Tilbake
1.4
Brøkregning

1.4 Brøkregning

Alle fag for VG1

Lær å gange, dele, forkorte og utvide brøker, samt legge sammen brøker med lik og ulik nevner.

60 min
20 oppgaver
Multiplikasjon av brøkerDivisjon av brøkerForkortingUtvidingFellesnevner
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 20 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

I dette kapitlet skal vi lære å regne med brøker. Vi starter med å se på hvordan vi ganger brøker sammen.

📜Å gange brøker
ab⋅cd=a⋅cb⋅d=acbd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{ac}{bd}

Når vi skal gange to brøker med hverandre så ganger vi det over brøkstreken med det over brøkstreken og det under brøkstreken med det under brøkstreken.

Å gange et heltall med en brøk:

a⋅bc=a1⋅bc=a⋅b1⋅c=abca \cdot \frac{b}{c} = \frac{a}{1} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{1 \cdot c} = \frac{ab}{c}

✏️Eksempel 1

Gang sammen brøkene:

a) 15⋅32\displaystyle \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}

b) 3⋅32\displaystyle 3 \cdot \frac{3}{2}

Løsning:

a) 15⋅32=1⋅35⋅2=310\displaystyle \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}

b) 3⋅32=31⋅32=3⋅31⋅2=92\displaystyle 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{9}{2}

📝Oppgave 1

Gang sammen brøkene

a
34⋅17\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}
b
92⋅37\displaystyle \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{7}
c
7⋅25\displaystyle 7 \cdot \frac{2}{5}
d
13⋅23⋅43\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}
e
54⋅3\displaystyle \frac{5}{4} \cdot 3
f
2⋅37⋅15\displaystyle 2 \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{5}
Løs oppgavenTren
Å forkorte brøker

Når vi skal forkorte brøker kan det være nyttig å huske at vi kan faktorisere tall. Eksempelvis er: 8=4⋅28 = 4 \cdot 2 og 12=4⋅3=2⋅2⋅312 = 4 \cdot 3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 eller 12=2⋅612 = 2 \cdot 6

✏️Eksempel 2

Forkort brøkene:

a) 86\displaystyle \frac{8}{6}

b) 4575\displaystyle \frac{45}{75}

Løsning:

a) 86=4⋅23⋅2=43\displaystyle \frac{8}{6} = \frac{4 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}} = \frac{4}{3}

b) 4575=3⋅153⋅25=3⋅55⋅5=35\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{{\color{red}3} \cdot 15}{{\color{red}3} \cdot 25} = \frac{3 \cdot {\color{red}5}}{{\color{red}5} \cdot 5} = \frac{3}{5}

NB: Om vi ser det kan vi også gjøre det enda enklere:
4575=3⋅155⋅15=35\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{3 \cdot {\color{red}15}}{5 \cdot {\color{red}15}} = \frac{3}{5}

Begge fremgangsmåter er riktige. I begynnelsen kan du ha fokus på å forkorte det du kan. Etterhvert kan du tenke mer på hvordan du kan forkorte med så stort tall som mulig.

📝Oppgave 2

Forkort brøkene så mye som mulig. Husk at a1=a\displaystyle \frac{a}{1} = a

a
104\displaystyle \frac{10}{4}
b
2510\displaystyle \frac{25}{10}
c
105\displaystyle \frac{10}{5}
d
8127\displaystyle \frac{81}{27}
e
2⋅43⋅4\displaystyle \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}
f
12⋅204⋅6\displaystyle \frac{12 \cdot 20}{4 \cdot 6}
Løs oppgavenTren
Multiplisere og forkorte brøker

Når vi ganger brøker kan vi ofte forkorte underveis for å gjøre regnestykket enklere.

