3.2 Kontinuitet | Matematikk R1

Kontinuitet og diskontinuitet i funksjoner.

45 min

11 oppgaver

KontinuitetDiskontinuitetHoppunkterAsymptotisk oppførsel

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenseverdi

Hva er kontinuitet?

Intuitivt tenker vi på en kontinuerlig funksjon som en funksjon der grafen kan tegnes uten å løfte pennen fra papiret. Funksjonen har ingen "hopp", "hull" eller "brudd".

I dette kapitlet skal vi gi en presis matematisk definisjon av kontinuitet og lære å identifisere ulike typer diskontinuitet.

✏️Motiverende eksempel

Betrakt følgende funksjoner:

1. $f(x) = x^2$ (polynomfunksjon)
2. $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ (rasjonell funksjon)
3. $h(x) = \begin{cases} 1 & \text{hvis } x \geq 0 \\ -1 & \text{hvis } x < 0 \end{cases}$ (trappefunksjon)

Hvilke av disse er kontinuerlige?

Løsning:

1. $f(x) = x^2$ er kontinuerlig for alle $x \in \mathbb{R}$ . Grafen er en parabel uten brudd.

2. $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ er kontinuerlig for alle $x \neq 0$ . I $x = 0$ er funksjonen ikke definert, så den har en diskontinuitet der (vertikal asymptote).

3. $h(x)$ har et hopp i $x = 0$ . Grenseverdiene fra venstre ( $-1$ ) og høyre ( $1$ ) er forskjellige, så funksjonen er diskontinuerlig i $x = 0$ .

Svar: $f$ er kontinuerlig overalt. $g$ er kontinuerlig i hele definisjonsmengden, men ikke definert i $x = 0$ . $h$ er diskontinuerlig i $x = 0$ .

Definisjon av kontinuitet

Kontinuitet i et punkt

f

De tre kravene i praksis:

Krav 1: Sjekk at $a$ er i definisjonsmengden til $f$ .

Krav 2: Sjekk at $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$ (ensidige grenseverdier er like).

Krav 3: Sjekk at grenseverdien fra krav 2 er lik funksjonsverdien $f(a)$ .

Merk: I denne boka kaller vi et punkt $a$ utenfor definisjonsmengden et diskontinuitetspunkt når $f$ er definert rett til venstre og rett til høyre for $a$ , slik som $\displaystyle \frac{1}{x}$ i $x = 0$ . Et helt intervall der $f$ ikke er definert, gir ingen diskontinuitetspunkter. I eksamensløsninger er det også vanlig å si at $f$ er kontinuerlig i hele definisjonsmengden og å beskrive $x = a$ som et hull eller en vertikal asymptote. Skriv gjerne begge deler.

✏️Eksempel 1: Sjekke kontinuitet

Undersøk om $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ er kontinuerlig i $x = 2$ .

Løsning:

Vi sjekker de tre kravene:

Krav 1: Er $f(2)$ definert?

$\displaystyle f(2) = \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ er udefinert.

Siden krav 1 ikke er oppfylt, er $f$ diskontinuerlig i $x = 2$ .

Merk: Vi kan forenkle uttrykket:
$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2, \quad x \neq 2$

Grenseverdien $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ eksisterer, men funksjonen er ikke definert i $x = 2$ . Dette er en fjernbar diskontinuitet.

✏️Eksempel 2: Verifisere kontinuitet

Vis at $f(x) = x^3 - 2x + 1$ er kontinuerlig i $x = 1$ .

Løsning:

Vi sjekker de tre kravene:

Krav 1: $f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + 1 = 0$ ✓ (eksisterer)

Krav 2: $\lim_{x \to 1} (x^3 - 2x + 1) = 1 - 2 + 1 = 0$ ✓ (eksisterer)

Krav 3: $\lim_{x \to 1} f(x) = 0 = f(1)$ ✓ (like)

Alle tre krav er oppfylt, så $f$ er kontinuerlig i $x = 1$ .

Generelt: Polynomfunksjoner er kontinuerlige overalt i $\mathbb{R}$ .

📝Oppgave 1

Undersøk om funksjonen er kontinuerlig i det angitte punktet ved å sjekke de tre kravene.

f(x) = 2x + 3

x = 1

\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

x = 1

h(x) = |x|

x = 0

k(x) = \sqrt{x}

x = 4

Typer diskontinuitet

Når en funksjon er diskontinuerlig i et punkt, kan vi klassifisere hvilken type diskontinuitet det er basert på hva som går galt med de tre kravene.

