4.4 Andregradsulikheter | Matematikk 1T

Ulikheter av annen grad

For å løse andregradsulikheter bruker vi nullpunktsfaktorisering og fortegnsskjema.

Fremgangsmåte

1. Faktoriser andregradsuttrykket ved hjelp av nullpunktsfaktorisering eller sum/produkt-metoden
2. Sett opp fortegnsskjema med en linje for hver faktor
3. Multipliser fortegnslinjene for å finne fortegnet til produktet
4. Les av svaret fra fortegnsskjemaet

Nullpunktsfaktorisering

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

der $x_1$ og $x_2$ er løsningene på $ax^2 + bx + c = 0$ (funnet med abc-formelen eller faktorisering).

✏️Eksempel 1

Løs ulikhetene:

a) $x^2 - 12x + 35 < 0$

b) $-2x^2 + 10x - 12 \geq 0$

Løsning:

a) $x^2 - 12x + 35 < 0$

Vi faktoriserer (sum/produkt: to tall med sum $-12$ og produkt $35$ er $-5$ og $-7$ ):
$x^2 - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7)$

Fortegnsskjema:

x-linje

5

7

(x-5)

(x-7)

(x-5)(x-7)

Vi ønsker å finne når

(x-5)(x-7) < 0

(negativt).

Svar: $5 < x < 7$ , eller $x \in \langle 5, 7 \rangle$

---

b) $-2x^2 + 10x - 12 \geq 0$

Vi faktoriserer:
$-2x^2 + 10x - 12 = -2(x^2 - 5x + 6) = -2(x - 2)(x - 3)$

Fortegnsskjema:

x-linje

2

3

-2

(x-2)

(x-3)

-2(x-2)(x-3)

Vi ønsker å finne når $-2(x-2)(x-3) \geq 0$ (positivt eller null).

Svar: $2 \leq x \leq 3$ , eller $x \in [2, 3]$

📝Oppgave 1

Bruk fortegnsskjema til å løse ulikhetene

(x - 2)(x + 3) > 0

-2(x - 1)(x + 4) < 0

x^2 - 4 \leq 0

x^2 - 4 \geq 0

📝Oppgave 2

Bruk fortegnsskjema til å løse ulikhetene

x^2 + 3x + 2 \geq 0

x(x - 4)(x + 2) < 0

x^2 - 4x > 12

-2x^2 + 16x - 30 < 0

✏️Eksempel 2

Løs ulikhetene. Uttrykkene har ingen nullpunkter eller ett dobbelt nullpunkt.

a) $x^2 + 1 > 0$

b) $x^2 - 6x + 9 \leq 0$

c) $x^2 + 2x + 5 < 0$

Løsning:

a) $x^2 + 1 > 0$

$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4 < 0$

Ingen nullpunkter, og $a = 1 > 0$ : uttrykket er positivt for alle $x$ .

Svar: Alle $x$ , altså $x \in \mathbb{R}$

---

b) $x^2 - 6x + 9 \leq 0$

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

$(x - 3)^2$ er aldri negativ og er 0 bare for $x = 3$ .

Svar: $x = 3$

---

c) $x^2 + 2x + 5 < 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16 < 0$

Ingen nullpunkter, og $a = 1 > 0$ : uttrykket er alltid positivt.

Svar: Ingen løsning

📝Oppgave 3

Løs ulikhetene. Finn først ut om uttrykket har nullpunkter.

x^2 + 4 \geq 0

(x + 1)^2 < 0

x^2 - 4x + 4 > 0

-x^2 + 2x - 3 > 0

x^2 - 10x + 25 \leq 0

Oppsummering

- Andregradsulikheter løses med nullpunktsfaktorisering og fortegnsskjema
- Fremgangsmåte:
1. Faktoriser andregradsuttrykket: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
2. Sett opp fortegnsskjema med én linje per faktor
3. Multipliser fortegnslinjene
4. Les av løsningen fra fortegnsskjemaet
- Nullpunktsfaktorisering: Bruk abc-formelen eller sum/produkt-metoden for å finne nullpunktene
- Løsningen er ofte et intervall eller en union av intervaller
- Husk å inkludere eller ekskludere nullpunktene basert på ulikhetstegnet ( $<, >, \leq, \geq$ )

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver