Tilbake
5.4
Alle fag for Høyskole

5.4 Gradient og retningsderivert

Sjangeren med 100 % frekvens: partiellderiverte, ∇f, retningsderivert med kursets konvensjon, og «raskest vekst»-formuleringen som skal uttales verbalt.

55 min
9 oppgaver
Gradientretningsderivert
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på partiell tenkning fra derivasjon og på skalarproduktet. Du trenger derivasjonsteknikken fra kap. 3.2 (du deriverer ett uttrykk mens du holder de andre variablene konstante), og skalarproduktet fra kap. 5.1 — broen fra videregående er Skalarproduktet.

Sist du var her (oppfriskning):

- Skalarproduktet av to vektorer: a⋅b=a1b1+a2b2+…\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+\dots, og geometrisk a⋅b=∣a∣ ∣b∣cos⁡θ\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta der θ\theta er vinkelen mellom dem. To vektorer står normalt på hverandre nettopp når a⋅b=0\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0.
- Lengden (normen) av en vektor: ∣a∣=a12+a22+…|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots}.

Kapitlet er på 55 minutter og bygges i fem korte læringsløkker (teori → eksempel → oppgave). Ta gjerne en pause etter løkke 3.

Til nå har funksjonene dine hatt én inngang. Nå får de flere: f(x,y)f(x,y) gir en høyde over hvert punkt i planet — tenk på et terreng der ff er høyden over havet i punktet (x,y)(x,y). To spørsmål melder seg med en gang: hvor bratt stiger terrenget hvis jeg går i en bestemt retning, og hvilken vei er brattest opp? Begge svarene ligger i én vektor — gradienten ∇f\nabla f — og i retningsderiverten. Det er hele sjanger A.

Vi bygger opp i fem løkker: (1) partiellderiverte, (2) gradienten ∇f\nabla f, (3) retningsderiverten med kursets konvensjon, (4) de tre verbalfaktaene (raskest vekst, maksimal rate, nullretning), (5) kjerneregelen langs en kurve og gradientens forhold til nivåkurver.

Løkke 1 — Partiellderiverte (~10 min)

Partiellderivert
Endringen i ff når du varierer én variabel og holder de andre helt i ro. Den partiellderiverte av f(x,y)f(x,y) med hensyn på xx skrives ∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x} (eller fxf_x), og regnes ut ved å derivere ff som vanlig med yy behandlet som en konstant:

∂f∂x(a,b)=lim⁡h→0f(a+h, b)−f(a,b)h.\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,\,b)-f(a,b)}{h}.

I praksis slipper du grensen: du deriverer bare uttrykket mhp. xx og lar yy stå som et tall. Tilsvarende gir fyf_y endringen langs yy-aksen. Det tegnet ∂\partial («krøll-d») skiller partiell fra vanlig derivasjon.

✏️Eksempel 1: Partiellderiverte komponentvis

Finn fxf_x og fyf_y for f(x,y)=x3−2xy2f(x,y)=x^3-2xy^2, og evaluer begge i punktet (2,1)(2,1).

Med hensyn på xx (hold yy konstant): x3x^3 deriveres til 3x23x^2, og −2xy2=−2y2⋅x-2xy^2=-2y^2\cdot x deriveres til −2y2-2y^2.
fx=3x2−2y2.f_x=3x^2-2y^2.

Med hensyn på yy (hold xx konstant): x3x^3 er en konstant, deriveres til 00, og −2xy2=−2x⋅y2-2xy^2=-2x\cdot y^2 deriveres til −2x⋅2y=−4xy-2x\cdot 2y=-4xy.
fy=−4xy.f_y=-4xy.

Innsetting i (2,1)(2,1):
fx(2,1)=3⋅22−2⋅12=12−2=10,fy(2,1)=−4⋅2⋅1=−8.f_x(2,1)=3\cdot 2^2-2\cdot 1^2=12-2=10,\qquad f_y(2,1)=-4\cdot 2\cdot 1=-8.

Konklusjon: fx(2,1)=10f_x(2,1)=10 og fy(2,1)=−8f_y(2,1)=-8. Svar: fx=3x2−2y2, fy=−4xy; (10,−8) i (2,1)\boxed{f_x=3x^2-2y^2,\ f_y=-4xy;\ (10,-8)\text{ i }(2,1)}

📝Oppgave 1
A

La g(x,y)=x2yg(x,y)=x^2y. Finn gxg_x og gyg_y, og evaluer begge i (2,3)(2,3).

