Tilbake
3.2
Alle fag for Høyskole

3.2 Diagonalisering A=PDP⁻¹ og multiplisitetskriteriet

Diagonalisering A=PDP⁻¹ og selve karakterskilleren: å BEGRUNNE diagonaliserbarhet med multiplisitet eller en navngitt snarvei (distinkt/symmetrisk/triangulær), og å vise ikke-diagonaliserbarhet ved et for lite egenrom.

60 min
10 oppgaver
Diagonalisering A=PDP⁻¹multiplisitetskriteriet
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 3.1 — egenverdier, egenrom, algebraisk vs. geometrisk multiplisitet (hele kapitlet bygger på disse begrepene); similaritetsbegrepet ble introdusert i begrepsbanken der
- Kap. 1.2 — dimensjon og basis
- Matriseinvers og matriseprodukt (MAT1110) — vi regner ikke ut P−1P^{-1} fra grunnen, men bruker den

Å diagonalisere AA er å skrive A=PDP−1A=PDP^{-1} der DD er diagonal. Det betyr at AA oppfører seg som en ren strekking langs egenvektorretningene — og det gjør potenser, differenslikninger og mye annet enkelt (kap. 3.3). Kapitlet går i fire løkker:

1. Hva A=PDP−1A=PDP^{-1} betyr, og hvordan du bygger PP og DD matchet søyle for søyle.
2. Diagonaliserbarhetskriteriet og de tre snarveiene som gir en rask begrunnelse.
3. Ikke-diagonaliserbarhet: vis at et egenrom er for lite.
4. Parameteravhengige matriser: for hvilke verdier er AA diagonaliserbar?

Løkke 1 — A = PDP⁻¹: bygg P og D matchet søyle for søyle (~15 min)

Anta AA har en egenbasis — nn lineært uavhengige egenvektorer v1,…,vn\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n med egenverdier λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n. Sett dem som søyler i P=[v1 ⋯ vn]P=[\mathbf{v}_1\ \cdots\ \mathbf{v}_n] og egenverdiene på diagonalen i D=diag⁡(λ1,…,λn)D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n). Da er AP=PDAP=PD (søyle for søyle: Avj=λjvjA\mathbf{v}_j=\lambda_j\mathbf{v}_j), og fordi søylene er uavhengige er PP invertibel, så
A=PDP−1.A=PDP^{-1}.
Det kritiske er matchingen: egenvektoren i søyle jj av PP og egenverdien i posisjon (j,j)(j,j) av DD må høre sammen. Bytter du rekkefølge, må du bytte i begge.
Diagonalisering A=PDP−1A=PDP^{-1}

Å diagonalisere en n×nn\times n-matrise AA er å skrive A=PDP−1A=PDP^{-1} der DD er en diagonalmatrise og PP er invertibel. Søylene i PP er lineært uavhengige egenvektorer, og DD har de tilhørende egenverdiene på diagonalen — matchet søyle for søyle. AA og DD er da similære (samme egenverdier, spor, determinant).

Diagonaliserbar matrise
AA er diagonaliserbar dersom den kan skrives A=PDP−1A=PDP^{-1} med DD diagonal — ekvivalent: dersom det finnes en basis for Rn\mathbb{R}^{n} som består av egenvektorer for AA (en egenbasis). Ikke alle matriser er diagonaliserbare.
Matching av P og D

Bygg PP og DD samtidig: står egenvektoren vj\mathbf{v}_j i søyle jj av PP, skal egenverdien λj\lambda_j stå i diagonalposisjon (j,j)(j,j) av DD. Rekkefølgen på egenparene er fri, men må være den samme i PP og DD. Feil matching gir A≠PDP−1A\ne PDP^{-1} — en klassisk føringsfeil.

✏️Eksempel 1: Diagonaliser en matrise med distinkte egenverdier

Diagonaliser A=[10−2−35−3−56−2]A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\-3&5&-3\\-5&6&-2\end{bmatrix}. Fra vedlegget er egenverdiene −1,2,3-1,2,3 med egenrom utspent av henholdsvis (1,1,1)T(1,1,1)^{T}, (−2,−1,1)T(-2,-1,1)^{T} og (−1,0,1)T(-1,0,1)^{T}.

Egenverdiene −1,2,3-1,2,3 er tre distinkte verdier for en 3×33\times3-matrise, så AA er diagonaliserbar (distinkt-snarveien, løkke 2), og de tre egenvektorene danner en egenbasis.

