vedlegg-regelen (drill)

\operatorname{poly}

Begrunnelse-regelen (drill)

n

Match-regelen (drill)

j

Ikke-diagonaliserbar-regelen (drill)

A

Potens/polynom-regelen (drill)

A^{k}=PD^{k}P^{-1}

✏️Gjennomregnet O2-case (sensor-kommentert)

Oppgave 2 (10 p). La

A=\begin{bmatrix}5&-3&3\\3&-1&3\\3&-3&5\end{bmatrix}

. Vedlegget gir karakteristisk polynom

(\lambda-2)^{2}(\lambda-5)

\operatorname{rref}(A-2I)=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}

\operatorname{rref}(A-5I)=\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}

a) Avgjør om $A$ er diagonaliserbar, og finn i så fall $P$ og $D$ med $A=PDP^{-1}$ .

b) Finn $A^{k}$ uttrykt ved $2^{k}$ og $5^{k}$ .

a) Fra vedlegget (

\operatorname{poly}

) er egenverdiene

\lambda=2

(algebraisk multiplisitet

2

) og

\lambda=5

(enkel).

Sensormerknad: her holder ingen snarvei — egenverdiene er ikke distinkte, $A$ er ikke symmetrisk og ikke triangulær. Diagonaliserbarhet MÅ derfor begrunnes med multiplisitet, og det er dette poenget sensor leter etter.

$\lambda=2$ : $\operatorname{rref}(A-2I)$ har én pivot, altså to frie variabler, så $\dim E_{2}=2$ . Likningen $x_1=x_2-x_3$ gir spesielle løsninger $(1,1,0)^{T}$ ( $x_2=1$ ) og $(-1,0,1)^{T}$ ( $x_3=1$ ). Her er geo $=2=$ alg.

$\lambda=5$ : enkel, så geo $=1$ automatisk. Fra $\operatorname{rref}(A-5I)$ : $x_1=x_3,\ x_2=x_3$ , spesiell løsning $(1,1,1)^{T}$ .

Summen av geometriske multiplisiteter er $2+1=3=n$ , så $A$ er diagonaliserbar (geo $=$ alg for hver egenverdi). Matchet søyle for søyle:
$P=\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&5\end{bmatrix}.$

Sensormerknad: søyle 1 og 2 er egenvektorer for $\lambda=2$ , søyle 3 for $\lambda=5$ — og $D$ har $2,2,5$ i nøyaktig samme rekkefølge. Feilmatchet $D$ er et klassisk poengtap her.

Kontroll: $A(1,1,0)^{T}=(2,2,0)^{T}=2(1,1,0)^{T}$ ✓, og $\operatorname{spor}A=9=2+2+5$ ✓, $\det A=20=2\cdot2\cdot5$ ✓.

b) $A^{k}=PD^{k}P^{-1}$ med $D^{k}=\operatorname{diag}(2^{k},2^{k},5^{k})$ . Her er $P^{-1}=\begin{bmatrix}-1&2&-1\\-1&1&0\\1&-1&1\end{bmatrix}$ , og multiplikasjonen gir
$A^{k}=\begin{bmatrix}5^{k}&2^{k}-5^{k}&5^{k}-2^{k}\\5^{k}-2^{k}&2\cdot2^{k}-5^{k}&5^{k}-2^{k}\\5^{k}-2^{k}&2^{k}-5^{k}&5^{k}\end{bmatrix}.$

Sensormerknad: at $A^{k}$ bruker SAMME $P$ som i a) er hele poenget — man diagonaliserer ikke $A^{k}$ på nytt. Kontroll $k=1$ gir tilbake $A$ (f.eks. øvre venstre $5^{1}=5$ ; midtre $2\cdot2-5=-1$ ) ✓.

Konklusjon: $A$ er diagonaliserbar med $P,D$ som over, og $A^{k}=PD^{k}P^{-1}$ som angitt.

Oppgavebank — stigende vanskegrad

Bland deloppgavene fritt, men før hver som en A-besvarelse: siter vedlegget, begrunn diagonaliserbarhet, match $P/D$ , og skriv eksakte svar.

📝Oppgave 1

Verifiser ved innsetting at $\mathbf{v}=(-1,0,1)^{T}$ er en egenvektor for $A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&-1&0\\2&2&4\end{bmatrix}$ , og oppgi egenverdien.

📝Oppgave 2

Vedlegget gir for $A$ (en $3\times3$ -matrise) $\operatorname{poly}(A)=\lambda^{3}-4\lambda^{2}+\lambda+6$ og $\operatorname{rref}(A-2I)=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}$ .

a) Faktoriser polynomet og oppgi egenverdiene.

b) Finn egenrommet $E_{2}$ .

