Tilbake
5.6
Alle fag for Høyskole

5.6 Jacobimatrisen og deriverbarhet i flere variable

Jacobimatrisen av partiellderiverte og de to måtene å begrunne deriverbarhet på — teoremveien og definisjonsveien (2022-nivå).

40 min
7 oppgaver
Jacobimatrisenderiverbarhet i flere variable
Din fremgang i kapitlet
0 / 7 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet kobler sammen tre tidligere tråder. Du trenger grensedefinisjonen av den deriverte fra kap. 3.1 (definisjonsvarianten bygger direkte på den), matrisenotasjon fra kap. 5.2 (Jacobimatrisen er en matrise av partiellderiverte), og partiellderiverte + gradient fra kap. 5.4 (radene i Jacobimatrisen er gradientene til komponentfunksjonene).

Sist du var her (oppfriskning):

- Partiellderivert: ∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x} regnes ved å derivere ff mhp. xx og holde de andre variablene konstante (kap. 5.4).
- Grensedefinisjonen av den deriverte i én variabel: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} (kap. 3.1).

Kapitlet er kompakt (40 min) og bygges i tre løkker: (1) Jacobimatrisen, (2) teoremveien til deriverbarhet, (3) definisjonsveien (kjenne-stoff).

I kap. 5.4 hadde funksjonen én utgang (en høyde). Nå lar vi funksjonen gi ut flere tall samtidig — en vektorfunksjon F:Rn→RmF:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m. Et eksempel er en avbildning som tar et punkt (x,y)(x,y) i planet og sender det til et nytt punkt (u,v)(u,v); både uu og vv avhenger av xx og yy.

Den deriverte av en slik funksjon er ikke ett tall og ikke én vektor, men en matrise — Jacobimatrisen — som samler alle partiellderiverte. Og som i én variabel finnes det en presis definisjon av hva «deriverbar» betyr, med et restledd som må gå mot 0. Vi bygger opp i tre løkker.

Løkke 1 — Vektorfunksjoner og Jacobimatrisen (~14 min)

Vektorfunksjon F: ℝⁿ → ℝᵐ
En funksjon som tar inn nn tall og gir ut mm tall. Vi skriver

F(x)=(F1(x), F2(x), …, Fm(x)),F(\mathbf x)=\big(F_1(\mathbf x),\ F_2(\mathbf x),\ \dots,\ F_m(\mathbf x)\big),

der hver Fi:Rn→RF_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} er en vanlig skalarfunksjon. For eksempel er F(x,y)=(x2−y, 3xy, x+y2)F(x,y)=(x^2-y,\ 3xy,\ x+y^2) en vektorfunksjon fra R2\mathbb{R}^2 til R3\mathbb{R}^3 (n=2n=2 inn, m=3m=3 ut).

Komponentfunksjon

Én av utgangene til en vektorfunksjon, FiF_i. Hver komponentfunksjon er en skalarfunksjon av alle inngangsvariablene, og har sin egen gradient. Jacobimatrisen bygges rad for rad av disse gradientene — derfor er komponentfunksjonene den naturlige måten å bryte opp FF på.

Jacobimatrisen
Matrisen av alle førsteordens partiellderiverte til F:Rn→RmF:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m. Element (i,j)(i,j) er ∂Fi∂xj\dfrac{\partial F_i}{\partial x_j}:

JF=(∂F1∂x1⋯∂F1∂xn⋮⋮∂Fm∂x1⋯∂Fm∂xn).JF=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\[2mm] \vdots & & \vdots \\[1mm] \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}.

Matrisen har mm rader (én per komponentfunksjon) og nn kolonner (én per inngangsvariabel). Den evalueres i et punkt ved å sette punktets koordinater inn i hvert element.

