2.3 ABC-formelen

Formelen som løser alt

Tenk deg at du står foran en andregradslikning. Kanskje du prøver å finne når en ball treffer bakken, eller når inntektene til en bedrift passerer et bestemt nivå. Uansett situasjon ender du opp med noe som ser ut som $ax^2 + bx + c = 0$. Finnes det en universaloppskrift som alltid virker? Svaret er ja, og den heter abc-formelen – også kalt andregradsformelen. I dette kapittelet skal vi lære å bruke den, forstå hva diskriminanten forteller oss om antall løsninger, og deretter se hvordan vi kan bruke løsningene til å faktorisere andregradsuttrykk med en teknikk som kalles nullpunktsfaktorisering. Til slutt møter vi produktregelen, som lar oss løse likninger der venstresiden allerede er et produkt av faktorer.

ABC-formelen i praksis

Når du har en likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$, gir abc-formelen deg svaret direkte:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Bokstavene $a$, $b$ og $c$ er koeffisientene i likningen. $a$ er tallet foran $x^2$, $b$ er tallet foran $x$, og $c$ er konstantleddet. Symbolet $\pm$ betyr at vi regner ut to verdier: én gang med pluss og én gang med minus. Disse to verdiene kalles $x_1$ og $x_2$ – likningens to løsninger.

La oss prøve med $x^2 - 5x + 6 = 0$. Her er $a = 1$, $b = -5$ og $c = 6$. Vi setter inn i formelen: $\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$. Det gir $\displaystyle x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ og $\displaystyle x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$.

Et viktig poeng: likningen må stå på formen $ax^2 + bx + c = 0$ før du leser av koeffisientene. Får du for eksempel $2x^2 - 12x = -16$, må du først flytte $-16$ over slik at du får $2x^2 - 12x + 16 = 0$. Da er $a = 2$, $b = -12$ og $c = 16$. Setter du inn, finner du $x_1 = 4$ og $x_2 = 2$. Vær alltid nøye med fortegnene – husk at $b$ kan være negativ, og da blir $-b$ positiv.

Diskriminanten – nøkkelen til antall løsninger

Du la kanskje merke til uttrykket $b^2 - 4ac$ som står under rottegnet i abc-formelen. Dette uttrykket har et eget navn: diskriminanten. Den er utrolig nyttig fordi den forteller oss, uten at vi trenger å fullføre hele utregningen, hvor mange løsninger likningen har.

Tenk på det slik: vi skal ta kvadratroten av $b^2 - 4ac$. Kvadratroten av et positivt tall gir oss et vanlig tall, og da får vi to forskjellige verdier når vi regner $\pm$. Men hva skjer dersom $b^2 - 4ac = 0$? Da blir $\pm\sqrt{0} = \pm 0$, og pluss null er det samme som minus null – vi får bare én løsning. Og hvis $b^2 - 4ac$ er negativt? Da skal vi ta kvadratroten av et negativt tall, noe som ikke er definert blant de reelle tallene. Likningen har da ingen løsninger, og vi skriver $L = \emptyset$.

La oss se dette i praksis. For $x^2 + 10x + 25 = 0$ har vi $b^2 - 4ac = 100 - 100 = 0$. Diskriminanten er null, og vi vet med én gang at det bare finnes én løsning. Setter vi inn, finner vi $\displaystyle x = \frac{-10}{2} = -5$. For $x^2 - 5x + 8 = 0$ blir diskriminanten $25 - 32 = -7$. Siden dette er negativt, finnes ingen løsninger.

Oppsummert: er diskriminanten positiv, har vi to løsninger. Er den null, har vi nøyaktig én. Er den negativ, har vi ingen. Denne raske sjekken kan spare deg for mye regnearbeid.

Nullpunktsfaktorisering – fra løsninger til faktorer

Nå skal vi snu prosessen. I stedet for å gå fra et andregradsuttrykk til løsninger, skal vi bruke løsningene til å faktorisere uttrykket. Denne teknikken kalles nullpunktsfaktorisering.

Ideen er elegant: når du har funnet at $ax^2 + bx + c = 0$ har løsningene $x_1$ og $x_2$, kan du skrive uttrykket som et produkt:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Legg merke til at vi setter inn $x_1$ og $x_2$ med minustegn foran. Hvis $x_1 = 2$, skriver vi $(x - 2)$. Hvis $x_1 = -3$, skriver vi $(x - (-3)) = (x + 3)$.

La oss teste dette med $x^2 - 5x + 6$. Vi vet allerede at løsningene er $x_1 = 2$ og $x_2 = 3$ (vi fant dem med abc-formelen). Siden $a = 1$, blir faktoriseringen $1 \cdot (x - 2)(x - 3) = (x - 2)(x - 3)$. Og sannelig: $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$. Det stemmer!