Vi matcher søyle for søyle. Velger vi rekkefølgen λ=−1,2,3\lambda=-1,2,3:
P=[1−2−11−10111],D=[−100020003].P=\begin{bmatrix}1&-2&-1\\1&-1&0\\1&1&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}.
Søyle 1 er egenvektoren for −1-1, søyle 2 for 22, søyle 3 for 33 — og DD har −1,2,3-1,2,3 i samme rekkefølge.

Kontroll: PP er invertibel (uavhengige søyler), her med P−1=[1−111−21−23−1]P^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&-2&1\\-2&3&-1\end{bmatrix}, og man verifiserer AP=PDAP=PD søyle for søyle, f.eks. A⋅(1,1,1)T=(−1,−1,−1)T=−1⋅(1,1,1)TA\cdot(1,1,1)^{T}=(-1,-1,-1)^{T}=-1\cdot(1,1,1)^{T} ✓.

Konklusjon: A=PDP−1A=PDP^{-1} med P,DP,D som over. (Andre rekkefølger på egenparene gir andre, like gyldige P,DP,D.)

📝Oppgave 1

En 2×22\times2-matrise AA har egenverdi 44 med egenvektor (1,1)T(1,1)^{T} og egenverdi −1-1 med egenvektor (1,−2)T(1,-2)^{T}. Skriv opp et par P,DP,D med A=PDP−1A=PDP^{-1}.

📝Oppgave 2

For AA i eksempel 1, en student skriver P=[1−2−11−10111]P=\begin{bmatrix}1&-2&-1\\1&-1&0\\1&1&1\end{bmatrix} men D=[20003000−1]D=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&-1\end{bmatrix}. Forklar hva som er galt, og rett det.

Løkke 2 — Diagonaliserbarhetskriteriet og de tre snarveiene (~18 min)

Når er AA diagonaliserbar? Nøyaktig når det finnes en egenbasis — altså når summen av de geometriske multiplisitetene er nn. Ekvivalent, per egenverdi: geometrisk == algebraisk multiplisitet for hver egenverdi. (Enkle egenverdier oppfyller dette gratis; bare egenverdier med algebraisk multiplisitet ≥2\ge2 må sjekkes.)

Tre snarveier lar deg begrunne uten å regne ut alle egenrom:

1. nn distinkte egenverdier ⇒\Rightarrow diagonaliserbar (egenvektorer til ulike egenverdier er uavhengige, kap. 3.1).
2. Symmetrisk (A=ATA=A^{T}) ⇒\Rightarrow ortogonalt diagonaliserbar (spektralteoremet, [Del 6]).
3. Triangulær ⇒\Rightarrow egenverdiene leses av diagonalen; sjekk så multiplisitet ved behov.

Har ingen snarvei, faller du tilbake på hovedkriteriet: sjekk geo == alg for hver gjentatt egenverdi.

Diagonaliserbarhetskriteriet

En n×nn\times n-matrise AA er diagonaliserbar   ⟺  \iff summen av de geometriske multiplisitetene er nn   ⟺  \iff for hver egenverdi er geometrisk multiplisitet == algebraisk multiplisitet. I praksis: bare egenverdier med algebraisk multiplisitet ≥2\ge2 må sjekkes — de enkle er alltid i orden.

Snarvei: nn distinkte egenverdier

Har en n×nn\times n-matrise nn forskjellige egenverdier, er den automatisk diagonaliserbar: hver egenverdi er enkel (geo == alg =1=1), og egenvektorene til ulike egenverdier er uavhengige, så de danner en egenbasis. Merk: distinkte egenverdier er tilstrekkelig, men ikke nødvendig.

Snarvei: symmetrisk matrise

Er A=ATA=A^{T} (symmetrisk med reelle tall), er AA alltid diagonaliserbar — til og med ortogonalt (A=PDPTA=PDP^{T} med ortonormal PP), ved spektralteoremet ([Del 6]). Egenverdiene er reelle og ingen egenverdi er defekt. En rask og sikker begrunnelse når du ser symmetri.

Snarvei: triangulær matrise

En triangulær matrise har egenverdiene på diagonalen. Er de alle forskjellige, er den diagonaliserbar (distinkt-snarveien). Er noen like, må du likevel sjekke geo == alg — triangulær garanterer ikke diagonaliserbarhet i seg selv.

✏️Eksempel 2: Begrunn diagonaliserbarhet med multiplisitet

Er A=[5−333−133−35]A=\begin{bmatrix}5&-3&3\\3&-1&3\\3&-3&5\end{bmatrix} diagonaliserbar? Fra vedlegget: karakteristisk polynom (λ−2)2(λ−5)(\lambda-2)^{2}(\lambda-5), og rref⁡(A−2I)=[1−11000000]\operatorname{rref}(A-2I)=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.

