4.4 Andregradsulikheter

Parabolen over og under x-aksen

Tenk deg en parabel – grafen til en andregradsfunksjon. Den svinger oppover eller nedover og krysser kanskje $x$-aksen i ett eller to punkter. Men en andregradsulikhet spør ikke bare hvor parabelen krysser aksen, den spør: hvor er parabelen over aksen? Og hvor er den under?

I dette kapittelet skal vi svare på nettopp dette spørsmålet. Verktøyene vi trenger er nullpunktsfaktorisering fra kapittel 2 og fortegnsskjema fra forrige kapittel. Kombinasjonen av disse to gir oss en elegant og systematisk metode for å løse enhver andregradsulikhet.

Fremgangsmåten – fire steg

La oss starte med oppskriften, og så skal vi gå gjennom hvert steg grundig med eksempler.

Steg 1: Sørg for at ulikheten har null på den ene siden. Flytt eventuelt alle ledd til venstre side slik at du har noe $\gtrless 0$.

Steg 2: Faktoriser andregradsuttrykket. Du kan bruke abc-formelen til å finne nullpunktene $x_1$ og $x_2$, og deretter skrive $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Denne teknikken kalles nullpunktsfaktorisering.

Steg 3: Sett opp et fortegnsskjema med én rad for hver faktor. Markér de kritiske punktene (nullpunktene) og bestem fortegnet i hvert intervall.

Steg 4: Les av svaret fra fortegnsskjemaet. Se hvilke intervaller som har det fortegnet ulikheten krever (positivt, negativt, eller null), og skriv løsningsmengden med intervallnotasjon.

Denne oppskriften fungerer for alle andregradsulikheter – uansett om parabelen åpner oppover eller nedover, og uansett om nullpunktene er pene heltall eller stygge brøker.

Eksempel: mellom to nullpunkter

La oss løse $x^2 - 12x + 35 < 0$. Uttrykket har allerede null på høyre side, så vi hopper rett til faktorisering. Vi leter etter to tall som har sum 12 og produkt 35. Tallene 5 og 7 passer perfekt: $x^2 - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7)$.

Nå setter vi opp fortegnsskjema. Kritiske punkter: $x = 5$ og $x = 7$. Vi har tre intervaller og to faktorer.

For $(x - 5)$: negativ for $x < 5$, null ved $x = 5$, positiv for $x > 5$. For $(x - 7)$: negativ for $x < 7$, null ved $x = 7$, positiv for $x > 7$.

Produktet i de tre intervallene: for $x < 5$ er $(-) \cdot (-) = +$, for $5 < x < 7$ er $(+) \cdot (-) = -$, og for $x > 7$ er $(+) \cdot (+) = +$.

Vi ønsker å finne der uttrykket er negativt ($< 0$). Fra skjemaet ser vi at dette skjer for $5 < x < 7$. Løsningsmengden er $x \in \langle 5, 7 \rangle$.

Grafisk tilsvarer dette intervallet der parabelen befinner seg under $x$-aksen – altså mellom de to nullpunktene. Siden koeffisienten foran $x^2$ er positiv (parabelen åpner oppover), er uttrykket negativt nettopp i dette midtintervallet.

Negativ koeffisient foran $x^2$

Hva skjer når koeffisienten foran $x^2$ er negativ? Da åpner parabelen nedover, og fortegnsmønsteret blir speilvendt. Men med fortegnsskjema trenger du ikke huske dette – skjemaet tar seg av det automatisk.

La oss løse $-2x^2 + 10x - 12 \geq 0$. Først faktoriserer vi ut $-2$: $-2(x^2 - 5x + 6)$. Deretter faktoriserer vi andregradsuttrykket: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ (sum 5, produkt 6). Altså: $-2(x - 2)(x - 3) \geq 0$.

Fortegnsskjemaet har tre faktorer: $-2$ (alltid negativ), $(x - 2)$ med nullpunkt 2, og $(x - 3)$ med nullpunkt 3.

For $x < 2$: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = -$. For $2 < x < 3$: $(-) \cdot (+) \cdot (-) = +$. For $x > 3$: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = -$.

Vi ønsker positivt eller null ($\geq 0$). Uttrykket er positivt for $2 < x < 3$, og null ved $x = 2$ og $x = 3$. Løsningsmengden er $x \in [2, 3]$.

