Tilbake
1.3
Alle fag for Høyskole

1.3 Invers matrise og inverterbarhetskriteriene

Invers ved [A | Iₙ] → [Iₙ | A⁻¹] og de ekvivalente inverterbarhetskriteriene — den faste åpningen i det nye regimet, og forutsetningen som funksjonsteoremene i Del 2 kobler tilbake til.

50 min
13 oppgaver
Invers matriseinverterbarhetskriteriene
Din fremgang i kapitlet
0 / 13 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Bygger direkte på radreduksjon fra kap. 1.1 (nå på en dobbelt-bred matrise [A ∣ I][A\,|\,I]) og på basis/inverterbarhet fra kap. 1.2 (kriteriene henger sammen). Determinantregler som det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B\det(AB)=\det A\det B og det⁡(A−1)=1/det⁡A\det(A^{-1})=1/\det A (se MAT1100 kap. 5.2) forutsettes; vi bruker dem, men utleder dem ikke.

For tall er «invers» det du ganger med for å få 1: inversen til 55 er 15\tfrac15. For matriser er inversen A−1A^{-1} det du ganger AA med for å få identitetsmatrisen II. Har du A−1A^{-1}, kan du løse Ax=bAx=b i ett trekk (x=A−1bx=A^{-1}b) — og, viktigere på eksamen, du kan gjenbruke den i senere delpunkt.

Men ikke alle matriser har en invers, like lite som 00 har en invers blant tallene. Nøyaktig hvilke som har det, er selve inverterbarhetsteoremet — en liste ekvivalente utsagn som binder sammen alt fra Del 1. Vi bygger dette i fem løkker: (1) hva inversen er, (2) hvordan du regner den via [A ∣ I][A\,|\,I], (3) inverterbarhetskriteriene, (4) løse Ax=bAx=b og gjenbruke inversen, (5) parameteravhengig inverterbarhet.

Løkke 1 — Hva inversen er (~9 min)

Identitetsmatrisen InI_n

Matrisen med 11 på hele hoveddiagonalen og 00 ellers. Den virker som tallet 11 for matriser: InA=AIn=AI_nA=A I_n=A for enhver passende AA. For n=3n=3 er I3=[100010001]I_3=\left[\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\right].

Invers matrise A−1A^{-1}
Den matrisen som «nøytraliserer» AA: en kvadratisk matrise A−1A^{-1} med

AA−1=A−1A=In.A A^{-1}=A^{-1}A=I_n.

Finnes en slik, kalles AA inverterbar. For kvadratiske matriser holder det å sjekke den ene siden — er AB=IAB=I, så er automatisk BA=IBA=I også.

Entydighet av inversen

En matrise har høyst én invers. Hadde BB og CC begge vært inverser til AA, ville B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C. Derfor snakker vi om den inverse A−1A^{-1}, ikke en invers.

Inverterbar (regulær) vs. singulær matrise

En kvadratisk matrise er inverterbar (regulær) hvis den har en invers, og singulær hvis den ikke har det. Singulære matriser er analoge til tallet 00: de «kollapser» rommet (avbilder ulike vektorer til samme punkt), og det⁡=0\det=0.

2×22\times2-inversformelen
For en 2×22\times2-matrise finnes en ferdig formel:

A=(abcd) ⇒ A−1=1ad−bc(d−b−ca),ad−bc≠0.A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},\quad ad-bc\ne0.

Bytt diagonalen, skift fortegn på de to andre, del på determinanten ad−bcad-bc. For 3×33\times3 og større er radreduksjon via [A ∣ I][A\,|\,I] raskere enn en formel.

✏️Eksempel 1: $2\times2$-invers

Finn inversen til A=(3512)A=\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}.

Determinanten er ad−bc=3⋅2−5⋅1=1ad-bc=3\cdot2-5\cdot1=1. Formelen gir
A−1=11(2−5−13)=(2−5−13).A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}.
Kontroll: AA−1=(3512)(2−5−13)=(6−5−15+152−2−5+6)=(1001)=I2AA^{-1}=\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-5&-15+15\\2-2&-5+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2 ✓.
📝Oppgave 1

Finn inversen til A=(4712)A=\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix} med 2×22\times2-formelen, og kontroller.

