4.3 Fortegnslinjer | Matematikk 1T

Bruk fortegnslinjer og fortegnsskjema til å analysere uttrykk og løse ulikheter.

40 min

8 oppgaver

FortegnslinjerFortegnsskjemaFaktoriseringProdukter av faktorer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.2Lineære ulikheter 1.4Brøkregning

Brukes videre i

4.4Andregradsulikheter

Fortegnslinjer i fortegnsskjema

En fortegnslinje beskriver fortegnet til et uttrykk for alle mulige verdier av $x$ .

Slik tegner vi en fortegnslinje

For uttrykket $(x + 3)$ :
- Finn nullpunktet: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
- For $x < -3$ : uttrykket er negativt (stiplet linje)
- For $x = -3$ : uttrykket er null (markeres med 0)
- For $x > -3$ : uttrykket er positivt (heltrukket linje)

Fortegnslinjer for ulike uttrykk

Uttrykk	Fortegnslinje
$x$	Negativ for $x < 0$ , null ved $x = 0$ , positiv for $x > 0$
$-x$	Positiv for $x < 0$ , null ved $x = 0$ , negativ for $x > 0$
$-2$ (konstant)	Alltid negativ
$3$ (konstant)	Alltid positiv

✏️Eksempel 1

Lag fortegnslinjene til tallet $-3$ og til funksjonen $(x - 6)$ .

Bruk deretter disse fortegnslinjene til å lage fortegnslinjen til $f(x) = -3 \cdot (x - 6)$ .

Løsning:

Vi setter opp fortegnslinjene:

For $-3$ : En negativ konstant er alltid negativ.

For $(x - 6)$ :
- Nullpunkt: $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$
- For $x < 6$ : uttrykket er negativt
- For $x > 6$ : uttrykket er positivt

For $-3 \cdot (x - 6)$ : Vi multipliserer fortegnslinjene i et fortegnsskjema:

x-linje

6

-3

(x-6)

-3(x-6)

Forklaring:
- Når

x < 6

(-) \cdot (-) = +

- Når

x = 6

(-) \cdot 0 = 0

- Når

x > 6

(-) \cdot (+) = -

📝Oppgave 1

Lag fortegnslinjer til uttrykkene

-2

(x + 3)

-2(x + 3)

📝Oppgave 2

Lag fortegnslinjer til uttrykkene (husk å faktorisere først i oppgave c)

(x - 2)

-3(x - 2)

-2x + 12

✏️Eksempel 2

Bruk fortegnsskjema til å løse ulikhetene:

a) $-5x - 10 < 0$

b) $-5x - 10 \geq 0$

Løsning:

Vi faktoriserer først: $-5x - 10 = -5(x + 2)$

Fortegnsskjema:

x-linje

-2

-5

(x+2)

-5(x+2)

a) Vi ønsker å finne når

-5(x + 2) < 0

(negativt).

Fra fortegnsskjemaet ser vi at uttrykket er negativt når $x > -2$ .

Svar: $x > -2$ , eller $x \in \langle -2, \rightarrow \rangle$

---

b) Vi ønsker å finne når $-5(x + 2) \geq 0$ (større enn eller lik null).

Fra fortegnsskjemaet ser vi at uttrykket er positivt når $x < -2$ , og null når $x = -2$ .

Svar: $x \leq -2$ , eller $x \in \langle \leftarrow, -2]$

📝Oppgave 3

Løs ulikhetene. Bruk fortegnsskjema i a)–d).

(x + 4) < 0

-2(x + 1) > 0

5x - 10 \leq 0

0 \leq -2x - 4

-7x + 14 < 21

-2x + 3 \leq 2x - 1

✏️Eksempel 3

Bruk fortegnsskjema til å løse ulikheten $(x + 2)(x - 1) \leq 0$ .

Løsning:

Nullpunkter: $x + 2 = 0$ gir $x = -2$ , og $x - 1 = 0$ gir $x = 1$ .

Fortegnsskjema:

x-linje

-2

1

(x+2)

(x-1)

(x+2)(x-1)

Vi ønsker at $(x + 2)(x - 1) \leq 0$ (negativt eller null).

Fra fortegnsskjemaet ser vi at produktet er negativt mellom nullpunktene og null i $x = -2$ og $x = 1$ .

Svar: $-2 \leq x \leq 1$ , eller $x \in [-2, 1]$

📝Oppgave 4

Bruk fortegnsskjema til å løse ulikhetene.

(x - 3)(x + 1) > 0

-2(x + 4)(x - 2) \geq 0

x(x - 5) < 0

Oppsummering

- En fortegnslinje viser fortegnet til et uttrykk for alle verdier av $x$
- For et lineært uttrykk $(x - a)$ : negativt for $x < a$ , null ved $x = a$ , positivt for $x > a$
- En konstant har samme fortegn for alle $x$ -verdier
- Fortegnsskjema brukes til å finne fortegnet til et produkt av flere faktorer
- Vi multipliserer fortegnene: $(-) \cdot (-) = (+)$ , $(-) \cdot (+) = (-)$ , osv.
- For å løse en ulikhet med fortegnsskjema:
1. Faktoriser uttrykket
2. Finn nullpunktene til hver faktor
3. Sett opp fortegnsskjema med én linje per faktor
4. Les av når produktet har ønsket fortegn

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.