Rad = komponentfunksjon (huskeregelen)
Rad ii i Jacobimatrisen er gradienten til komponentfunksjonen FiF_i: (∂Fi∂x1,…,∂Fi∂xn)\big(\tfrac{\partial F_i}{\partial x_1},\dots,\tfrac{\partial F_i}{\partial x_n}\big). Kolonne jj samler alle partiellderivertene mhp. den samme variabelen xjx_j. Den vanligste feilen i sjangeren er å transponere matrisen (bytte rader og kolonner) — hold fast på at hver rad hører til én utgang FiF_i.
✏️Eksempel 1: Jacobimatrisen til en vektorfunksjon

La F(x,y)=(x2−y, 3xy, x+y2)F(x,y)=(x^2-y,\ 3xy,\ x+y^2). Finn Jacobimatrisen JFJF generelt, og evaluer i punktet (1,2)(1,2).

Komponentfunksjonene er F1=x2−yF_1=x^2-y, F2=3xyF_2=3xy, F3=x+y2F_3=x+y^2. Her er n=2n=2 (variablene x,yx,y) og m=3m=3 (tre utganger), så JFJF blir en 3×23\times 2-matrise.

Partiellderiver hver komponent (rad for rad):

Rad∂/∂x\partial/\partial x∂/∂y\partial/\partial y
F1=x2−yF_1=x^2-y2x2x−1-1
F2=3xyF_2=3xy3y3y3x3x
F3=x+y2F_3=x+y^2112y2y

Altså
JF=(2x−13y3x12y).JF=\begin{pmatrix} 2x & -1 \\ 3y & 3x \\ 1 & 2y \end{pmatrix}.
Innsetting i (1,2)(1,2):
JF(1,2)=(2−16314).JF(1,2)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 6 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}.

Konklusjon: hver rad er gradienten til én komponentfunksjon; matrisen har 3 rader og 2 kolonner. Svar: JF(1,2)=(2−16314)\boxed{JF(1,2)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 6 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}}

📝Oppgave 1
N

La G(x,y)=(xy, x2+y2)G(x,y)=(xy,\ x^2+y^2). Finn JGJG generelt, og evaluer i (2,1)(2,1).

Løkke 2 — Teoremveien: kontinuerlige partiellderiverte ⇒ deriverbar (~13 min)

Deriverbarhet i flere variable
FF er deriverbar i punktet a\mathbf a dersom det finnes en matrise MM (som da er Jacobimatrisen JF(a)JF(\mathbf a)) slik at lineariseringen x↦F(a)+M(x−a)\mathbf x\mapsto F(\mathbf a)+M(\mathbf x-\mathbf a) tilnærmer FF så godt at restleddet går mot 0 raskere enn avstanden:

lim⁡x→a∣F(x)−F(a)−M(x−a)∣∣x−a∣=0.\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\frac{\big|F(\mathbf x)-F(\mathbf a)-M(\mathbf x-\mathbf a)\big|}{|\mathbf x-\mathbf a|}=0.

Det avgjørende er at brøken er normert med ∣x−a∣|\mathbf x-\mathbf a| i nevneren — deriverbarhet er mer enn at partiellderivertene finnes. Teoremet under gir en enklere vei til å slå det fast.

📜Teoremveien til deriverbarhet
Er alle partiellderivertene til FF kontinuerlige i en omegn om a\mathbf a, så er FF deriverbar i a\mathbf a, og den deriverte er Jacobimatrisen JF(a)JF(\mathbf a).

Dette er hovedverktøyet på eksamen: du slipper å regne restleddsgrensen. Oppskriften i tre trinn:

1. Regn partiellderivertene (elementene i JFJF).
2. Konstatér at de er kontinuerlige (polynomer, exe^x, sin⁡\sin, cos⁡\cos og sammensetninger/produkter av slike er kontinuerlige overalt der de er definert).
3. Navngi teoremet («kontinuerlige partiellderiverte ⇒ deriverbar») og konkludér at FF er deriverbar, med derivert JF(a)JF(\mathbf a).

En funksjon med kontinuerlige partiellderiverte kalles kontinuerlig deriverbar (C1C^1).

✏️Eksempel 2: Deriverbar via teoremveien

La F(x,y)=(excos⁡y, exsin⁡y)F(x,y)=(e^x\cos y,\ e^x\sin y). Finn Jacobimatrisen i origo (0,0)(0,0), og begrunn at FF er deriverbar der.

