Tilbake
2.4
Fullstendig kvadrat

2.4 Fullstendig kvadrat

Alle fag for VG1

Løs andregradslikninger ved å fullføre kvadratet.

30 min
9 oppgaver
Fullstendig kvadratAndregradslikninger
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Bygger på
1.4Brøkregning

Fullføre kvadratet

Metoden fullstendig kvadrat (eller «fullføre kvadratet») er en teknikk for å løse andregradslikninger ved å omskrive uttrykket til en perfekt kvadratform.

Denne metoden er spesielt nyttig når:
- Du vil forstå hvor abc-formelen kommer fra
- Du skal finne toppunktet til en parabel
- Faktorisering ikke gir «pene» tall

📜Første kvadratsetning
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Mønsteret: Det midterste leddet er dobbelt produkt av aa og bb.

✏️Eksempel 1

Skriv x2+6x+9x^2 + 6x + 9 som et kvadrat.

Løsning:

Vi sammenligner med (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

- a2=x2⇒a=xa^2 = x^2 \Rightarrow a = x
- 2ab=6x⇒2⋅x⋅b=6x⇒b=32ab = 6x \Rightarrow 2 \cdot x \cdot b = 6x \Rightarrow b = 3
- b2=32=9b^2 = 3^2 = 9 ✓

Svar: x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

📝Oppgave 1

Skriv uttrykkene som fullstendige kvadrater

a
x2+4x+4x^2 + 4x + 4
b
x2−10x+25x^2 - 10x + 25
c
x2+2x+1x^2 + 2x + 1
d
x2−8x+16x^2 - 8x + 16
Løs oppgavenTren

Metoden: Fullføre kvadratet

For å løse x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0:

1. Flytt konstantleddet: x2+bx=−cx^2 + bx = -c
2. Legg til (b2)2\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 på begge sider
3. Venstre side blir nå (x+b2)2\displaystyle (x + \frac{b}{2})^2
4. Løs ved å ta kvadratrot

✏️Eksempel 2

Løs x2+6x−7=0x^2 + 6x - 7 = 0 ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

Steg 1: Flytt konstantleddet
x2+6x=7x^2 + 6x = 7

Steg 2: Legg til (62)2=9\displaystyle \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 på begge sider
x2+6x+9=7+9x^2 + 6x + 9 = 7 + 9
x2+6x+9=16x^2 + 6x + 9 = 16

Steg 3: Skriv venstre side som kvadrat
(x+3)2=16(x + 3)^2 = 16

Steg 4: Ta kvadratrot
x+3=±4x + 3 = \pm 4

x=−3+4=1x = -3 + 4 = 1 \quad eller x=−3−4=−7\quad x = -3 - 4 = -7

Svar: x=1x = 1 eller x=−7x = -7

📝Oppgave 2

Løs likningene ved å fullføre kvadratet

a
x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0
b
x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0
c
x2+8x+7=0x^2 + 8x + 7 = 0
d
x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 3

Løs x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0 ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

x2−4x=−1x^2 - 4x = -1

x2−4x+4=−1+4x^2 - 4x + 4 = -1 + 4

(x−2)2=3(x - 2)^2 = 3

x−2=±3x - 2 = \pm\sqrt{3}

x=2±3x = 2 \pm \sqrt{3}

Svar: x=2+3x = 2 + \sqrt{3} eller x=2−3x = 2 - \sqrt{3}

📝Oppgave 3

Løs likningene og gi eksakt svar

a
x2+2x−1=0x^2 + 2x - 1 = 0
b
x2−6x+4=0x^2 - 6x + 4 = 0
c
x2+4x−1=0x^2 + 4x - 1 = 0
d
x2−10x+20=0x^2 - 10x + 20 = 0
Løs oppgavenTren

Når koeffisienten foran x2x^2 ikke er 1

Hvis likningen har formen ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 der a≠1a \neq 1:

1. Del hele likningen på aa
2. Fullør kvadratet som vanlig

✏️Eksempel 4

Løs 2x2+8x−10=02x^2 + 8x - 10 = 0 ved å fullføre kvadratet.

Løsning:

Del på 2:
x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0

Flytt konstantleddet:
x2+4x=5x^2 + 4x = 5

Legg til (42)2=4\displaystyle \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4:
x2+4x+4=5+4x^2 + 4x + 4 = 5 + 4
(x+2)2=9(x + 2)^2 = 9

Ta kvadratrot:
x+2=±3x + 2 = \pm 3
x=−2+3=1x = -2 + 3 = 1 \quad eller x=−2−3=−5\quad x = -2 - 3 = -5

Svar: x=1x = 1 eller x=−5x = -5

📝Oppgave 4

Løs likningene ved å fullføre kvadratet

a
2x2−4x−6=02x^2 - 4x - 6 = 0
b
3x2+12x−15=03x^2 + 12x - 15 = 0
c
−x2+6x−5=0-x^2 + 6x - 5 = 0
d
4x2−8x−12=04x^2 - 8x - 12 = 0
Løs oppgavenTren
Oppsummering
Metoden fullstendig kvadrat:

1. Skriv likningen på formen x2+bx=−cx^2 + bx = -c
2. Legg til (b2)2\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 på begge sider
3. Skriv venstre side som (x+b2)2\displaystyle (x + \frac{b}{2})^2
4. Ta kvadratrot og løs for xx

Husk: Hvis a≠1a \neq 1, del på aa først.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Fullføre kvadratet: x2+bxx^2 + bx blir et fullstendig kvadrat når vi legger til (b2)2\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2
- Omskriving: x2+bx+c=(x+b2)2−(b2)2+c\displaystyle x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c
- Likningsløsning: Når likningen står på formen (x+a)2=d(x + a)^2 = d, tar vi kvadratroten på begge sider: x+a=±dx + a = \pm\sqrt{d}
- Koeffisient foran x2x^2: Sett koeffisienten utenfor parentes (eller del likningen på den) før du fullfører kvadratet

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
Fullstendig kvadratEt uttrykk på formen (x+a)2(x + a)^2
Å fullføre kvadratetÅ legge til og trekke fra riktig tall for å lage et kvadrat
Toppunktforma(x−h)2+ka(x - h)^2 + k — nyttig for å finne topp-/bunnpunkt

Viktige formler


- x2+bx=(x+b2)2−(b2)2\displaystyle x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2
- (x+a)2=d  ⇒  x=−a±d(x + a)^2 = d \;\Rightarrow\; x = -a \pm \sqrt{d}
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.