✏️Eksempel 3

Regn ut og forkort hvis mulig:

a) 105⋅32\displaystyle \frac{10}{5} \cdot \frac{3}{2}

b) 65⋅152\displaystyle \frac{6}{5} \cdot \frac{15}{2}

c) 4⋅34\displaystyle 4 \cdot \frac{3}{4}

Løsning:

a) 105⋅32=10⋅310=3\displaystyle \frac{10}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{{\color{red}10} \cdot 3}{{\color{red}10}} = 3

NB: Legg merke til at vi ganget sammen det under brøken med en gang, men ikke det over brøken. Dette er fordi vi raskest mulig vil kunne stryke 10 over og under brøkstreken.

b) 65⋅152=6⋅155⋅2=2⋅3⋅3⋅55⋅2=9\displaystyle \frac{6}{5} \cdot \frac{15}{2} = \frac{6 \cdot 15}{5 \cdot 2} = \frac{{\color{red}2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot {\color{blue}5}}{{\color{blue}5} \cdot {\color{red}2}} = 9

c) 4⋅34=3\displaystyle 4 \cdot \frac{3}{4} = 3 fordi 4⋅34=41⋅34=4⋅31⋅4=3\displaystyle 4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{{\color{red}4} \cdot 3}{1 \cdot {\color{red}4}} = 3

📝Oppgave 3

Regn ut og forkort hvis mulig

a
25⋅32\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2}
b
123⋅34\displaystyle \frac{12}{3} \cdot \frac{3}{4}
c
5⋅34\displaystyle 5 \cdot \frac{3}{4}
d
125⋅156\displaystyle \frac{12}{5} \cdot \frac{15}{6}
e
830⋅154\displaystyle \frac{8}{30} \cdot \frac{15}{4}
f
726⋅1314⋅6\displaystyle \frac{7}{26} \cdot \frac{13}{14} \cdot 6
Løs oppgavenTren
📜Å dele brøker
Når vi deler en brøk på en annen brøk så kan vi:

ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Et spesialtilfelle av dette er når vi deler med et heltall:

ab÷c=ab÷c1=ab⋅1c=ab⋅c\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

✏️Eksempel 4

Regn ut:

a) 27÷32\displaystyle \frac{2}{7} \div \frac{3}{2}

b) 7÷152\displaystyle 7 \div \frac{15}{2}

c) 34÷9\displaystyle \frac{3}{4} \div 9

Løsning:

a) 27÷32=27⋅23=421\displaystyle \frac{2}{7} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{21}

b) 7÷152=71⋅215=1415\displaystyle 7 \div \frac{15}{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{2}{15} = \frac{14}{15}

c) 34÷9=34÷91=34⋅19=3⋅14⋅9=3⋅14⋅3⋅3=112\displaystyle \frac{3}{4} \div 9 = \frac{3}{4} \div \frac{9}{1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 9} = \frac{{\color{red}3} \cdot 1}{4 \cdot {\color{red}3} \cdot 3} = \frac{1}{12}

📝Oppgave 4

Utfør divisjonen og forkort brøken hvis mulig

a
75÷32\displaystyle \frac{7}{5} \div \frac{3}{2}
b
38÷52\displaystyle \frac{3}{8} \div \frac{5}{2}
c
102÷52\displaystyle \frac{10}{2} \div \frac{5}{2}
d
8÷32\displaystyle 8 \div \frac{3}{2}
e
56÷3\displaystyle \frac{5}{6} \div 3
f
3⋅15÷72\displaystyle 3 \cdot \frac{1}{5} \div \frac{7}{2}
Løs oppgavenTren
📜Brudden brøk
abcd=ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c=adbc\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} = \frac{ad}{bc}
✏️Eksempel 5
Løs den brudne brøken:

2356\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}

Løsning:

Alternativ 1:
2356=23÷56=23⋅65=2⋅2⋅33⋅5=45\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}} = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot {\color{red}3}}{{\color{red}3} \cdot 5} = \frac{4}{5}

Alternativ 2:
2356=23⋅656⋅6=2⋅635⋅66=2⋅2⋅335=45\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot {\color{blue}6}}{\frac{5}{{\color{blue}6}} \cdot {\color{blue}6}} = \frac{\frac{2 \cdot 6}{3}}{\frac{5 \cdot {\color{red}6}}{{\color{red}6}}} = \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot {\color{red}3}}{{\color{red}3}}}{5} = \frac{4}{5}