Legg merke til at den negative konstanten $-2$ snudde hele mønsteret. Uten den ville uttrykket vært positivt utenfor nullpunktene, men med $-2$ foran blir det positivt mellom nullpunktene. Fortegnsskjemaet håndterer dette helt automatisk – du trenger ikke tenke på det separat.

Når du må flytte ledd først

Ikke alle andregradsulikheter kommer ferdig arrangert med null på den ene siden. Noen ganger må du flytte ledd over.

Ta ulikheten $x^2 - 4x > 12$. Her trekker vi fra 12 på begge sider: $x^2 - 4x - 12 > 0$. Nå faktoriserer vi. Vi leter etter to tall med sum $-4$ og produkt $-12$. Tallene $-6$ og $2$ passer: $(x - 6)(x + 2) > 0$.

Nullpunkter: $x = 6$ og $x = -2$. Fortegnsskjema: for $x < -2$ er $(-) \cdot (-) = +$, for $-2 < x < 6$ er $(+) \cdot (-) = -$, og for $x > 6$ er $(+) \cdot (+) = +$. Vi ønsker positivt ($> 0$), altså $x < -2$ eller $x > 6$. Løsningsmengden er $x \in \langle -\infty, -2 \rangle \cup \langle 6, \infty \rangle$.

Et annet eksempel: $-2x^2 + 16x - 30 < 0$. Vi faktoriserer: $-2(x^2 - 8x + 15) = -2(x - 3)(x - 5)$. For $x < 3$: $(-)(-)(-) = -$. For $3 < x < 5$: $(-)(+)(-) = +$. For $x > 5$: $(-)(+)(+) = -$. Vi ønsker negativt ($< 0$), altså $x < 3$ eller $x > 5$. Løsningsmengden er $x \in \langle -\infty, 3 \rangle \cup \langle 5, \infty \rangle$.

Husk: alltid flytt alt til én side først, og jobb deretter med å faktorisere og sette opp fortegnsskjema.

Tredjegradsulikheter og uttrykk med tre faktorer

Fortegnsskjema er ikke begrenset til andregradsulikheter – det fungerer like godt med tre eller flere faktorer. La oss løse $x(x - 4)(x + 2) < 0$.

Her er uttrykket allerede faktorisert med tre nullpunkter: $x = 0$, $x = 4$ og $x = -2$. Vi har fire intervaller å sjekke.

For $x < -2$: $(-)(-)(-) = -$. For $-2 < x < 0$: $(-)(-)( +) = +$. For $0 < x < 4$: $(+)(-)(+) = -$. For $x > 4$: $(+)(+)(+) = +$.

Vi ønsker negativt ($< 0$). Svaret er $x < -2$ eller $0 < x < 4$. I intervallnotasjon: $x \in \langle -\infty, -2 \rangle \cup \langle 0, 4 \rangle$.

Prinsippet er identisk: finn alle nullpunktene, sorter dem i stigende rekkefølge, bestem fortegnet til hver faktor i hvert intervall, og multipliser for å finne fortegnet til hele produktet. Med øvelse vil du oppdage at fortegnet alternerer mellom pluss og minus når du passerer hvert nullpunkt (gitt at alle faktorer har odde multiplisitet), men det er alltid tryggest å sjekke systematisk med fortegnsskjema.

Husk også at løsningsmengden kan bestå av flere adskilte intervaller, slik som i eksempelet over. Disse skriver vi med unionstegnet $\cup$.

Oppsummering

For å løse andregradsulikheter følger du fire steg. Først sørger du for at du har null på den ene siden. Deretter faktoriserer du andregradsuttrykket med nullpunktsfaktorisering: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Så setter du opp et fortegnsskjema med én rad per faktor, der du markerer nullpunktene og bestemmer fortegnet i hvert intervall. Til slutt leser du av fra produktraden hvilke intervaller som har det fortegnet ulikheten krever.

Når koeffisienten foran $x^2$ er positiv, er uttrykket negativt mellom nullpunktene og positivt utenfor. Når koeffisienten er negativ, er det omvendt. Men du trenger ikke huske dette – fortegnsskjemaet gir deg svaret uansett.

Metoden fungerer også for ulikheter med tre eller flere faktorer. Løsningsmengden kan bestå av flere adskilte intervaller, som skrives med unionstegnet $\cup$.