3.4 Middelverdisetningen, Rolle og bevis med hjelpefunksjon

Rolle- og MVT-bevisene med hjelpefunksjon — den stigende bevissjangeren på slutteksamen (3 av 6 siste år).

55 min

10 oppgaver

MiddelverdisetningenRollebevis med hjelpefunksjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Deriverbarhet: grensedefinisjonen 2.4Kontinuitet, skjæringssetningen og ekstremverdisetningen

Brukes videre i

6.1Taylorpolynomer med restledd

Dette er den stigende bevissjangeren på slutteksamen — og et sikkert teorispørsmål på midtveis.

- Bevis med hjelpefunksjon (sjanger I — eksistens- og teoribevis): middelverdisetningen (MVT) og Rolle er brukt i 4 av 21 slutteksamener, men 3 av de 6 siste årene — trenden er stigende. Korollar-varianten «samme derivert + felles punkt $\Rightarrow$ samme funksjon» var egen deloppgave i 2023. Sjanger I betyr en oppgave der du skal bevise at noe finnes (et punkt $c$ , en løsning) — ikke regne ut et tall.
- Formuleringen (midtveis, flervalg): MVT/Rolle som teoriutsagn er ca. 3 % av midtveisspørsmålene — distraktorene bytter om forutsetningene eller blander Rolle og MVT. Her testes at du kan setningen ordrett.

Arkivet stopper i 2023, men retningen er tydelig: kan du hjelpefunksjonsmalen — konstruer $g$ , sjekk forutsetningene, navngi Rolle, konkluder — henter du poeng de fleste taper. Sensorregelen «ubegrunnet svar = 0» er ekstra hard her: et bevis uten eksplisitt forutsetningssjekk gir trekk selv om ideen er riktig.

Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på kap. 2.4 (ekstremverdisetningen — den bærer Rolle-beviset) og kap. 3.1 (den deriverte som grense av differansekvotienten, og «deriverbar

\Rightarrow

kontinuerlig»). Fra videregående er det nyttig å ha Funksjonsdrøfting (R1) i minne — sammenhengen mellom fortegnet til

f'

og om

f

vokser eller avtar.

Sist du var her (oppfriskning):

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \qquad (\text{den deriverte, kap. 3.1})$

$\text{Kontinuerlig på lukket } [a,b] \Rightarrow f \text{ antar en største og en minste verdi} \quad (\text{ekstremverdisetningen, kap. 2.4})$

Kjør bil fra Oslo til Lillehammer — 180 km på nøyaktig 2 timer. Snittfarten er 90 km/t. Da må speedometeret ha vist nøyaktig 90 km/t i minst ett øyeblikk underveis, selv om du bremset og akselererte. Det er hele middelverdisetningen i én setning: et sted er den momentane endringsraten lik gjennomsnittsraten.

I dette kapitlet gjør vi den intuisjonen om til et presist verktøy. Vi bygger stoffet som fem små læringsløkker: (1) Rolles teorem, (2) middelverdisetningen, (3) hjelpefunksjonsmalen — malen bak nesten alle eksistensbevis, (4) korollarene som følger av MVT, og (5) MVT brukt som ulikhetsmaskin. Hver løkke går teori $\to$ eksempel $\to$ oppgave, så du kan jobbe deg gjennom bit for bit.

Løkke 1 — Rolles teorem (~10 min)

Rolle er byggeklossen alt annet hviler på. Ideen er geometrisk: hvis en glatt kurve starter og slutter i samme høyde, må den snu et sted — og der er tangenten vannrett.

Bevisidé (verdt å kunne): $f$ er kontinuerlig på $[a,b]$ , så etter ekstremverdisetningen (kap. 2.4) antar $f$ både en største og en minste verdi. Er begge antatt i endepunktene, er $f$ konstant og $f' = 0$ overalt. Ellers antas et ekstremum i et indre punkt $c$ , og der er $f'(c) = 0$ (en deriverbar funksjon har vannrett tangent i indre topp-/bunnpunkt — Fermats observasjon).

Rolles teorem

f

✏️Eksempel 1: Rolle anvendt

La $f(x) = x^2 - 4x + 3$ på intervallet $[1, 3]$ . Vis at Rolles teorem gjelder, og finn en $c$ som teoremet garanterer.

