3.P Prøver til del 3: Egenverdier og diagonalisering

Disse fire prøvene dekker hele Del 3 — Egenverdier og diagonalisering og trener sjanger D + E: egenverdier, diagonalisering $A=PDP^{-1}$ og $A^{k}/q(A)$ — den faste oppgave 2 som er med i praktisk talt hvert eksamenssett (~100 %). Alt av egenverdier og egenrom leses av et vedlegg ($\operatorname{poly}$/eig/RREF) — du regner aldri karakteristisk polynom eller radreduserer store $A-\lambda I$ for hånd.

- Prøve 1 — Egenvektor-verifisering, egenrom og multiplisitet (kap. 3.1): verifiser en oppgitt egenvektor ved innsetting $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$, les egenverdiene av vedlegget og finn egenrom, algebraisk vs. geometrisk multiplisitet. ~35 min.
- Prøve 2 — Diagonalisering $A=PDP^{-1}$ + begrunnelse (kap. 3.2): bygg $P$ og $D$ matchet, og begrunn diagonaliserbarhet med multiplisitet eller en navngitt snarvei. ~40 min.
- Prøve 3 — Ikke-diagonaliserbar + $A^{k}/q(A)$ (kap. 3.2–3.3): vis at et egenrom er for lite (geo $<$ alg), og regn potenser/polynom i $A$ med samme $P$. ~35 min.
- Prøve 4 — Oppgave 2-simulering (kap. 3.1–3.4): hele egenverdikjeden — verifiser $\to$ egenrom $\to$ begrunn $\to$ $P/D$ $\to$ $A^{k}$ — kjedet på én gjenbrukt matrise. ~45 min.

4 prøver à ~35–45 min, kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt. Milepælen er å fullføre settet, ikke å ta alt på én gang.

Merk formatet: MAT1120-eksamen har ingen flervalg — alt er fullt begrunnet langsvar. Her har likevel Prøve 1 en liten flervalgsdel til rask begrepssjekk (flervalget bor inne i Prøve 1); kryss av og kontroller mot fasiten. De øvrige oppgavene skal føres som en fullstendig besvarelse: sitér vedlegget («Fra vedlegget ser vi at …»), begrunn hver diagonaliserbarhets-konklusjon med multiplisitet eller en navngitt snarvei, match $P$ og $D$ søyle for søyle, og avslutt med en verbal konklusjon og eksakte svar. Etter hver fasit står en avkryssbar selvdiagnose.