Tilbake
3.1
Alle fag for Høyskole

3.1 Deriverbarhet: grensedefinisjonen

Den deriverte som grense av differansekvotienten — definisjonen sensor krever i alle deriverbarhetsspørsmål, og fundamentet for signaturoppgaven.

45 min
9 oppgaver
Deriverbarhetgrensedefinisjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på grensebegrepet fra kap. 2.1 (grenseverdier og ε-δ) og regneteknikken for grenser fra kap. 2.2 (standardgrenser, faktorisering, L'Hôpital) — for en derivert er en grense. Fra videregående trenger du den intuitive deriverte og vekstfarttolkningen: Derivasjonens definisjon og Gjennomsnittlig og momentan vekstfart.

Sist du var her (oppfriskning): differansekvotienten f(a+h)−f(a)h\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h} er stigningstallet til en sekant; når h→0h\to 0 blir sekanten en tangent. En grense finnes bare hvis venstre- og høyregrensen er like — det blir avgjørende i skjøtepunkter.

Tenk deg at du kjører bil og ser på speedometeret. Det viser farten akkurat nå — ikke gjennomsnittsfarten på hele turen, men den momentane. Matematisk er «akkurat nå» en grenseovergang: du måler gjennomsnittsfarten over et kortere og kortere tidsintervall, og farten i øyeblikket er grensen. Den deriverte er nettopp dette, og i dette kapitlet ser vi hva som skjer inne i grenseovergangen.

Du kan derivere de fleste funksjoner med regnereglene fra videregående. Men på universitetet får du oppgaver der reglene ikke rekker: funksjoner satt sammen av flere biter, eller punkter der du må bevise at den deriverte finnes. Da må du tilbake til kilden — grensedefinisjonen.

Kapitlet er bygget som fire korte læringsløkker: (1) selve definisjonen og direkte beregninger, (2) ensidige deriverte i skjøtepunkter, (3) sammenhengen deriverbar ⇒ kontinuerlig, (4) tangentlikningen. Hver løkke går teori → eksempel → oppgave, så du kan jobbe deg gjennom bit for bit.

Løkke 1 — Grensedefinisjonen og direkte beregninger

Den deriverte i et punkt (grensedefinisjonen)
Den deriverte av ff i punktet aa er den momentane endringsraten — grensen av gjennomsnittsraten når intervallet krymper til null. I symboler:

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Funksjonen ff kalles deriverbar i aa hvis og bare hvis denne grensen finnes (er et endelig tall). Finnes ikke grensen, er ff ikke deriverbar i aa — uansett hvor pen formelen ser ut.

Sekantvarianten av definisjonen
Setter du x=a+hx=a+h (altså h=x−ah=x-a), går h→0h\to 0 over i x→ax\to a, og definisjonen får formen:

f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene (a,f(a))(a,f(a)) og (x,f(x))(x,f(x)). De to formene er helt likeverdige — velg den som gir enklest regning. Rotuttrykk og brøker er ofte greiest med sekantvarianten.

Differansekvotienten

Brøken f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} i seg selv — før grensen tas — heter differansekvotienten. Geometrisk er den stigningstallet til sekanten gjennom to punkter på grafen, og fysisk er den gjennomsnittsfarten over intervallet. Den deriverte er grensen av differansekvotienten. Hele signaturoppgaven i kap. 3.3 handler om å regne ut nettopp denne grensen i et vanskelig punkt.

Geometrisk tolkning

Tegn grafen til ff og velg et fast punkt (a,f(a))(a,f(a)). Et nabopunkt (a+h,f(a+h))(a+h,f(a+h)) gir en sekant. Lar du hh krympe, glir nabopunktet mot det faste, og sekanten dreier mot tangenten. Den deriverte f′(a)f'(a) er tangentens stigningstall. Der grensen ikke finnes — for eksempel i en spiss knekk — finnes ingen entydig tangent, og ff er ikke deriverbar.

