Tilbake
2.4
Alle fag for Høyskole

2.4 Kontinuitet, skjæringssetningen og ekstremverdisetningen

Kontinuitet på intervaller og de to store eksistenssetningene — skjæringssetnings-malen er et fast bevisdelpunkt på slutteksamen.

50 min
10 oppgaver
Kontinuitetskjæringssetningenekstremverdisetningen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på grensebegrepet fra kap. 2.1 (den presise grensedefinisjonen og ensidige grenser) — kontinuitet defineres nemlig med en grense. Har du et intuitivt kontinuitetsbegrep fra før, se Kontinuitet (R1); vi gjør det her presist og eksamensrettet.

Du trenger også trygg regning med enkle funksjoner (polynomer, x\sqrt{x}, exe^x, cos⁡x\cos x) og å kunne sette inn i og lese av fortegnet til et uttrykk — det er alt skjæringssetningen krever av regneferdighet.

En funksjon er kontinuerlig hvis grafen kan tegnes uten å løfte blyanten — ingen hopp, ingen hull, ingen sprang. Det er den hverdagslige knaggen. I dette kapitlet gjør vi den presis, og bruker den så til de to store eksistenssetningene: skjæringssetningen (som garanterer at en likning har en løsning) og ekstremverdisetningen (som garanterer at en funksjon har en største og en minste verdi).

Det fine med eksistenssetninger er at de gir svar uten regning: du trenger ikke finne løsningen — du beviser bare at den finnes. Nettopp derfor er de sensorens yndlingsdelpunkt: de tester om du kan begrunne, ikke om du kan regne.

Kapitlet er bygd som fire læringsløkker — teori, gjennomregnet eksempel og øvingsoppgave i tur og orden: (1) kontinuitet i et punkt, (2) kontinuitet på intervall og i skjøtepunkter, (3) skjæringssetningen med bevismal, (4) ekstremverdisetningen. Regn eksemplene selv før du leser løsningen.

Løkke 1 — Kontinuitet i et punkt (~12 min)

Kontinuitet i et punkt
En funksjon ff er kontinuerlig i punktet aa dersom funksjonsverdien i aa er nettopp den verdien grafen «er på vei mot» når xx nærmer seg aa. Presist:
lim⁡x→af(x)=f(a).\lim_{x \to a} f(x) = f(a).
At denne ene likheten holder, krever i praksis tre ting samtidig: (i) f(a)f(a) er definert, (ii) grensen lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a} f(x) finnes (venstre- og høyregrense er like), og (iii) de to er like store. Svikter ett av kravene, er ff diskontinuerlig i aa.

De tre kravene er en ferdig sjekkliste for skjøtepunkter: regn ut f(a)f(a), regn ut grensen fra hver side, og se om alt stemmer. Den vanligste tabben er å sjekke bare (ii) — at grensene fra begge sider er like — og glemme (i)/(iii): at grensen faktisk må treffe funksjonsverdien f(a)f(a). En graf kan ha en fin, entydig grense i aa og likevel et hull der, hvis f(a)f(a) er definert til noe annet.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave.) En funksjon har lim⁡x→3−f(x)=4\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4, lim⁡x→3+f(x)=4\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4 og f(3)=1f(3) = 1. Er ff kontinuerlig i x=3x = 3? Begrunn med kontinuitetskravene.

✏️Eksempel 1: Kontinuitet i et skjøtepunkt
La
f(x)={x2+1,x≤13x−1,x>1.f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 1 \\ 3x - 1, & x > 1. \end{cases}
Undersøk om ff er kontinuerlig i x=1x = 1.

Vi sjekker de tre kravene i punktet a=1a = 1.

(i) Funksjonsverdien. Siden 1≤11 \le 1 bruker vi øvre gren: f(1)=12+1=2f(1) = 1^2 + 1 = 2. Definert. ✓

(ii) Grensen fra hver side.
- Venstre (x→1−x \to 1^-, altså x≤1x \le 1): lim⁡x→1−(x2+1)=1+1=2\lim_{x\to 1^-}(x^2 + 1) = 1 + 1 = 2.
- Høyre (x→1+x \to 1^+, altså x>1x > 1): lim⁡x→1+(3x−1)=3−1=2\lim_{x\to 1^+}(3x - 1) = 3 - 1 = 2.

