5.1 Vektorer, determinant og volum

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.$$

En kantvektor mellom to punkter $P$ og $Q$ er $\overrightarrow{PQ}=Q-P$ (koordinatvis). Denne differansen — ikke posisjonsvektorene selv — er det du regner med når en oppgave gir deg hjørnepunkter.

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$

Det er en skalar (et tall), ikke en vektor. Det måler hvor mye to vektorer peker samme vei, gjennom sammenhengen $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$, der $\theta$ er vinkelen mellom dem. Skalarproduktet brukes aktivt igjen i retningsderiverten i kap. 5.4.

$$\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}.$$

To vektorer står vinkelrett (ortogonalt) på hverandre nettopp når $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ (da er $\cos\theta=0$, altså $\theta=90^\circ$). Dette null-kriteriet er den raskeste ortogonalitetstesten — du slipper å regne ut lengder og vinkler.

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).$$

To egenskaper du bruker: $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ står ortogonalt på både $\mathbf{a}$ og $\mathbf{b}$, og lengden $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ er arealet av parallellogrammet som $\mathbf{a}$ og $\mathbf{b}$ spenner ut. Merk at $\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\,\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ — rekkefølgen snur fortegnet.

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=ad-bc.$$

Geometrisk er $|ad-bc|$ arealet av parallellogrammet som radene (eller søylene) spenner ut. Er determinanten $0$, ligger de to vektorene på samme linje (parallelle).

$$\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},$$

der $M_{1j}$ er minoren til $a_{1j}$. Lurt triks: velg raden eller søylen med flest nuller — da faller ledd bort og du sparer regning.

$$\begin{pmatrix}+&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+\end{pmatrix}.$$

Elementet i posisjon $(i,j)$ får fortegnet $(-1)^{i+j}$. Utvikler du langs første rad, blir det $+,-,+$; langs andre rad $-,+,-$. Fortegnsslurv her — å glemme minuset på midterste ledd — er den dokumenterte determinantfeilen.

$$\text{Areal}=\left|\det\begin{pmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{pmatrix}\right|=|a_1b_2-a_2b_1|.$$

Absoluttverdien er nødvendig: determinanten kan bli negativ (den koder også orientering), men et areal er aldri negativt. Trekanten med $\mathbf{a}$ og $\mathbf{b}$ som to sider har halve arealet, $\tfrac12|a_1b_2-a_2b_1|$. I rommet bruker du i stedet $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$.

$$(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}.$$

Dette er broen mellom kryssprodukt og determinant: du kan regne volum på begge måter og får samme tall. Er trippelproduktet $0$, ligger de tre vektorene i samme plan (de er komplanære).

$$V=\big|(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}\big|=\left|\det[\mathbf{a}\;\mathbf{b}\;\mathbf{c}]\right|.$$

Begge metodene godtas i fasit — vis gjerne begge. Intuisjonen: $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ har lengde lik grunnflatens areal og står normalt på grunnflaten, og prikket med $\mathbf{c}$ plukker ut høyden. Absoluttverdien er nødvendig, akkurat som for areal.

$$\mathbf{u}=Q-P,\qquad \mathbf{v}=R-P,\qquad \mathbf{w}=S-P.$$

Å bruke posisjonsvektorene $Q,R,S$ direkte (i stedet for differansene) er en dokumentert gjenganger­feil — den gir feil volum.

$$V_{\text{pyramide}}=\frac16\big|(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}\big|=\frac16\left|\det[\mathbf{u}\;\mathbf{v}\;\mathbf{w}]\right|.$$

Hvorfor $\tfrac16$: en pyramide er $\tfrac13\cdot(\text{grunnflate})\cdot(\text{høyde})$, og grunnflaten (en trekant) er halve parallellogrammet — $\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac16$. Denne faktoren er den dokumenterte glemselen i sjanger C: samme regning som for parallellepiped, men delt på $6$.

Tre regler det er greit å kjenne (de forklarer hvorfor kofaktorutvikling langs «smarte» rader er lovlig): å bytte om to rader endrer fortegnet på determinanten; å gange en rad med et tall $k$ ganger determinanten med $k$; og å legge et multiplum av én rad til en annen endrer ikke determinanten i det hele tatt. Den siste kan brukes til å lage nuller før utvikling. Har to rader (eller søyler) samme verdier, er determinanten $0$.

Determinanten er et fortegnstall, ikke bare en størrelse. Positivt fortegn betyr at vektorene $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ danner et høyrehåndssystem (samme orientering som aksene); negativt fortegn betyr venstrehåndssystem. Til areal og volum bryr vi oss bare om tallverdien, men fortegnet er grunnen til at vi må ta absoluttverdi til slutt.

Tre vektorer er komplanære når de ligger i samme plan. Da har parallellepipedet de spenner ut, volum $0$ — og determinanten (trippelproduktet) er nettopp $0$. Determinant lik null er altså testen for at tre vektorer ligger i étt plan, akkurat som determinant lik null for to vektorer i planet betyr at de er parallelle. Dette null-kriteriet dukker opp igjen som inverterbarhetskriteriet i kap. 5.2.