📝Oppgave 5

Utfør divisjonen og forkort brøken hvis mulig. NB: For høyest læringsutbytte anbefales å løse som alternativ 2 i eksempelet.

a
1323\displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}
b
14212\displaystyle \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{12}}
c
523\displaystyle \frac{5}{\frac{2}{3}}
Løs oppgavenTren
📜Å legge sammen brøker med lik nevner
ac+bc=a+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}
✏️Eksempel 6
Trekk sammen brøkene:

15+25\frac{1}{5} + \frac{2}{5}

Løsning:

15+25=1+25=35\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}

✏️Eksempel 7
Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig:

94−14\frac{9}{4} - \frac{1}{4}

Løsning:

94−14=9−14=84=2\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2

📝Oppgave 6

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
37+27\displaystyle \frac{3}{7} + \frac{2}{7}
b
73+83\displaystyle \frac{7}{3} + \frac{8}{3}
c
96−16\displaystyle \frac{9}{6} - \frac{1}{6}
d
74−34\displaystyle \frac{7}{4} - \frac{3}{4}
e
165+25+75\displaystyle \frac{16}{5} + \frac{2}{5} + \frac{7}{5}
f
1923−1823+423\displaystyle \frac{19}{23} - \frac{18}{23} + \frac{4}{23}
Løs oppgavenTren
Å utvide brøker

Noen ganger ønsker vi å utvide brøker. For å utvide en brøk må vi gange med det samme tallet over og under brøkstreken. På den måten kan vi få en ny nevner uten å endre den faktiske verdien til brøken.

✏️Eksempel 8

Utvid brøkene:

a) Utvid brøken 53\displaystyle \frac{5}{3} slik at nevneren blir 6

b) Utvid brøken 25\displaystyle \frac{2}{5} slik at nevneren blir 10x10x

Løsning:

a) 53=5⋅23⋅2=106\displaystyle \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}

b) 25=2⋅2x5⋅2x=4x10x\displaystyle \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2x}{5 \cdot 2x} = \frac{4x}{10x}

📝Oppgave 7

Utvid brøken

a
79\displaystyle \frac{7}{9} slik at nevneren blir 18
b
32\displaystyle \frac{3}{2} slik at nevneren blir 2x2x
c
83\displaystyle \frac{8}{3} slik at nevneren blir 15x15x
Løs oppgavenTren
Brøker med ulik nevner

Når vi møter på brøker med ulik nevner må vi utvide en eller begge brøkene slik at vi får en fellesnevner. Da ser vi først om det finnes et tall som vi kun trenger å gange med en av nevnerne slik at vi får den andre nevneren.

✏️Eksempel 9
Trekk sammen brøkene:

12+210\frac{1}{2} + \frac{2}{10}

Løsning:

12+210=1⋅52⋅5+210=510+210=5+210=710\frac{1}{2} + \frac{2}{10} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5 + 2}{10} = \frac{7}{10}

✏️Eksempel 10
Trekk sammen:

2+372 + \frac{3}{7}

Løsning:

2+37=21+37=2⋅71⋅7+37=147+37=1772 + \frac{3}{7} = \frac{2}{1} + \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7}{1 \cdot 7} + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}

Husk: n=n1\displaystyle n = \frac{n}{1}

📝Oppgave 8

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
46+13\displaystyle \frac{4}{6} + \frac{1}{3}
b
47−114\displaystyle \frac{4}{7} - \frac{1}{14}
c
128+14\displaystyle \frac{12}{8} + \frac{1}{4}
d
1+15\displaystyle 1 + \frac{1}{5}
e
42−16+1\displaystyle \frac{4}{2} - \frac{1}{6} + 1
f
712+16+2\displaystyle \frac{7}{12} + \frac{1}{6} + 2
Løs oppgavenTren
Å gange nevnerne med hverandre for å finne fellesnevner

Når det ikke går å kun gange en av nevnerne så må vi gange begge. En metode som alltid fungerer når vi skal finne fellesnevner for to brøker er å utvide den første brøken med nevneren i den andre brøken og den andre brøken med nevneren i den første brøken.