Fjernbar diskontinuitet

f

Hoppunkt (sprangdiskontinuitet)

f

Pol (uendelig diskontinuitet)

f

Gjør dette i GeoGebra

Typer diskontinuitet

Sammenlikning av fjernbar diskontinuitet, hoppunkt og pol.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = If(x != 1, (x^2 - 1)/(x - 1))
g(x) = If(x < 0, -1, 1)
h(x) = 1/x
A = (1, 2)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Eksempel 3: Klassifisere diskontinuitet

Klassifiser diskontinuiteten til følgende funksjoner:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ i $x = 3$

b) $g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{hvis } x < 2 \\ 5 & \text{hvis } x \geq 2 \end{cases}$ i $x = 2$

c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ i $x = 1$

Løsning:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ for $x \neq 3$

$\lim_{x \to 3} f(x) = 6$ , men $f(3)$ er udefinert.

Fjernbar diskontinuitet (hull i $x = 3$ , $y = 6$ ).

Svar: Fjernbar diskontinuitet i $x = 3$ .

b) $\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$

$\lim_{x \to 2^+} g(x) = 5$

De ensidige grenseverdiene er forskjellige ( $4 \neq 5$ ).

Hoppunkt med hopp $5 - 4 = 1$ .

Svar: Hopp i $x = 2$ .

c) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty$

Funksjonen går mot uendelig når $x \to 1$ .

Pol (vertikal asymptote $x = 1$ ).

Svar: Vertikal asymptote $x = 1$ .

📝Oppgave 2

Klassifiser diskontinuiteten som fjernbar diskontinuitet, hoppunkt eller pol.

\displaystyle f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}

x = 2

\displaystyle g(x) = \frac{1}{x - 3}

x = 3

h(x) = \begin{cases} 2x & \text{hvis } x < 1 \\ 3 - x & \text{hvis } x \geq 1 \end{cases}

x = 1

k(x) = \lfloor x \rfloor

(gulvfunksjon) i

x = 2

Kontinuitet på et intervall

En funksjon kan være kontinuerlig på hele definisjonsmengden sin, eller bare på deler av den.

Kontinuitet på et intervall

f

📜Standardfunksjoner og kontinuitet

Følgende funksjoner er kontinuerlige på hele sin naturlige definisjonsmengde:

- Polynomfunksjoner: $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ (kontinuerlig for alle $x \in \mathbb{R}$ )
- Rasjonale funksjoner: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ (kontinuerlig der $Q(x) \neq 0$ )
- Eksponentialfunksjoner: $a^x$ , $e^x$ (kontinuerlig for alle $x \in \mathbb{R}$ )
- Logaritmefunksjoner: $\ln x$ , $\log_a x$ (kontinuerlig for $x > 0$ )
- Rotfunksjoner: $\sqrt[n]{x}$ (kontinuerlig på definisjonsmengden)
- Trigonometriske funksjoner: $\sin x$ , $\cos x$ (kontinuerlig for alle $x \in \mathbb{R}$ )

📜Regneregler for kontinuitet

Hvis $f$ og $g$ er kontinuerlige i $x = a$ , så er også følgende funksjoner kontinuerlige i $x = a$ :

- $f + g$ (sum)
- $f - g$ (differanse)
- $f \cdot g$ (produkt)
- $\displaystyle \frac{f}{g}$ (kvotient, forutsatt $g(a) \neq 0$ )
- $f \circ g$ (komposisjon, forutsatt at $g(a)$ er i definisjonsmengden til $f$ )

✏️Eksempel 4: Finne diskontinuitetspunkter

Finn alle punkter der følgende funksjoner er diskontinuerlige:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$

b) $g(x) = \ln(x^2 - 1)$

Løsning:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4} = \frac{x + 1}{(x-2)(x+2)}$

Funksjonen er udefinert (og diskontinuerlig) der nevneren er null:
$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$

Diskontinuerlig i $x = -2$ og $x = 2$ (begge er poler).

b) $g(x) = \ln(x^2 - 1)$

Logaritmen krever positivt argument: $x^2 - 1 > 0$
$(x-1)(x+1) > 0 \Rightarrow x < -1$ eller $x > 1$

Definisjonsmengde: $D_g = \langle \leftarrow, -1 \rangle \cup \langle 1, \rightarrow \rangle$

$g$ er kontinuerlig i hele definisjonsmengden. For $-1 \leq x \leq 1$ er $g$ ikke definert, og når $x \to -1^-$ eller $x \to 1^+$ , går $g(x) \to -\infty$ .

Her mangler et helt intervall i definisjonsmengden, ikke enkeltpunkter der $g$ er definert på begge sider. Derfor har $g$ ingen diskontinuitetspunkter.

Svar: a) $f$ er diskontinuerlig i $x = -2$ og $x = 2$ . b) $g$ har ingen diskontinuitetspunkter i definisjonsmengden; $g$ er ikke definert for $-1 \leq x \leq 1$ .

📝Oppgave 3

Finn alle punkter der funksjonen er diskontinuerlig, og klassifiser diskontinuiteten.

\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^2 - 9}

\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}

h(x) = \sqrt{4 - x^2}

k(x) = \tan x

på

[0, 2\pi]

(fordypning, R2-stoff)

Asymptotisk oppførsel

Asymptoter beskriver hvordan en funksjon oppfører seg når $x$ nærmer seg visse verdier eller går mot uendelig.