✏️Eksempel 1: Definisjonsberegning av $x^2$

Bruk grensedefinisjonen til å finne f′(a)f'(a) når f(x)=x2f(x)=x^2.

Vi setter opp differansekvotienten og forenkler før vi tar grensen.

Differansekvotient:
f(a+h)−f(a)h=(a+h)2−a2h=a2+2ah+h2−a2h=2ah+h2h\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}

For h≠0h\ne 0 forkorter vi med hh:
=h(2a+h)h=2a+h=\frac{h(2a+h)}{h}=2a+h

Grenseovergang:
f′(a)=lim⁡h→0(2a+h)=2af'(a)=\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a

Konklusjon: f′(a)=2af'(a)=2a — som stemmer med regelen (x2)′=2x(x^2)'=2x, men her er den utledet fra definisjonen. Legg merke til grepet: vi kan ikke sette h=0h=0 i brøken direkte (da får vi [0/0][0/0]), men etter forkorting er uttrykket 2a+h2a+h trygt å ta grensen av. Svar: f′(a)=2a\boxed{f'(a)=2a}

📝Oppgave 1
H

Bruk grensedefinisjonen f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} til å vise at f′(a)=2a+3f'(a)=2a+3 når f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x.

✏️Eksempel 2: Definisjonsberegning av $\sqrt{x}$ (konjugattriks)

Bruk definisjonen til å finne f′(4)f'(4) når f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

Her er sekantvarianten enklest. Vi bruker at x−4\sqrt{x}-\sqrt{4} kan behandles med konjugattrikset (multiplisere med den konjugerte for å bli kvitt rotdifferansen).

Sekantform:
f′(4)=lim⁡x→4x−4x−4=lim⁡x→4x−2x−4f'(4)=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}

Dette er formen [0/0][0/0]. Multipliser teller og nevner med den konjugerte (x+2)(\sqrt{x}+2):
=lim⁡x→4(x−2)(x+2)(x−4)(x+2)=lim⁡x→4x−4(x−4)(x+2)=\lim_{x\to 4}\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}

Forkort x−4x-4:
=lim⁡x→41x+2=14+2=14=\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}

Konklusjon: f′(4)=14f'(4)=\tfrac14, i samsvar med (x)′=12x=12⋅2=14\displaystyle (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac14. Svar: f′(4)=14\boxed{f'(4)=\tfrac14}

📝Oppgave 2
H

Bruk grensedefinisjonen til å finne f′(a)f'(a) for a≠0a\ne 0 når f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}.

Løkke 2 — Ensidige deriverte og skjøtepunkter

Ensidige deriverte (venstre- og høyrederivert)
I punkter der funksjonen bytter formel (skjøtepunkter), regner vi grensen fra hver side for seg. Høyrederiverten og venstrederiverten er:

f+′(a)=lim⁡h→0+f(a+h)−f(a)h,f−′(a)=lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)hf'_+(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad f'_-(a)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Funksjonen er deriverbar i aa hvis og bare hvis begge finnes og er like: f−′(a)=f+′(a)f'_-(a)=f'_+(a). Er de ulike, har grafen en knekk, og ff er ikke deriverbar der — selv om den er kontinuerlig.

Skjøtepunkt (stykkevis definert funksjon)

Et punkt der en funksjon går fra én formel til en annen, for eksempel a=0a=0 i f(x)=x2f(x)=x^2 for x≤0x\le 0 og f(x)=xf(x)=x for x>0x>0. I skjøtepunkter kan ikke derivasjonsreglene brukes rått — de gjelder hver bit på sin side. For å avgjøre deriverbarhet må du (1) sjekke at ff er kontinuerlig i skjøten, og (2) regne de to ensidige deriverte og se om de er like.