Løkke 2 — Invers ved [A ∣ I]→[I ∣ A−1][A\,|\,I]\to[I\,|\,A^{-1}] (~14 min)

📜Gauss–Jordan-algoritmen for inversen
Sett AA og InI_n side om side i én utvidet matrise [A ∣ In][A\,|\,I_n], og radreduser til venstre halvdel blir InI_n. Da står inversen i høyre halvdel:

[A ∣ In] ∼ ⋯ ∼ [In ∣ A−1].[A\,|\,I_n]\ \sim\ \cdots\ \sim\ [I_n\,|\,A^{-1}].

Hvis venstre halvdel underveis får en nullrad (ikke kan bli InI_n), er AA singulær og har ingen invers. Alle radoperasjoner merkes over ∼\sim, akkurat som før.

✏️Eksempel 2: $3\times3$-invers via $[A\,|\,I]$

Finn inversen til A=(110121012)A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}.

[110100121010012001]∼  II−I  [110100011−110012001]∼  III−II  [110100011−1100011−11]\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\1&2&1&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right]\overset{\;II-I\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&-1&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right]\overset{\;III-II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&-1&1&0\\0&0&1&1&-1&1\end{array}\right]

Nå oppover: ∼  II−III  [110100010−22−10011−11]∼  I−II  [1003−21010−22−10011−11].\overset{\;II-III\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&0&-2&2&-1\\0&0&1&1&-1&1\end{array}\right]\overset{\;I-II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&3&-2&1\\0&1&0&-2&2&-1\\0&0&1&1&-1&1\end{array}\right].

Venstre halvdel er I3I_3, så
A−1=(3−21−22−11−11).A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}.
Kontroll (én søyle): A⋅(3,−2,1)T=(3−2, 3−4+1, −2+2)T=(1,0,0)TA\cdot(3,-2,1)^T=(3-2,\,3-4+1,\,-2+2)^T=(1,0,0)^T ✓ — første søyle i I3I_3.

📝Oppgave 2

Finn inversen til A=(211110102)A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&1&0\\1&0&2\end{pmatrix} ved å radredusere [A ∣ I3][A\,|\,I_3].

Løkke 3 — Inverterbarhetsteoremet (~12 min)

📜Inverterbarhetsteoremet

For en kvadratisk n×nn\times n-matrise AA er følgende utsagn ekvivalente (enten er alle sanne, eller alle usanne):

1. AA er inverterbar;
2. AA er radekvivalent med InI_n (nn pivoter);
3. det⁡A≠0\det A\ne0;
4. søylene i AA danner en basis for Rn\mathbb{R}^n;
5. N(A)={0}N(A)=\{0\} (bare trivialløsningen av Ax=0Ax=0);
6. Ax=bAx=b har entydig løsning for enhver bb.

Dette teoremet knytter sammen hele Del 1. På eksamen velger du det billigste kriteriet: skal du bare avgjøre inverterbarhet, sjekk det⁡≠0\det\ne0 eller antall pivoter — ikke regn hele inversen.

Determinant-regler du bruker

Fra determinantteorien (MAT1100) bruker vi: det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB)=\det A\cdot\det B; det⁡(A−1)=1det⁡A\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}; og som følge det⁡(An)=(det⁡A)n\det(A^n)=(\det A)^n. Disse gjør at inverterbarhet «arver» seg: er AA og BB inverterbare, er ABAB det også, med (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

✏️Eksempel 3: Avgjør inverterbarhet uten å regne inversen

Er A=(123246011)A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix} inverterbar? Bruk det billigste kriteriet.

Rad 2 er nøyaktig 2×2\times rad 1, så radene er avhengige. Radreduser: ∼  II−2I  (123000011)\overset{\;II-2I\;}{\sim}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&1&1\end{pmatrix} — en nullrad dukker opp, så det blir høyst to pivoter. Da er AA ikke radekvivalent med I3I_3, altså singulær (ikke inverterbar). Ekvivalent: det⁡A=0\det A=0 fordi to rader er proporsjonale.

Poeng: Vi trengte aldri å forsøke å regne en invers — ett kriterium avgjorde saken. Å sette i gang [A ∣ I][A\,|\,I]-reduksjonen her ville vært bortkastet tid.

📝Oppgave 3

Avgjør uten å regne inversen om A=(132025004)A=\begin{pmatrix}1&3&2\\0&2&5\\0&0&4\end{pmatrix} er inverterbar.