Forutsetningssjekk (må gjøres eksplisitt):
-

f

er et polynom, altså kontinuerlig på

[1,3]

. ✓
-

f

er deriverbar på

(1,3)

(polynom). ✓
- Endepunktverdiene:

f(1) = 1 - 4 + 3 = 0

f(3) = 9 - 12 + 3 = 0

, så

f(1) = f(3)

. ✓

Alle tre forutsetningene til Rolles teorem er oppfylt, så det finnes minst én $c \in (1,3)$ med $f'(c) = 0$ .

Finn $c$ : $f'(x) = 2x - 4$ . Løs $f'(c) = 0$ :
$2c - 4 = 0 \;\Rightarrow\; c = 2.$

Og $c = 2 \in (1,3)$ . Svar: $c = 2$ oppfyller Rolle. (Geometrisk: parabelens toppunkt ligger midt mellom de to nullpunktene.)

📝Oppgave 1

Sjanger I

La $f(x) = x^2 - 6x + 8$ på $[2, 4]$ .

a) Vis at forutsetningene til Rolles teorem er oppfylt.

b) Finn en $c \in (2,4)$ med $f'(c) = 0$ .

Løkke 2 — Middelverdisetningen (~12 min)

Middelverdisetningen (MVT) er Rolle uten kravet om like endepunkter. Geometrisk: et sted er tangenten parallell med sekanten gjennom endepunktene

(a, f(a))

(b, f(b))

. Sekantens stigning er gjennomsnittsraten

\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

; MVT sier at denne raten treffes momentant i et indre punkt.

Bevisidé (via hjelpefunksjon — første møte med malen): trekk sekanten fra $f$ . Sett

$g(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right].$

Da er $g(a) = g(b) = 0$ , og $g$ arver kontinuitet/deriverbarhet fra $f$ . Rolle gir en $c$ med $g'(c) = 0$ , altså $\displaystyle f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0$ — som er nettopp MVT.

Middelverdisetningen (MVT)

f

✏️Eksempel 2: MVT anvendt

La $f(x) = \ln x$ på $[1, e]$ . Finn en $c$ som middelverdisetningen garanterer.

Forutsetningssjekk:

\ln x

er kontinuerlig på

[1,e]

og deriverbar på

(1,e)

(definert og glatt for

x>0

). ✓ Forutsetningene til MVT er oppfylt.

Sekantstigningen (gjennomsnittsraten):
$\frac{f(e) - f(1)}{e - 1} = \frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e-1}.$

Sett $f'(c)$ lik dette: $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$ , så
$\frac{1}{c} = \frac{1}{e-1} \;\Rightarrow\; c = e - 1 \approx 1{,}718.$

Og $c = e-1 \in (1, e)$ . Svar: $c = e - 1$ .

📝Oppgave 2

Sjanger I

La $f(x) = \sqrt{x}$ på $[1, 4]$ . Finn en $c \in (1,4)$ som middelverdisetningen garanterer.

— naturlig pausepunkt (du har nå Rolle og MVT; resten er bevisteknikk bygget på dem) —

Løkke 3 — Hjelpefunksjonsmalen (~15 min)

Nå kommer den viktigste ferdigheten i kapitlet. Mange eksamensoppgaver har formen: « $f$ oppfyller [noen betingelser]. Vis at det finnes $c$ med [en likning i $f$ , $f'$ , $f''$ ].» Du ser sjelden hvilken funksjon du skal bruke Rolle på — du må konstruere en hjelpefunksjon $g$ selv.

Malen (følg den slavisk):

1. Konstruer $g$ slik at $g'(c) = 0$ blir nøyaktig likningen du skal vise. Vanlige valg: $g = f - f'$ , $g(x) = f(x) - x$ , $g(x) = e^{-x}f(x)$ , $g(x) = e^{kx}f(x)$ , eller sekant-trekket fra MVT.
2. Vis like verdier i to punkter: $g(a) = g(b)$ (ofte begge $= 0$ ).
3. Sjekk forutsetningene eksplisitt: $g$ kontinuerlig på $[a,b]$ , deriverbar på $(a,b)$ . Skriv det ut — sensor krever det.
4. Navngi Rolle og konkluder: det finnes $c$ med $g'(c) = 0$ .
5. Regn ut $g'(c) = 0$ og vis at det er likningen du var bedt om.