Vertikal asymptote

x = a

Horisontal asymptote

y = L

✏️Eksempel 5: Finne asymptoter

Finn alle asymptoter til $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ .

Løsning:

Vertikal asymptote:
Nevneren er null når $x - 3 = 0$ , altså $x = 3$ .
Telleren i $x = 3$ : $2(3) + 1 = 7 \neq 0$ .

$\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ og $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$

Vertikal asymptote: $x = 3$

Horisontal asymptote:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$

Tilsvarende: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$

Horisontal asymptote: $y = 2$

Svar: Vertikal asymptote $x = 3$ og horisontal asymptote $y = 2$ .

Tips for å finne asymptoter til rasjonale funksjoner $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ :

Vertikale asymptoter: Løs $Q(x) = 0$ . Sjekk at $P(x) \neq 0$ i disse punktene.

Horisontale asymptoter: Sammenlign gradene til $P$ og $Q$ :
- Hvis $\text{grad}(P) < \text{grad}(Q)$ : Horisontal asymptote $y = 0$
- Hvis $\text{grad}(P) = \text{grad}(Q)$ : Horisontal asymptote $\displaystyle y = \frac{\text{ledende koeff. i } P}{\text{ledende koeff. i } Q}$
- Hvis $\text{grad}(P) > \text{grad}(Q)$ : Ingen horisontal asymptote

Gjør dette i GeoGebra

Asymptoter

Visualisering av

\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{x-3}

med asymptoter.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = (2x + 1)/(x - 3)
v: x = 3
h: y = 2

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 4

Finn alle vertikale og horisontale asymptoter.

\displaystyle f(x) = \frac{3}{x + 2}

\displaystyle g(x) = \frac{x - 1}{x + 4}

\displaystyle h(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}

\displaystyle k(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 1}

Anvendelser av diskontinuerlige funksjoner

Diskontinuerlige funksjoner er ikke bare teoretiske konstruksjoner - de modellerer mange virkelige fenomener.

✏️Eksempel 6: Porto og trappefunksjoner

Portoen for et brev avhenger av vekten:

$P(x) = \begin{cases} 17 & \text{hvis } 0 < x \leq 50 \\ 27 & \text{hvis } 50 < x \leq 100 \\ 42 & \text{hvis } 100 < x \leq 350 \end{cases}$

der $x$ er vekten i gram og $P(x)$ er portoen i kroner.

a) Tegn grafen til $P$ .
b) Hvor er $P$ diskontinuerlig?

Løsning:

a) Grafen er en trappefunksjon med tre "trinn":
- $P = 17$ kr for $0 < x \leq 50$ g
- $P = 27$ kr for $50 < x \leq 100$ g
- $P = 42$ kr for $100 < x \leq 350$ g

b) $P$ er diskontinuerlig i $x = 50$ og $x = 100$ g.

- I $x = 50$ : $\lim_{x \to 50^-} P(x) = 17$ , $\lim_{x \to 50^+} P(x) = 27$ (hoppunkt)
- I $x = 100$ : $\lim_{x \to 100^-} P(x) = 27$ , $\lim_{x \to 100^+} P(x) = 42$ (hoppunkt)

Slike trappefunksjoner er naturlige i mange prismodeller, skattesatser og avgifter.

Svar: b) $P$ er diskontinuerlig i $x = 50$ og $x = 100$ .

📝Oppgave 5

Sammensatte oppgaver om kontinuitet. Deloppgave b) og c) er fordypning (utenfor læreplanen for R1): de bruker sinusfunksjonen og grenseverdien $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , som hører til R2.

Finn verdien av $k$ slik at $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{hvis } x < 2 \\ 3x & \text{hvis } x \geq 2 \end{cases}$ er kontinuerlig i $x = 2$ .

La $\displaystyle g(x) = \frac{\sin x}{x}$ for $x \neq 0$ . Hvordan må $g(0)$ defineres for at $g$ skal være kontinuerlig i $x = 0$ ?

Vis at $\displaystyle h(x) = x \cdot \sin\frac{1}{x}$ for $x \neq 0$ kan utvides til en kontinuerlig funksjon ved å sette $h(0) = 0$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Kontinuitet i et punkt:
En funksjon $f$ er kontinuerlig i $x = a$ hvis:
1. $f(a)$ eksisterer
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ eksisterer
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Typer diskontinuitet:
- Fjernbar: Grenseverdien eksisterer, men $f(a)$ mangler eller er feil
- Hoppunkt: Ensidige grenseverdier er forskjellige
- Pol: Funksjonen går mot $\pm\infty$

Asymptoter:
- Vertikal asymptote $x = a$ : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$
- Horisontal asymptote $y = L$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$

Standardfunksjoner:
Polynomer, eksponentialfunksjoner, trigonometriske funksjoner og logaritmer er kontinuerlige på sin naturlige definisjonsmengde.

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.