Løkke 2 — Gradienten ∇f (~11 min)

Gradienten ∇f
Vektoren som samler alle de partiellderiverte. For f(x,y,z)f(x,y,z) er

∇f=(∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z),\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\right),

og tilsvarende med to komponenter for f(x,y)f(x,y). Symbolet ∇\nabla («nabla») leses som «gradient av». Du evaluerer gradienten i et punkt ved å sette punktets koordinater inn i hver komponent — da får du en tallvektor. Gradienten er byggesteinen i alt som følger: både retningsderivert, raskest vekst og nullretning leses av den.

✏️Eksempel 2: Gradient i tre variable

La f(x,y,z)=x2y+yz2f(x,y,z)=x^2y+yz^2. Finn ∇f\nabla f generelt, og evaluer i punktet (1,2,3)(1,2,3).

Partiellderivert komponentvis:
fx=2xy,fy=x2+z2,fz=2yz.f_x=2xy,\qquad f_y=x^2+z^2,\qquad f_z=2yz.
(I fyf_y bidrar begge leddene: x2y→x2x^2y\to x^2 og yz2→z2yz^2\to z^2.)

Så ∇f=(2xy, x2+z2, 2yz)\nabla f=(2xy,\ x^2+z^2,\ 2yz).

Innsetting i (1,2,3)(1,2,3) — vis hvert tall:
fx=2⋅1⋅2=4,fy=12+32=1+9=10,fz=2⋅2⋅3=12.f_x=2\cdot 1\cdot 2=4,\quad f_y=1^2+3^2=1+9=10,\quad f_z=2\cdot 2\cdot 3=12.

Konklusjon: ∇f(1,2,3)=(4,10,12)\nabla f(1,2,3)=(4,10,12). Svar: ∇f(1,2,3)=(4, 10, 12)\boxed{\nabla f(1,2,3)=(4,\,10,\,12)}

📝Oppgave 2
A

La h(x,y,z)=xyz+x2h(x,y,z)=xyz+x^2. Finn ∇h\nabla h og evaluer i (1,1,1)(1,1,1).

Løkke 3 — Retningsderiverten med kursets konvensjon (~12 min)

Retningsderivert (kursets konvensjon)
Endringsraten til ff i punktet a\mathbf{a} når du beveger deg i retningen r\mathbf{r}. I dette kurset defineres den som skalarproduktet av gradienten og retningsvektoren:

f′(a;r)=∇f(a)⋅r.f'(\mathbf{a};\mathbf{r})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{r}.

Denne formelen gjelder ubetinget — også når r\mathbf{r} ikke er en enhetsvektor. Du normaliserer r\mathbf{r} (deler på ∣r∣|\mathbf{r}|) kun når oppgaven eksplisitt ber om en enhetsvektor eller «retningen til» en vektor. Notasjonen f′(a;r)f'(\mathbf{a};\mathbf{r}) (med semikolon) er kursets standard; ikke bruk andre skrivemåter.

Enhetsvektor og normalisering
En enhetsvektor er en vektor med lengde 1. Du lager en enhetsvektor i retningen til r\mathbf{r} ved å dele på lengden:

r^=r∣r∣,∣r∣=r12+r22+….\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|},\qquad |\mathbf{r}|=\sqrt{r_1^2+r_2^2+\dots}.

Sjekk alltid først om r\mathbf{r} allerede er en enhetsvektor (er ∣r∣=1|\mathbf{r}|=1?) — da skal du ikke normalisere på nytt. Formuleringene «i retningen til vektoren r\mathbf{r}» og «langs enhetsvektoren» krever normalisering; «i retningen r\mathbf{r}» med en oppgitt vektor bruker r\mathbf{r} direkte via konvensjonen over.

✏️Eksempel 3: Retningsderivert — gitt vektor vs. enhetsvektor

La f(x,y)=x2+xyf(x,y)=x^2+xy og a=(1,2)\mathbf{a}=(1,2). a) Finn retningsderiverten i retningen r=(2,1)\mathbf{r}=(2,1). b) Finn retningsderiverten i retningen til enhetsvektoren for (2,1)(2,1).