Hvordan gjetter du $g$ ? Se på likningen du skal vise, og spør: «hvilken funksjon har dette som sin deriverte?» Skal du vise $f'(c) = f(c)$ , merk at $\displaystyle \frac{d}{dx}[e^{-x}f(x)] = e^{-x}(f'(x) - f(x))$ — den er $0$ nettopp når $f' = f$ . Derfor $g = e^{-x}f$ .

Hjelpefunksjon (bevisteknikk)

g

✏️Eksempel 3: Hjelpefunksjon med $g = f - f'$

f

er to ganger deriverbar på

[0,1]

med

f(0) = f'(0)

f(1) = f'(1)

. Vis at det finnes

c \in (0,1)

med

f'(c) = f''(c)

1. Konstruer $g$ . Vi skal vise

f'(c) - f''(c) = 0

. Sett

g(x) = f(x) - f'(x).

Da er

g'(x) = f'(x) - f''(x)

, så

g'(c) = 0

er nøyaktig påstanden.

2. Like verdier: $g(0) = f(0) - f'(0) = 0$ (gitt) og $g(1) = f(1) - f'(1) = 0$ (gitt). Altså $g(0) = g(1)$ .

3. Forutsetningssjekk: $f$ er to ganger deriverbar, så $f$ og $f'$ er begge deriverbare (dermed kontinuerlige). Da er $g = f - f'$ kontinuerlig på $[0,1]$ og deriverbar på $(0,1)$ . ✓

4. Rolle: forutsetningene til Rolles teorem er oppfylt for $g$ , så det finnes $c \in (0,1)$ med $g'(c) = 0$ .

5. Konkluder: $g'(c) = f'(c) - f''(c) = 0$ , altså
$\boxed{f'(c) = f''(c)} \quad \text{for en } c \in (0,1).$

📝Oppgave 3

Sjanger I

f

er deriverbar på

[0,1]

med

f(0) = f(1) = 0

. Vis at det finnes

c \in (0,1)

med

f'(c) = 2f(c)

📝Oppgave 4

Sjanger I

f

er to ganger deriverbar og

f(1) = f(3) = f(5)

. Vis at det finnes en

c \in (1,5)

med

f''(c) = 0

Løkke 4 — Korollarene fra MVT (~10 min)

Middelverdisetningen er motoren bak flere setninger du bruker uten å tenke over det. Alle følger av MVT på et delintervall.

Konstant-kriteriet: er $f'(x) = 0$ for alle $x$ i et intervall, er $f$ konstant der. (Bevis: for to punkter $x_1 < x_2$ gir MVT $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) = 0$ .)

Samme-derivert-kriteriet: har $f$ og $h$ samme deriverte på et intervall, skiller de seg bare med en konstant: $f - h$ har derivert $0$ , altså konstant. Kjenner du i tillegg én felles verdi, er $f = h$ .

Konveksitet: $f$ er konveks på et intervall $\Leftrightarrow$ $f'$ er voksende der (og hvis $f''$ finnes: $f'' \ge 0$ ). Dette ble brukt i et eksamensbevis i 2023.

Korollar: konstant-kriteriet

f'(x) = 0

Korollar: samme-derivert-kriteriet

f'(x) = h'(x)

Konveks funksjon (via

f'

)

f

✏️Eksempel 4: Samme-derivert-kriteriet i praksis

Vis at $\displaystyle \arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ er konstant for $x > 0$ , og finn konstanten.

Sett

\displaystyle h(x) = \arctan x + \arctan\frac{1}{x}

for

x > 0

Deriver:
$h'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{-1/x^2}{1 + (1/x)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1/x^2}{(x^2+1)/x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1} = 0.$

Konstant-kriteriet: $h'(x) = 0$ på hele intervallet $(0, \infty)$ , som er et intervall, så $h$ er konstant der.

Finn konstanten ved å sette inn ett bekvemt punkt, $x = 1$ :
$h(1) = \arctan 1 + \arctan 1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$

Konklusjon: $\displaystyle \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}$ for alle $x > 0$ . (Merk kravet $x>0$ : for $x<0$ gir samme regning konstanten $-\pi/2$ , fordi $(0,\infty)$ og $(-\infty,0)$ er to atskilte intervaller.)

