5.5 Drill: gradientpakken som åpningsoppgave

Slutteksamenens faste åpning drillet til automatikk: alle fire variantene av gradient/retningsderivert-oppgaven med A-besvarelsens føring.

90 min

10 oppgaver

Drillgradientpakken som åpningsoppgave

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Gradient og retningsderivert

Dette er den faste åpningen på slutteksamen — sjanger A står i 21 av 21 sett, nesten alltid som oppgave 1. Analysen kaller det billige poeng med kjent oppskrift, og målet med denne drillen er at gradientpakken skal sitte automatisk under tidspress.

- Variantkatalogen fra arkivet (21 slutteksamener H2003–H2023, 18 med løsningsforslag + 16 midtveiseksamener H2003–H2018; arkivet stopper i 2023): (1) evaluert retningsderivert i gitt retning — både med unormalisert $\mathbf r$ og med enhetsvektor; (2) retningen for raskest vekst + den maksimale vekstraten; (3) en nullretning (retningsderivert 0); (4) varianten kjedet mot en nivåkurve eller kurve.
- Prioritet: høyeste (nivå «perfekt»). Sensorregelen «ubegrunnet svar = 0» gjelder — de verbale konklusjonssetningene er en del av poengsummen.

Denne drillen gir deg løsningsoppskriften (fem steg), ett gjennomregnet eksamenscase med margnotater om hvor de billige poengene hentes og mistes, og 10 oppgaver på eksamensnivå. En signalboks etter hver oppgave sier hvilken variant den testet.

Slik jobber du (90 min — del gjerne over to økter):
1. Les oppskriften og eksamenscaset (~20 min). — naturlig pausepunkt —
2. Ta variantoppgavene 1–8 med full føring (~45 min).
3. Avslutt med de kjedede oppgavene 9–10 (~25 min).

Forkunnskaper: Drillen forutsetter hele teorien fra kap. 5.4 (partiellderiverte, gradienten

\nabla f

, retningsderivert med kursets konvensjon, de tre verbalfaktaene, nivåkurver). Skalarproduktet fra kap. 5.1 brukes i hvert eneste steg. Her lærer du ingen ny teori — du drilles i å kjøre oppskriften raskt og føre den slik fasit gjør.

Sist du var her — de tre verbalfaktaene i kortform:

- $f$ vokser raskest i retningen til $\nabla f(\mathbf a)$ (en vektor).
- Den maksimale vekstraten er $|\nabla f(\mathbf a)|$ (et tall).
- Retningsderiverten er 0 i retninger $\mathbf r\perp\nabla f(\mathbf a)$ (langs nivåkurven).

Løsningsoppskriften — fem steg (~8 min)

Hver variant av sjanger A løses med den samme algoritmen. Kjør stegene i rekkefølge, hver gang.

Steg 1 — Regn alle partiellderiverte komponentvis. Deriver mhp. hver variabel for seg; hold de andre konstante. Skriv $f_x$ , $f_y$ (og $f_z$ ).

Steg 2 — Sett sammen $\nabla f$ og evaluer i punktet. Vis innsettingen av punktets koordinater i hver komponent — det er et eget føringspoeng.

Steg 3 — Les oppgaven: skal $\mathbf r$ normaliseres? Står det «enhetsvektor» eller «retningen til»? → normaliser $\hat{\mathbf r}=\mathbf r/|\mathbf r|$ (men sjekk først om $\mathbf r$ alt har lengde 1). Ellers: bruk oppgitt $\mathbf r$ direkte (konvensjonen gjelder ubetinget).

Steg 4 — Ta skalarproduktet med føring. $f'(\mathbf a;\mathbf r)=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf r$ — skriv mellomregningen ledd for ledd.

Steg 5 — Verbal konklusjonssetning med teoremfaktaene. «Retningsderiverten er … , så $f$ vokser/avtar», «raskest vekst i retning $\nabla f$ med rate $|\nabla f|$ », eller « $\mathbf r\perp\nabla f$ , altså retningsderivert 0». Marker sluttsvaret.

Skille som gir og tar poeng: en retning er en vektor; en rate er et tall. Å svare med feil type (vektor der det spørres om tall, eller motsatt) er den vanligste tabben — og normaliseringsvalget i steg 3 er det andre.

✏️Gjennomregnet eksamenscase — hele gradientpakken med sensor-margnotater

En typisk åpningsoppgave. La $f(x,y,z)=x^2z+y^3-xz$ og $\mathbf a=(1,-1,2)$ .

a) Finn $\nabla f(\mathbf a)$ .
b) Finn retningsderiverten i retningen til enhetsvektoren for $\mathbf r=(2,2,1)$ .
c) I hvilken retning vokser $f$ raskest ut fra $\mathbf a$ , og hva er den maksimale vekstraten?
d) Angi en retning ut fra $\mathbf a$ der retningsderiverten er 0.

a) Steg 1–2 — partiellderiverte og gradient (margnotat: her sitter grunnpoengene — vis innsettingen, ikke bare sluttvektoren):

f_x=2xz-z,\qquad f_y=3y^2,\qquad f_z=x^2-x.

Innsetting i

\mathbf a=(1,-1,2)

f_x=2\cdot 1\cdot 2-2=2,\quad f_y=3(-1)^2=3,\quad f_z=1^2-1=0.

\boxed{\nabla f(1,-1,2)=(2,3,0)}

b) Steg 3 — normaliser? Oppgaven ber om enhetsvektoren for $\mathbf r=(2,2,1)$ . Lengden $|\mathbf r|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt9=3\ne 1$ , så vi normaliserer: $\hat{\mathbf r}=\tfrac13(2,2,1)$ (margnotat: å hoppe over normaliseringen her er den klassiske poengtapsfellen — oppgaven sa «enhetsvektor»).

Steg 4 — skalarprodukt:
$f'(\mathbf a;\hat{\mathbf r})=\nabla f(\mathbf a)\cdot\hat{\mathbf r}=\frac{(2,3,0)\cdot(2,2,1)}{3}=\frac{4+6+0}{3}=\frac{10}{3}.$
Steg 5 — konklusjon: retningsderiverten er $\tfrac{10}{3}\approx 3{,}33>0$ , så $f$ vokser i denne retningen. $\boxed{\tfrac{10}{3}}$

c) $f$ vokser raskest i retningen til gradienten: retningen $(2,3,0)$ (margnotat: dette er en vektor — ikke svar med et tall her). Den maksimale vekstraten er lengden:
$|\nabla f(\mathbf a)|=\sqrt{2^2+3^2+0^2}=\sqrt{13}\approx 3{,}61.$
$\boxed{\text{retning }(2,3,0),\ \text{rate }\sqrt{13}}$

d) En nullretning står normalt på $(2,3,0)$ , altså $\mathbf r$ med $(2,3,0)\cdot\mathbf r=0$ . Siste komponent i gradienten er 0, så $\mathbf r=(0,0,1)$ virker: $(2,3,0)\cdot(0,0,1)=0$ . Et annet valg er $(3,-2,0)$ : $6-6=0$ . (margnotat: her holder det å oppgi én gyldig retning og verifisere med skalarprodukt = 0.)
$\boxed{\mathbf r=(3,-2,0)\ \text{(eller }(0,0,1))}$

Poengfordelingen i en slik oppgave sitter i de fire margnotatene: vist innsetting i gradienten, riktig normaliseringsvalg, retning-vs-rate-skillet, og en verifisert nullretning. Riktige tall uten den verbale føringen gir sjelden full uttelling.