Partiellderiver hver komponent:

Rad∂/∂x\partial/\partial x∂/∂y\partial/\partial y
F1=excos⁡yF_1=e^x\cos yexcos⁡ye^x\cos y−exsin⁡y-e^x\sin y
F2=exsin⁡yF_2=e^x\sin yexsin⁡ye^x\sin yexcos⁡ye^x\cos y

JF=(excos⁡y−exsin⁡yexsin⁡yexcos⁡y).JF=\begin{pmatrix} e^x\cos y & -e^x\sin y \\ e^x\sin y & e^x\cos y \end{pmatrix}.
Innsetting i (0,0)(0,0) (med e0=1e^0=1, cos⁡0=1\cos 0=1, sin⁡0=0\sin 0=0):
JF(0,0)=(1001).JF(0,0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Deriverbarhet (teoremveien): alle fire elementene er produkter av exe^x og cos⁡y\cos y/sin⁡y\sin y, som er kontinuerlige overalt; dermed er alle partiellderivertene kontinuerlige i en omegn om (0,0)(0,0). Etter teoremet «kontinuerlige partiellderiverte ⇒ deriverbar» er FF deriverbar i (0,0)(0,0), med derivert JF(0,0)JF(0,0).

Konklusjon: JF(0,0)=(1001)JF(0,0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, og FF er deriverbar i origo fordi partiellderivertene er kontinuerlige. Svar: JF(0,0)=I2, F deriverbar (teoremveien)\boxed{JF(0,0)=I_2,\ F\text{ deriverbar (teoremveien)}}

📝Oppgave 2
N

La F(x,y)=(x2+y2, xy)F(x,y)=(x^2+y^2,\ xy). a) Finn JF(1,1)JF(1,1). b) Begrunn at FF er deriverbar i (1,1)(1,1).

— naturlig pausepunkt — Du har nå Jacobimatrisen og teoremveien, som dekker hovedvarianten av sjanger N. Siste løkke er definisjonsvarianten («kjenne»-stoff, 2022-nivå) — ta den når du er uthvilt.

Løkke 3 — Definisjonsveien: restleddsgrensen direkte (kjenne) (~13 min)

Dette er «kjenne»-stoff — den skjerpede varianten fra 2022. Teoremveien over dekker de fleste oppgavene; her lærer du å vise deriverbarhet direkte fra definisjonen når oppgaven ber om det (eller når partiellderivertene ikke er åpenbart kontinuerlige). Prinsippet: finn kandidaten MM (via partiellderiverte fra grensedefinisjonen), og vis at restleddsgrensen er 0.
Partiellderivert via grensedefinisjonen
Når du ikke kan bruke derivasjonsreglene direkte (eller oppgaven krever definisjonen), regnes en partiellderivert i et punkt som en ekte grense. For f(x,y)f(x,y) i punktet (a,b)(a,b):

fx(a,b)=lim⁡h→0f(a+h, b)−f(a,b)h,fy(a,b)=lim⁡h→0f(a, b+h)−f(a,b)h.f_x(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,\,b)-f(a,b)}{h},\qquad f_y(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,\,b+h)-f(a,b)}{h}.

Dette speiler grensedefinisjonen i én variabel fra kap. 3.1 — du holder den andre variabelen fast på bb (henholdsvis aa).

Restleddsgrensen (normert)
Selve deriverbarhetskravet: med M=JF(a)M=JF(\mathbf a) (kandidaten fra partiellderivertene) er FF deriverbar i a\mathbf a nøyaktig når

lim⁡x→a∣F(x)−F(a)−M(x−a)∣∣x−a∣=0.\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\frac{\big|F(\mathbf x)-F(\mathbf a)-M(\mathbf x-\mathbf a)\big|}{|\mathbf x-\mathbf a|}=0.

Normeringen med ∣x−a∣|\mathbf x-\mathbf a| i nevneren er poenget: teller alene går alltid mot 0 for kontinuerlige FF, men deriverbarhet krever at den går mot 0 raskere enn avstanden. Å sløyfe nevneren er en dokumentert feil.

✏️Eksempel 3: Deriverbarhet direkte fra definisjonen

La f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2. Vis at ff er deriverbar i origo (0,0)(0,0) ved å (a) finne partiellderivertene fra grensedefinisjonen og (b) verifisere restleddsgrensen.

