Tilbake
5.2
Alle fag for Høyskole

5.2 Matriser: regning, invers og determinantregler

Matriseproduktet, invers 2×2, «inverterbar ⇔ det ≠ 0» og strukturtriksene for matrisepotenser.

45 min
10 oppgaver
Matriserregninginversdeterminantregler
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på determinanten fra kap. 5.1 — du bruker det⁡(abcd)=ad−bc\det\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=ad-bc i både inversformelen og inverterbarhetskriteriet. Matriseregning som sådan dekkes ikke i VGS-bøkene, så vi bygger produkt, invers og potenser fra grunnen her.

Kapitlet er på 45 minutter, delt i seks korte løkker. Det henger tett sammen med det neste — matrise-vektor-produktet i løkke 2 er akkurat det kap. 5.3 bruker til overgangsmodeller.

En matrise er et rektangulært tallskjema. Den kan legges sammen, ganges, og — hvis den er kvadratisk og «god nok» — inverteres. Vi trenger fire ferdigheter til eksamen: gange matriser (og huske at rekkefølgen betyr noe), finne inversen av en 2×22\times2-matrise, avgjøre om en matrise i det hele tatt har en invers, og regne med determinanter av produkter og potenser.

Seks læringsløkker: (1) matriseprodukt og ikke-kommutativitet, (2) identitetsmatrise og matrise-vektor-produkt, (3) invers 2×22\times2 og verifikasjon, (4) kriteriet inverterbar ⇔det⁡≠0\Leftrightarrow \det\ne 0, (5) determinantreglene det⁡(AB)\det(AB) og det⁡(An)\det(A^n), (6) matrisepotenser med strukturinnsikt. Hver løkke går teori → eksempel → oppgave.

Løkke 1 — Matriseprodukt og ikke-kommutativitet (~8 min)

Matrise
En matrise er et rektangulært skjema av tall ordnet i rader og søyler. En m×nm\times n-matrise har mm rader og nn søyler. Vi skriver f.eks.

A=(a11a12a21a22),A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},

der aija_{ij} står i rad ii, søyle jj. En kvadratisk matrise har like mange rader som søyler (n×nn\times n) — det er disse vi kan invertere og opphøye i potenser.

Matriseprodukt
Produktet ABAB regnes rad ganger søyle: elementet i rad ii, søyle jj av ABAB er skalarproduktet av rad ii i AA med søyle jj i BB. For 2×22\times2:

(abcd)(efgh)=(ae+bgaf+bhce+dgcf+dh).\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}.

For at ABAB skal være definert må antall søyler i AA være lik antall rader i BB. Tenk «bortover i AA, nedover i BB».

Ikke-kommutativitet

For tall er xy=yxxy=yx. For matriser er dette ikke sant i sin alminnelighet: AB≠BAAB\ne BA som regel. Rekkefølgen du ganger i, betyr noe. Derfor må du være nøye med om en oppgave ber om ABAB eller BABA, og du kan ikke uten videre «flytte» matriser forbi hverandre i en likning. (Identitetsmatrisen II er et unntak: AI=IA=AAI=IA=A for alle AA.)

✏️Eksempel 1: $AB\ne BA$

La A=(1201)A=\begin{pmatrix}1&2\\ 0&1\end{pmatrix} og B=(1011)B=\begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}. Regn ut ABAB og BABA.

ABAB (rad i AA ganger søyle i BB):
AB=(1⋅1+2⋅11⋅0+2⋅10⋅1+1⋅10⋅0+1⋅1)=(3211).AB=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot1 & 1\cdot0+2\cdot1\\ 0\cdot1+1\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\ 1&1\end{pmatrix}.

BABA:
BA=(1⋅1+0⋅01⋅2+0⋅11⋅1+1⋅01⋅2+1⋅1)=(1213).BA=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot2+0\cdot1\\ 1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&3\end{pmatrix}.

Konklusjon: AB=(3211)≠(1213)=BAAB=\begin{pmatrix}3&2\\ 1&1\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}1&2\\ 1&3\end{pmatrix}=BA. Rekkefølgen betyr noe. Svar: AB≠BA\boxed{AB\ne BA}

📝Oppgave 1

(Midtveis, flervalg — letteste innstegsform.) Regn ut produktet ABAB når A=(2103)A=\begin{pmatrix}2&1\\ 0&3\end{pmatrix} og B=(1421)B=\begin{pmatrix}1&4\\ 2&1\end{pmatrix}.

Løkke 2 — Identitetsmatrise og matrise-vektor-produkt (~6 min)

Identitetsmatrisen II
Identitetsmatrisen II har ettall på hoveddiagonalen og null ellers:

I=(1001).I=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}.