Oppgaver på eksamensnivå (~45 min)

Kjør fem-stegsoppskriften på hver. Signalboksen etter hver løsning sier hvilken variant oppgaven testet. — naturlig pausepunkt før du starter —

📝Oppgave 1

La $f(x,y)=xy^2$ og $\mathbf a=(2,1)$ . Finn retningsderiverten i retningen $\mathbf r=(2,1)$ , og avgjør om $f$ vokser eller avtar.

📝Oppgave 2

La $g(x,y)=x^2-y^2$ og $\mathbf a=(3,1)$ . Finn retningsderiverten i retningen til vektoren $\mathbf r=(3,4)$ .

📝Oppgave 3

La $h(x,y)=x^2+y^2$ og $\mathbf a=(1,1)$ . Finn retningsderiverten i retningen $\mathbf r=\left(\tfrac35,\tfrac45\right)$ .

📝Oppgave 4

La $f(x,y)=x^3+y$ og $\mathbf a=(1,2)$ . a) I hvilken retning vokser $f$ raskest? b) Hva er den maksimale vekstraten?

📝Oppgave 5

La $f(x,y)=x^2y$ og $\mathbf a=(2,1)$ . Hva er den største verdien retningsderiverten kan ha i $\mathbf a$ ?

📝Oppgave 6

La $f(x,y)=x^2-2y$ og $\mathbf a=(1,3)$ . Finn en retning ut fra $\mathbf a$ der retningsderiverten er 0, og verifiser.

📝Oppgave 7

La $f(x,y,z)=xyz$ og $\mathbf a=(1,2,3)$ . Finn retningsderiverten i retningen $\mathbf r=(1,0,-1)$ .

📝Oppgave 8

La $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ og $\mathbf a=(1,2,2)$ . a) I hvilken retning vokser $f$ raskest? b) Hva er den maksimale vekstraten?

📝Oppgave 9

La $f(x,y)=x^2+y^2$ og $\mathbf a=(1,2)$ . a) Finn $\nabla f(\mathbf a)$ og den maksimale vekstraten. b) Skriv opp nivåkurven gjennom $(1,2)$ og finn en vektor som er tangent til den. c) Regn ut retningsderiverten i tangentretningen fra (b), og forklar resultatet. Se figuren over.

📝Oppgave 10

La $f(x,y)=x^2-y$ , og la en partikkel følge kurven $\mathbf r(t)=(1+t,\ 2+t^2)$ . Finn $\dfrac{d}{dt}f(\mathbf r(t))$ ved $t=0$ på to måter (direkte og med kjerneregelen), og sjekk at de stemmer.

Typiske feil på klokka

- Normaliseringsfellene i begge retninger. Under tidspress glemmer man enten å normalisere når det bes om «enhetsvektor»/«retningen til», eller man normaliserer en oppgitt vektor konvensjonen skulle brukt direkte. Les steg 3 hver gang, og sjekk $|\mathbf r|$ .
- Retning forvekslet med rate. «Hvilken retning?» → vektoren $\nabla f$ . «Hvor stor rate?» → tallet $|\nabla f|$ . Å svare med feil type er den hyppigste tabben i sjangeren.
- Manglende verbal begrunnelse. «Ubegrunnet svar = 0»: skriv konklusjonssetningen med fortegns-/retning-tolkningen — ellers ligger poeng igjen på bordet.
- Nullretning uten verifikasjon. Oppgi retningen og vis $\nabla f\cdot\mathbf r=0$ .
- Slurv i partiellderivasjonen under tidspress. Feil variabel holdt konstant gir feil gradient — og da faller alle delsvarene. Ta deg tid til steg 1.

Formelkort til drillen

Repetisjonsstoff — oppskriften i kortform for rask puggeøkt. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder selve drillen.

Gradientalgoritmen (fem steg)

\nabla f

Normaliseringssjekken (steg 3)

\hat{\mathbf r}=\mathbf r/|\mathbf r|

Retning vs. rate

\nabla f(\mathbf a)

Retningsderivertens fortegn

f'(\mathbf a;\mathbf r)

Nullretning fra gradienten

\nabla f

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.