Egenverdiene er λ=2\lambda=2 (algebraisk multiplisitet 22) og λ=5\lambda=5 (enkel). Her er ingen snarvei nok: egenverdiene er ikke distinkte, matrisen er ikke symmetrisk, ikke triangulær. Vi bruker hovedkriteriet og sjekker den gjentatte egenverdien.

λ=2\lambda=2: fra RREF har A−2IA-2I bare én pivot, altså to frie variabler, så dim⁡E2=2\dim E_{2}=2. Da er geometrisk multiplisitet 2=2= algebraisk multiplisitet.

λ=5\lambda=5: enkel, så geo == alg =1=1 automatisk.

Summen av geometriske multiplisiteter er 2+1=3=n2+1=3=n. Konklusjon: AA er diagonaliserbar — geo == alg for hver egenverdi. (En egenbasis: (1,1,0)T,(−1,0,1)T(1,1,0)^{T},(-1,0,1)^{T} for λ=2\lambda=2 og (1,1,1)T(1,1,1)^{T} for λ=5\lambda=5.)

📝Oppgave 3

Avgjør, med kortest mulig begrunnelse, om hver matrise er diagonaliserbar:

a) en 3×33\times3-matrise med egenverdier 1, 4, −21,\ 4,\ -2.

b) en symmetrisk 4×44\times4-matrise.

c) [2705]\begin{bmatrix}2&7\\0&5\end{bmatrix}.

📝Oppgave 4

En 3×33\times3-matrise AA har karakteristisk polynom (λ−3)2(λ−1)(\lambda-3)^{2}(\lambda-1). Vedlegget viser at dim⁡E3=2\dim E_{3}=2.

a) Er AA diagonaliserbar? Begrunn med multiplisitet.

b) Hvor mange søyler i PP hører til egenverdien 33, og hvor mange til 11?

Løkke 3 — Ikke-diagonaliserbar: vis at et egenrom er for lite (~15 min)

Er AA ikke diagonaliserbar, må du vise det — ikke bare påstå det. Beviset er alltid det samme: pek ut en egenverdi der geometrisk << algebraisk multiplisitet, altså et egenrom som er for lite til å fylle rotens multiplisitet. Da finnes det ikke nok uavhengige egenvektorer til en egenbasis.

Ikke-diagonaliserbar (geo < alg)
AA er ikke diagonaliserbar dersom minst én egenverdi er defekt: dim⁡Eλ<\dim E_\lambda< (algebraisk multiplisitet). Bevisføringen er å regne dim⁡Eλ\dim E_\lambda (antall frie variabler i A−λIA-\lambda I) og vise at det er mindre enn multiplisiteten i polynomet. Da når ikke summen av geometriske multiplisiteter opp i nn.
✏️Eksempel 3: En matrise som ikke er diagonaliserbar

Er T=[23−1024005]T=\begin{bmatrix}2&3&-1\\0&2&4\\0&0&5\end{bmatrix} diagonaliserbar? Vedlegget gir rref⁡(T−2I)=[010001000]\operatorname{rref}(T-2I)=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}.

TT er triangulær, så egenverdiene står på diagonalen: λ=2\lambda=2 (algebraisk multiplisitet 22) og λ=5\lambda=5 (enkel). Egenverdiene er ikke distinkte, så vi må sjekke λ=2\lambda=2.

Fra vedleggets RREF av T−2IT-2I er kolonne 2 og 3 pivotkolonner, og bare x1x_1 er fri — altså én fri variabel, så dim⁡E2=1\dim E_{2}=1.

Her er geometrisk multiplisitet 1<2=1<2= algebraisk multiplisitet: λ=2\lambda=2 er defekt. Summen av geometriske multiplisiteter er 1+1=2<3=n1+1=2<3=n, så det finnes ingen egenbasis.

Konklusjon: TT er IKKE diagonaliserbar, fordi egenrommet E2E_{2} har dimensjon 11, som er for lite i forhold til den doble roten λ=2\lambda=2.

📝Oppgave 5

En 3×33\times3-matrise AA har karakteristisk polynom (λ−2)3(\lambda-2)^{3}, og vedlegget viser rref⁡(A−2I)=[1−10001000]\operatorname{rref}(A-2I)=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}. Er AA diagonaliserbar? Begrunn ved å vise egenrommets dimensjon.

📝Oppgave 6

Avgjør om B=[4104]B=\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix} er diagonaliserbar, og forklar hva som ville vært annerledes hvis det (1)(1)-elementet oppe til høyre var 00 i stedet.