📝Oppgave 3

Gi kortest mulig begrunnelse for om hver matrise er diagonaliserbar:

a) en $3\times3$ -matrise med egenverdier $-1,2,3$ .

b) $A=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}$ .

📝Oppgave 4

For $A=\begin{bmatrix}4&-2&2\\2&0&2\\-1&1&1\end{bmatrix}$ gir vedlegget $(\lambda-2)^{2}(\lambda-1)$ og $\operatorname{rref}(A-2I)=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ . Er $A$ diagonaliserbar? Begrunn med multiplisitet.

📝Oppgave 5

Er $A=\begin{bmatrix}1&2&-4\\-1&1&-1\\2&-1&7\end{bmatrix}$ diagonaliserbar? Vedlegget: $(\lambda-2)^{2}(\lambda-5)$ og $\operatorname{rref}(A-2I)=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}$ .

📝Oppgave 6

Matrisen $A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\-3&5&-3\\-5&6&-2\end{bmatrix}$ har egenverdier $-1,2,3$ med egenvektorer $(1,1,1)^{T},(-2,-1,1)^{T},(-1,0,1)^{T}$ . Skriv opp $P$ og $D$ med $A=PDP^{-1}$ , og kontroller matchingen for én søyle.

📝Oppgave 7

La $A=\begin{bmatrix}3&-2\\1&0\end{bmatrix}$ ha egenverdier $1,2$ med egenvektorer $(1,1)^{T},(2,1)^{T}$ . Finn et lukket uttrykk for $A^{k}$ .

📝Oppgave 8

A

har egenverdier

-1,2,3

med egenvektormatrise

P=\begin{bmatrix}1&-2&-1\\1&-1&0\\1&1&1\end{bmatrix}

. Sett

B=A^{2}-2I

a) Oppgi egenverdiene til $B$ .

b) Skriv en diagonalisering av $B$ .

📝Oppgave 9

A

har egenverdier

-1,2,3

. Er

C=2I+A-A^{2}

invertibel? Og er

B=A^{2}-A-2I

invertibel? Begrunn ved å sjekke alle egenverdiene.

📝Oppgave 10

For hvilke $\alpha$ er $A(\alpha)=\begin{bmatrix}5&0&0\\\alpha&5&0\\0&0&2\end{bmatrix}$ diagonaliserbar? Begrunn med egenrommets dimensjon.

📝Oppgave 11

Kjedet oppgave (O2-simulering). La

A=\begin{bmatrix}3&-1&1\\-1&3&1\\1&1&3\end{bmatrix}

. Vedlegget:

(\lambda-4)^{2}(\lambda-1)

\operatorname{rref}(A-4I)=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}

\operatorname{rref}(A-I)=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}

a) Verifiser ved innsetting at $(-1,1,0)^{T}$ er egenvektor, og oppgi egenverdien.

b) Er $A$ diagonaliserbar? Begrunn.

c) Finn $P$ og $D$ med $A=PDP^{-1}$ .

📝Oppgave 12

En $3\times3$ -matrise har egenverdier $2,2,5$ . Bruk kontrollrelasjonene til å oppgi $\operatorname{spor}A$ og $\det A$ , og avgjør om $A$ er invertibel.

📝Oppgave 13

A

har egenverdier

1

-1

, begge med fullt egenrom, og

A=PDP^{-1}

. Vis at

A^{2}=I

, og forklar hva slags avbildning

A

er geometrisk.

Typiske feil under tidspress

- Diagonaliserbarhet uten begrunnelse — den dyreste vanen. Navngi alltid snarveien eller vis geo $=$ alg.
- $P/D$ feilmatchet: egenverdien i $D_{jj}$ må høre til egenvektoren i søyle $j$ av $P$ .
- «Ikke diagonaliserbar» uten å peke på et for lite egenrom (geo $<$ alg).
- Regner polynom/egenverdier for hånd i stedet for å bruke vedlegget; eller regner $A^{k}$ ved gjentatt multiplikasjon i stedet for $PD^{k}P^{-1}$ .
- Feil $P$ for $q(A)$ : skal være samme $P$ som $A$ ; og invertibilitet krever at alle $q(\lambda)\ne0$ .
- Glemmer kontrollene $\sum\lambda=\operatorname{spor}A$ , $\prod\lambda=\det A$ — de avslører raskt en avlesningsfeil.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.