Løkke 4 — Løse Ax=bAx=b og gjenbruke inversen (~9 min)

Løsning av Ax=bAx=b via inversen
Er AA inverterbar, har Ax=bAx=b den entydige løsningen

x=A−1b.x=A^{-1}b.

Har du allerede A−1A^{-1} (f.eks. fra et tidligere delpunkt), er dette bare ett matrise–vektor-produkt. Trenger du løsningen for bare én bb og ikke har inversen fra før, er direkte radreduksjon av [A ∣ b][A\,|\,b] som regel raskere — men eksamen belønner at du gjenbruker en invers du alt har regnet.

Delpunkt-gjenbruk (kjeding)

Et bevisst designtrekk i eksamensoppgavene: inversen fra ett delpunkt er ment å brukes i det neste. Ser du at O1b spør etter noe der A−1A^{-1} fra O1a passer, skal du gjenbruke den — og vise koblingen. Å regne den samme inversen to ganger (eller på nytt) koster tid og signaliserer at du ikke så sammenhengen.

✏️Eksempel 4: Bruk inversen til å løse $Ax=b$

Bruk inversen A−1=(3−21−22−11−11)A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix} fra Eksempel 2 til å løse Ax=(2,1,3)TAx=(2,1,3)^T.

Siden AA er inverterbar, er x=A−1bx=A^{-1}b med b=(2,1,3)Tb=(2,1,3)^T:
x=(3−21−22−11−11)(213)=(3⋅2−2⋅1+1⋅3−2⋅2+2⋅1−1⋅31⋅2−1⋅1+1⋅3)=(7−54).x=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot2-2\cdot1+1\cdot3\\-2\cdot2+2\cdot1-1\cdot3\\1\cdot2-1\cdot1+1\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-5\\4\end{pmatrix}.
Konklusjon: x=(7,−5,4)x=(7,-5,4). (Kontroll i første likning: 1⋅7+1⋅(−5)+0⋅4=21\cdot7+1\cdot(-5)+0\cdot4=2 ✓.) Her gjenbrukte vi inversen fra Eksempel 2 i stedet for å radredusere på nytt.
📝Oppgave 4

Du har allerede regnet A−1=(2−2−1−231−111)A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-2&-1\\-2&3&1\\-1&1&1\end{pmatrix} for A=(211110102)A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&1&0\\1&0&2\end{pmatrix} (oppg. 2). Bruk den til å løse Ax=(1,2,3)TAx=(1,2,3)^T.

Løkke 5 — Parameteravhengig inverterbarhet (~8 min)

✏️Eksempel 5: For hvilke $a$ er $A$ inverterbar?

For hvilke verdier av aa er A=(12101a133)A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&a\\1&3&3\end{pmatrix} inverterbar?

Billigste kriterium er det⁡A≠0\det A\ne0. Radreduser (raskere enn kofaktorutvikling her) og tell pivoter:
[12101a133]∼  III−I  [12101a012]∼  III−II  [12101a002−a]\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&1&a\\1&3&3\end{array}\right]\overset{\;III-I\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&1&a\\0&1&2\end{array}\right]\overset{\;III-II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&1&a\\0&0&2-a\end{array}\right]
Nederste pivot er 2−a2-a. Det er tre pivoter (og det⁡=2−a≠0\det=2-a\ne0) nøyaktig når a≠2a\ne2.

Konklusjon: AA er inverterbar for alle a≠2a\ne2; for a=2a=2 er den singulær (nederste rad blir null).

📝Oppgave 5
Eksamensnivå

For hvilke aa er A=(11112a1a2)A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&a&2\end{pmatrix} inverterbar? Bruk determinanten.

Eksamensrettet oppgavepulje

📝Oppgave 6

Er A=(2412)A=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix} inverterbar? Begrunn.

📝Oppgave 7

Finn inversen til A=(101210011)A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\0&1&1\end{pmatrix} via [A ∣ I][A\,|\,I].

📝Oppgave 8

La AA være inverterbar med A−1=(1−102)A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}. Finn AA og løs Ax=(3,4)TAx=(3,4)^T.

📝Oppgave 9
Eksamensnivå, kjedet

La A=(110121012)A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix} med invers A−1=(3−21−22−11−11)A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix} (Eksempel 2).

a) Løs Ax=(1,0,0)TAx=(1,0,0)^T.

b) Løs Ay=(0,1,1)TAy=(0,1,1)^T.

c) Hva er A−1A^{-1}ganger søylene til I3I_3?