Den virker som tallet 11 for matriser: AI=IA=AAI=IA=A for enhver kvadratisk AA av samme størrelse. Identitetsmatrisen er målet når du inverterer: BB er inversen til AA nettopp når AB=IAB=I.

Matrise-vektor-produkt
En 2×22\times2-matrise ganget med en søylevektor gir en ny vektor — rad ganger vektor:

(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy).\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\ cx+dy\end{pmatrix}.

Dette er selve motoren i en overgangsmodell: hvis xn\mathbf{x}_n er en tilstand og MM beskriver overgangen, er xn+1=Mxn\mathbf{x}_{n+1}=M\mathbf{x}_n neste tilstand. Vi bygger denne modellen ut i kap. 5.3.

✏️Eksempel 2: Matrise ganger vektor

La M=(2113)M=\begin{pmatrix}2&1\\ 1&3\end{pmatrix} og x=(52)\mathbf{x}=\begin{pmatrix}5\\ 2\end{pmatrix}. Finn MxM\mathbf{x}.

Rad ganger vektor:
Mx=(2⋅5+1⋅21⋅5+3⋅2)=(1211).M\mathbf{x}=\begin{pmatrix}2\cdot5+1\cdot2\\ 1\cdot5+3\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\ 11\end{pmatrix}.

Konklusjon: Mx=(12,11)M\mathbf{x}=(12,11). Første komponent leser første rad, andre komponent leser andre rad. Svar: (12,11)\boxed{(12,11)}

📝Oppgave 2
C

La M=(1230)M=\begin{pmatrix}1&2\\ 3&0\end{pmatrix} og x=(2−1)\mathbf{x}=\begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}. Finn MxM\mathbf{x}.

Løkke 3 — Invers 2×22\times2 og verifikasjon (~9 min)

Invers matrise
Inversen A−1A^{-1} til en kvadratisk matrise AA er matrisen som «nuller ut» AA ved multiplikasjon:

AA−1=A−1A=I.A A^{-1}=A^{-1}A=I.

Den spiller rollen som 1/a1/a gjør for tall: å gange med A−1A^{-1} er matriseversjonen av å dele på AA. Ikke alle matriser har en invers — de som har det kalles inverterbare (eller regulære).

2×22\times2-inversformelen
For en 2×22\times2-matrise med det⁡=ad−bc≠0\det=ad-bc\ne 0 er inversen

(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca).\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}.

Oppskriften i ord: bytt om aa og dd, skift fortegn på bb og cc, og del alt på determinanten. To dokumenterte feller: å bytte feil element (bytt hoveddiagonalen a↔da\leftrightarrow d, ikke bidiagonalen), og å glemme faktoren 1/det⁡1/\det.

Verifikasjonsregelen (AB=IAB=I holder)

Når du skal kontrollere at en matrise BB virkelig er inversen til AA, holder det å regne ett produkt: hvis AB=IAB=I, så følger BA=IBA=I automatisk (for kvadratiske matriser). Dette sa fasit eksplisitt i 2014 — du trenger altså ikke regne begge veier. Ta med kontrollen i besvarelsen: den fanger regnefeil og gir føringspoeng.

✏️Eksempel 3: Invers $2\times2$ ved regning, med kontroll

La A=(3152)A=\begin{pmatrix}3&1\\ 5&2\end{pmatrix}. Finn A−1A^{-1} ved regning, og kontroller svaret.

Steg 1 — determinanten: det⁡A=3⋅2−1⋅5=6−5=1\det A=3\cdot2-1\cdot5=6-5=1. Siden det⁡A=1≠0\det A=1\ne0, er AA inverterbar.

Steg 2 — inversformelen (bytt a↔da\leftrightarrow d, skift fortegn på b,cb,c, del på det⁡=1\det=1):
A−1=11(2−1−53)=(2−1−53).A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-1\\ -5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\ -5&3\end{pmatrix}.

Steg 3 — kontroll (det holder å sjekke AA−1=IAA^{-1}=I):
AA−1=(3152)(2−1−53)=(6−5−3+310−10−5+6)=(1001)=I. ✓AA^{-1}=\begin{pmatrix}3&1\\ 5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\ -5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-5 & -3+3\\ 10-10 & -5+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}=I.\ \checkmark

Konklusjon: A−1=(2−1−53)A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\ -5&3\end{pmatrix}. Svar: (2−1−53)\boxed{\begin{pmatrix}2&-1\\ -5&3\end{pmatrix}}

📝Oppgave 3
C

La A=(4354)A=\begin{pmatrix}4&3\\ 5&4\end{pmatrix}. Finn A−1A^{-1} og kontroller.