Først gradienten: fx=2x+yf_x=2x+y, fy=xf_y=x, så ∇f=(2x+y, x)\nabla f=(2x+y,\ x) og
∇f(1,2)=(2⋅1+2, 1)=(4,1).\nabla f(1,2)=(2\cdot 1+2,\ 1)=(4,1).

a) Her er r=(2,1)\mathbf{r}=(2,1) oppgitt direkte. Kursets konvensjon gjelder ubetinget:
f′(a;r)=∇f(1,2)⋅(2,1)=4⋅2+1⋅1=9.f'(\mathbf{a};\mathbf{r})=\nabla f(1,2)\cdot(2,1)=4\cdot 2+1\cdot 1=9.
Positivt tall ⇒ ff vokser i denne retningen. Delsvar a: 99.

b) Nå bes det om enhetsvektoren. Lengden ∣(2,1)∣=22+12=5≠1|(2,1)|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\ne 1, så vi normaliserer: r^=15(2,1)\hat{\mathbf{r}}=\tfrac{1}{\sqrt5}(2,1).
f′(a;r^)=∇f(1,2)⋅(2,1)5=95=955≈4,02.f'(\mathbf{a};\hat{\mathbf{r}})=\nabla f(1,2)\cdot\frac{(2,1)}{\sqrt5}=\frac{9}{\sqrt5}=\frac{9\sqrt5}{5}\approx 4{,}02.

Konklusjon: i retningen r=(2,1)\mathbf{r}=(2,1) er raten 99; langs enhetsvektoren er den 95\tfrac{9}{\sqrt5}. Legg merke til at samme retning gir ulikt tall alt etter om vektoren er skalert til lengde 1 — les alltid oppgaven nøye. Svar: a) 9,b) 95\boxed{\text{a) }9,\quad \text{b) }\tfrac{9}{\sqrt5}}

📝Oppgave 3
A

La k(x,y)=x3−y2k(x,y)=x^3-y^2 og a=(1,2)\mathbf{a}=(1,2). Finn retningsderiverten k′(a;r)k'(\mathbf{a};\mathbf{r}) i retningen r=(1,2)\mathbf{r}=(1,2), og avgjør om kk vokser eller avtar.

— naturlig pausepunkt — Du har nå gradienten og retningsderiverten. De to siste løkkene er de tre verbalfaktaene sensor vil se, og gradientens geometriske betydning. Ta gjerne en pause her.

Løkke 4 — De tre verbalfaktaene: raskest vekst, maksimal rate, nullretning (~12 min)

Tre spørsmål dukker opp igjen og igjen i sjanger A, og alle tre besvares direkte fra gradienten. De henger sammen med skalarproduktets geometri ∇f⋅r=∣∇f∣ ∣r∣cos⁡θ\nabla f\cdot\mathbf{r}=|\nabla f|\,|\mathbf{r}|\cos\theta: raten er størst når cos⁡θ=1\cos\theta=1 (samme retning som ∇f\nabla f), og null når cos⁡θ=0\cos\theta=0 (r\mathbf{r} vinkelrett på ∇f\nabla f).

Retningen for raskest vekst
ff vokser raskest i retningen til gradienten ∇f(a)\nabla f(\mathbf{a}). Grunnen: retningsderiverten ∇f⋅r^=∣∇f∣cos⁡θ\nabla f\cdot\hat{\mathbf r}=|\nabla f|\cos\theta er størst når vinkelen θ=0\theta=0, altså når r^\hat{\mathbf r} peker samme vei som ∇f\nabla f. Svaret på «i hvilken retning vokser ff raskest?» er derfor vektoren ∇f(a)\nabla f(\mathbf{a}) (eventuelt normalisert til enhetsvektor hvis det bes om en retning/enhetsvektor). Motsatt vei, −∇f-\nabla f, gir raskest avtakelse.
Maksimal vekstrate
Den største verdien retningsderiverten kan ha, er lengden av gradienten:

max⁡∣r∣=1f′(a;r)=∣∇f(a)∣.\max_{|\mathbf{r}|=1} f'(\mathbf{a};\mathbf{r})=|\nabla f(\mathbf{a})|.

Dette er et tall, ikke en retning — ikke forveksle det med svaret på «hvilken retning». Følger fra ∣∇f∣cos⁡θ≤∣∇f∣|\nabla f|\cos\theta\le|\nabla f| (Cauchy–Schwarz), med likhet når θ=0\theta=0.

Nullretning (retningsderivert lik null)
En retning r\mathbf{r} gir retningsderivert 0 nøyaktig når r\mathbf{r} står normalt på gradienten:

f′(a;r)=0  ⟺  ∇f(a)⋅r=0  ⟺  r⊥∇f(a).f'(\mathbf{a};\mathbf{r})=0\iff \nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{r}=0\iff \mathbf{r}\perp\nabla f(\mathbf{a}).

I planet finner du en slik r\mathbf{r} ved å bytte om komponentene i ∇f\nabla f og sette minus på den ene: er ∇f=(p,q)\nabla f=(p,q), er (q,−p)(q,-p) (og (−q,p)(-q,p)) nullretninger. Geometrisk er dette retningen langs en nivåkurve — der høyden ikke endrer seg.

