Tilbake
1.6
Rasjonale uttrykk

1.6 Rasjonale uttrykk

Alle fag for VG1

Forkorte, multiplisere, dividere og trekke sammen brøker med algebraiske uttrykk.

60 min
14 oppgaver
Forkorting av algebraiske brøkerMultiplikasjon og divisjonFellesnevner
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Brøker med algebraiske uttrykk

Nødvendige forkunnskaper: Algebra og faktorisering

I dette kapitlet skal vi lære å regne med brøker som inneholder algebraiske uttrykk (bokstaver). Vi skal se på hvordan vi forkorter, multipliserer, dividerer og trekker sammen slike brøker.

✏️Eksempel 1

Forkort brøkene:

a) 2x3x\displaystyle \frac{2x}{3x}

b) 3x−66\displaystyle \frac{3x - 6}{6}

c) x2−5x+6x2−4\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}

Løsning:

a) 2x3x=2⋅x3⋅x=23\displaystyle \frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}

b) 3x−66=3⋅(x−2)3⋅2=x−22\displaystyle \frac{3x - 6}{6} = \frac{3 \cdot (x - 2)}{3 \cdot 2} = \frac{x - 2}{2}

c) x2−5x+6x2−4=(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)=x−3x+2\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}

📝Oppgave 1

Forkort brøkene

a
4x9x\displaystyle \frac{4x}{9x}
b
2xx2−2x\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 2x}
c
x2−5xx−5\displaystyle \frac{x^2 - 5x}{x - 5}
d
2x−84\displaystyle \frac{2x - 8}{4}
e
x2−9x+3\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}
f
x2−7x+122x−6\displaystyle \frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 6}
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 2

Multipliser og forkort brøkene:

a) 23x⋅x+34\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4}

b) x2x+8⋅x+43x\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x}

c) 3x2⋅x+33x2−27\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27}

Løsning:

a) 23x⋅x+34=2⋅(x+3)3x⋅4=2⋅(x+3)3x⋅2⋅2=x+36x\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 2 \cdot 2} = \frac{x + 3}{6x}

b) x2x+8⋅x+43x=x⋅(x+4)(2x+8)⋅3x=x⋅(x+4)⋅12(x+4)⋅3⋅x=16\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x} = \frac{x \cdot (x + 4)}{(2x + 8) \cdot 3x} = \frac{x \cdot (x + 4) \cdot 1}{2(x + 4) \cdot 3 \cdot x} = \frac{1}{6}

c) 3x2⋅x+33x2−27=3x21⋅x+33(x2−9)=3⋅x2⋅(x+3)3⋅(x+3)⋅(x−3)=x2x−3\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27} = \frac{3x^2}{1} \cdot \frac{x + 3}{3(x^2 - 9)} = \frac{3 \cdot x^2 \cdot (x + 3)}{3 \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)} = \frac{x^2}{x - 3}

📝Oppgave 2

Multipliser og forkort (om mulig) brøkene

a
x+55x⋅52x+10\displaystyle \frac{x + 5}{5x} \cdot \frac{5}{2x + 10}
b
2x3x−12⋅x2−164\displaystyle \frac{2x}{3x - 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{4}
c
5x⋅x+44x2−16x\displaystyle 5x \cdot \frac{x + 4}{4x^2 - 16x}
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 3

Multipliser og forkort (om mulig) brøkene

a
x2÷2x3\displaystyle \frac{x}{2} \div \frac{2x}{3}
b
x+92x÷x2−812x+8\displaystyle \frac{x + 9}{2x} \div \frac{x^2 - 81}{2x + 8}
c
4x÷xx2−16\displaystyle 4x \div \frac{x}{x^2 - 16}
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 3

Trekk sammen brøkene:

9x+3y4x−x−3y4x\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x}

Løsning:

9x+3y4x−x−3y4x=9x+3y−(x−3y)4x=9x+3y−x+3y4x\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x} = \frac{9x + 3y - (x - 3y)}{4x} = \frac{9x + 3y - x + 3y}{4x}