Rekkefølgen i et skjøtepunkt

I et skjøtepunkt jobber du alltid i to trinn, i denne rekkefølgen:

1. Kontinuitet først. Er lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)? Er svaret nei, er ff ikke engang kontinuerlig, og da kan den heller ikke være deriverbar (det beviser vi i løkke 3). Da er du ferdig.
2. Ensidige deriverte. Hvis ff er kontinuerlig, regner du f−′(a)f'_-(a) og f+′(a)f'_+(a) og sammenligner. Like ⇒ deriverbar; ulike ⇒ knekk, ikke deriverbar.

Hopper du over trinn 1, risikerer du å «regne ut» en derivert i et punkt der funksjonen har et hopp — meningsløst.

✏️Eksempel 3: Deriverbarhet i et skjøtepunkt

La f(x)={x2x≤12x−1x>1f(x)=\begin{cases} x^2 & x\le 1\\ 2x-1 & x>1\end{cases}. Avgjør om ff er deriverbar i x=1x=1.

Trinn 1 — kontinuitet i x=1x=1:
Venstre: lim⁡x→1−x2=1\lim_{x\to 1^-}x^2=1. Høyre: lim⁡x→1+(2x−1)=1\lim_{x\to 1^+}(2x-1)=1. Funksjonsverdi: f(1)=12=1f(1)=1^2=1. Alle tre er like, så ff er kontinuerlig i 11.

Trinn 2 — ensidige deriverte:
Venstre (bruk f(x)=x2f(x)=x^2, med f(1)=1f(1)=1):
f−′(1)=lim⁡h→0−(1+h)2−1h=lim⁡h→0−2h+h2h=lim⁡h→0−(2+h)=2f'_-(1)=\lim_{h\to 0^-}\frac{(1+h)^2-1}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{2h+h^2}{h}=\lim_{h\to 0^-}(2+h)=2
Høyre (bruk f(x)=2x−1f(x)=2x-1, med f(1)=1f(1)=1):
f+′(1)=lim⁡h→0+(2(1+h)−1)−1h=lim⁡h→0+2hh=2f'_+(1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{(2(1+h)-1)-1}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{2h}{h}=2

Konklusjon: f−′(1)=f+′(1)=2f'_-(1)=f'_+(1)=2, så grensen finnes og ff er deriverbar i x=1x=1 med f′(1)=2f'(1)=2. (Bitene x2x^2 og 2x−12x-1 møtes glatt — samme verdi og samme stigning.) Svar: f′(1)=2\boxed{f'(1)=2}

📝Oppgave 3
H

La g(x)={x2x≤0xx>0g(x)=\begin{cases} x^2 & x\le 0\\ x & x>0\end{cases}.

a) Vis at gg er kontinuerlig i x=0x=0.

b) Avgjør om gg er deriverbar i x=0x=0 ved å regne de to ensidige deriverte.

Løkke 3 — Deriverbar medfører kontinuerlig

📜Deriverbar medfører kontinuerlig
Setning. Er ff deriverbar i aa, så er ff kontinuerlig i aa.

Bevis. Vi må vise at lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a), altså at lim⁡x→a(f(x)−f(a))=0\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=0. For x≠ax\ne a skriver vi differansen som en identitet:
f(x)−f(a)=f(x)−f(a)x−a⋅(x−a).f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a).
Ta grensen x→ax\to a og bruk produktregelen for grenser. Første faktor går mot f′(a)f'(a) (den finnes, siden ff er deriverbar), andre faktor mot 00:
lim⁡x→a(f(x)−f(a))=f′(a)⋅0=0.\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=f'(a)\cdot 0=0.
Altså lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a), som er nettopp kontinuitet i aa. ■\blacksquare

Dette er et kort, eksamensaktuelt bevis — det er verdt å kunne utenat.

Implikasjonen kan ikke snus

Setningen går bare én vei. *Kontinuerlig medfører ikke deriverbar.* Det klassiske moteksemplet er f(x)=∣x∣f(x)=|x| i punktet 00: funksjonen er kontinuerlig overalt, men har en spiss knekk i 00. En kontinuerlig funksjon kan altså ha knekker, spisser og vertikale tangenter — den trenger bare være «uten hopp», ikke «glatt».