— naturlig pausepunkt — Du kan nå gange matriser, gange matrise med vektor, og invertere en 2×22\times2 med kontroll. De tre siste løkkene handler om determinanten som styringsverktøy: når finnes inversen, og hvordan determinanten oppfører seg for produkter og potenser. Ta gjerne en pause her.

Løkke 4 — Kriteriet inverterbar ⇔det⁡≠0\Leftrightarrow \det\ne 0 (~6 min)

Determinantkriteriet: inverterbar ⇔det⁡≠0\Leftrightarrow \det\ne 0

En kvadratisk matrise AA er inverterbar hvis og bare hvis det⁡A≠0\det A\ne 0. Dette er et navngitt kriterium du skal referere til i besvarelsen. Sammenhengen ser du i inversformelen: der deler vi på det⁡A\det A, og deling på null er umulig — så det⁡A=0\det A=0 betyr «ingen invers». Å konkludere med at en matrise er inverterbar uten å ha regnet determinanten er en dokumentert feil: regn den, og skriv kriteriet.

Singulær matrise

En matrise med det⁡A=0\det A=0 kalles singulær — den har ingen invers. Geometrisk «kollapser» den rommet (radene er lineært avhengige, jf. komplanære vektorer i kap. 5.1). I en overgangsmodell betyr en singulær matrise at man ikke entydig kan regne seg ett steg bakover — et poeng som brukes direkte i kap. 5.3.

✏️Eksempel 4: Er matrisen inverterbar?

Avgjør om hver av matrisene er inverterbar: P=(2412)P=\begin{pmatrix}2&4\\ 1&2\end{pmatrix} og Q=(2413)Q=\begin{pmatrix}2&4\\ 1&3\end{pmatrix}.

Vi bruker kriteriet inverterbar ⇔det⁡≠0\Leftrightarrow \det\ne0 og regner determinanten for hver.

PP: det⁡P=2⋅2−4⋅1=4−4=0\det P=2\cdot2-4\cdot1=4-4=0. Siden det⁡P=0\det P=0, er PP singulær — ikke inverterbar.

QQ: det⁡Q=2⋅3−4⋅1=6−4=2≠0\det Q=2\cdot3-4\cdot1=6-4=2\ne0. Siden det⁡Q≠0\det Q\ne0, er QQ inverterbar.

Konklusjon: PP har ingen invers (det⁡=0\det=0); QQ har det (det⁡=2\det=2). Legg merke til at de to matrisene er nesten like — det er determinanten, ikke utseendet, som avgjør. Svar: P ikke inverterbar, Q inverterbar\boxed{P\text{ ikke inverterbar},\ Q\text{ inverterbar}}

📝Oppgave 4
C

For hvilke verdier av tt er A=(t23t)A=\begin{pmatrix}t&2\\ 3&t\end{pmatrix} IKKE inverterbar?

Løkke 5 — Determinantreglene det⁡(AB)\det(AB) og det⁡(An)\det(A^n) (~5 min)

Produktregelen det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB)=\det A\cdot\det B
Determinanten av et produkt er produktet av determinantene:

det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B.\det(AB)=\det A\cdot\det B.

Dette gjelder selv om AB≠BAAB\ne BA (begge produkter har samme determinant). Regelen er et arbeidsverktøy: du slipper å regne ut hele produktmatrisen for å finne dens determinant.

Potenskorollaret det⁡(An)=(det⁡A)n\det(A^n)=(\det A)^n
Bruker du produktregelen gjentatte ganger på An=A⋅A⋯AA^n=A\cdot A\cdots A, får du

det⁡(An)=(det⁡A)n.\det(A^n)=(\det A)^n.

Dette var en deloppgave i 2022: i stedet for å regne ut AnA^n (tungt), regner du det⁡A\det A én gang og opphøyer i nn. En nyttig konsekvens: hvis det⁡A≠0\det A\ne0, er også det⁡(An)≠0\det(A^n)\ne0, så alle potenser av en inverterbar matrise er inverterbare.

✏️Eksempel 5: Determinant av produkt og potens

La det⁡A=2\det A=2 og det⁡B=5\det B=5. Finn a) det⁡(AB)\det(AB) og b) det⁡(A3)\det(A^3).

a) Produktregelen: det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B=2⋅5=10\det(AB)=\det A\cdot\det B=2\cdot5=10.

b) Potenskorollaret: det⁡(A3)=(det⁡A)3=23=8\det(A^3)=(\det A)^3=2^3=8.