✏️Eksempel 11
Trekk sammen brøkene:

12+37\frac{1}{2} + \frac{3}{7}

Løsning:

12+37=1⋅72⋅7+3⋅27⋅2=714+614=1314\frac{1}{2} + \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{7}{14} + \frac{6}{14} = \frac{13}{14}

📝Oppgave 9

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
12+13\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3}
b
43+27\displaystyle \frac{4}{3} + \frac{2}{7}
c
25−14\displaystyle \frac{2}{5} - \frac{1}{4}
d
39+15\displaystyle \frac{3}{9} + \frac{1}{5}
e
12−3+15\displaystyle \frac{1}{2} - 3 + \frac{1}{5}
f
72−111−2\displaystyle \frac{7}{2} - \frac{1}{11} - 2
Løs oppgavenTren
Å finne minste felles nevner

Når vi bruker metoden ovenfor kan det hende at vi får en unødvendig høy fellesnevner. Om vi for eksempel skal legge sammen: 121+114\displaystyle \frac{1}{21} + \frac{1}{14} vil vi få 21⋅14=29421 \cdot 14 = 294 som nevner.

Dette vil skje fordi vi har felles faktorer i nevnerne våre. Vi ser vi kan faktorisere utrykket slik: 13⋅7+12⋅7\displaystyle \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{2 \cdot 7}. Begge nevnerne inneholder altså faktoren 7, så dette er felles. Den første nevneren har en 3-er som den andre nevneren ikke har og den andre nevneren har en 2-er som den første ikke har. Da kan vi legge til det som mangler i hver av brøkene for å få en felles nevner:

13⋅7+12⋅7=2⋅12⋅3⋅7+3⋅13⋅2⋅7=242+342=542\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{2}{42} + \frac{3}{42} = \frac{5}{42}

✏️Eksempel 12
Trekk sammen brøkene:

110+115\frac{1}{10} + \frac{1}{15}

Løsning:

110+115=15⋅2+15⋅3=1⋅35⋅2⋅3+1⋅25⋅3⋅2=330+230=530=16\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{{\color{blue}5} \cdot 2} + \frac{1}{{\color{blue}5} \cdot 3} = \frac{1 \cdot {\color{green}3}}{{\color{blue}5} \cdot 2 \cdot {\color{green}3}} + \frac{1 \cdot {\color{green}2}}{{\color{blue}5} \cdot 3 \cdot {\color{green}2}} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{{\color{red}5}}{30} = \frac{1}{6}

📝Oppgave 10

Benytt minste felles nevner for å trekke sammen brøkene og forkort hvis mulig

a
16+18\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{8}
b
414+210\displaystyle \frac{4}{14} + \frac{2}{10}
c
314−121\displaystyle \frac{3}{14} - \frac{1}{21}
d
19+112\displaystyle \frac{1}{9} + \frac{1}{12}
e
120+125\displaystyle \frac{1}{20} + \frac{1}{25}
f
722−133−1\displaystyle \frac{7}{22} - \frac{1}{33} - 1
Løs oppgavenTren
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

- Multiplikasjon av brøker: ab⋅cd=acbd\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} - gang teller med teller og nevner med nevner
- Forkorting av brøker: Finn felles faktorer over og under brøkstreken og stryk dem
- Divisjon av brøker: ab÷cd=ab⋅dc\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} - gang med den omvendte brøken
- Brudden brøk: abcd=ab÷cd=adbc\displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}
- Addisjon med lik nevner: ac+bc=a+bc\displaystyle \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}
- Utviding av brøker: Gang både teller og nevner med samme tall for å endre nevner uten å endre verdien
- Fellesnevner: For å legge sammen brøker med ulik nevner må vi først utvide til felles nevner. En metode er å gange nevnerne med hverandre

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.