📝Oppgave 5

Sjanger I

Vis at $\arcsin x + \arccos x$ er konstant på $(-1, 1)$ , og finn konstanten.

Løkke 5 — MVT som ulikhetsmaskin (~8 min)

MVT er også et kraftig verktøy for å bevise ulikheter. Nøkkelen: fra

f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)

kan du avgrense høyresiden hvis du kjenner grenser for

f'

Ulikhetsmalen: er $m \le f'(x) \le M$ på intervallet, gir MVT
$m(b-a) \le f(b) - f(a) \le M(b-a).$

Spesialtilfellet $|f'(x)| \le K$ gir Lipschitz-ulikheten
$|f(b) - f(a)| \le K\,|b - a|.$

Dette er «en funksjon med begrenset derivert kan ikke endre seg fortere enn $K$ ».

MVT som ulikhetsmaskin (Lipschitz)

|f'(x)| \le K

✏️Eksempel 5: Ulikhet via MVT

Vis at $e^a(b - a) < e^b - e^a < e^b(b-a)$ for alle $a < b$ .

f(x) = e^x

på

[a,b]

. Den er kontinuerlig og deriverbar overalt, så MVT gir en

c \in (a,b)

med

\frac{e^b - e^a}{b - a} = f'(c) = e^c.

Avgrens $e^c$ : eksponentialfunksjonen er strengt voksende, og $a < c < b$ , så
$e^a < e^c < e^b.$

Gang opp med $(b-a) > 0$ (bevarer ulikheten):
$e^a(b-a) < e^c(b-a) = e^b - e^a < e^b(b-a).$

Konklusjon: ulikheten gjelder for alle $a < b$ . (Geometrisk: sekantstigningen mellom to punkter på $e^x$ -grafen ligger mellom tangentstigningene i endepunktene.)

📝Oppgave 6

Sjanger I

Vis at $|\arctan b - \arctan a| \le |b - a|$ for alle reelle $a, b$ .

Typiske feil

- Forutsetningene ikke sjekket eksplisitt. Å bruke Rolle uten å skrive « $f$ er kontinuerlig på $[a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$ » gir trekk selv når det er «opplagt». Skriv det hver gang.
- Setningen ikke navngitt. Sensor vil se ordet «Rolle» eller «middelverdisetningen» der det bærer argumentet (ubegrunnet $\Rightarrow$ 0).
- Hjelpefunksjon uten verifikasjon av like endepunktverdier. Du må vise $g(a) = g(b)$ — ellers gjelder ikke Rolle.
- Blande Rolle og MVT. Rolle krever like endepunktverdier og gir $f'(c) = 0$ ; MVT krever ingenting om endepunktene og gir $\displaystyle f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Distraktorene på midtveis bytter nettopp disse.
- Konstant-kriteriet brukt på en union av intervaller. $f' = 0$ gir konstant på hvert intervall for seg — konstanten kan være ulik på atskilte deler av definisjonsmengden.
- *Glemme at deriverbarhet kreves på det åpne intervallet.* $f(x) = |x|$ på $[-1,1]$ har $f(-1) = f(1)$ men ingen $c$ med $f'(c) = 0$ — fordi $f$ ikke er deriverbar i $0$ .

Begrepsbank til eksamen

Her er kjernebegrepene fra kapitlet samlet i eksamensrettet kortform — teoremnavn og forutsetninger er «flashcard-gull» for midtveis-teorispørsmålene.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Stasjonært (kritisk) punkt

c

Fermats setning (indre ekstremum)

c

Ekstremverdisetningen (repetisjon)

f

Sekantlinje og sekantstigning

(a, f(a))

Gjennomsnittlig endringsrate

x

Lukket intervall

[a,b]

a

Åpent intervall

(a,b)

f

Kontinuerlig på et intervall

f

Deriverbar på et intervall

f'(x)

Forutsetningssjekk (Rolle/MVT)

f

f'

voksende

\Leftrightarrow

f

konveks

f'' \ge 0

Konkav funksjon

f

Cauchys middelverdisetning (kjenne)

f, g

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.