📝Oppgave 10

(Teori.) Vis at hvis AA og BB er inverterbare n×nn\times n-matriser, så er ABAB inverterbar med (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

Inversen til et produkt er produktet av inversene i omvendt rekkefølge. Analogien: tar du på sokk så sko, må du ta av sko før sokk. Merk: (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1} er en klassisk feil — rekkefølgen snur alltid.

(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A og (AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}

Å invertere to ganger gir tilbake utgangsmatrisen. Og inversen av den transponerte er den transponerte av inversen — transponering og inversjon kan bytte plass. Begge følger direkte av definisjonen AA−1=IAA^{-1}=I.

det⁡(A−1)=1/det⁡A\det(A^{-1})=1/\det A og det⁡(An)=(det⁡A)n\det(A^n)=(\det A)^n

Determinanten til inversen er den inverse av determinanten — som bekrefter at det⁡A≠0\det A\ne0 er nødvendig for at inversen skal finnes. Og determinanten av en potens er potensen av determinanten, siden det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B\det(AB)=\det A\det B.

Elementærmatrise

Matrisen du får ved å utføre én elementær radoperasjon på InI_n. Å gange en matrise med en elementærmatrise fra venstre utfører nettopp den radoperasjonen. Dette er den teoretiske grunnen til at [A ∣ I][A\,|\,I]-metoden virker: radreduksjon er venstre-multiplikasjon med inverterbare elementærmatriser.

Venstre- og høyreinvers

En BB med BA=IBA=I er en venstreinvers; en CC med AC=IAC=I er en høyreinvers. For kvadratiske matriser faller de sammen (B=C=A−1B=C=A^{-1}), men for ikke-kvadratiske kan den ene finnes uten den andre. I dette kurset holder vi oss til kvadratiske, der «invers» er entydig.

Kofaktor og adjungert (kjennskap)

En alternativ formel: A−1=1det⁡Aadj⁡(A)A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A), der adj⁡(A)\operatorname{adj}(A) (den adjungerte) er den transponerte kofaktormatrisen. Formelen er 2×22\times2-formelen generalisert, men er tung å regne for hånd for n≥3n\ge3 — bruk [A ∣ I][A\,|\,I] i stedet. Nevnes for kjennskap.

Kvadratisk matrise

En matrise med like mange rader som søyler (n×nn\times n). Bare kvadratiske matriser kan ha en invers — for å gange begge veier og få InI_n må formene passe. Ikke-kvadratiske matriser kan ha ensidige inverser, men ikke en tosidig A−1A^{-1}.

Matriseprodukt

Produktet ABAB har element (i,j)(i,j) lik prikkproduktet av rad ii i AA med søyle jj i BB. Det er ikke kommutativt (AB≠BAAB\ne BA i sin alminnelighet), noe som er grunnen til at rekkefølgen snur i (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

Transponert matrise ATA^{T}

Matrisen der rader og søyler er byttet: (AT)ij=Aji(A^{T})_{ij}=A_{ji}. Transponering speiler matrisen om hoveddiagonalen. Nyttige regler: (AB)T=BTAT(AB)^{T}=B^{T}A^{T} (rekkefølgen snur) og (AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.

Diagonalmatrise

En matrise med bare nuller utenfor hoveddiagonalen. Den er inverterbar nøyaktig når alle diagonalelementene er ikke-null, og da er inversen diagonal med de resiproke elementene: diag⁡(d1,…,dn)−1=diag⁡(1/d1,…,1/dn)\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)^{-1}=\operatorname{diag}(1/d_1,\dots,1/d_n).

Ortogonal matrise (kjennskap)

En kvadratisk matrise med ortonormale søyler, kjennetegnet ved den spesielt enkle inversen A−1=ATA^{-1}=A^{T}. Rotasjons- og speilingsmatriser er ortogonale. Nevnes for kjennskap — det er den billigste inversen som finnes, siden man bare transponerer.

Matrisepotens og negativ potens
AkA^k betyr AA ganget med seg selv kk ganger; A0=InA^0=I_n. For inverterbare matriser defineres negative potenser ved A−k=(A−1)kA^{-k}=(A^{-1})^k. Determinanten følger med: det⁡(Ak)=(det⁡A)k\det(A^k)=(\det A)^k for alle heltall kk.
Repetisjon
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.