=8x+6y4x=2(4x+3y)2⋅2x=4x+3y2x\displaystyle = \frac{8x + 6y}{4x} = \frac{2(4x + 3y)}{2 \cdot 2x} = \frac{4x + 3y}{2x}

📝Oppgave 4

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
2x4+3x4\displaystyle \frac{2x}{4} + \frac{3x}{4}
b
2x3−8x3\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{8x}{3}
c
y5−3y5\displaystyle \frac{y}{5} - \frac{3y}{5}
d
2x−y4x−3x4x\displaystyle \frac{2x - y}{4x} - \frac{3x}{4x}
e
x3+2x3−3−6x3\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{2x}{3} - \frac{3 - 6x}{3}
f
x+62x+1−3x−42x+1\displaystyle \frac{x + 6}{2x + 1} - \frac{3x - 4}{2x + 1}
Løs oppgavenTren
📜Utviding av brøker

For å trekke sammen brøker med ulik nevner må vi først utvide brøkene slik at de får lik nevner (fellesnevner).

Vi utvider en brøk ved å gange teller og nevner med samme faktor.

✏️Eksempel 4

Utvid brøken slik at du får x2−4x^2 - 4 i nevner:

3x−2\displaystyle \frac{3}{x - 2}

Løsning:

3x−2=3(x+2)(x−2)(x+2)=3x+6x2−4\displaystyle \frac{3}{x - 2} = \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}

📝Oppgave 5

Utvid brøken

a
9x−2\displaystyle \frac{9}{x - 2} slik at nevneren blir 2x−42x - 4
b
5x+3\displaystyle \frac{5}{x + 3} slik at nevneren blir x2−9x^2 - 9
c
3xx−2\displaystyle \frac{3x}{x - 2} slik at nevneren blir 2x2−82x^2 - 8
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 5

Trekk sammen brøkene:

5x2y+32\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2}

Løsning:

5x2y+32=5x2y+3⋅y2⋅y=5x2y+3y2y=5x+3y2y\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2} = \frac{5x}{2y} + \frac{3 \cdot y}{2 \cdot y} = \frac{5x}{2y} + \frac{3y}{2y} = \frac{5x + 3y}{2y}

📝Oppgave 6

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
32+12x\displaystyle \frac{3}{2} + \frac{1}{2x}
b
4x2+2x5\displaystyle \frac{4x}{2} + \frac{2x}{5}
c
2y5−x3\displaystyle \frac{2y}{5} - \frac{x}{3}
d
3x2y+2yx\displaystyle \frac{3x}{2y} + \frac{2y}{x}
e
x5−3x\displaystyle \frac{x}{5} - 3x
f
2x11y−4x11−2\displaystyle \frac{2x}{11y} - \frac{4x}{11} - 2
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 6

Trekk sammen brøkene:

43xy+3x2y−2\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - 2

Løsning:

43xy+3x2y−21=4⋅23xy⋅2+3x⋅3x2y⋅3x−2⋅6xy1⋅6xy=86xy+9x26xy−12xy6xy\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - \frac{2}{1} = \frac{4 \cdot 2}{3xy \cdot 2} + \frac{3x \cdot 3x}{2y \cdot 3x} - \frac{2 \cdot 6xy}{1 \cdot 6xy} = \frac{8}{6xy} + \frac{9x^2}{6xy} - \frac{12xy}{6xy}

=8+9x2−12xy6xy=9x2−12xy+86xy\displaystyle = \frac{8 + 9x^2 - 12xy}{6xy} = \frac{9x^2 - 12xy + 8}{6xy}

📝Oppgave 7

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
32xy+13x−1\displaystyle \frac{3}{2xy} + \frac{1}{3x} - 1
b
32ab+15\displaystyle \frac{3}{2ab} + \frac{1}{5}
c
25x−13y−1\displaystyle \frac{2}{5x} - \frac{1}{3y} - 1
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 7

Trekk sammen:

4x+2−2\displaystyle \frac{4}{x + 2} - 2

Løsning:

4x+2−21=4x+2−2(x+2)1(x+2)=4x+2−2x+4x+2=4−(2x+4)x+2\displaystyle \frac{4}{x + 2} - \frac{2}{1} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2(x + 2)}{1(x + 2)} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{4 - (2x + 4)}{x + 2}

=4−2x−4x+2=−2xx+2\displaystyle = \frac{4 - 2x - 4}{x + 2} = \frac{-2x}{x + 2}

📝Oppgave 8

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
5x+2+13\displaystyle \frac{5}{x + 2} + \frac{1}{3}
b
2x+3−12\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2}
c
2−x+23\displaystyle 2 - \frac{x + 2}{3}
d
3y+1+42(y+1)\displaystyle \frac{3}{y + 1} + \frac{4}{2(y + 1)}
e
x5x−2\displaystyle \frac{x}{5x} - 2
f
23−x−33x−2\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{x - 3}{3x} - 2
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 8

Trekk sammen:

5x−3−32\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2}

Løsning:

5x−3−32=2⋅52(x−3)−3(x−3)2(x−3)=102x−6−3x−92x−6\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2(x - 3)} - \frac{3(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{10}{2x - 6} - \frac{3x - 9}{2x - 6}

=10−(3x−9)2x−6=10−3x+92x−6=−3x+192x−6\displaystyle = \frac{10 - (3x - 9)}{2x - 6} = \frac{10 - 3x + 9}{2x - 6} = \frac{-3x + 19}{2x - 6}

✏️Eksempel 9

Trekk sammen:

2x−4−1x+4\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}

Løsning:

Vi ser fellesnevneren er (x−4)(x+4)(x - 4)(x + 4)

2x−4−1x+4=2(x+4)(x−4)(x+4)−1(x−4)(x+4)(x−4)\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4} = \frac{2(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}

=2x+8−1(x−4)(x−4)(x+4)=2x+8−x+4(x−4)(x+4)=x+12x2−16\displaystyle = \frac{2x + 8 - 1(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x + 8 - x + 4}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 12}{x^2 - 16}

📝Oppgave 9

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
2x+2+3x−2\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}
b
2x+3−12x+6\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2x + 6}
c
3−x+2x2+2x\displaystyle 3 - \frac{x + 2}{x^2 + 2x}
d
3y+4+42y+8−13\displaystyle \frac{3}{y + 4} + \frac{4}{2y + 8} - \frac{1}{3}
e
13x−2x+1\displaystyle \frac{1}{3x} - \frac{2}{x + 1}
f
12−x−3x−2−2x−1\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x - 3}{x - 2} - \frac{2}{x - 1}
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 10

Trekk sammen:

2x+2−43x−3\displaystyle \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{3x - 3}

Løsning:

2x+2+43x−3=2(x+2)−43(x−1)\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{4}{3x - 3} = \frac{2}{(x + 2)} - \frac{4}{3(x - 1)}

=3⋅2(x−1)3(x−1)(x+2)−4(x+2)3(x−1)(x+2)=6(x−1)−4(x+2)3(x−1)(x+2)\displaystyle = \frac{3 \cdot 2(x - 1)}{3(x - 1)(x + 2)} - \frac{4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{6(x - 1) - 4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)}

=6x−6−4x−83(x−1)(x+2)=2x−143(x−1)(x+2)=2x−143x2+3x−6\displaystyle = \frac{6x - 6 - 4x - 8}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3x^2 + 3x - 6}

Oppsummering

- Forkorting av rasjonale uttrykk: Faktoriser både teller og nevner, deretter stryk like faktorer
- Multiplikasjon: ab⋅cd=acbd\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} - gang tellere og gang nevnere, forkort underveis hvis mulig
- Divisjon: ab÷cd=ab⋅dc\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} - snu den andre brøken og gang
- Addisjon/subtraksjon med lik nevner: Trekk sammen tellerne, behold nevneren
- Utviding: Gang både teller og nevner med samme faktor for å få ønsket nevner
- Fellesnevner: Faktoriser nevnerne og finn minste felles multiplum, eller gang nevnerne med hverandre
- Vær forsiktig med fortegn når du trekker fra brøker: ab−cd=ad−bcbd\displaystyle \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.