Løkke 4 — Parameteravhengige matriser (~12 min)

En vanlig eksamensvariant er en matrise A(α)A(\alpha) med en parameter α\alpha, med spørsmålet «for hvilke α\alpha er AA diagonaliserbar?». Framgangsmåten er den samme: finn egenverdiene (ofte uavhengige av α\alpha), identifiser en gjentatt egenverdi, og se hvordan dim⁡Eλ\dim E_\lambda avhenger av α\alpha. Diagonaliserbar nøyaktig for de α\alpha der geo == alg for alle egenverdier.

Parameteravhengig diagonaliserbarhet

For A(α)A(\alpha) finner man de α\alpha der matrisen er diagonaliserbar ved å studere hvordan egenrommenes dimensjoner avhenger av α\alpha. Typisk er egenverdiene faste (f.eks. en fast dobbeltrot), mens dim⁡Eλ\dim E_\lambda hopper opp for en spesiell α\alpha-verdi — nettopp der matrisen blir diagonaliserbar.

✏️Eksempel 4: For hvilke α er A(α) diagonaliserbar?

For hvilke α\alpha er A(α)=[1α0010003]A(\alpha)=\begin{bmatrix}1&\alpha&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix} diagonaliserbar?

A(α)A(\alpha) er triangulær, så egenverdiene er λ=1\lambda=1 (dobbel) og λ=3\lambda=3 (enkel), uavhengig av α\alpha. λ=3\lambda=3 er enkel og alltid grei. Alt henger på λ=1\lambda=1:
A(α)−1⋅I=[0α0000002].A(\alpha)-1\cdot I=\begin{bmatrix}0&\alpha&0\\0&0&0\\0&0&2\end{bmatrix}.
Hvis α≠0\alpha\ne0: radene (0,α,0)(0,\alpha,0) og (0,0,2)(0,0,2) er uavhengige, så rang⁡=2\operatorname{rang}=2, og dim⁡E1=3−2=1<2=\dim E_{1}=3-2=1<2= alg. Defekt ⇒\Rightarrow ikke diagonaliserbar.

Hvis α=0\alpha=0: bare raden (0,0,2)(0,0,2) er igjen, rang⁡=1\operatorname{rang}=1, så dim⁡E1=3−1=2=\dim E_{1}=3-1=2= alg. Da geo == alg for alle egenverdier ⇒\Rightarrow diagonaliserbar.

Konklusjon: A(α)A(\alpha) er diagonaliserbar nøyaktig når α=0\alpha=0.

📝Oppgave 7

For hvilke β\beta er A(β)=[500β50002]A(\beta)=\begin{bmatrix}5&0&0\\\beta&5&0\\0&0&2\end{bmatrix} diagonaliserbar? Begrunn med egenrommets dimensjon.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Egenbasis

En basis for Rn\mathbb{R}^{n} som bare består av egenvektorer for AA. AA er diagonaliserbar   ⟺  \iff det finnes en egenbasis. I egenbasisen «er» AA diagonalmatrisen DD.

Similaritet og diagonalisering
A=PDP−1A=PDP^{-1} betyr at AA er similær med diagonalmatrisen DD. Similære matriser har samme egenverdier, spor og determinant. Å diagonalisere er å finne den enkleste (diagonale) representanten i similaritetsklassen.
Hvorfor diagonalisering er nyttig

Er A=PDP−1A=PDP^{-1}, blir Ak=PDkP−1A^{k}=PD^{k}P^{-1}, og DkD^{k} er bare diagonalelementene opphøyd i kk. Diagonalisering gjør potenser, matrisefunksjoner og dynamiske systemer enkle (kap. 3.3).

P må være invertibel
PP er invertibel nøyaktig fordi søylene (egenvektorene) er lineært uavhengige — det er det en egenbasis garanterer. Mangler du uavhengige egenvektorer, får du ikke en invertibel PP, og AA er ikke diagonaliserbar.
Rekkefølgen i D er fri

Du kan ordne egenparene i hvilken rekkefølge du vil — PP og DD blir da bare tilsvarende permutert. Alle valgene gir en gyldig diagonalisering. Det som ikke er fritt, er at søyle jj i PP og element (j,j)(j,j) i DD må høre sammen.

Symmetrisk ⇒ ortogonalt diagonaliserbar

For symmetriske matriser gjelder mer enn diagonaliserbarhet: man kan velge PP ortogonal (P−1=PTP^{-1}=P^{T}), så A=PDPTA=PDP^{T}. Egenrom til ulike egenverdier står da automatisk vinkelrett. Dette er spektralteoremet ([Del 6]); merk A=PDPTA=PDP^{T}, ikke A=PDP−1A=PDP^{-1}, i det tilfellet.