For $2x^2 - 12x + 16$ finner vi med abc-formelen at $x_1 = 2$ og $x_2 = 4$. Siden $a = 2$, blir faktoriseringen $2(x - 2)(x - 4)$. Husk at $a$-verdien alltid skal stå foran parentesene.

Hva hvis likningen bare har én løsning? Da setter vi inn den samme verdien for både $x_1$ og $x_2$. For eksempel gir $3x^2 + 18x + 27 = 0$ kun $x = -3$, og vi faktoriserer som $3(x + 3)(x + 3) = 3(x + 3)^2$.

Forkorting av brøker med faktorisering

Nullpunktsfaktorisering viser virkelig sin styrke når vi skal forkorte brøker der teller eller nevner inneholder andregradsuttrykk. Trikset er å faktorisere både teller og nevner, og deretter stryke felles faktorer.

Ta for eksempel $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 3}$. Vi faktoriserer telleren: $x^2 + 5x + 6 = 0$ gir $x_1 = -2$ og $x_2 = -3$, altså $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$. Nå ser vi at $(x + 3)$ er felles i teller og nevner, og vi kan forkorte: $\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} = x + 2$.

Et mer utfordrende eksempel er $\displaystyle \frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - 16}$. Telleren faktoriseres med nullpunktsfaktorisering: $x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$. Nevneren kjenner vi igjen som konjugatsetningen: $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$. Felles faktor er $(x - 4)$, og vi står igjen med $\displaystyle \frac{x - 6}{x + 4}$.

Noen ganger må vi faktorisere ut en felles faktor før vi bruker nullpunktsfaktorisering. I $\displaystyle \frac{2x^2 - 16x + 30}{4x^2 - 100}$ begynner vi med å trekke ut 2 fra telleren og 4 fra nevneren: $\displaystyle \frac{2(x^2 - 8x + 15)}{4(x^2 - 25)}$. Telleren gir $(x - 3)(x - 5)$, og nevneren er $(x + 5)(x - 5)$. Etter forkorting av $(x - 5)$ og $\displaystyle \frac{2}{4}$ sitter vi igjen med $\displaystyle \frac{x - 3}{2(x + 5)}$. Evnen til å se felles faktorer er nøkkelen – og det krever øvelse.

Produktregelen – når svaret allerede er faktorisert

Til slutt i dette kapittelet skal vi se på produktregelen. Den er enkel, men utrolig nyttig: dersom $a \cdot b = 0$, så må enten $a = 0$ eller $b = 0$ (eller begge).

Tenk på det logisk: det eneste som kan gjøre et produkt lik null, er at minst én av faktorene er null. $5 \cdot 0 = 0$, $0 \cdot 7 = 0$, men $5 \cdot 7 = 35 \neq 0$.

Hvorfor er dette nyttig? Fordi vi noen ganger møter likninger der venstresiden allerede er et produkt av faktorer. Ta $(x - 4)(x + 2) = 0$. Produktregelen sier at enten $x - 4 = 0$ eller $x + 2 = 0$. Fra den første får vi $x = 4$, og fra den andre $x = -2$. Vi fant to løsninger uten å bruke abc-formelen i det hele tatt.

Produktregelen fungerer også med flere enn to faktorer. For $\displaystyle 3\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 0{,}3)(x - \sqrt{5}) = 0$ sier regelen at minst én faktor må være null. Konstanten 3 kan aldri bli null, så vi sjekker de tre parentesene: $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$, $x = 0{,}3$ og $x = \sqrt{5}$.

Legg merke til sammenhengen med nullpunktsfaktorisering. Når vi faktoriserer $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$ og deretter bruker produktregelen, får vi akkurat de samme løsningene som abc-formelen ville gitt oss. De to teknikkene er altså to sider av samme sak: abc-formelen tar oss fra uttrykk til løsninger, og produktregelen tar oss fra faktorer til løsninger.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært fire sammenhengende teknikker for andregradslikninger:

ABC-formelen $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ løser enhver andregradslikning $ax^2 + bx + c = 0$. Husk å skrive likningen på riktig form og vær nøye med fortegnene til $a$, $b$ og $c$.

Diskriminanten $b^2 - 4ac$ forteller oss hvor mange løsninger likningen har uten at vi trenger å fullføre utregningen. Positiv diskriminant gir to løsninger, null gir nøyaktig én, og negativ diskriminant betyr at likningen ikke har noen reelle løsninger.

Nullpunktsfaktorisering snur prosessen: når vi har funnet løsningene $x_1$ og $x_2$, kan vi skrive uttrykket som $a(x - x_1)(x - x_2)$. Denne teknikken er spesielt kraftig i kombinasjon med forkorting av rasjonale uttrykk, der vi faktoriserer teller og nevner og stryker felles faktorer.

Produktregelen sier at dersom et produkt er null, må minst én av faktorene være null. Den lar oss løse likninger som allerede er faktorisert ved å sette hver faktor lik null – en enkel og direkte vei til svaret.