3.3 Drill: signaturoppgaven — kontinuitet og deriverbarhet i ett punkt

Uttal begrensetheten: For alle $x\ne 0$ er $|\sin(1/x)|\le 1$. Ganger vi med $x^2\ge 0$:
$$-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2.$$

Skvis: $\lim_{x\to 0}(-x^2)=0$ og $\lim_{x\to 0}x^2=0$. Etter skviseteoremet er da
$$\lim_{x\to 0}x^2\sin(1/x)=0=f(0).$$

Konklusjon: $f$ er kontinuerlig i $0$. $\boxed{\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)}$

(ii) $f(x)=x^2\sin(1/x)$, $k=2$: Differansekvotient med $f(0)=0$:
$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^2\sin(1/h)}{h}=h\sin(1/h).$$
Uttal begrensetheten $|\sin(1/h)|\le 1$: $-|h|\le h\sin(1/h)\le |h|$. Skvis gir $\lim_{h\to 0}h\sin(1/h)=0$. Altså er $f$ deriverbar i $0$ med $f'(0)=0$.

Konklusjon: ett steg mer demping ($k=1\to k=2$) er akkurat det som skiller «ikke deriverbar» fra «deriverbar med $f'(0)=0$». $\boxed{g\text{ ikke deriverbar};\quad f'(0)=0}$

Deriverbar for $x\ne 0$: her gjelder formelverket (produkt- og kjerneregel):
$$f'(x)=2x\sin(1/x)+x^2\cos(1/x)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x).$$
Så $f$ er deriverbar overalt, med
$$f'(x)=\begin{cases}2x\sin(1/x)-\cos(1/x), & x\ne 0\\[2pt] 0, & x=0.\end{cases}$$

Er $f'$ kontinuerlig i $0$? Vi må sjekke $\lim_{x\to 0}f'(x)$. Første ledd: $|2x\sin(1/x)|\le 2|x|\to 0$ (skvis). Andre ledd: $\cos(1/x)$ oscillerer mellom $-1$ og $1$ og har ingen grense når $x\to 0$. Summen har derfor ingen grense:
$$\lim_{x\to 0}f'(x)\ \text{finnes ikke.}$$

Konklusjon: $f$ er deriverbar overalt (også i $0$, med $f'(0)=0$), men $f'$ er diskontinuerlig i $0$ fordi $\lim_{x\to 0}f'(x)$ ikke finnes. Dette er oscillasjonsfellen i renform: manglende grense for $f'$ motsier ikke at $f$ er deriverbar — deriverbarheten ble avgjort av differansekvotienten. $\boxed{f'(0)=0,\ \text{men } f' \text{ diskontinuerlig i } 0}$

Grense av $f'$: for $x>0$ er $\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x=2x\ln x+x$. Begge ledd $\to 0$ når $x\to 0^+$ (igjen veksthierarkiet). For $x<0$ er $f'(x)=0$. Altså $\lim_{x\to 0}f'(x)=0$ — grensen finnes.

Setningen gjelder: siden $f$ er kontinuerlig i $0$ og $\lim_{x\to 0}f'(x)=0$, er $f$ deriverbar i $0$ med $f'(0)=0$.

Konklusjon: $\boxed{f'(0)=0}$. Her var snarveien lovlig fordi grensen fantes — motsatt av oscillasjonsfamilien, der den ikke gjør det og vi må bruke differansekvotienten.

«To ganger deriverbar i $0$» gir tre matchbetingelser i skjøtepunktet: verdi, førstederivert og andrederivert skal stemme fra begge sider. Venstre bit har $f(x)=ax^2+bx+c$ med $f'(x)=2ax+b$, $f''(x)=2a$; høyre bit $e^x$ med alle deriverte lik $e^x$.

Betingelse 1 — kontinuitet ($f(0)$): $a\cdot0+b\cdot0+c=e^{0}\Rightarrow c=1.$

Betingelse 2 — førstederivert ($f'(0)$): $2a\cdot0+b=e^{0}\Rightarrow b=1.$

Betingelse 3 — andrederivert ($f''(0)$): $2a=e^{0}\Rightarrow a=\tfrac12.$

Kontroll: med $a=\tfrac12,b=1,c=1$ er venstre bit $\tfrac12x^2+x+1$ — nettopp andregrads-Taylorpolynomet til $e^x$ i $0$, så bitene møtes glatt til andre orden. Konklusjon: $\boxed{a=\tfrac12,\ b=1,\ c=1}$.

Diskontinuiteter: for $x>0$ er $g$ sammensatt av kontinuerlige funksjoner ($\sin$ og $1/x$), altså kontinuerlig. Det eneste mulige diskontinuitetspunktet er $x=0$ (der $\sin(1/x)$ oscillerer). Det er ett punkt — altså endelig mange.

Teorem: en begrenset funksjon på $[0,1]$ med endelig mange diskontinuiteter er integrerbar. Konklusjon: $g$ er integrerbar på $[0,1]$, uten at vi trenger å beregne integralet. $\boxed{\text{Integrerbar (begrenset + én diskontinuitet).}}$

b) Deriverbarhet i $0$.
Differansekvotienten med $f(0)=0$ (sensor: må bruke differansekvotient, ikke derivertformel):
$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^3\cos(1/h^2)}{h}=h^2\cos(1/h^2).$$
Uttal $|\cos(1/h^2)|\le 1$: $-h^2\le h^2\cos(1/h^2)\le h^2$, og skvis gir grensen $0$. Altså er $f$ deriverbar i $0$ med $f'(0)=0$. (Poeng: differansekvotient satt opp, skvis navngitt, $f'(0)$ oppgitt.)

c) Er $f'$ kontinuerlig i $0$?
For $x\ne 0$ gir produkt- og kjerneregel:
$$f'(x)=3x^2\cos(1/x^2)+x^3\cdot\big(-\sin(1/x^2)\big)\cdot\big(-2x^{-3}\big)=3x^2\cos(1/x^2)+2\sin(1/x^2).$$
Grensen $x\to 0$: første ledd $\to 0$ ($|3x^2\cos|\le 3x^2$, skvis), men andre ledd $2\sin(1/x^2)$ oscillerer mellom $-2$ og $2$ uten grense. Derfor finnes ikke $\lim_{x\to 0}f'(x)$, og $f'$ er diskontinuerlig i $0$.

Sensor-margnotat (kritisk): Legg merke til at (c) ikke rokker ved (b). $f$ er deriverbar i $0$ (avgjort i b via differansekvotienten); $f'$ er bare diskontinuerlig der. Å skrive «$f$ er ikke deriverbar fordi $\lim f'$ ikke finnes» er nettopp fella fasitene advarer mot, og gir trekk selv om resten er riktig.

Samlet konklusjon: $f$ er kontinuerlig og deriverbar i $0$ med $f'(0)=0$, men $f'$ er diskontinuerlig i $0$. $\boxed{(k,m)=(3,2):\ \text{deriverbar, ikke } C^1.}$