✏️Eksempel 4: $|x|$ er kontinuerlig, men ikke deriverbar i 0

Vis at f(x)=∣x∣f(x)=|x| ikke er deriverbar i x=0x=0, selv om den er kontinuerlig der.

Kontinuitet: lim⁡x→0∣x∣=0=∣0∣=f(0)\lim_{x\to 0}|x|=0=|0|=f(0), så ff er kontinuerlig i 00.

Deriverbarhet — ensidige deriverte: Her er f(0)=0f(0)=0. For h>0h>0 er ∣h∣=h|h|=h, for h<0h<0 er ∣h∣=−h|h|=-h:
f+′(0)=lim⁡h→0+∣h∣−0h=lim⁡h→0+hh=1,f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1,
f−′(0)=lim⁡h→0−∣h∣−0h=lim⁡h→0−−hh=−1.f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1.

Siden f+′(0)=1≠−1=f−′(0)f'_+(0)=1\ne -1=f'_-(0), finnes ikke grensen lim⁡h→0∣h∣h\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}. Konklusjon: ∣x∣|x| er kontinuerlig, men ikke deriverbar i 00 — beviset på at kontinuitet ikke gir deriverbarhet. f−′(0)=−1,  f+′(0)=1\boxed{f'_-(0)=-1,\; f'_+(0)=1}

📝Oppgave 4
H

En funksjon ff har et hopp i x=2x=2: lim⁡x→2−f(x)=1\lim_{x\to 2^-}f(x)=1 men lim⁡x→2+f(x)=3\lim_{x\to 2^+}f(x)=3. Kan ff være deriverbar i x=2x=2? Begrunn med setningen fra dette kapitlet.

Løkke 4 — Tangentlikningen og når definisjonen må brukes

Tangentlikningen
Tangenten til grafen y=f(x)y=f(x) i punktet (a,f(a))(a,f(a)) er den rette linja som berører grafen der, med stigningstall f′(a)f'(a). Likningen er:

y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a)

Du trenger altså to tall: funksjonsverdien f(a)f(a) (hvor linja treffer) og den deriverte f′(a)f'(a) (hvor bratt den er). Tangenten er den beste rette tilnærmingen til grafen nær x=ax=a.

✏️Eksempel 5: Tangentlikning

Finn likningen for tangenten til f(x)=x2f(x)=x^2 i punktet der x=3x=3.

Vi trenger f(3)f(3) og f′(3)f'(3).

Funksjonsverdi: f(3)=32=9f(3)=3^2=9.

Stigningstall: Fra Eksempel 1 er f′(a)=2af'(a)=2a, så f′(3)=6f'(3)=6.

Tangentlikning:
y=f(3)+f′(3)(x−3)=9+6(x−3)=6x−9.y=f(3)+f'(3)(x-3)=9+6(x-3)=6x-9.

Konklusjon: Tangenten er y=6x−9\boxed{y=6x-9}. Kontroll: i x=3x=3 gir den y=18−9=9=f(3)y=18-9=9=f(3) — den treffer grafen i berøringspunktet, som den skal.

📝Oppgave 5

(Midtveis, flervalgstema — her som langsvar.) Finn tangentlikningen til f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} i punktet der x=2x=2. (Bruk f′(a)=−1/a2f'(a)=-1/a^2 fra oppgave 2.)

Når må du bruke definisjonen — og når holder reglene?

Dette skillet gir og tar poeng på eksamen:

- Bruk derivasjonsreglene (potens, produkt, kjerne osv. fra kap. 3.2) når du bare skal regne ut den deriverte av en formel som gjelder i et helt intervall rundt punktet. Det er raskt og lovlig.
- Bruk grensedefinisjonen når oppgaven ber deg avgjøre eller bevise om ff er deriverbar — typisk i (i) skjøtepunkter for stykkevis definerte funksjoner, og (ii) punkter der formelverket ikke gjelder (for eksempel xksin⁡(1/xm)x^k\sin(1/x^m) i x=0x=0, signaturoppgaven i kap. 3.3).