Begge ensidige grenser er 22, så lim⁡x→1f(x)=2\lim_{x\to 1} f(x) = 2 finnes. ✓

(iii) Er de like? lim⁡x→1f(x)=2=f(1)\lim_{x\to 1} f(x) = 2 = f(1). ✓

Alle tre kravene er oppfylt.

Konklusjon: ff er kontinuerlig i x=1x = 1. (Hver gren er dessuten et polynom, så ff er kontinuerlig overalt ellers også.)

📝Oppgave 2

La g(x)=x2−4x−2g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} for x≠2x \ne 2, og g(2)=4g(2) = 4. Er gg kontinuerlig i x=2x = 2? Begrunn.

Løkke 2 — Kontinuitet på intervall og ensidig kontinuitet (~10 min)

Kontinuitet på et intervall

En funksjon er kontinuerlig på et intervall dersom den er kontinuerlig i hvert punkt i intervallet. På et lukket intervall [a,b][a,b] tolkes kravet i endepunktene ensidig: i venstre endepunkt aa kreves bare høyrekontinuitet, i høyre endepunkt bb bare venstrekontinuitet (grafen kan jo ikke nærme seg aa fra venstre — det er ingenting der). Er ff kontinuerlig på hele [a,b][a,b], tegnes grafen i én sammenhengende strek fra (a,f(a))(a, f(a)) til (b,f(b))(b, f(b)).

Ensidig kontinuitet
ff er høyrekontinuerlig i aa dersom lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^+} f(x) = f(a), og venstrekontinuerlig dersom lim⁡x→a−f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-} f(x) = f(a). En funksjon er kontinuerlig i aa nøyaktig når den er både venstre- og høyrekontinuerlig der. Ensidig kontinuitet er verktøyet for skjøtepunkter: der regner vi de to sidene hver for seg og krever at begge treffer f(a)f(a).
Skjøtepunkt (stykkevis definert funksjon)

En stykkevis definert funksjon er gitt ved ulike formler på ulike intervaller. Et skjøtepunkt er en xx-verdi der formelen bytter — der to «biter» møtes. Kontinuitet kan bare svikte i skjøtepunktene (inne i hver bit er formelen en kjent kontinuerlig funksjon), så det er der du setter inn og regner venstre- og høyregrense. Dette er forberedelsen til deriverbarhet i skjøtepunkter (kap. 3.3).

✏️Eksempel 2: Bestem parameteren som gir kontinuitet
For hvilken verdi av aa er
f(x)={x2+a,x<25−x,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & x < 2 \\ 5 - x, & x \ge 2 \end{cases}
kontinuerlig i x=2x = 2?
Skjøtepunktet er x=2x = 2. Vi krever at venstre- og høyregrensen treffer f(2)f(2).

Høyre side / funksjonsverdi (x≥2x \ge 2): f(2)=5−2=3f(2) = 5 - 2 = 3, og lim⁡x→2+(5−x)=3\lim_{x\to 2^+}(5 - x) = 3. Høyrekontinuitet er automatisk oppfylt.

Venstre side (x<2x < 2): lim⁡x→2−(x2+a)=4+a\lim_{x\to 2^-}(x^2 + a) = 4 + a.

Kontinuitetskravet er at venstregrensen er lik funksjonsverdien:
4+a=3⟹a=−1.4 + a = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.

Kontroll: med a=−1a = -1 er venstregrensen 4+(−1)=3=f(2)4 + (-1) = 3 = f(2). ✓

Svar:   a=−1\;a = -1.

📝Oppgave 3

For hvilken verdi av bb er   h(x)={bx+1,x≤1x2+2,x>1  \;h(x) = \begin{cases} bx + 1, & x \le 1 \\ x^2 + 2, & x > 1 \end{cases}\; kontinuerlig i x=1x = 1?