✏️Eksempel 4: Alle tre spørsmålene i ett

La f(x,y)=x2+xyf(x,y)=x^2+xy og a=(1,2)\mathbf{a}=(1,2) (samme som Eksempel 3, der ∇f(1,2)=(4,1)\nabla f(1,2)=(4,1)). a) I hvilken retning vokser ff raskest? b) Hva er den maksimale vekstraten? c) Finn en retning der retningsderiverten er 0.

Fra Eksempel 3: ∇f(1,2)=(4,1)\nabla f(1,2)=(4,1).

a) ff vokser raskest i retningen til gradienten: retningen (4,1)(4,1). (Ber oppgaven om en enhetsvektor, blir det 117(4,1)\tfrac{1}{\sqrt{17}}(4,1).) Dette er en vektor.

b) Den maksimale vekstraten er lengden av gradienten:
∣∇f(1,2)∣=42+12=17≈4,12.|\nabla f(1,2)|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\approx 4{,}12.
Dette er et tall.

c) En nullretning står normalt på (4,1)(4,1). Bytt komponenter og sett minus: (1,−4)(1,-4). Kontroll: (4,1)⋅(1,−4)=4−4=0(4,1)\cdot(1,-4)=4-4=0. ✓

Konklusjon: raskest vekst i retning (4,1)(4,1); maksimal rate 17\sqrt{17}; nullretning (1,−4)(1,-4) (også (−1,4)(-1,4)). Svar: (4,1) ∣ 17 ∣ (1,−4)\boxed{(4,1)\ \big|\ \sqrt{17}\ \big|\ (1,-4)}

📝Oppgave 4
A

La p(x,y)=xy+y2p(x,y)=xy+y^2 og a=(3,1)\mathbf{a}=(3,1). a) Finn ∇p(a)\nabla p(\mathbf a). b) I hvilken retning vokser pp raskest, og hva er den maksimale vekstraten? c) Angi en retning der retningsderiverten er 0.

Løkke 5 — Kjerneregelen langs en kurve og nivåkurver (~10 min)

Kjerneregelen langs en kurve
Beveger du deg langs en kurve r(t)=(x(t),y(t))\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) i planet, endrer ff seg med raten

ddt f(r(t))=∇f(r(t))⋅r′(t).\frac{d}{dt}\,f(\mathbf{r}(t))=\nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).

Dette er kjerneregelen i flere variable: den totale endringsraten er skalarproduktet av gradienten (i punktet der du er) og fartsvektoren r′(t)\mathbf{r}'(t). Retningsderiverten er spesialtilfellet der du går langs en rett linje med konstant fart.

Nivåkurve

Mengden av punkter der ff har samme verdi: {(x,y):f(x,y)=c}\{(x,y):f(x,y)=c\} for en konstant cc. På et terrengkart er nivåkurvene høydekotene. For f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2 er nivåkurvene sirkler om origo — jo større cc, jo større radius.

Gradienten står normalt på nivåkurven

I hvert punkt står gradienten ∇f\nabla f vinkelrett på nivåkurven gjennom punktet, og peker mot økende ff-verdier. Grunnen: langs nivåkurven er ff konstant, så endringsraten der er 0 — og retningen med retningsderivert 0 er nettopp retningen normalt på ∇f\nabla f (nullretningen fra Løkke 4). Tangenten til nivåkurven er altså en nullretning.

✏️Eksempel 5: Kjerneregelen langs en kurve

La f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2 og la en partikkel følge kurven r(t)=(t, t2)\mathbf{r}(t)=(t,\ t^2). Finn ddtf(r(t))\dfrac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) på to måter, og sjekk at de stemmer.

Direkte innsetting: f(r(t))=t2+(t2)2=t2+t4f(\mathbf{r}(t))=t^2+(t^2)^2=t^2+t^4, så
ddtf(r(t))=2t+4t3.\frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t))=2t+4t^3.

Via kjerneregelen: ∇f=(2x,2y)\nabla f=(2x,2y), og langs kurven er x=t, y=t2x=t,\ y=t^2, så ∇f(r(t))=(2t, 2t2)\nabla f(\mathbf{r}(t))=(2t,\ 2t^2). Fartsvektoren er r′(t)=(1, 2t)\mathbf{r}'(t)=(1,\ 2t). Da:
∇f⋅r′=(2t)(1)+(2t2)(2t)=2t+4t3.\nabla f\cdot\mathbf{r}'=(2t)(1)+(2t^2)(2t)=2t+4t^3.

