2.3 ABC-formelen

a) $1x^2 - 5x + 6 = 0$ (Vi skriver vanligvis ikke 1-tallet)

Her ser vi at $a = 1$, $b = -5$ og $c = 6$

Vi setter inn i abc-formelen og løser for $x_1$ og $x_2$:

$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$\displaystyle = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$\displaystyle x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ og $\displaystyle x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

b) $2x^2 - 12x = -16$

Vi skriver først om til formen $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Vi ser at $a = 2$, $b = -12$ og $c = 16$

Vi setter inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{4}$

$\displaystyle x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{12 \pm 4}{4}$

$\displaystyle x_1 = \frac{12 + 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$ og $\displaystyle x_2 = \frac{12 - 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Svar: a) $x = 2$ eller $x = 3$, b) $x = 2$ eller $x = 4$

a) $x^2 + 10x + 25 = 0$

Her ser vi at $a = 1$, $b = 10$ og $c = 25$

Vi setter inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

$\displaystyle = \frac{-10 \pm \sqrt{0}}{2} = -\frac{10}{2} = -5$

Vi har altså her kun én løsning $x = -5$

b) $x^2 - 5x + 8 = 0$

Her ser vi at $a = 1$, $b = -5$ og $c = 8$

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{2}$

Ettersom $\sqrt{-7}$ ikke er definert så vil det heller ikke finnes noen løsninger på likningen.

Svar: $L = \emptyset$

a) Vi begynner med å løse $x^2 - 5x + 6 = 0$ med abc-formelen vil vi få $x_1 = 2$ og $x_2 = 3$. Disse løsningene kan vi nå bruke til å faktorisere uttrykket.

Vi bruker formelen for nullpunktsfaktorisering:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

$1x^2 - 5x + 6 = 1(x - 2)(x - 3)$

$x^2 - 5x + 6$ kan altså faktoriseres til $(x - 2)(x - 3)$

b) Når vi løser $2x^2 - 12x + 16 = 0$ med abc-formelen får vi $x_1 = 2$ og $x_2 = 4$.

Vi bruker formelen for nullpunktsfaktorisering:

$2x^2 - 12x + 16 = 2(x - 2)(x - 4)$

c) Når vi løser $3x^2 + 18x + 27 = 0$ bør vi først faktorisere ut 3:

$3(x^2 + 6x + 9) = 0$

Dette gir $x = -3$ (én løsning).

$3x^2 + 18x + 27 = 3(x + 3)^2$

Svar: a) $(x - 2)(x - 3)$, b) $2(x - 2)(x - 4)$, c) $3(x + 3)^2$

a) $2(x + 3) = 0$

Her ser vi enkelt at dersom $x = -3$ så vil venstresiden bli lik høyresiden.
Svaret på likningen er altså $x = -3$.

b) $(x - 4)(x + 2) = 0$

Her sier nullproduktregelen at venstresiden vil bli 0 dersom minst en av faktorene er 0. Det vil si at enten $x - 4 = 0$ eller $x + 2 = 0$.
Vi ser at $x = 4$ og $x = -2$ da er løsningene på denne likningen.

c) $\displaystyle 3\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 0{,}3)(x - \sqrt{5}) = 0$

Nok engang holder det at en av faktorene er lik 0 for at vi skal ha en løsning. Her blir løsningene $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$, $x = 0{,}3$ og $x = \sqrt{5}$

Svar: a) $x = -3$, b) $x = 4$ eller $x = -2$, c) $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$, $x = 0{,}3$ eller $x = \sqrt{5}$