Løkke 3 — Skjæringssetningen (~15 min)

Tenk deg at du måler temperaturen ute klokka 06:0006{:}00 (4 ∘C4\,^\circ\mathrm{C}) og klokka 12:0012{:}00 (11 ∘C11\,^\circ\mathrm{C}). Var det et øyeblikk der det var nøyaktig 8 ∘C8\,^\circ\mathrm{C}? Ja — temperaturen endrer seg kontinuerlig, så den må ha passert alle verdier mellom 44 og 1111 underveis. Det er hele ideen bak skjæringssetningen: en kontinuerlig funksjon hopper ikke over noen mellomliggende verdi.

📜Skjæringssetningen (mellomverdisetningen)

La ff være kontinuerlig på det lukkede intervallet [a,b][a, b]. Da antar ff enhver verdi mellom f(a)f(a) og f(b)f(b): for hvert tall yy mellom f(a)f(a) og f(b)f(b) finnes minst én c∈[a,b]c \in [a, b] med f(c)=yf(c) = y.

Nullpunktsvarianten (den vi bruker i bevis): hvis ff er kontinuerlig på [a,b][a,b] og f(a)f(a) og f(b)f(b) har motsatt fortegn (altså f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b) < 0), så finnes minst én c∈(a,b)c \in (a,b) med f(c)=0f(c) = 0. Grafen må krysse xx-aksen for å komme fra den ene siden til den andre.

Forutsetningen er ikke til pynt: uten kontinuitet kan grafen hoppe rett over verdien. Derfor må kontinuiteten nevnes i hvert bevis.

Bevismalen (lær den utenat)

Skal du vise at en likning f(x)=g(x)f(x) = g(x) har en løsning i et intervall, følg fem faste steg:

1. Definer hjelpefunksjonen h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x). (En løsning av f=gf = g er da et nullpunkt for hh.)
2. Regn ut hh i endepunktene og vis at de har motsatt fortegn — grove overslag holder (du trenger bare fortegnet, ikke verdien).
3. Pek på kontinuiteten: forklar kort hvorfor hh er kontinuerlig på [a,b][a,b] (sum/differanse/produkt av kontinuerlige funksjoner — polynomer, exe^x, cos⁡x\cos x osv.).
4. Navngi setningen: «Etter skjæringssetningen …».
5. Konkluder med en verbal setning: det finnes en c∈(a,b)c \in (a,b) med h(c)=0h(c) = 0, altså en løsning.

Hopper du over steg 3 eller 4, mangler begrunnelsen på det steget sensor ser etter — og da faller poengene selv om svaret er riktig.

✏️Eksempel 3: Skjæringssetningen med hjelpefunksjon

Vis at grafene til f(x)=exf(x) = e^x og g(x)=3−x2g(x) = 3 - x^2 skjærer hverandre for en xx i intervallet [0,1][0, 1].

At grafene skjærer hverandre betyr at ex=3−x2e^x = 3 - x^2 har en løsning. Vi følger bevismalen.

1. Hjelpefunksjon: h(x)=f(x)−g(x)=ex−(3−x2)=ex−3+x2h(x) = f(x) - g(x) = e^x - (3 - x^2) = e^x - 3 + x^2. En løsning av f=gf = g er et nullpunkt for hh.

2. Fortegn i endepunktene:
h(0)=e0−3+0=1−3=−2<0,h(0) = e^0 - 3 + 0 = 1 - 3 = -2 < 0,
h(1)=e1−3+1=e−2≈0,72>0.h(1) = e^1 - 3 + 1 = e - 2 \approx 0{,}72 > 0.
Motsatt fortegn. ✓

3. Kontinuitet: hh er en sum av exe^x (kontinuerlig overalt) og polynomet x2−3x^2 - 3 (kontinuerlig overalt), så hh er kontinuerlig på [0,1][0, 1].

4–5. Skjæringssetningen: siden hh er kontinuerlig på [0,1][0,1] og h(0)<0<h(1)h(0) < 0 < h(1), gir skjæringssetningen (nullpunktsvarianten) minst én c∈(0,1)c \in (0, 1) med h(c)=0h(c) = 0, altså ec=3−c2e^c = 3 - c^2.

Konklusjon: grafene skjærer hverandre for (minst) én xx-verdi c∈(0,1)c \in (0, 1). ■\blacksquare

(Numerisk ligger skjæringen ved c≈0,83c \approx 0{,}83 — men poenget er at vi beviste eksistensen uten å finne den.)