Konklusjon: begge veier gir 2t+4t32t+4t^3. ✓ Kjerneregelen ddtf(r(t))=∇f⋅r′\displaystyle \frac{d}{dt}f(\mathbf r(t))=\nabla f\cdot\mathbf r' stemmer. Svar: 2t+4t3\boxed{2t+4t^3}

📝Oppgave 5
A

La f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2 og a=(1,2)\mathbf{a}=(1,2). a) Finn ∇f(a)\nabla f(\mathbf a). b) Angi en vektor som er tangent til nivåkurven gjennom (1,2)(1,2), og forklar sammenhengen med retningsderiverten. Se figuren over for geometrien.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet samlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Funksjon av flere variable

En funksjon f:Rn→Rf:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} som tar inn flere tall og gir ut ett. For n=2n=2 kan du tenke på f(x,y)f(x,y) som en høyde over hvert punkt i planet (et terreng). Grafen er da en flate i rommet, og nivåkurvene er høydekotene.

Skalarproduktet (geometrisk form)
a⋅b=a1b1+a2b2+⋯=∣a∣ ∣b∣cos⁡θ\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+\dots=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta, der θ\theta er vinkelen mellom vektorene. Nøkkelen bak hele kapitlet: skalarproduktet er størst når vektorene peker samme vei (θ=0\theta=0) og null når de står normalt (θ=90∘\theta=90^\circ). Repetisjon fra kap. 5.1.
Retningsderivert som grense

Den underliggende definisjonen bak konvensjonen: f′(a;r)=lim⁡h→0f(a+hr)−f(a)hf'(\mathbf a;\mathbf r)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(\mathbf a+h\mathbf r)-f(\mathbf a)}{h} — raten ff endrer seg med når du starter i a\mathbf a og går i retning r\mathbf r. For deriverbare ff er dette lik ∇f(a)⋅r\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf r, som er formen du regner med.

Nabla-operatoren ∇

Symbolet ∇\nabla («nabla», omvendt trekant) står for «ta alle partiellderiverte og sett dem i en vektor». Anvendt på en skalarfunksjon ff gir ∇f\nabla f gradienten. Les ∇f\nabla f som «gradient av ff».

Andreordens partiellderiverte

Du kan derivere partiellderiverte en gang til: fxxf_{xx}, fyyf_{yy} og de blandede fxyf_{xy}, fyxf_{yx}. For pene funksjoner er de blandede like (fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}). Trengs ikke i kjerne-sjanger A, men er nyttig bakgrunn for drøfting i flere variable.

Hvorfor maks rate er |∇f| (Cauchy–Schwarz)

For en enhetsvektor r^\hat{\mathbf r} er ∇f⋅r^=∣∇f∣cos⁡θ≤∣∇f∣\nabla f\cdot\hat{\mathbf r}=|\nabla f|\cos\theta\le|\nabla f|, med likhet når θ=0\theta=0. Derfor kan retningsderiverten aldri overstige ∣∇f∣|\nabla f|, og den maksimale verdien nås i gradientens egen retning. Dette er begrunnelsen bak de to første verbalfaktaene.

Tangentplanet

Planet som best tilnærmer flaten z=f(x,y)z=f(x,y) i et punkt: z=f(a)+∇f(a)⋅(x−a)z=f(\mathbf a)+\nabla f(\mathbf a)\cdot(\mathbf x-\mathbf a). Gradienten gir helningen. Dette er koblingen videre til linearisering og deriverbarhet i kap. 5.6.

Gradienten peker mot høyere verdier

Ikke bare står ∇f\nabla f normalt på nivåkurven — den peker mot den nærmeste høyere nivåkurven (oppover i terrenget). Motsatt vei, −∇f-\nabla f, er retningen for raskest fall (bruk i optimering: «gå ned mot minimum»).

Retningsvektor vs. posisjon

I retningsderiverten er a\mathbf a punktet du står i (settes inn i gradienten) og r\mathbf r er retningen du beveger deg. Ikke bland: gradienten evalueres i a\mathbf a, skalarproduktet tas med r\mathbf r. Endres punktet, endres gradienten.

Retningsderivertens fortegn

Fortegnet på f′(a;r)f'(\mathbf a;\mathbf r) forteller om ff vokser (positivt), avtar (negativt) eller er flat (null) i retningen r\mathbf r. Ta alltid med denne tolkningen i konklusjonssetningen — det er en billig, men obligatorisk, poengkilde.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.