2.1 Grenseverdier og ε-δ-definisjonen

$$\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0 \;\text{slik at}\; 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon.$$

Les det som en samtale: motstanderen velger $\varepsilon > 0$ (hvor nær $L$ du må komme); du svarer med $\delta > 0$ (hvor nær $a$ du trenger å være). Betingelsen $0 < |x-a|$ betyr at vi ser bort fra $x = a$ selv — grensen handler om oppførselen rundt $a$, ikke i $a$.

Rekkefølgen på kvantorene er hele poenget. Definisjonen sier $\forall \varepsilon\, \exists \delta$: først gis $\varepsilon$, deretter velger du $\delta$. Derfor har du lov til å la $\delta$ avhenge av $\varepsilon$ — det er nettopp det du gjør når du skriver $\delta = \varepsilon/3$.

Bytter du rekkefølgen til $\exists \delta\, \forall \varepsilon$ («det finnes én $\delta$ som funker for alle $\varepsilon$»), får du et helt annet — og nesten alltid galt — utsagn. Dette byttet er den vanligste distraktoren i flervalgsspørsmål om definisjonen.

Å «finne $\delta(\varepsilon)$» betyr å gi en oppskrift som produserer en brukbar $\delta$ for enhver $\varepsilon$. Fremgangsmåten: start med kravet $|f(x)-L| < \varepsilon$, regn det om til en betingelse på $|x-a|$, og les av hvor liten $\delta$ må være. For en lineær funksjon $f(x) = mx + b$ blir $|f(x)-L| = |m|\,|x-a|$, så kravet $|m|\,|x-a| < \varepsilon$ gir direkte $\delta = \varepsilon/|m|$.

For en ikke-lineær $f$ følger beviset tre faste steg:

1. Faktoriser $|f(x)-L|$ slik at $|x-a|$ kommer eksplisitt ut, ved siden av en «forstyrrende» faktor $|g(x)|$.
2. Avgrens forstyrrelsen: krev først $|x-a| < 1$ (et vilkårlig kontrollintervall). Da ligger $x$ i et bånd rundt $a$, og du kan finne en konstant $K$ med $|g(x)| \le K$ der.
3. Velg $\delta = \min\!\left(\dfrac{\varepsilon}{K},\, 1\right)$. Det lille tallet 1 sikrer at avgrensningen fra steg 2 gjelder; $\varepsilon/K$ sikrer selve $\varepsilon$-kravet.

Både $\delta \le 1$ og $\delta \le \varepsilon/K$ holder samtidig, så begge kravene er oppfylt. Å glemme $\min(\cdot, 1)$-grepet er den vanligste feilen i slike bevis.

En høyregrense ser bare på $x > a$: $\lim_{x\to a^+} f(x) = L$ betyr $\forall \varepsilon>0\,\exists \delta>0: a < x < a+\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$. En venstregrense ($x\to a^-$) bruker $a-\delta < x < a$ i stedet. Den tosidige grensen finnes hvis og bare hvis begge ensidige grenser finnes og er like: $\lim_{x\to a} f = L \iff \lim_{x\to a^-} f = \lim_{x\to a^+} f = L$.

$$\lim_{x\to a} f(x) \ne L \iff \exists \varepsilon > 0\; \forall \delta > 0\; \exists x:\; \big(0 < |x-a| < \delta \;\text{og}\; |f(x)-L| \ge \varepsilon\big).$$

I ord: det finnes én fast feilmargin $\varepsilon$ slik at uansett hvor liten $\delta$ du prøver, finnes det et $x$ innenfor $\delta$ av $a$ som likevel bommer på $L$ med minst $\varepsilon$. Regel: $\forall \leftrightarrow \exists$, og «$\Rightarrow$ mindre enn» blir «og større enn eller lik».

1. $f(a)$ er definert,
2. $\lim_{x\to a} f(x)$ finnes, og
3. de er like: $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.

Alle tre kreves. Grensen kan finnes uten at $f$ er kontinuerlig (om $f(a)$ mangler eller har «feil» verdi) — da har grafen et hull eller et hopp i $a$. Med ε-δ direkte: $\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0: |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon$ (merk: her tillates $x=a$, siden $|f(a)-f(a)|=0<\varepsilon$ uansett).

$$\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big) = L + M, \qquad \lim_{x\to a}\big(f(x)\,g(x)\big) = L\,M,$$
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \quad (\text{forutsatt } M \ne 0).$$

Bevisidé for summen: gitt $\varepsilon>0$, bruk definisjonen på hver funksjon med margin $\varepsilon/2$: velg $\delta_f$ så $|f-L|<\varepsilon/2$ og $\delta_g$ så $|g-M|<\varepsilon/2$, og sett $\delta = \min(\delta_f,\delta_g)$. Trekantulikheten gir $|(f+g)-(L+M)| \le |f-L| + |g-M| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$.

En grenseverdi er entydig: hvis $\lim_{x\to a} f(x) = L$ og $\lim_{x\to a} f(x) = L'$, så er $L = L'$. En funksjon kan ikke nærme seg to forskjellige tall samtidig. (Bevisidé: var $L \ne L'$, kunne vi velge $\varepsilon = |L-L'|/2$ og få $f(x)$ innenfor $\varepsilon$ av begge — umulig, siden de to $\varepsilon$-båndene ikke overlapper.) På dette nivået trenger du bare kjenne resultatet.

Betingelsen $0 < |x-a| < \delta$ beskriver et intervall rundt $a$ med $a$ selv fjernet. Grensen handler om hvordan $f$ oppfører seg når $x$ nærmer seg $a$, ikke om $f(a)$ — derfor punkteringen $0 < |x-a|$.

Den tosidige grensen finnes hvis og bare hvis begge ensidige grenser finnes og er like: $\lim_{x\to a} f = L \iff \lim_{x\to a^-}f = \lim_{x\to a^+}f = L$. Ulike ensidige grenser ⇒ ingen tosidig grense (hoppdiskontinuitet).

Et punkt der grensen finnes, men $f(a)$ mangler eller har «feil» verdi — grafen har et enkelt hull. Diskontinuiteten kan «heves» ved å (om)definere $f(a)$ lik grensen. Eksempel: $\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3}$ i $x=3$.

Et punkt der begge ensidige grenser finnes, men er ulike. Grafen «hopper». Den tosidige grensen finnes ikke, så $f$ kan ikke være kontinuerlig der — uansett hvordan $f(a)$ settes. Eksempel: $\displaystyle \frac{|x|}{x}$ i $x=0$.

Linjen $y = L$ er horisontal asymptote til $f$ dersom $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ eller $\lim_{x\to -\infty} f(x) = L$. Grafen legger seg inntil linjen langt ute. Definisjonen bruker størrelseskravet $x > N$ i stedet for $|x-a|<\delta$.

Linjen $x = a$ er vertikal asymptote dersom $f(x)\to\pm\infty$ når $x\to a$ (fra minst én side). Definisjonen bruker en terskel $M$: for enhver $M$ finnes $\delta$ slik at $0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x) > M$ (eller $< -M$).