Fra «minst én» til «nøyaktig én»

Skjæringssetningen gir alltid minst én løsning. Vil du vise at det er nøyaktig én, trenger du ett argument til: monotoni. Er hh strengt voksende (eller strengt avtakende) på hele intervallet, kan grafen krysse xx-aksen bare én gang — to nullpunkter ville krevd at funksjonen snudde. I praksis viser du monotoni med den deriverte: h′(x)>0h'(x) > 0 overalt ⇒\Rightarrow strengt voksende ⇒\Rightarrow høyst ett nullpunkt. Sammen med skjæringssetningen (minst ett) gir det nøyaktig ett.

✏️Eksempel 4: Nøyaktig én løsning

Vis at likningen x3+x=5x^3 + x = 5 har nøyaktig én reell løsning, og at den ligger i intervallet (1,2)(1, 2).

Omform til nullpunktsform: h(x)=x3+x−5h(x) = x^3 + x - 5. Vi skal vise at hh har nøyaktig ett nullpunkt, og at det ligger i (1,2)(1,2).

Eksistens (skjæringssetningen). hh er et polynom, altså kontinuerlig på [1,2][1, 2]. Endepunktene:
h(1)=1+1−5=−3<0,h(2)=8+2−5=5>0.h(1) = 1 + 1 - 5 = -3 < 0, \qquad h(2) = 8 + 2 - 5 = 5 > 0.
Motsatt fortegn, så skjæringssetningen gir minst én c∈(1,2)c \in (1, 2) med h(c)=0h(c) = 0.

Entydighet (monotoni). Den deriverte er
h′(x)=3x2+1.h'(x) = 3x^2 + 1.
Siden 3x2≥03x^2 \ge 0 er h′(x)≥1>0h'(x) \ge 1 > 0 for alle xx, så hh er strengt voksende på hele R\mathbb{R}. En strengt voksende funksjon kan ha høyst ett nullpunkt.

Konklusjon: minst ett nullpunkt (skjæringssetningen) og høyst ett (monotoni) gir nøyaktig ett reelt nullpunkt, og det ligger i (1,2)(1, 2). ■\blacksquare

📝Oppgave 4
Sjanger I

Vis at likningen cos⁡x=x\cos x = x har minst én løsning i intervallet [0,1][0, 1]. Før beviset etter malen.

📝Oppgave 5
Sjanger I

Vis at 2x=3−x2^x = 3 - x har nøyaktig én reell løsning. I hvilket av intervallene (0,1)(0,1) og (1,2)(1,2) ligger endepunktene til fortegnsskiftet, og hva er løsningen?

Løkke 4 — Ekstremverdisetningen (~13 min)

📜Ekstremverdisetningen
Er ff kontinuerlig på et lukket og begrenset intervall [a,b][a, b], så antar ff både en største verdi (globalt maksimum) og en minste verdi (globalt minimum) på intervallet. Det finnes altså punkter xmax⁡,xmin⁡∈[a,b]x_{\max}, x_{\min} \in [a, b] slik at
f(xmin⁡)≤f(x)≤f(xmax⁡)for alle x∈[a,b].f(x_{\min}) \le f(x) \le f(x_{\max}) \quad \text{for alle } x \in [a, b].

Setningen sier at maksimum og minimum finnes — ikke hvor. I praksis finner du dem ved å sammenligne funksjonsverdiene i de stasjonære punktene (der f′(x)=0f'(x) = 0) og i endepunktene aa og bb. Begge forutsetningene — kontinuerlig og lukket, begrenset intervall — må være på plass.

Hvorfor må forutsetningene være der? (midtveis-distraktormat)

Midtveisspørsmål tester dette med moteksempler. Fjern én forutsetning, og setningen faller:

- Åpent intervall: f(x)=xf(x) = x på det åpne intervallet (0,1)(0, 1) er kontinuerlig, men har verken største eller minste verdi — den kommer vilkårlig nær 00 og 11 uten å nå dem. Randen mangler.
- Ubegrenset intervall: f(x)=xf(x) = x på [0,∞)[0, \infty) har et minimum (00), men ingen maksimum — den vokser uten grense.
- Diskontinuerlig funksjon: f(x)=1/xf(x) = 1/x på (0,1](0, 1] er ubegrenset oppover (går mot +∞+\infty nær 00) og har ingen maksimumsverdi.