Hovedregelen: ordet «vis/avgjør om deriverbar» = definisjonen. Ordet «deriver» = reglene.

Begrepsbank til eksamen

Her er kjernebegrepene fra kapitlet samlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Den deriverte funksjonen

Regner du f′(a)f'(a) for hver aa der grensen finnes, får du en ny funksjon f′f' — den deriverte funksjonen. Punktbegrepet f′(a)f'(a) (et tall) er utgangspunktet; f′f' (en funksjon) er resultatet av å la aa variere. På eksamen skiller sensor nøye: «f′(3)f'(3)» er et tall, «f′f'» er en funksjon.

Momentan vekstfart

Den fysiske tolkningen av f′(a)f'(a): endringsraten til ff i øyeblikket aa, målt i «enheter ff per enhet xx». Er f(t)f(t) posisjon, er f′(t)f'(t) fart. Differansekvotienten er gjennomsnittsfarten over et intervall; den deriverte er farten akkurat nå.

Kontinuitet i et punkt
ff er kontinuerlig i aa når lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a) — grensen finnes og er lik funksjonsverdien. Det utelukker hopp, hull og vertikale asymptoter i aa. Kontinuitet er en svakere egenskap enn deriverbarhet: alle deriverbare funksjoner er kontinuerlige, men ikke omvendt (se ∣x∣|x|).
Knekkpunkt (spiss)

Et punkt der grafen er kontinuerlig, men har et brått retningsskifte, slik at venstre- og høyrederiverten er forskjellige. Da finnes ingen entydig tangent, og funksjonen er ikke deriverbar der. ∣x∣|x| i 00 er standardeksemplet (f−′=−1f'_-=-1, f+′=1f'_+=1).

Vertikal tangent

Et punkt der grafen har en loddrett tangent, slik at differansekvotienten går mot ±∞\pm\infty. Da er grensen ikke et endelig tall, så funksjonen er ikke deriverbar der — selv om den er kontinuerlig. Eksempel: f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} i x=0x=0, der f′(x)=13x−2/3→∞f'(x)=\tfrac13 x^{-2/3}\to\infty.

Deriverbar på et intervall
ff er deriverbar på et intervall når den er deriverbar i hvert indre punkt. I endepunktene brukes den relevante ensidige deriverten. En funksjon som er deriverbar på hele definisjonsmengden, kalles ofte «glatt» i dagligtale — grafen har ingen knekker eller vertikale tangenter.
Linearisering (lineær tilnærming)

Nær x=ax=a kan ff tilnærmes med tangenten: f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a). Dette er linjas verdi brukt som estimat for funksjonens verdi. Jo nærmere aa, desto bedre. Linearisering er utgangspunktet for Newtons metode og for Taylor-polynomer (Del 6).

Normallinjen

Linja gjennom (a,f(a))(a,f(a)) som står vinkelrett på tangenten. Siden vinkelrette linjer har stigningstall med produkt −1-1, er normalens stigningstall −1/f′(a)-1/f'(a) (når f′(a)≠0f'(a)\ne 0). Likning: y=f(a)−1f′(a)(x−a)y=f(a)-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a).

Ubestemt form [0/0][0/0] i differansekvotienten

Setter du h=0h=0 direkte i f(a+h)−f(a)h\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, får du alltid 00\displaystyle \frac{0}{0} — en ubestemt form. Det er ikke et problem, men et signal: du må forenkle (forkorte hh, konjugere rotuttrykk, lage fellesnevner) før grensen tas. Hele definisjonsberegningen handler om å løse opp denne [0/0][0/0]-formen algebraisk.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.