Legg merke til at vi aldri trengte å kjenne selve matrisene — bare determinantene deres.

Konklusjon: det⁡(AB)=10\det(AB)=10 og det⁡(A3)=8\det(A^3)=8. Svar: 10 og 8\boxed{10\ \text{og}\ 8}

📝Oppgave 5
C

La A=(2112)A=\begin{pmatrix}2&1\\ 1&2\end{pmatrix}. Finn det⁡(A4)\det(A^4) uten å regne ut A4A^4.

Løkke 6 — Matrisepotenser med strukturinnsikt (~5 min)

Matrisepotens MkM^k

For en kvadratisk matrise er potensen Mk=M⋅M⋯MM^k=M\cdot M\cdots M (kk faktorer), med M0=IM^0=I. Å regne MkM^k direkte for stor kk er tungt — men mange matriser i eksamensoppgaver har en struktur som gir et lukket uttrykk. Å oppdage mønsteret (og eventuelt bevise det ved induksjon, kap. 5.3) sparer mye regning.

Strukturtrikset M(a)M(b)=M(a+b)M(a)M(b)=M(a+b)
Noen matriser danner en parametrisert familie der multiplikasjon svarer til addisjon av parameteren. Et rent eksempel er M(a)=(1a01)M(a)=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&1\end{pmatrix}, som oppfyller

M(a)M(b)=M(a+b).M(a)M(b)=M(a+b).

To konsekvenser du kan lese rett av: M(a)k=M(ka)M(a)^k=M(ka), og inversen er M(a)−1=M(−a)M(a)^{-1}=M(-a) (fordi M(a)M(−a)=M(0)=IM(a)M(-a)=M(0)=I). Rotasjonsmatrisene R(θ)R(\theta) har samme struktur: R(θ)R(φ)=R(θ+φ)R(\theta)R(\varphi)=R(\theta+\varphi). Ser du en slik familie, slipper du å invertere eller opphøye med formlene — strukturen gir svaret.

✏️Eksempel 6: Potens og invers via struktur

La M(a)=(1a01)M(a)=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&1\end{pmatrix}. a) Vis at M(2)M(3)=M(5)M(2)M(3)=M(5). b) Bruk strukturen til å skrive opp M(3)−1M(3)^{-1}.

a) Regn produktet:
M(2)M(3)=(1201)(1301)=(1⋅1+2⋅01⋅3+2⋅10+00+1)=(1501)=M(5).M(2)M(3)=\begin{pmatrix}1&2\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0 & 1\cdot3+2\cdot1\\ 0+0 & 0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&5\\ 0&1\end{pmatrix}=M(5).
Dette er nettopp M(2)M(3)=M(2+3)M(2)M(3)=M(2+3).

b) Strukturen gir M(a)−1=M(−a)M(a)^{-1}=M(-a), siden M(a)M(−a)=M(0)=IM(a)M(-a)=M(0)=I. Altså
M(3)−1=M(−3)=(1−301).M(3)^{-1}=M(-3)=\begin{pmatrix}1&-3\\ 0&1\end{pmatrix}.
Kontroll: det⁡M(3)=1⋅1−3⋅0=1≠0\det M(3)=1\cdot1-3\cdot0=1\ne0 (inverterbar), og inversformelen gir samme svar: 11(1−301)\displaystyle \frac{1}{1}\begin{pmatrix}1&-3\\ 0&1\end{pmatrix}. ✓\checkmark

Konklusjon: M(2)M(3)=M(5)M(2)M(3)=M(5) og M(3)−1=(1−301)M(3)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-3\\ 0&1\end{pmatrix}. Svar: M(5), M(−3)\boxed{M(5),\ M(-3)}

📝Oppgave 6
C

La M(a)=(1a01)M(a)=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&1\end{pmatrix}. Bruk strukturen M(a)M(b)=M(a+b)M(a)M(b)=M(a+b) til å skrive opp M(a)4M(a)^4, og bekreft med M(1)4M(1)^4.

Begrepsbank til eksamen

Her er et tilleggsbegrep fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar og utdyper det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Entydighet av inversen

En inverterbar matrise har nøyaktig én invers. Hvis både BB og CC oppfyller AB=IAB=I og CA=ICA=I, så er B=CB=C (kort: C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=BC=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B). Derfor snakker vi om inversen A−1A^{-1}, ikke en invers. Entydigheten er også grunnen til at verifikasjonsregelen holder: finner du én BB med AB=IAB=I, er den den inversen, og BA=IBA=I følger.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.