Husk derfor: ekstremverdisetningen garanterer maks/min bare for en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall [a,b][a,b]. Brukt på et åpent eller ubegrenset intervall er den ugyldig — det er den vanligste flervalgsfellen.

✏️Eksempel 5: Finn største og minste verdi

Funksjonen f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x er kontinuerlig på det lukkede intervallet [0,2][0, 2]. Forklar hvorfor ff har en største og en minste verdi der, og finn dem.

Eksistens (ekstremverdisetningen). ff er et polynom, altså kontinuerlig, og [0,2][0, 2] er lukket og begrenset. Etter ekstremverdisetningen antar ff derfor både en største og en minste verdi på [0,2][0, 2].

Finn kandidatene. Ekstremalverdiene ligger i stasjonære punkter eller i endepunktene.
f′(x)=3x2−3=3(x2−1)=0  ⟹  x=±1.f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1.
Bare x=1x = 1 ligger i [0,2][0, 2] (forkast x=−1x = -1). Kandidatpunkter: x=0x = 0, x=1x = 1, x=2x = 2.

Sammenlign funksjonsverdiene:
f(0)=0,f(1)=1−3=−2,f(2)=8−6=2.f(0) = 0, \qquad f(1) = 1 - 3 = -2, \qquad f(2) = 8 - 6 = 2.

Konklusjon: største verdi er f(2)=2f(2) = 2 (i høyre endepunkt), minste verdi er f(1)=−2f(1) = -2 (i det stasjonære punktet). Så −2≤f(x)≤2-2 \le f(x) \le 2 for alle x∈[0,2]x \in [0, 2].

📝Oppgave 6

(MV-teori.) Avgjør for hver funksjon om ekstremverdisetningen garanterer at den har en største verdi. Begrunn.

a) f(x)=x2f(x) = x^2 på [−2,3][-2, 3].

b) f(x)=x2f(x) = x^2 på det åpne intervallet (−2,3)(-2, 3).

c) f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} på (0,1](0, 1].

Begrepsbank til eksamen

Her er kjernebegrepene fra kapitlet samlet i eksamensrettet kortform — repertoaret for teoriutsagn på midtveis og for føringen i eksistensbevisene.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Kontinuerlig funksjon

En funksjon som er kontinuerlig i hvert punkt i sitt definisjonsområde — grafen kan tegnes uten å løfte blyanten. Formelt: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x) = f(a) for hver aa. Alle polynomer, exe^x, ln⁡x\ln x, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x og x\sqrt{x} er kontinuerlige der de er definert.

Diskontinuitet (brudd)

Et punkt der ff ikke er kontinuerlig — minst ett av de tre kravene svikter. Grafen har et hopp, et hull eller et sprang mot uendelig i punktet. Diskontinuiteter kan bare oppstå der noe «spesielt» skjer: skjøtepunkter, nullpunkt i en nevner, eller udefinerte punkter.

Sprangdiskontinuitet

Venstre- og høyregrensen finnes begge, men er ulike: lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x\to a^-} f(x) \ne \lim_{x\to a^+} f(x). Grafen gjør et hopp i aa. Typisk for stykkevis definerte funksjoner der bitene ikke møtes.

Hevbar diskontinuitet (hull)

Grensen lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a} f(x) finnes (samme fra begge sider), men er ulik f(a)f(a) — eller f(a)f(a) er udefinert. Grafen har et enkelt hull som kunne «tettes» ved å (om)definere f(a)f(a) til grenseverdien. Eksempel: x2−4x−2\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2} i x=2x = 2.

Uendelig diskontinuitet

Minst én ensidig grense går mot ±∞\pm\infty — grafen har en vertikal asymptote i punktet. Eksempel: 1/x1/x i x=0x = 0. Funksjonen er da også ubegrenset nær punktet, og ekstremverdisetningen kan ikke brukes over det.