(a) Partiellderiverte via grensedefinisjonen i (0,0)(0,0), med f(0,0)=0f(0,0)=0:
fx(0,0)=lim⁡h→0f(h,0)−f(0,0)h=lim⁡h→0h2−0h=lim⁡h→0h=0.f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2-0}{h}=\lim_{h\to 0}h=0.
fy(0,0)=lim⁡h→0f(0,h)−f(0,0)h=lim⁡h→0h2h=0.f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2}{h}=0.
Kandidaten er derfor M=(fx,fy)=(0,0)M=\big(f_x,f_y\big)=(0,0) (her er m=1m=1, så «Jacobimatrisen» er raden ∇f(0,0)=(0,0)\nabla f(0,0)=(0,0)).

(b) Restleddsgrensen. Med x=(x,y)\mathbf x=(x,y), a=(0,0)\mathbf a=(0,0) og M(x−a)=(0,0)⋅(x,y)=0M(\mathbf x-\mathbf a)=(0,0)\cdot(x,y)=0:
∣f(x,y)−f(0,0)−0∣∣(x,y)∣=∣x2+y2∣x2+y2=x2+y2x2+y2=x2+y2.\frac{\big|f(x,y)-f(0,0)-0\big|}{|(x,y)|}=\frac{|x^2+y^2|}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}.
Når (x,y)→(0,0)(x,y)\to(0,0) går x2+y2→0\sqrt{x^2+y^2}\to 0. Altså er restleddsgrensen 0.

Konklusjon: partiellderivertene i origo er begge 0, og restleddsgrensen (normert med ∣x−a∣|\mathbf x-\mathbf a|) går mot 0, så ff er deriverbar i (0,0)(0,0) med ∇f(0,0)=(0,0)\nabla f(0,0)=(0,0). Legg merke til at normeringen var det som gjorde argumentet ekte — telleren x2+y2x^2+y^2 alene gikk mot 0 uansett. Svar: f deriverbar i (0,0), ∇f(0,0)=(0,0)\boxed{f\text{ deriverbar i }(0,0),\ \nabla f(0,0)=(0,0)}

📝Oppgave 3
N

La g(x,y)=xyg(x,y)=xy. a) Finn gx(0,0)g_x(0,0) og gy(0,0)g_y(0,0) fra grensedefinisjonen. b) Vis at restleddsgrensen i (0,0)(0,0) er 0, slik at gg er deriverbar der. (Hint: ∣xy∣≤12(x2+y2)|xy|\le \tfrac12(x^2+y^2).)

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Kontinuerlig deriverbar (C¹)

En funksjon hvis partiellderiverte alle finnes og er kontinuerlige kalles kontinuerlig deriverbar, eller C1C^1. Teoremveien sier at C1⇒C^1\Rightarrow deriverbar. Polynomer, exe^x, sin⁡\sin, cos⁡\cos og produkter/sammensetninger av dem er C1C^1 overalt der de er definert — derfor er de fleste eksamensfunksjonene automatisk deriverbare.

Lineariseringen (beste lineære tilnærming)

Nær a\mathbf a tilnærmes FF best av den lineære avbildningen x↦F(a)+JF(a)(x−a)\mathbf x\mapsto F(\mathbf a)+JF(\mathbf a)(\mathbf x-\mathbf a). Jacobimatrisen er nettopp den lineære delen. At restleddet (avviket fra lineariseringen) går mot 0 raskere enn ∣x−a∣|\mathbf x-\mathbf a| er selve definisjonen av deriverbarhet — den flervariable versjonen av «tangentlinjen tilnærmer grafen».

Tangentplanet (m = 1-tilfellet)

Når FF har bare én utgang (m=1m=1), er Jacobimatrisen én rad — nemlig gradienten ∇f\nabla f — og lineariseringen z=f(a)+∇f(a)⋅(x−a)z=f(\mathbf a)+\nabla f(\mathbf a)\cdot(\mathbf x-\mathbf a) er tangentplanet til flaten z=f(x,y)z=f(x,y). Slik knytter Jacobi-begrepet seg tilbake til gradienten fra kap. 5.4.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.