Distinkt er tilstrekkelig, ikke nødvendig
nn distinkte egenverdier garanterer diagonaliserbarhet, men en matrise med gjentatte egenverdier kan godt være diagonaliserbar — hvis hver gjentatt egenverdi har fullt egenrom (geo == alg). Skalarmatrisen cIcI er ekstremtilfellet.
Defekt egenverdi blokkerer diagonalisering

Én eneste defekt egenverdi (geo << alg) er nok til at AA ikke er diagonaliserbar — da mangler egenbasisen minst én dimensjon. De øvrige egenverdiene hjelper ikke.

Bare gjentatte egenverdier må sjekkes

Enkle egenverdier har alltid geo == alg =1=1. Derfor trenger du bare regne egenrommets dimensjon for egenverdier med algebraisk multiplisitet ≥2\ge2. Det sparer mye tid på eksamen.

Summen av geo = n-kriteriet
AA diagonaliserbar   ⟺  ∑idim⁡Eλi=n\iff\sum_i\dim E_{\lambda_i}=n. Er summen mindre enn nn, finnes for få uavhengige egenvektorer. Dette er den mest direkte formuleringen av kriteriet.
Diagonal og allerede diagonaliserbar

En diagonalmatrise er trivielt diagonaliserbar med P=IP=I. En triangulær matrise med distinkte diagonalelementer er diagonaliserbar, men P≠IP\ne I generelt (egenvektorene er ikke enhetsvektorene).

PDP−1PDP^{-1} vs. PDPTPDP^{T}
A=PDP−1A=PDP^{-1} er generell diagonalisering (PP hvilken som helst invertibel egenvektormatrise). A=PDPTA=PDP^{T} krever PP ortogonal og er forbeholdt symmetriske matriser ([Del 6]). Bland dem ikke: P−1=PTP^{-1}=P^{T} gjelder bare når PP er ortogonal.
Skalarmatrise som grensetilfelle
cIcI har den ene egenverdien cc med algebraisk multiplisitet nn og geometrisk multiplisitet nn (hele rommet er egenrom). Den er diagonaliserbar (allerede diagonal) selv om egenverdien ikke er distinkt — det tydeligste eksempelet på at «distinkt» ikke er nødvendig.
Invers av en diagonaliserbar matrise

Er A=PDP−1A=PDP^{-1} invertibel (ingen egenverdi 00), er A−1=PD−1P−1A^{-1}=PD^{-1}P^{-1} med D−1=diag⁡(1/λi)D^{-1}=\operatorname{diag}(1/\lambda_i) — samme PP, inverterte egenverdier. Diagonaliserbarhet arves av inversen.

Diagonaliseringen er ikke entydig

Både rekkefølgen på egenparene og skaleringen av hver egenvektor kan velges fritt, så PP er ikke entydig. DD er entydig opp til permutasjon av diagonalen. Alle valg gir samme AA.

Søyler i P per egenverdi

Antall søyler i PP som hører til en egenverdi λ\lambda er dim⁡Eλ\dim E_\lambda — en basis for egenrommet. For en diagonaliserbar matrise blir dette til sammen nn søyler (en egenbasis).

Kontroll via AP = PD

Slipp å regne P−1P^{-1} for å sjekke: verifiser i stedet AP=PDAP=PD søyle for søyle. Søyle jj gir Avj=λjvjA\mathbf{v}_j=\lambda_j\mathbf{v}_j — nettopp egenpar-relasjonen. Stemmer alle søylene, er A=PDP−1A=PDP^{-1}.

Triangulær er ikke nok alene

At egenverdiene ligger på diagonalen betyr ikke automatisk diagonaliserbar. Er en diagonalverdi gjentatt, kan matrisen være defekt (jf. [4104]\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix}). Triangulær gir egenverdiene gratis, men multiplisiteten må fortsatt sjekkes ved gjentak.

Parameteroppgavens grep

I en A(α)A(\alpha)-oppgave er egenverdiene ofte faste; det er dim⁡Eλ\dim E_\lambda som varierer med α\alpha. Finn rangen til A(α)−λIA(\alpha)-\lambda I som funksjon av α\alpha, og let etter den verdien der rangen faller (så dim⁡Eλ\dim E_\lambda stiger til alg).

Diagonaliserbarhet og ATA^{T}

Er AA diagonaliserbar, er ATA^{T} det også (samme egenverdier og multiplisiteter). Symmetriske matriser er et spesialtilfelle der A=ATA=A^{T}, med den ekstra ortogonalitetsstrukturen.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.