Regneregler for kontinuitet

Er ff og gg kontinuerlige i aa, så er også f+gf + g, f−gf - g og f⋅gf\cdot g kontinuerlige i aa, og f/gf/g er kontinuerlig i aa dersom g(a)≠0g(a) \ne 0. Det er dette som gjør at sammensatte uttrykk (som ex−3+x2e^x - 3 + x^2) uten videre er kontinuerlige — du bygger dem av kontinuerlige byggeklosser.

Kontinuitet av sammensetning

Er gg kontinuerlig i aa og ff kontinuerlig i g(a)g(a), så er den sammensatte f∘gf\circ g, altså x↦f(g(x))x \mapsto f(g(x)), kontinuerlig i aa. Eksempel: cos⁡(x2)\cos(x^2) er kontinuerlig fordi både cos⁡\cos og x2x^2 er det.

Elementære funksjoners kontinuitet

Polynomer, rasjonale funksjoner (utenom nullpunkt i nevner), rotfunksjoner, eksponential- og logaritmefunksjoner og de trigonometriske funksjonene er alle kontinuerlige på hele sitt definisjonsområde. I et bevis er dette den korte begrunnelsen for kontinuitet — pek på hvilke byggeklosser uttrykket er satt sammen av.

Mellomverdi

En verdi yy som ligger mellom f(a)f(a) og f(b)f(b). Skjæringssetningen garanterer at en kontinuerlig funksjon på [a,b][a,b] antar hver slik mellomverdi minst én gang — grafen kan ikke hoppe over noen verdi mellom endepunktverdiene.

Skjæringssetningen — kort sagt

Kontinuerlig ff på [a,b][a,b] antar alle verdier mellom f(a)f(a) og f(b)f(b). Bevisbruk (nullpunktsform): motsatt fortegn i endepunktene ⇒\Rightarrow minst ett nullpunkt i (a,b)(a,b). Alltid tre ingredienser i føringen: kontinuitet nevnt, fortegnsskifte vist, setningen navngitt.

Nullpunktsetningen (Bolzano)

Spesialtilfellet av skjæringssetningen med y=0y = 0: er ff kontinuerlig på [a,b][a,b] og f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b) < 0, finnes minst én c∈(a,b)c \in (a,b) med f(c)=0f(c) = 0. Dette er formen du bruker når en likning skrives om til h(x)=0h(x) = 0.

Entydig løsning (skjæring + monotoni)

«Nøyaktig én løsning» krever to argumenter: skjæringssetningen for eksistens (minst én) og streng monotoni for entydighet (høyst én). Monotoni vises typisk med f′(x)>0f'(x) > 0 (strengt voksende) eller f′(x)<0f'(x) < 0 (strengt avtakende) på hele intervallet.

Ekstremverdisetningen — kort sagt

Kontinuerlig ff på et lukket, begrenset intervall [a,b][a,b] antar en største og en minste verdi. Finn dem blant stasjonære punkter (f′=0f' = 0) og endepunktene. Faller om intervallet er åpent eller ubegrenset, eller om ff er diskontinuerlig.

Globalt maksimum og minimum

Den største (== globalt maksimum) og minste (== globalt minimum) verdien ff antar på hele intervallet — i motsetning til lokale ekstremalpunkter, som bare er størst/minst i en liten omegn. På et lukket intervall kan et globalt ekstremum ligge i et endepunkt, selv om f′f' ikke er null der.

Lukket og begrenset intervall

Et intervall [a,b][a, b] som inneholder begge endepunktene (== lukket) og har endelig lengde (== begrenset). Begge egenskapene trengs i ekstremverdisetningen: (a,b)(a,b) er begrenset, men ikke lukket; [a,∞)[a,\infty) er lukket, men ikke begrenset — i begge tilfeller kan maks/min mangle.

Begrenset funksjon
ff er begrenset på et intervall dersom det finnes et tall MM med ∣f(x)∣≤M|f(x)| \le M for alle xx i intervallet — grafen holder seg innenfor et vannrett bånd. En kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er alltid begrenset (det følger av ekstremverdisetningen); på et åpent intervall kan den være ubegrenset.
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.